MODELAGEM DE UM PROBLEMA DE AJUSTE DE FLUXO DE CAIXA E SEQUENCIAMENTO DE PROJETOS COM RECURSOS LIMITADOS PARA MAXIMIZAR O VALOR PRESENTE LÍQUIDO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MODELAGEM DE UM PROBLEMA DE AJUSTE DE FLUXO DE CAIXA E SEQUENCIAMENTO DE PROJETOS COM RECURSOS LIMITADOS PARA MAXIMIZAR O VALOR PRESENTE LÍQUIDO MATHEUS BORGES PIUZANA BARBOSA TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO JOÃO MONLEVADE Julho, 2016

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MODELAGEM DE UM PROBLEMA DE AJUSTE DE FLUXO DE CAIXA E SEQUENCIAMENTO DE PROJETOS COM RECURSOS LIMITADOS PARA MAXIMIZAR O VALOR PRESENTE LÍQUIDO MATHEUS BORGES PIUZANA BARBOSA Trabalho de Conclusão de Curso apresenado à Universidade Federal de Ouro Preo, como exigência parcial para a obenção do grau de Bacharelado em Engenharia de Produção. Orienador: Prof. Dr. Thiago Auguso de Oliveira Silva JOÃO MONLEVADE Julho, 2016

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5 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramene a Deus pela oporunidade de superar os desafios da vida, e por odas suas benções nos aconecimenos e siuações do dia-a-dia. Agradeço à minha família pelo apoio conínuo e por sempre esar do meu lado, me conforando e dando oda aenção e supore. Agradeço ao professor Thiago Auguso por oda orienação e apoio durane o rabalho, assim como odos os professores e funcionários da universidade que conribuíram para meu desenvolvimeno acadêmico e pessoal. Agradeço a odos meus amigos consruídos na vida acadêmica, que sempre esiveram do meu lado e sempre me deram força suficiene para seguir adiane.

6 RESUMO O presene rabalho visa auxiliar gesores de empresas a buscarem as melhores formas de avaliarem seus empreendimenos. Considerando proeos que possuem em suas eapas de planeameno, a programação ou sequenciameno de aividades, a limiação ou disponibilidade de recursos e a obenção de invesimenos fuuros, é aconselhável que anes de iniciar sua execução, um esudo de viabilidade sea feio. Por isso, aravés de um modelo maemáico, é possível verificar como odos esses faores podem ser realizados de maneira óima, aingindo o maior valor presene líquido possível e viabilizando a realização do proeo. Além disso, o esudo de relaxação de variáveis e resrições é realizado de modo a expliciar as variações que são obidas pelos resulados gerados no modelo. Mesmo em diferenes cenários, é possível enconrar soluções que seam bem semelhanes às siuações práicas do dia-a-dia, agregando maior fone de conhecimeno e embasameno para omada de decisões dos gesores. Palavras-Chave: Sequenciameno de aividades, ause do conrole de fluxo de caixa, limiação de recursos, relaxação linear.

7 ABSTRACT This paper aims o help business managers o seek he bes ways o evaluae heir venures. Proecs in planning sages, which have scheduling aciviies, resricion or availabiliy of resources and achievemen of fuure invesmens is advised o accomplish a viabiliy sudy before saring heir implemenaion. Hence, using a mahemaical model is appropriae o check how all hese facors can be performed opimally, reaching he highes ne presen value and enabling he achievemen of he proec. Furhermore, he relaxaion sudy of variables and consrains is performed in order o explain he obained variaions from he resuls generaed by he model. Even in differen scenarios, i is possible o find soluions ha are very similar o he pracical siuaions, adding more source of knowledge and basis for decision-making by managers. Keywords: Scheduling proec, cash maching problem, resource consrained, linear programming relaxaion.

8 SUMÁRIO AGRADECIMENTOS... 2 RESUMO... 5 ABSTRACT... 6 SUMÁRIO... 7 LISTA DE FIGURAS... 8 LISTA DE TABELAS INTRODUÇÃO Obeivos Obeivo geral Obeivos específicos Jusificaiva METODOLOGIA DE PESQUISA REVISÃO DE LITERATURA Sequenciameno de proeos Fluxo de caixa Inegração do sequenciameno de proeos e do ause de fluxo de caixa Relaxação Linear Relaxação Lagrangeana PROBLEMA PROPOSTO RESULTADOS CONCLUSÃO REFERÊNCIAS... 40

9 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Relação de precedência Figura 2 Diagrama de fluxo de caixa Figura 3 Dados para conuno de aividades Figura 4 Disponibilidade de recursos renovaveis no empo Figura 5 Reorno e preço dos íulos Figura 6 Diagrama de aividades Figura 7 Tempo gaso por aividade... 30

10 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Comparação de modelos Tabela 2 Comparação dos modelos com proposo Tabela 3 Resulados da quanidade de íulos Tabela 4 Resulados dos valores das variáveis Tabela 5 Tamanho das insâncias Tabela 6 Resulados do modelo Tabela 7 Definição dos eses Tabela 8 Resulados dos eses nas insâncias Tabela 9 Gaps de oimalidade Tabela 10 Resulados em relação ao empo gaso Tabela 11 Resulados obidos no Tese

11 9 1 INTRODUÇÃO O grande desafio das empresas é ober vanagem compeiiva no mercado que se siua com o inuio de vencer suas concorrenes e gerar cada vez mais lucros. Para al, é necessário, além de ouros vários faores, a realização de uma boa gesão financeira. Buscando um eficiene conrole financeiro, as empresas necessiam de ferramenas que auxiliem nesse processo, e o conrole do fluxo de caixa é uma opção que em se ornado essencial para o bom gerenciameno financeiro. Devido ao conrole efeivo de odos os ipos de cusos recorrenes na empresa e odas as enradas provenienes do seu negócio, é preciso que exisa clareza nessas informações, uma vez que são viais para a omada de decisões esraégicas. Com o uso do fluxo de caixa, é possível idenificar a necessidade de gerar receias suficienes para cumprir com seus compromissos e obrigações, corar gasos desnecessários ou alos demais, além de prospecar o fuuro da empresa aravés da realização de invesimenos considerando do curo ao longo prazo. Realizar a análise de fluxo de caixa de uma maneira eficiene possibilia às empresas, no cenário aual, buscar variadas formas de invesimenos que irão gerar a formação de uma careira. Aravés da formação dessa careira, a principal esraégia é a de ober um conuno de proeos de invesimeno que erá a maior relação reorno x risco, ou sea, aquelas opções que erão mais reorno financeiro com um risco relaivamene baixo. Aliada a isso, a complexidade em proeos em aumenado cada vez mais, exigindo basane empenho dos gesores para realizar sua enrega da melhor maneira possível. Faores como sequenciameno das eapas do proeo, duração das aividades e a necessidade de alocação de recursos em cada fase demandam aenção dos execuores e precisam ser bem planeadas e execuadas para aingir a saisfação do cliene com a enrega do proeo denro do prazo e com a qualidade oferecida. O presene rabalho em como obeivo responder ao seguine quesionameno: levando em consideração uma deerminada sequência de aividades/proeos bem como suas respecivas limiações de recursos, qual a melhor forma de selecionar íulos de invesimenos para ober a viabilidade financeira dos proeos, aingindo a maximização do valor presene líquido? Dese modo, o rabalho busca demonsrar formas de resolver esse problema usando a oimização aravés de um modelo maemáico.

12 Obeivos Obeivo geral O obeivo geral dese rabalho é analisar as melhores opções de resolução do problema de fluxo de caixa considerando o sequenciameno de aividades e uilização de recursos como faor limiador para obenção do lucro líquido máximo Obeivos específicos Os obeivos específicos são: a) Descrever uma siuação práica na qual ocorre o problema de cash maching e scheduling; b) Comparar dois modelos elaborados por auores diferenes e enconrar suas similaridades e diferenças; c) Criar um modelo maemáico, que represene uma siuação real de forma adequada e que sea capaz de: esabelecer uma ordem cronológica de aividades, assim como sua duração; deerminar a uilização óima de recursos, bem como sua alocação nas aividades; e selecionar os melhores íulos de invesimeno; d) Analisar a dificuldade do problema com base em experimenos aravés de insâncias de diferenes dimensões; e) Esudar a esruura do problema a parir de experimenos usando a relaxação linear Jusificaiva Segundo Luenberger (1998), o obeivo principal da ciência de invesimenos é melhorar o processo de invesimenos, que inclui idenificação, seleção, combinação e gerenciameno conínuo de diferenes proeos para se invesir e consruir uma careira. Para a resolução de um problema em invesimeno usando méodos quaniaivos é necessário, primeiramene, a formulação do problema, sendo que a oimização é mais usada para enar enconrar a careira de invesimenos ideal e selecionar a melhor combinação de invesimenos, gerando os melhores resulados e correndo o menor risco possível. Por isso, o uso de oimização se enquadra perfeiamene na busca pela formação óima de uma careira de invesimenos.

13 11 Além disso, considerando que ese é um assuno de suma imporância e relevância para empresas e organizações, dependendo dos resulados finais, o rabalho pode er a possibilidade de servir como consula e/ou benchmarking para qualquer ineressado no assuno. Pode possibiliar ambém, o aumeno de rabalhos relacionados a esse ópico, viso que exise uma carência em bibliografia, e de acordo com seu sucesso e divulgação, pode conribuir para a realização de ouros rabalhos fuuramene.

14 12 2 METODOLOGIA DE PESQUISA Segundo Berrand e Fransoo (2002), a meodologia que consise a pesquisa dese rabalho é axiomáica, pelo fao de ober soluções para o modelo em quesão e assegurar que ais soluções audem a esclarecer a esruura do problema descrio no modelo. Além disso, especificando a classificação da pesquisa axiomáica, os auores definem a pesquisa axiomáica normaiva desenvolve normas, políicas, esraégias e ações, a fim de melhorar os resulados disponíveis na lieraura, enconrar uma solução óima para um problema novo ou comparar o desempenho de esraégias que raam um mesmo problema, ou sea, essa pesquisa raa-se de modelos que prescrevem uma decisão para o problema e, em geral, são modelos de programação maemáica. Similarmene à definição dos auores, Morabio e Pureza (2012) afirmam que os modelos devem ser descrios em linguagem maemáica e compuacional, uilizando-se de écnicas analíicas, al como a esaísica, e experimenais, como a simulação compuacional, possibiliando a análise de diferenes esados, bem como o resulado esperado para possíveis ações que podem ser omadas sobre o sisema real esudado. Aravés dessas definições, é possível perceber que a meodologia dese rabalho se enquadra nesa caegoria pelo fao de er a proposição de um novo modelo de oimização para o problema idealizado, buscando sua solução óima e comparando resulados em diferenes cenários. Ademais, Berrand e Fransoo (2002) definem quaro eapas de desenvolvimeno para uma pesquisa baseada na modelagem e simulação: Conceiuação, Modelagem, Solução do Modelo e Implemenação. A primeira eapa consise na definição do problema e idenificação de modelos de referência na lieraura que servirão como premissas para enendimeno do problema real. Na eapa de Modelagem, os modelos de referência escolhidos são avaliados e adapados de forma a validar e verificar o modelo proposo ao sisema real. Na erceira fase ocorre a experimenação do modelo, aravés de eses compuacionais dos dados impuados, com possíveis variações em diferenes cenários. A úlima eapa consise na aplicação práica dos resulados obidos na fase anerior, com o inuio de validar a eficácia dos resulados. Ese rabalho conempla as rês primeiras eapas de desenvolvimeno uma vez que não houve a aplicação práica em um sisema real para validação dos dados obidos.

15 13 3 REVISÃO DE LITERATURA Com o obeivo de ober informações necessárias para a realização dese rabalho, buscou-se na lieraura emas e ópicos que irão norear o desenvolvimeno do rabalho e consequenemene conribuir para o melhor enendimeno das análises e dos resulados a serem realizados. 3.1 Sequenciameno de proeos O guia PMBOk desenvolvido por PMI (2013, p.3) define proeo como um esforço emporário empreendido para criar um produo, serviço ou resulado exclusivo, com um início e fim definidos. O érmino de um proeo é alcançado não somene quando os obeivos iniciais são aingidos, mas ambém caso o cliene queira encerrá-lo por necessidade ou por não aingimeno dos obeivos proposos. Podendo ser angível ou inangível, um proeo criará sempre um resulado único, mesmo possibiliando a exisência de elemenos comuns durane as aividades do proeo. Para realizar o gerenciameno de um proeo é necessária a aplicação do conhecimeno, habilidades, ferramenas e écnicas para aender aos seus requisios. Cinco macro grupos de processos podem ser definidos para auxiliar o gerenciameno de proeos: Iniciação, Planeameno, Execução, Moniorameno e Conrole, e Encerrameno (PMI, 2013, p. 5). Segundo Kolish (2013), proeos são divididos em rês eapas: aquisição dos dados, sequenciameno das aividades e realização do planeameno do proeo. A primeira eapa é indispensável para a gesão do proeo, pois reúne as quanidades e ipos de recursos disponíveis, define as aividades e suas durações, as exigências dos recursos, relações de precedência e as especificações do obeivo a ser aingido. O sequenciameno de aividades define a melhor combinação possível para realizar as aividades respeiando sempre as relações de precedência enre elas, assim como suas durações e resrições de recursos. A erceira eapa é execução do plano que foi proposo aneriormene. Sendo assim, um faor imporane a ser considerado na realização de um proeo é o de sequenciar as aividades. Segundo o PMI (2013, p. 153), sequenciar aividades é o processo de idenificação e documenação dos relacionamenos enre as aividades do proeo. O principal benefício dese processo é definir a sequência lógica do rabalho a fim de ober o mais alo nível de eficiência em face de odas as resrições do proeo. Dese modo, com as aividades previamene definidas, é possível elaborar um diagrama de precedência, que idenifica a ordem

16 14 adequada das aividades que devem ser realizadas. Para melhor definição dese méodo, duas écnicas foram desenvolvidas com o obeivo de auxiliar no planeameno, programação e conrole das aividades de modo mais eficiene. PERT (Program Evaluaion and Review Tecnique Técnica de revisão e Avaliação de Programas) e CPM (Criical Pah Mehod Méodo do Caminho Críico) são usadas para gerenciar as informações advindas de empo, cusos e recursos, onde cada aividade (exceo o início e fim) é conecada pelo menos a um predecessor e a um sucessor. A consrução de um diagrama de rede de cronograma do proeo (PERT) uiliza nós, represenados em diagramas como quadrados, círculos ou reângulos para simbolizar as aividades e flechas que são usadas para conecar as aividades de acordo com a relação lógica que exise enre elas. Como mosrado na Figura 1, as aividades são represenadas pelas leras denro dos reângulos e as relações lógicas enre elas são deerminadas pelo senido das seas que ligam as aividades. Figura 1 Relação de precedência Fone: PMI (2013, P. 6) Desenhada a rede PERT do proeo, é necessário calcular as daas de ocorrência dos evenos finais e iniciais, e a parir delas, idenificar as aividades consideradas críicas e não críicas. As aividades críicas são aividades que não possuem folga de empo, e caso haa araso em sua realização, o proeo odo ambém irá sofrer araso. Por ouro lado, as aividades não críicas possuem folga de empo, e são admissíveis ceros de inervalos de araso sem que o proeo ineiro arase (ANDRADE, 2004, p.150). Assim, para cada aividade da rede PERT, define-se duas daas disinas para a ocorrência do seu início: daa mais cedo possível para iniciar a aividade e a daa mais arde

17 15 possível considerando que não haa arasos fuuros. Assim como aconece para iniciar a aividade, ambém se considera duas daas para finalizar uma aividade, sendo elas a daa mais cedo para finalizar caso haa possiblidade de anecipação da execução da aividade e a daa mais arde de érmino. Além disso, exisem ainda os cusos que envolvem as aividades do proeo. É de suma imporância no processo de planeameno e programação de proeos, que o gerene do proeo se preocupe com o orçameno dos cusos do proeo como um odo, cusos individuais de cada aividade, bem como as necessidades de alocação de recursos. Com odas essas eapas realizadas, orna-se mais fácil a avaliação para o uso de recursos, como o cálculo das necessidades de recursos em cada inervalo de empo, confrono das necessidades com a disponibilidade de recursos por inervalo de empo e nivelameno dos recursos para eviar alos índices de uilização e não ulrapassar a disponibilidade máxima (ANDRADE, 2004, p. 160). Arigues e al. (2008) definem um problema de sequenciameno de proeo com resrição de recurso como o conuno de recursos com capacidade limiada, aividades com duração conhecida e quanidade exigida de recursos, conecados com relações de precedências. Em suma, o problema consise em enconrar uma sequência gasando a menor duração possível e respeiando a relação de precedência e disponibilidade de recursos. 3.2 Fluxo de caixa Giman (1997, p.79) considera o fluxo de caixa como uma preocupação básica para qualquer empresa, uma vez que é de grande relevância na gesão das finanças do dia-a-dia, no planeameno e na omada de decisões esraégicas volada para a criação de valor para o acionisa. Assim, pode-se definir como faores mais imporanes, a depreciação, os fluxos de caixa operacional e livre. Pare do cuso de aquisição de aivos permanenes da empresa é chamado depreciação, iso é, um aivo é depreciado durane cero prazo e ese valor é considerado seu valor de depreciação. Os fluxos de caixa operacionais são aqueles que uma organização é capaz de gerar produção e venda de bens ou serviços em suas aividades operacionais regulares, enquano os fluxos de caixa livre represenam o volume de fluxo de caixa disponível para os invesidores (GITMAN, 1997). Exise ainda a diferença do valor do dinheiro no empo, pois devido a exisência de uros, o valor do dinheiro no presene vale mais ou menos que o valor do dinheiro de amanhã, aravés da ocorrência de uros a serem crediados ou debiados. Assim, pode-se uilizar uma

18 16 linha de empo para represenar os fluxos de caixa de um invesimeno aravés de uma linha horizonal, simbolizando o zero na exremidade esquerda, e os períodos fuuros crescenes simbolizados por marcos da esquerda para direia. Dese modo, uma linha abrangendo cinco períodos é represenado pela Figura 2. No fim do primeiro período exise uma sea aponando para baixo que significa um valor de saída de caixa, negaivo, enquano as seas na direção para cima represenam enrada no caixa, valores posiivos no fim de cada período seguine. Figura 2 Diagrama de fluxo de caixa Fone: Elaborado pelo auor Além das seas represenadas pelo fluxo de caixa posiivo e negaivo, como explicado aneriormene, o dinheiro possui valor diferenciado com o passar do empo, os períodos devem ser medidos na mesma daa para base de comparação. A écnica do valor fuuro emprega o processo de composição para deerminar o valor fuuro de cada fluxo de caixa no final do prazo do invesimeno e, em seguida, adiciona esses valores para deerminar o valor fuuro do invesimeno (GITMAN, 1997, p.130). Segundo Luenberger (1998), um invesimeno é definido de acordo com o resulado de uma sequência de fluxo de caixa, ou sea, a quanidade de dinheiro que é gasa e recebida por um invesidor durane cero período de empo, geralmene com durações previamene á definidas, como no final de cada rimesre ou no final de cada ano. O problema de ause de fluxo de caixa (cash maching problem) é definido pelo auor como o enconro de uma série de obrigações a serem pagas em um fuuro conhecido e um invesimeno a ser realizado, ou sea, desea-se invesir agora para que os pagamenos fuuros coincidam com o reorno do invesimeno realizado. Realizando a formulação desse problema, emos conunos, variáveis, parâmeros, função obeivo e resrições definidas como:

19 17 Conunos: J : Conuno de íulos disponíveis indexadas em I : Conuno de períodos indexados em i Parâmeros: p : Preço dos íulos disponíveis para invesimeno c : Reorno dos invesimenos no período i i y : Valor das obrigações que deverão ser cumpridas no período i i Variáveis: x : Quanidade de íulos adquiridos Modelo: Minimizar m 1 p x (1) Sueio à: m ci x 1 y i i I (2) x 0 J (3) A função obeivo desea minimizar o cuso oal da careira, de modo que sea possível pagar as fuuras obrigações. A resrição (2) garane que o pagameno vai ser realizado no período i uma vez que o monane invesido (cix) é maior ou igual que a obrigação a ser paga. A resrição (3) fornece o domínio das variáveis.

20 Inegração do sequenciameno de proeos e do ause de fluxo de caixa De acordo com Liu e Wang (2008), problemas de sequenciameno de proeos com limiação de recursos são comumene enconrados no mercado de consrução civil. Embora muias écnicas á exisam para a resolução de fluxo de caixa envolvendo o sequenciameno de proeos, a quesão de uilização de recursos não é amplamene discuida e ainda falam esudos para solucionar esse problema. Sendo assim, os auores propõem um modelo maemáico que visa maximizar o lucro líquido de um proeo de consrução levando em cona a resrição de recursos a serem uilizados. A formulação do modelo pode ser observada abaixo: Conunos: A : Conuno de pares de aividades com relação de precedência D : Conuno das possíveis durações das aividades i i SE : Conuno de aividades em processo no dia k k R : Conuno de recursos ipo r n : Conuno do número oal de combinações de recursos T : Duração do proeo Parâmeros: S i : Daa de início da aividade i d : Duração da aividade i i R : Toal de recursos diários r para execuar a aividade i d i RL r : Quanidade disponível do recurso r por dia Pa : Pagameno diário da aividade i i m : Número de dias por período C : Cuso diário da aividade i usando o recurso r d i r E : Despesas oais no período O : Despesas operacionais no período I : Encargos de uros ao fim do período W : Taxa de uros CL : Limie de crédio L : Úlimo período do proeo Variáveis: r : Combinação de recursos usados para realizar aividade i PA k : Pagameno oal do dia k P : Pagameno oal ao final do período DC : Cuso direo oal no dia k k

21 19 N : Fluxo de caixa líquido ao fim do período F : Fluxo de caixa acumulado ao fim do período Modelo: Maximizar x N L (4) Sueio à: S SE k i1 S i d Rd i RL SE k PA k PA i i1 m P PA k k1 i r SE k ir i1 m DC k C d E DC k1 k O I ( i, ) A; d i D i (5) i SE k (6) i SE ; k k (7) (8) i SE k (9) m R 1 ; k (11) I ( R N 1) DCk O 2 k1 F N1 E (12) N 1 F 1 P 1 (13) F CL (14) (10) A equação (4) represena a função obeivo do problema, que é a maximização do fluxo de caixa líquido no úlimo período do proeo. A resrição (5) obedece a relação de precedência, ou sea, garane que odas as aividades devem ser realizadas após concluir as aividades i, sem ulrapassar a duração de cada aividade i. A resrição (6) garane que os recursos alocados por dia para realização das aividades com duração di não ulrapassem a quanidade de recursos disponíveis r durane odo o proeo. A equação (7) mosra o oal diário do fluxo de caixa que enra no dia k. A equação (8) calcula o oal do fluxo de caixa aé o final do período (que em m dias). A resrição (9) represena o cuso direo oal no dia k, que é a soma dos cusos individuais das aividades i combinadas com os recursos. A resrição (10) represena odas as despesas gerais, que é a soma dos cusos direos dos dias k, despesas operacionais e encargos de uros. (11) mosra como os encargos de uros são calculados, aravés da soma do fluxo de caixa do período anerior muliplicado pela axa de uros e a soma dos cusos direos diários e

22 20 despesas operacionais muliplicados por meade da axa de uros. Resrição (12) mosra que a soma do fluxo de caixa anerior e das despesas oais é o fluxo de caixa acumulado. A resrição (13) represena o fluxo de caixa líquido do período anerior, que é a soma do fluxo de caixa anerior e o pagameno oal anerior. E a resrição (14) impede que o fluxo de caixa acumulado ulrapasse o limie de crédio definido no proeo. De maneira análoga, a auora Pereira (2014) formula em seu rabalho de conclusão de curso, um modelo que se assemelha com os obeivos proposos pelo modelo de Liu e Wang (2008). Conunos: R : Conuno de recursos renováveis indexados em r J : Conuno de aividades indexados em N : Conuno de recursos não renováveis indexados em n T : Conuno de períodos (horizone de planeameno) indexados em M : Conuno de íulos indexados em m V : Conuno de odos anecessores imediaos das aividades Parâmeros: ES : Daa mais cedo de início da aividade LF : Daa mais arde da aividade d : Tempo necessário para realizar a aividade v k : Toal de recursos não renováveis n necessário para execuar a aividade n p k : Quanidade necessário do recurso renovável r para realizar a aividade,por r unidade de empo k : Disponibilidade de recurso renovável r no empo p r v k n : Cuso da obenção do recurso não renovável n no empo FD : 1 1 i (Faor de descono no empo ) V : Valor recebido ao final do proeo i : Taxa de uros AF : Úlima aividade a ser realizada p : Preço dos íulos m disponíveis m c : Reorno dos íulos m no período m Variáveis: S : Variável que indica a sobra de recursos não renováveis no empo x : Variável que indica o érmino da aividade no empo y m : Variável que indica a quanidade de íulos a ser realizado na careira

23 21 Modelo: MaximizarVPL T VFD x AF M m1 p m y m LF ES d J S FD (15) Sueio à: LF ES d LF ` x x 1 LF ( d ) x ` ES`d ` ES d J d 1 r p p k r x kr q S k v n M cm ym m1 J k k v n LF v n x ES d J (16) V ` ; J (17) ; (18) n; (19) n; (20) x 0,1 ; (21) S 0 (22) y 0 m (23) m A equação (15) mosra a função obeivo do problema, que é a maximização do VPL (Valor Presene Líquido), cua definição do VPL é o ganho proeado somado ao valor de esoque menos o cuso de invesimeno. Sendo assim, fornece o lucro real do proeo. A resrição (16) garane que odas as aividades devem ser realizadas. A resrição (17) garane que as precedências das aividades seam cumpridas, ou sea, só se pode iniciar a aividade se o inervalo de empo enre o início da aividade e empo de érmino da predecessora for maior que zero. A resrição (18) garane que não sea ulrapassada a quanidade de recursos renováveis que esão disponíveis em deerminado empo. Já a resrição (19) fornece a sobra de recursos não renováveis que não foram uilizados para realizar a arefa no empo, nese caso esse recurso é financeiro. Na resrição (20), emos a garania que a quanidade de invesimeno a ser capado sea maior que a quanidade necessária para realizar o proeo. Já as úlimas resrições (21), (22) e (23) limiam o domínio das variáveis em análise. Para comparação enre os dois modelos, considera-se as semelhanças e diferenças na função obeivo, nas resrições e parâmeros. Ambos modelos são caracerizados pelo mesmo obeivo de maximizar o valor presene líquido. Em relação as resrições, é possível realizar a

24 22 comparação aravés do modo como as variáveis são usadas no modelo. No modelo de Liu e Wang (2008), exise um limie de crédio máximo definido para impedir que o fluxo de caixa ulrapasse deerminado valor, enquano a resrição que é definida no segundo modelo garane que a quanidade de recursos gerada pelo invesimeno realizado sea suficiene para realizar o proeo, ou sea, há uma diferença básica e essencial na origem da capação de recursos. Enquano os recursos do modelo de Liu e Wang (2008) provém da compleude de aividades, o modelo de Pereira (2014) é obido aravés do reorno dos invesimenos. Além disso, diferenemene do modelo de Pereira (2014), o primeiro modelo define uma quanidade maior de parâmeros relacionados ao fluxo de caixa, como monanes que deerminam um fluxo de caixa posiivo (represenado pelo recebimeno de capial do proeo) e parâmeros que decrescem o fluxo de caixa, como cusos direos, cusos de aividades, despesas oais e operacionais e encargos de uros. Por ouro lado, no segundo modelo pode-se perceber a uilização de uma variável que indica a sobra de recursos uilizados no modelo, que ambém faz pare da função obeivo como capial que conribui para aumenar o valor presene líquido. No modelo de Liu e Wang (2008), o fluxo de caixa é considerado cumulaivo (assumindo a possibilidade de er valores negaivos) durane odos os períodos de empo de execução, enquano Pereira (2014) define que invesimenos podem ser resgaados ao longo do empo. A Tabela 1 resume as informações comparaivas de ambos modelos. 3.4 Relaxação Linear Segundo Wolsey (1998), a definição de relaxação de programação linear para um modelo consise em relaxar as condições de inegralidade das variáveis de decisão. A solução enconrada para o problema de programação ineira pode ser viável, porém não necessariamene é óima. Dese modo, modelos que obeivam alcançar a maximização erão valores para função obeivo maiores, ou pelo menos iguais, aos valores do modelo original ineiro. Conrariamene, os modelos de minimização oberão resulados para função obeivo menores, ou pelo menos iguais, aos valores do modelo ineiro. Na maioria dos casos, a relaxação irá prover maiores valores para os limies de solução se compararmos à solução do modelo de programação ineiro.

25 23 Função Obeivo Aividades Tabela 1 Comparação de modelos Modelo Liu e Wang (2008) Modelo Pereira (2014) Maximizar o VPL subraindo o preço pago pelas opções de Maximizar o VPL. invesimenos e somando a sobra de recursos (valor de esoque). Considera duração de aividades e relação de precedência enre elas. Considera número de aividades, exige que odas aividades seam realizadas e obedeçam a relação de precedência. Recursos Origem de recursos provenienes de pagameno por aividades compleas. Esabelece dois ipos de recursos: renováveis e não renováveis. Origem dos não renováveis provém do reorno dos invesimenos Resrições Fluxo de caixa Considera monanes que enram e saem no fluxo de caixa, como o recebimeno de pagameno das aividades e cusos direos, despesas gerais. Considera invesimeno em íulos, a quanidade e o preço a ser pago por eles. Deve ser maior que o cuso de execução do proeo. Tempo Recursos não necessariamene obedecem a relação por dia Traameno do empo em dias Monane máximo Auor define limie de crédio máximo para que não sea ulrapassado. Considera que o reorno dos invesimenos deve ser capaz de pagar o proeo. Decisão Fluxo de caixa acumulado Valor presene líquido Fluxo de caixa Fluxo de caixa pode ser negaivo Fone: Elaborado pelo auor Invesimenos podem ser resgaados em deerminado prazo 3.5 Relaxação Lagrangeana De acordo com Fisher (1981), a écnica denominada relaxação lagrangeana consise em remover algumas das resrições da formulação original de um problema de oimização, com a inrodução das mesmas na função obeivo, de modo que possa penalizar a função obeivo quando as resrições removidas forem violadas. Assim, na função obeivo é definido um novo coeficiene chamado muliplicador lagrangeano que em como obeivo, conrolar o peso dessas penalidades.

26 24 4 PROBLEMA PROPOSTO O rabalho prossegue com a elaboração de um novo modelo incorporando e aperfeiçoando os modelos proposos pelos dois auores mencionados na revisão bibliográfica. Sendo assim, opou-se por usar as melhores caracerísicas de cada modelo para criar um novo que fosse mais compleo, conemplando os seguines ponos: Compleude de aividades. Um conuno de aividades remuneradas foi criado para que ao fim da aividade, a mesma possa oferecer reorno quando é finalizada; Implemeno de possibilidade de emprésimo. Caso o modelo necessie, é possível adquirir valores financeiros que auxiliem a viabilidade do proeo. Consequenemene, adquirindo qualquer valor de emprésimo, uma dívida é criada e a mesma pode ser amorizada nos períodos seguines; Diferenciação das axas de uros. Assim como os uros de emprésimo da dívida incorrem no horizone do empo, foi criada oura axa de uros para render posiivamene o valor financeiro disponível; A função obeivo considera o valor da sobra de recursos do úlimo período razido para o presene, ou sea, durane a execução do proeo a sobra é cumulaiva e aualizada para cada período de empo. Assim, similarmene ao que foi feio no capíulo de revisão de lieraura, denre as caracerísicas de ambos modelos da revisão e as caracerísicas do modelo proposo pelo auor, a Tabela 2 mosra o comparaivo enre a função obeivo, as principais resrições que delimiam o problema. Os conunos, parâmeros, variáveis, resrições e obeivos podem ser visos a seguir: Conunos: J : Conuno de aividades R : Conuno de recursos renováveis T : Conuno de períodos M : Conuno de íulos J : Conuno de odos anecessores das aividades a J : Conuno de odas aividades remuneradas b

27 25 Função Obeivo Resrições Aividades Recursos Fluxo de caixa Tempo Monane máximo Tabela 2 Comparação dos modelos com proposo Modelo Liu e Wang (2008) Modelo Pereira (2014) Modelo Proposo Maximizar o VPL subraindo o cuso de Maximizar o VPL Maximizar o VPL. invesimenos e somando desconando o cuso de a sobra de recursos (valor invesimenos. de esoque). Considera duração de aividades e relação de precedência enre elas. Origem de recursos provenienes de pagameno por aividades compleas. Considera monanes que enram e saem no fluxo de caixa, como o recebimeno de pagameno das aividades e cusos direos, despesas gerais. Recursos não necessariamene obedecem a relação por dia Auor define limie de crédio máximo para que não sea ulrapassado. Considera número de aividades, exige que odas aividades seam realizadas e obedeçam a relação de precedência. Esabelece dois ipos de recursos: renováveis e não renováveis. Origem dos não renováveis provém do reorno dos invesimenos Considera invesimeno em íulos, a quanidade e o preço a ser pago por eles. Deve ser maior que o cuso de execução do proeo. Traameno do empo em dias Considera que o reorno dos invesimenos deve ser capaz de pagar o proeo. Considera relação de precedência enre as aividades. Origem de recursos provém de reorno de aividades e de invesimenos, além de emprésimos. Considera a sobra aualizada em cada período, conabilizando reorno de aividades e invesimenos, dívida, emprésimo, recursos uilizados e disponíveis. Tempo é raado em períodos. Exise um limie de crédio de emprésimo máximo a ser adquirido. Decisão Fluxo de caixa acumulado. Valor presene líquido. Fluxo de caixa acumulado. Fluxo de caixa Parâmeros: Fluxo de caixa pode ser negaivo. Invesimenos podem ser resgaados em deerminado prazo. Fone: Elaborado pelo auor ES : Daa mais cedo de início da aividade LF : Daa mais arde de fim da aividade d : Tempo necessário para realizar a aividade Fluxo de caixa pode assumir valores negaivos. f k : Monane de recurso financeiro necessário para execuar a aividade p k r : Quanidade necessário do recurso renovável r para realizar a aividade

28 26 p k r : Disponibilidade de recurso renovável r no empo V : Reorno da aividade FD : 1 1 i (Faor de descono no empo ) i : Taxa de uros de emprésimo e i : Cuso do capial a p : Preço dos íulos m m c : Reorno dos íulos m no período m : Úlimo período max I : Invesimeno inicial 0 E : Limie de crédio para emprésimos max Variáveis: S : Variável que indica a sobra de recursos não renováveis no empo x : Variável binária que indica o érmino da aividade no empo y m : Variável ineira que indica a quanidade de íulos a ser adquirida E : Variável que indica a quanidade de emprésimos no empo A : Variável que indica a quanidade financeira amorizada no empo D : Variável que indica a dívida no empo K : Variável que indica o monane no empo Modelo: MaximizarVPL S max FD max M m1 p m y m (24) Sueio à: LF x ES d 1 LF ` x 1 1 LF ( d 1) x ` ES `d `1 ES d 1 J d 1 r R T p p k r x q kr q J d 1 J b T : 1 f S E K k x q V x q J (25) ` J a ; J (26) ; (27) (28)

29 27 S M m M m T S c p m m E y y 1 1 m m d 1 J J b f ia E K A k x q K I 0 E max ie A E i q V x T : 1 (29) T (30) D D 1 1 T : 1 (33) A D 1 1 e T : 1 (34) D1 E 1 T : 1 (35) D max 0 T (36) x 0,1 J; { ES[ ], LF[ ]} (37) S 0 T (38) y m N m M (39) E 0 T (40) A 0 T : 1 (41) D 0 T (42) K 0 T (43) (31) (32) A função obeivo do modelo é descria na equação (24), que é a maximização do valor presene líquido definido como a sobra de recursos do úlimo período razido para o presene menos o cuso de invesimeno em íulos disponíveis no mercado. A resrição (25) garane que odas as aividades do conuno J seam realizadas durane o período de empo definido. A resrição (26) cumpre a regra de precedência, ou sea, as aividades sucessoras só serão realizadas a parir do período em que as aividades predecessoras erminarem. A resrição (27) garane que a quanidade de recursos disponíveis em cada período de empo não sea ulrapassada pela quanidade necessária de recursos para realizar cada aividade. A resrição (28) calcula a sobra específica para o primeiro período, que é definida pela soma das quanidades de emprésimo, monane e reorno das aividades remuneradas subraída pela quanidade de recursos financeiros uilizados no primeiro período. Similarmene, a resrição (29) calcula a sobra para os demais períodos de empo, adicionando ao cálculo, a sobra do período anerior muliplicada pelos uros correnes de reorno e subraída pela quanidade financeira que foi amorizada. A resrição (30) garane que a quanidade dos invesimenos em íulos sea igual ao monane financeiro necessário. A resrição (31) esabelece que a compra dos íulos de invesimeno não ulrapasse o limie inicial I0. A resrição (32) garane que a soma

30 28 do valor dos emprésimos adquiridos durane os períodos de empo não ulrapasse o limie oal de crédio do emprésimo. A resrição (33) calcula o valor da dívida a parir do primeiro período. A resrição (34) garane que a quiação da dívida não sea um valor maior que a própria dívida. A resrição (35) esabelece que o valor da dívida no primeiro período sea igual ao valor do emprésimo adquirido no mesmo período. A resrição (36) garane que o proeo ermine com a dívida zerada. As resrições (37), (38), (39), (40), (41), (42) e (43) limiam o domínio das variáveis em análise. Com o inuio de exemplificar a funcionalidade do modelo foi criado um conuno de aividades ficícias que demonsrassem como o modelo compora e como calcula os valores das variáveis e da função obeivo. Os valores dealhados na Figura 3 são os dados relacionados aos parâmeros para as aividades. Nese caso, observa-se a relação de aividades predecessoras, a duração de cada aividade, a quanidade de recurso financeiro necessária para realizar cada aividade, a quanidade de cada ipo de recurso renovável (1 e 2) necessária e o reorno que cada aividade possui ao ser finalizada. Figura 3 Dados para conuno de aividades Fone: Elaborado pelo auor Além disso, a Figura 4 mosra a disponibilidade de recursos renováveis em função do empo, ou sea, apresena a quanidade disponível dos dois recursos renováveis (1 e 2) durane os 10 períodos de empo. Figura 4 Disponibilidade de recursos renovaveis no empo Fone: Elaborado pelo auor Em relação aos íulos, a Figura 5 represena o reorno que é gerado em cada um dos 10 períodos de empo por cada íulo de invesimeno (1, 2 e 3), além do preço que deve ser pago ao adquirir cada unidade dos íulos disponíveis.

31 29 Figura 5 Reorno e preço dos íulos Fone: Elaborado pelo auor Por fim, os valores dos dados para o resane dos parâmeros do modelo apresenado foram definidos pelo auor no exemplo como: Invesimeno inicial, = 60 Limie de crédio para emprésimos, = 100 Taxa de uros de emprésimo, = 2% Cuso do capial, = 1% Após isso, obém-se aravés da relação de precedência enre as aividades, uma sequência de aividades que deve ser respeiada, ou sea, só é possível realizar a aividade seguine caso a anecessora enha sido finalizada. O esboço represenado pela Figura 6 raa da relação enre as aividades. i a I 0 i e E max Figura 6 Diagrama de aividades Fone: Elaborado pelo auor

32 30 Dese modo, execuando o modelo é possível saber quando as aividades erão seu início e fim, de acordo com a duração de cada aividade. Os resulados gerados no modelo são apresenados na Figura 7. Tempo Aividades A B C D E Figura 7 Tempo gaso por aividade Fone: Elaborado pelo auor Porano, o modelo decide em qual período deve começar cada aividade para que o problema obenha uma solução óima. Os resulados do modelo definem ambém a quanidade y de íulos a ser adquirida como mosra a Tabela 3. O modelo ao realizar a oimização escolhe uma unidade do íulo 2 a ser comprado pelo preço esabelecido de 51. Tabela 3 Resulados da quanidade de íulos Tíulos y Fone: Elaborado pelo auor Além disso, calcula em odos os períodos de empo, a sobra de recursos, os valores de emprésimo, amorização, dívida correne e o valor da variável K como pode ser visualizado na Tabela 4. Tabela 4 Resulados dos valores das variáveis Tempo Sobra E A D K Fone: Elaborado pelo auor

33 31 Assim, pode-se concluir que o resulado da função obeivo gerado pelo modelo (VPL = ), pode ser enconrado facilmene realizando o seguine cálculo: VPL S max FD max M m1 p m y m

34 32 5 RESULTADOS Para coninuar o desenvolvimeno dese rabalho, propôs-se a execução do modelo apresenado em 4 diferenes insâncias, endo como variações mais significaivas o aumeno do amanho nos dados do problema. Sendo assim, a primeira insância foi definida como de menor amanho, enquano a quara insância obeve os maiores valores nos dados fornecidos para realizar a oimização do modelo. O inuio da diferença dos amanhos é para ober maior cuso compuacional para a solução do problema, buscando a maior semelhança com a diversidade dos problemas práicos que ocorrem em siuações na vida real. Os dados gerados em odas as insâncias foram criados de forma compleamene aleaória pelo auor, omando o devido cuidado para que alguns valores essenciais para execução do modelo se enquadrassem denro dos limies das resrições definidas, ocasionando sempre a viabilidade da solução para o problema. A Tabela 5 resume as diferenças de amanho em odas as insâncias. Tabela 5 Tamanho das insâncias Períodos Aividades Recursos Tíulos Insância Insância Insância Insância Fone: Elaborado pelo auor Sendo assim, o auor propôs somene alerações nos amanhos dos conunos de índices indicados acima. Ao realizar o aumeno do amanho nas insâncias, os parâmeros não iveram seus valores modificados, apenas adicionados à medida que a insância aumenava. De acordo com o guia proposo por Fourer, Gay e Kernighan (2002), o modelo foi escrio em AMPL (A Mahemaical Programming Language) seguindo os passos para consrução de um modelo maemáico de oimização. Além disso, IBM (2014) define que o sofware de oimização CPLEX resolve o problema proposo aravés do méodo de branch and bound com pré-processameno e cores de Gomory. Para a realização dese rabalho, o sofware escolhido foi o CPLEX na versão , que basicamene faz a leiura dos dados, realiza ierações aé enconrar a solução óima e, em

35 33 seguida, apresena os resulados em um documeno do bloco de noas. Os eses foram realizados em um compuador com processador Inel(R) Core(TM) i qm com velocidade CPU 2.40GHz, memória de 7.89 GB de RAM e 750 GB de HD com sisema operacional Windows 10 Home versão Com odos os valores dos dados fornecidos, o modelo foi execuado para cada insância e apresenou os resulados da função obeivo, assim como o empo gaso para resolver cada problema. Os valores da função obeivo são apresenados na coluna VPL e o empo é dado em segundos, como segue na Tabela 6. Tabela 6 Resulados do modelo Insância 1 Insância 2 Insância 3 Insância 4 VPL Tempo (seg) Fone: Elaborado pelo auor Como pode ser observado acima, coincidenemene, os valores da função obeivo aumenam de acordo com o amanho dos dados do modelo. Afirma-se ser coincidência, pois não há relação de clara dependência enre o aumeno do amanho nos dados e o resulado da solução óima. Uma explicação plausível para al fao seria que, além de exisir um conuno com maior número de aividades remuneradas, o modelo possui mais opções de escolha de valores para as variáveis, realizando maior número de ierações para enconrar a solução óima. Porém, diferenemene do resulado da função obeivo, é esperado que o empo gaso para oimizar o problema sea crescene à medida que se aumena a dimensão dos dados, e por isso, o empo para execuar a insância 4 ende a ser muio maior que as resanes uma vez que possui os maiores valores. Após a obenção dos valores de cada insância, foram realizadas uma baeria de 5 eses. No primeiro ese, opou-se por realizar a relaxação linear das variáveis x e y do problema. No segundo ese, somene a variável x foi relaxada e no erceiro, o mesmo ocorreu para a variável y. O ese 4 foi realizado com as variáveis x e y ineiras, como proposo pelo modelo inicial, com a reirada da resrição 3 (resrição da disponibilidade de recursos) no modelo. O úlimo ese refere-se à criação de um novo conuno de dados escolhidos pelo auor para resolução do

36 34 problema e será raado separadamene dos demais eses. A Tabela 7 resume as definições dos eses realizados. Tabela 7 Definição dos eses Definição Tese 1 Tese 2 Tese 3 Tese 4 Variáveis X e Y relaxadas Variável X relaxada Variável Y relaxada Resrição 3 ausene Fone: Elaborado pelo auor A parir disso, com a execução dos eses, os resulados da função obeivo e o empo gaso foram obidos para cada insância. Os valores para a função obeivo (Valor Presene Líquido) podem ser visualizados na Tabela 8. Tabela 8 Resulados dos eses nas insâncias Valor Presene Líquido Original Tese 1 Tese 2 Tese 3 Tese 4 Insância Insância Insância Insância Fone: Elaborado pelo auor Analisando os resulados gerados, assim como era esperado, odos os valores dos eses foram maximizados se comparados com o modelo original. Uma vez que ocorre a relaxação das variáveis ou diminuição nas resrições, o modelo enconrará uma solução melhor. Diferenemene do que o modelo propõe, isso pode ser explicado pelo fao de as variáveis assumirem valores que não seam ineiros, o que facilia a busca por uma solução vizinha, obendo limies maiores para enconrar a solução óima. Problemas com variáveis de resrição ineira são geralmene muio mais difíceis de serem resolvidos, pois produzem soluções viáveis que nem sempre são óimas, e que, conrariamene aos problemas relaxados linearmene, não são resolvidos em empo polinomial.

37 35 Ademais, pode-se perceber que exise um padrão para os valores enconrados, com o ese 1 apresenando os maiores valores para o Valor Presene Líquido, ligeiramene maiores que os enconrados no ese 3. Os eses 2 e 4 alernam enre os maiores valores para cada insância. No enano, para melhor analisar os resulados enconrados em cada ese nas diferenes insâncias, o auor apresena na Tabela 9, os valores para os gaps de oimalidade para o problema, ou sea, a diferença relaiva de valores obidos pelos eses se comparados com os valores do problema original. Significa dizer o quão longe os resulados esão do valor da solução óima, sendo que quano menor o valor do gap, melhor será a proximidade dos resulados dos eses com o modelo original. Tabela 9 Gaps de oimalidade GAP de Oimalidade Tese 1 Tese 2 Tese 3 Tese 4 Insância Insância Insância Insância Fone: Elaborado pelo auor Nese caso, é percepível que o ese 2 possui em rês insâncias (1, 2 e 3), os menores valores para os gaps, sendo possível afirmar que é o ese que mais se aproxima da solução óima para o modelo. Em segundo lugar esá o ese 4, que apresena valores bem aproximados ao ese 2, porém com gaps ainda maiores, exceo na insância 4, quando possui o menor valor de gap de oimalidade. O ese 3 ocupa o erceiro lugar, seguido do ese 1, que em os maiores gaps e mais disanes valores em relação a solução óima do problema. Em relação ao empo gaso execuando os eses, a Tabela 10 apresena os valores enconrados. Assim como aconece com os valores de VPL, os empos enconrados são quase sempre menores que o do modelo original, pois os eses sempre raam da relaxação linear para o problema.

38 36 Tabela 10 Resulados em relação ao empo gaso Tempo Gaso (seg) Original Tese 1 Tese 2 Tese 3 Tese 4 Insância Insância Insância Insância Fone: Elaborado pelo auor Visualizando a abela, não é possível esabelecer um padrão comum de comporameno, pois as insâncias reagiram diferene em relação ao empo que foi gaso nos eses. Mas, um fao a ser ressalado é que o ese 3 é o que mais se assemelha em comparação com o modelo proposo. Dese modo, percebe-se que com a relaxação linear do problema, o ese 1 é resolvido em um empo basane curo e é o que adquire maior valor na função obeivo e com maior valor de gap de oimalidade, ou sea, é o ese que mais se difere do modelo original. Isso pode ser explicado pelo fao de as duas variáveis assumirem concomianemene valores que não seam ineiros, e, porano, a função obeivo possui o maior valor possível. A parir do momeno que as variáveis são relaxadas de forma separada, consegue-se perceber o quano a variável relaxada influencia na solução óima do problema. Os resulados do ese 2 se assemelham aos resulados do modelo original, e por isso possui o menor valor para o gap de oimalidade. Nese caso, somene com a variável x relaxada, o modelo ainda é capaz de buscar soluções óimas com grande limiação, iso é, a variável x assumindo valores que não seam ineiros, ainda não é capaz de maximizar o VPL em grandes proporções. Esa explicação serve ambém para o ese 4, que apesar de reirar a resrição de recursos para o problema, não consegue enconrar valores que maximizem consideravelmene a solução. Ao reirar a resrição 3, dificula a obenção da solução, uma vez que fornece um limie basane esreio em relação a necessidade e disponibilidade de recursos do problema. A sugesão nesse caso, seria o uso de heurísicas baseada em relaxação lagrangeana, que como foi viso na revisão de lieraura, consise em remover algumas das resrições implemenadas no modelo original, penalizando a função obeivo aravés da ocorrência de violação na resrição reirada. No enano, assim como o ese 1, o ese 3 é capaz de ober alos valores para a função obeivo ao se definir qualquer valor não ineiro para a variável y. Mesmo gasando empos