UM MODELO DE PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO TIPO LQG COM RESTRIÇÕES PROBABILÍSTICAS

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1 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiene e Desenvolvimeno a 5/9/6 Goiânia, GO UM MODELO DE PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO TIPO LQG COM RESTRIÇÕES PROBABILÍSTICAS Oscar Salviano Silva Filho CenPRA Cenro de Pesquisas Renao Archer Rod. Dom Pedro I, Km 43,6 (SP-65) Campinas São Paulo Brasil oscar.salviano@cenpra.gov.br RESUMO Nese rabalho formula-se um problema de planejameno agregado da produção aravés de um modelo Linear Quadráico Gaussiana (LQG), a empo conínuo, com resrições probabilísicas nas variáveis de esoque e produção. Ese problema esocásico é ransformado em um equivalene deerminísico e sua solução é obida via Princípio do Mínimo de Ponryagin. Desa solução resula uma regra de decisão linear que permie ajusar a políica de produção, sempre que houver oscilações nos níveis de demanda. As rajeórias óimas de esoque e produção, geradas a parir desa regra de decisão, são ilusradas por meio de um exemplo muio simples. Ainda a íulo de ilusração, apresena-se o diagrama de um simulador, que pode ser empregado na geração de cenários de produção. Palavras-chaves: planejameno da produção, programação maemáica, realimenação, conrole óimo, princípio do mínimo. ABSTRACT In his work here is formulaed an aggregae producion planning problem hrough a Linear Quadraic Gaussian model (LQG), a coninuous ime, wih probabilisic consrains relaed o invenory and producion variables. This sochasic problem is urned ino an equivalen deerminisic and is soluion is obained by Minimum Principle of Ponryagin. From his soluion resuls a linear decision rule ha allows adjusing he producion policies whenever will occur an oscillaion in he levels of demand. The opimal rajecories of invenory and producion produced from his rule of decision are illusraed by a simple example. Sill using he example, i is presened a block diagram of a simulaor ha can be employed in he generaion of sceneries of producion. Keywords: producion planning, mahemaical programming, feedback, opimal conrol, minimum principle. [ 79 ]

2 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiene e Desenvolvimeno a 5/9/6 Goiânia, GO. Inrodução Problemas de planejameno de produção, principalmene aqueles de longo prazo e que esão relacionados ao nível esraégico da hierarquia de decisões gerenciais (Hax and Candea, 984), são caracerizados ano pela inensa relação dinâmica de suas variáveis de esoque, produção e mão de obra, quano pelas incerezas sobre o comporameno fuuro da demanda. Na formulação e solução desses problemas, algumas caracerísicas esruurais, freqüenemene enconradas, são: (i) linearidade do sisema dinâmico (definido por uma equação de balanço de esoque) que orna possível viabilizar uma solução óima usando écnicas da eoria de conrole linear (Bryson and Ho, 975); (ii) funções quadráicas, empregadas para represenar os cusos de produção e de manuenção de esoques de produos. Ese ipo de aproximação empresa ao modelo requines de flexibilidade e simplicidade, como jusificado em Hol e. al. (96). Por exemplo, a função quadráica que represena o cuso de manuenção de esoque permie penalizar ano o excesso quano a fala dese esoque (Hax and Candea, 984); e (iii) resrições físicas, envolvendo limies mínimos e máximos de capacidade de armazenagem e de processameno do sisema de produção. Tais caracerísicas viabilizam a formulação de diferenes modelos maemáicos para represenar problemas de planejameno da produção. No conexo esraégico da hierarquia de decisões, esas formulações são freqüenemene bem-esruuradas e, porano, passíveis de serem resolvidas por meio de abordagens da programação maemáica e da eoria de conrole (Cheng e al., 4). Em paricular, o objeivo da eoria de conrole é preservar a naureza dinâmica dos modelos formulados, sejam eles descrios a empos conínuos ou a empos discreos. O objeivo geral que permeia as duas abordagens diz respeio à obenção de uma políica óima de produção que, sob condições de incereza, possa minimizar o cuso oal esperado de produção quando sujeio a uma equação linear de balanço de esoques e a resrições probabilísicas nos níveis de esoque e produção. Convém desacar, aqui, que em modelos de planejameno esocásico, resrições probabilísicas são usadas com o propósio de garanir facibilidade à solução. Iso ocorre em função da exisência de riscos de violação dessas resrições em algum dado insane de empo fuuro denro do horizone de planejameno do problema. Esse risco é devido a diferenes faores, como: arasos de fornecedores, greves, quebra de equipamenos e, principalmene, a variações não previsíveis da demanda. Com respeio a ese úlimo faor, é ineressane explicar que a demanda, em horizones de longo prazo (i.e., de um ou mais anos), é um processo esocásico que raz como conseqüências: Variabilidade nos níveis de esoque: a equação de balanço de esoques é uma função linear do esoque em mãos, da axa de produção e do nível de demanda. Assim, a variável de esoque é conaminada pela aleaoriedade da demanda sendo, ambém, uma variável aleaória com disribuição de probabilidade similar à disribuição da demanda. Noe que iso raz, como implicação, que o nível de esoque poderá ornar-se negaivo em ceros insanes de empo do horizone de planejameno. Em ermos práicos, esoque negaivo significa arasos de produção, que ocasiona um baixo nível de serviço ao cliene. Nese caso, o uso de resrições probabilísicas visa reduzir riscos, e assim aumenar o nível de serviço. Variabilidade nos níveis de produção: a dinâmica do sisema de balanço de esoque afea a solução do problema e, porano, esa solução deve ser revisada periodicamene. Assim, soluções esáicas (i.e., que não levam em cona ouras informações disponíveis) são desasrosas. Dese modo, o uso de algum mecanismo de aualização como, por exemplo, um esquema de realimenação linear (Bryson and Ho, 975), é fundamenal para garanir uma políica de produção esável. Nese caso, pode-se dizer que a políica de produção é função dos níveis de esoque observados do sisema. Sendo assim, ela será influenciada pela aleaoriedade da variável de esoque e será, porano, uma variável aleaória. Caso esa relação maemáica seja do ipo [ 8 ]

3 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiene e Desenvolvimeno a 5/9/6 Goiânia, GO linear, a variável de produção exibirá uma disribuição de probabilidade similar ao da variável de esoque. A resrição probabilísica, na variável de produção, é necessária para garanir um nível mínimo de produividade na operação do processo produivo (noe que, no jargão da pesquisa operacional, esquemas de solução envolvendo realimenação são conhecidos como Regra de Decisão). Há, na lieraura, uma variedade de modelos e méodos da programação maemáica (Minoux, 983), e da eoria de conrole esocásica (Beresekas, 995) uilizado na solução de problemas de planejameno da produção, sejam eses conínuos ou discreos no empo, com oal ou parcial observação nos níveis de esoques e, ainda, com ou sem resrições nas variáveis de decisão. Algumas referências ineressanes sobre esse assuno são, sem ser exausivo, Gershwin e al. (986), Hackman e al. (), Hax and Candea (984), denre ouros. Nese rabalho é considerado um problema esocásico de planejameno da produção a empos conínuos e com resrições probabilísicas. O objeivo é consruir uma regra de decisão linear, como definida por Hol e al (96) para ese problema, usando um procedimeno maemáico desenvolvido por Geromel e Silva Filho (989). Esa regra considera a possibilidade de aualizar as informações coninuamene no empo aravés de um disposiivo de realimenação linear. Para ober uma políica óima aualizada para o problema esocásico, o princípio da equivalência à cereza (Beresekas, 994) é usado na ransformação do problema esocásico em um problema equivalene, porém, deerminísico, que leva em cona os dois primeiros momenos esaísicos da formulação original. De fao, com a aplicação do princípio da equivalência à cereza, um problema deerminísico, onde as variáveis de esoque e produção são consideradas em função de seus valores médios e de suas variâncias, é uma opção ineressane para se ober uma políica óima de produção revisada equivalene a que seria obida pelo problema esocásico original. As seções subseqüenes apresenam os principais aspecos de modelagem e solução dese problema deerminísico equivalene, que, como resulado, produzirá uma regra de decisão linear baseada em Geromel e Silva Filho (989) e seguindo resulados da lieraura, como o proposo por Parlar (985). Na práica, esa regra permie que a gerência possa analisar cenários de produção aravés de algum mecanismo de simulação, como será discuido e ilusrado na seção final do arigo.. Modelo LQG Resrio para Planejameno.. Noação básica: x : esoque em mãos no insane u : axa de produção no insane d : demanda por produo no insane x : esoque de segurança u : capacidade mínima de produção q e r > são os cusos relacionados com manuenção de esoques e capacidade de processameno. T : horizone de planejameno (finio) x : esoque inicial (conhecido e não nulo).. Problema formulação O objeivo é deerminar uma políica óima de produção, que minimize o seguine problema Linear Quadráico Gaussiano (LQG) com resrições. [ 8 ]

4 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiene e Desenvolvimeno a 5/9/6 Goiânia, GO T { ( q x + ) } r u J (u) = Min E () s.a. x = x + u ττ d ττ () Pr ob.(x x) α (3) Pr ob.(u u) β (4) onde d é uma variável aleaória esacionária no empo com disribuição de probabilidade Normal endo média dˆ k e variância Var(d) = σ d,. É imporane salienar que o uso de aproximações normais para represenar fluuações de demanda é possível em ambienes produivos que são orienados para esoques, vide Graves (999). As medidas de probabilidade α e β [/,) são fornecidas pelo usuário, e êm inerpreações gerenciais que vão além do simples requisio de garanir que as resrições de esoque e produção não sejam violadas. Por exemplo, se α=,95, significa que a gerência busca saisfazer seus clienes enregando os produos nos prazos combinados, em 95% das vezes. Por ouro lado, escolhendo α=,5, significa que a gerência esá assumindo o risco de não enregar os produos denro do prazo, em pelo menos 5% das vezes. 3. Processo Esocásico: Considerações preliminares Algumas propriedades dos processos esocásicos são muio imporanes para as manipulações que serão apresenadas, a seguir. Denre esas, deve-se desacar a propriedade de permuabilidade (Papoullis, 99): δ δ o ) E a ττ = E(a τ τ (5) Noe-se que a permuação de operadores é uma propriedade válida somene se a seqüência {a, [, δ]} for um processo esocásico mensurável (Parlar, 985). A equação dinâmica () é um processo esocásico linear que maném propriedades esaísicas similares às apresenadas pela variável de demanda d. Assim, desde que a demanda é assumida como Gaussiana, em-se que () é um processo esocásico Normal caracerizado por N(, Var(x)/), onde denoa o valor médio e Var(x) denoa a variância da variável de esoques x. É imporane noar que a evolução das equações da média e da variância de esoques, resulanes da aplicação de operadores esaísicos no processo linear de balanço de esoques (), pode ser definido precisamene; com iso, a disribuição de probabilidade da variável de esoques orna-se perfeiamene conhecida no empo. As expressões analíicas da média e da variância são apresenadas a seguir: (a) Equação da média: aplicando o operador esperança maemáica em (), resula que: E(x )=E(x )+ E (u τ ) τ E(d τ ) τ que implica em = + ûττ dˆ ττ. Aplicando, enão, o operador da derivada em relação ao empo, deermina-se a seguine expressão: = û dˆ (6) (b) Equação da variância: aplicando-se, agora, o operador derivada na equação de balanço (), segue que: [ 8 ]

5 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiene e Desenvolvimeno a 5/9/6 Goiânia, GO x = u d (7) Definindo-se o resíduo de esoque como δ x = x, pode-se, enão, a parir de (6) e (7), δ x deerminar a evolução no empo dese resíduo como sendo = u d. Usando aqui a propriedade da permuabilidade dada em (5), segue que: E{ δ x δx } E{ x x } = = Var(x ) ; E{δu δu } = Var(u ) e E{δd δd }= σ d e, por fim, assumindo não haver quaisquer correlações enre as variáveis de esoque, produção e demanda, pode-se escrever que: Var(x ) =Var(u )+Var(d )= Var(u ) + σ d (8) É imporane observar que a variável de produção u é considerada uma variável aleaória Gaussiana com média û e variância Var(u). Iso significa que ela é influenciada pelo comporameno do processo esocásico (). 4. Uma Regra de Decisão Linear Gerar uma solução malha-fechada para o problema ()-(4) não é uma arefa rivial, devido não só a naureza esocásica do problema mas, ambém, ao uso de resrições nas variáveis de decisão. A idéia, enão, é enconrar uma solução subóima para ese problema esocásico. É imporane enender que a naureza Linear-Gaussiana do problema permie que oda informação necessária para se desenvolver uma esraégia subóima para resolver ()-(4) esá conida nas equações da média (6) e da variância (8) do processo de balanço de esoques (). Com base niso pode-se propor uma políica óima de produção, baseada na seguine regra de decisão linear: u = û K ( x ) (9) onde K denoa o ganho de realimenação linear para o problema. Se K =, a solução é dia ser do ipo malha-abera. Nese ipo de solução, os níveis de esoque observados nos empos subseqüenes ao do insane inicial são compleamene ignorados no desenvolvimeno da políica óima de produção (i.e., u û, =,,..., T ). Ainda com respeio a (9), as variáveis e û denoam, respecivamene, a rajeória média de esoque e a axa média de produção. Por fim, K ( x ) denoa o ermo de correção (ou de ajuse) da políica de produção (u ), ou seja, sempre que os níveis observados de esoque (x ) ficarem abaixo ou acima do alvo esipulado ( ), haverá uma penalização em curso dada pelo ganho K. É imporane observar que, devido à linearidade da regra de decisão (9) a variável de produção é uma variável aleaória Gaussiana, com média û e variância Var(u ), cuja evolução é dada por Var(u )=K Var(x ) () 4.. Calculo do ganho K Uma forma de eviar a variabilidade freqüene da regra de decisão linear (9), moivada pelas fluuações da demanda, é reduzir simulaneamene o crescimeno das variâncias da variável de esoque (8) e de produção (), ao longo do empo. É imporane enender que, sem uma [ 83 ]

6 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiene e Desenvolvimeno a 5/9/6 Goiânia, GO esraégia de conrole apropriada para esas variâncias, elas endem a crescer com o empo. Para ilusrar ese fao, a figura mosra à evolução da disribuição de probabilidade da variável de esoque x. Prob.( x ) x x T Fig..: Evolução emporal da disribuição de probabilidade do esoque. A minimização das variâncias ambém oferece uma oporunidade para se deerminar o ganho K, vide (Geromel e Silva Filho, 989). Iso ocorre devido ao fao do ganho de realimenação K ser o parâmero ponderador de ajuse da políica de produção e, assim, a redução na variabilidade das variâncias de esoque e produção permie melhorar o desempenho da regra linear (9). Com ese propósio, o ganho K, pode ser obido resolvendo o seguine problema de Variância Mínima (Asröm, 97): Min K { Var(x ) η Var(u ); s.a.(8)e() } + () Dese problema obém-se uma expressão maemáica para K que é função de η que represena o parâmero de compromisso enre as variâncias de esoque e produção, que deve ser deerminado aravés de algum méodo da lieraura, como sugerido em Geromel e Silva Filho (989). 5. Gerando um Modelo Equivalene Para calcular os valores médios de esoque e produção e û que represenam os alvos desejados para definição da regra linear (9), a idéia inicial é converer o problema esocásico ()-(4) em um problema deerminísico equivalene, baseado na média e variância das variáveis do problema esocásico. Usando as propriedades definidas na seção 3, seguem as seguines ransformações: a) No criério: T T { } (q x ) = q a T T { (r u ) } = r û E + () E + (3) b = q dˆ + q σ onde a e b são resíduos de inegração, por exemplo: ( ) d (b) Nas resrições probabilísicas: inicialmene, seja a resrição (3) dada por Prob.{x x} α, lembrando que x = +δx onde δx =ε Var(x ) com ε N(,), segue enão que x = +ε Var(x ). Logo se obém que: a [ 84 ]

7 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiene e Desenvolvimeno a 5/9/6 Goiânia, GO x Prob.{x x} α Prob. ε x α Φ α Var(x ) Var(x ) x Φ ( α) Var(x ) ε segue enão que: x + Var(x ) Φ ε ( α) = x (α) (4) onde Φ ( ) denoa a função disribuição inversa de probabilidade do ruído ε. ε Agora, a parir de (4) em-se que Prob.{u u} β. Manipulando de forma análoga ao caso anerior, resula que: û u + K Var(x ) Φ ε ( β) = u (β) (5) A parir desas ransformações, pode-se formular uma versão deerminísica equivalene para o problema esocásico ()-(4), como segue: T ( q + r û ) J(u) = Min + CT s.a. = û dˆ, dado x ( α) and û u ( β) (6) onde C T = a T +b T denoa a consane de inegração que reúne a consane relacionada com a inegração do cuso de esoque e produção, respecivamene, dado por a T e b T. Veja a expressão de a dada em (3)., Como solução dese problema, obém-se os alvos médios de esoque e produção { } û =,, Λ, T a serem uilizados na geração da políica óima de produção definida pela regra de decisão linear (9). 6. Resolvendo o Problema (6) A idéia, aqui, é empregar o princípio do mínimo de Ponryagin. A principal moivação desa escolha é que ese princípio permie que problemas de oimização dinâmica, com resrições no esado e conrole, possam ser raados com respeio à sua oimalidade; para maiores dealhes considere Bryson and Ho (975) pág. 8 e 35 e Parlar (985). Seja, enão, a equação do Hamiloniano para o problema (6): H = q + r û + λ (û dˆ ) (7) onde λ é o veor de co-esado associado com a resrição dinâmica do processo de produção. [ 85 ]

8 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiene e Desenvolvimeno a 5/9/6 Goiânia, GO O objeivo, que segue, é a idenificação de uma políica de produção que minimize (7), sujeio a u u(β). Uma vez que o nível médio de esoque deve ser sempre maior ou igual que o esoque de segurança x(α), orna-se imporane a análise do comporameno da solução û, via as condições de exisência de (7), que se resumem nos seguines casos: Caso : Se λ < em-se que Min H=H o = H û = fornece como solução: û,λ u o = λ (8) r a parir de (8), e considerando-se que u u (β), obém-se que λ o < r u ( β) <. Noe que r > e u (β)>. Caso : Se λ, pode-se concluir, observando (7), que o valor que minimiza H será obido quando û = u(β), porém, como discuido em (Parlar, 983), para garanir que a resrição x ( α) x(α) seja saisfeia, deve-se impor que. Sob esa condição segue de (6) que x ( α) û + dˆ. Assim, conclui-se que, para λ, a solução que minimiza H é: x ( α) ( u ( β), dˆ ) û + = max Com base nos dois casos acima, o que se preende agora é deerminar uma políica óima de produção u que minimize o problema (6). Para iso, seguindo a lieraura (Parlar, 983), pode-se escrever a equação aumenada do Hamiloniano, levando em cona as resrições de esoque e produção. O resulado é a formulação do Lagrangeano para o problema (7), dado como segue: (9) L = H + μ (û u ( β)) + μ ( x ( α)) Usando os resulados previamene discuidos, pode-se ober uma formulação equivalene para o Lagrangeano, como segue: L x ( α) ( û dˆ ) = H + μ (û u ( β)) + μ () onde μ e μ são os muliplicadores (não negaivos) de Lagrange, associados, respecivamene, com as resrições de esoque e produção. Eses parâmeros saisfazem as condições de complemenaridade de folga relacionadas com a condição de oimalidade de () e, por conseguine, com a formulação do problema (6). Como resulado, as condições de oimalidade são dadas como segue: para μ em-se que μ ( û + u ( β)) =. De modo análogo, para μ em-se que ( ) x ( ) μ û + dˆ + α =. Subsiuindo, enão, (7) em (), e derivando à expressão resulane em relação às variáveis de esoque e produção obém-se, respecivamene, as equações que represenam a evolução do co-esado e a relação para a qual devem saisfazer as expressões óimas de produção do problema (6). Com iso, deermina-se: ( o ) a equação adjuna (co-esado), ou seja: [ 86 ]

9 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiene e Desenvolvimeno a 5/9/6 Goiânia, GO = q () λ L = onde se em que λ T =, uma vez que se assume o esoque final livre, ou seja, ele não recebe nenhum ipo de ponderação na função objeivo (vide problema (6)). ( o ) a condição deerminane de u,, iso é: L u û = r û = ( λ r + λ μ μ μ μ = ) () { } ( x, u (,T) Para se ober as rajeórias médias óimas de esoque e produção ), é necessário inerprear os principais resulados gerados aé enão e, se possível, gerar uma visualização gráfica dos resulados. Iso será feio, a seguir. 6.. Inerpreação das condições óimas exisenes: Seguindo resulados discuidos por Parlar (983), pode-se, verificar que, para garanir a oimalidade do problema (6), deve-se considerar que λ. A razão diso é que sua derivada, dada por (), será sempre negaiva decrescene com o empo (iso devido ao fao de q e x>). Iso significa que o caso, esabelecido a parir do Hamiloniano (7), deverá prevalecer nesa análise. Com iso em mene, assume-se que, num primeiro momeno, o esado inicial seja maior que o esoque de segurança (ou seja, > x ( α) ); logo, é possível imaginar que, para um dado inervalo [, a), haverá sempre uma quanidade de esoque capaz de responder por qualquer que seja a demanda por produos, sem risco de violação dos níveis de esoque de segurança. Iso significa que > x ( α) [, a ). Assim, para ese inervalo, em-se que as rajeórias óimas serão expressas como segue: u x = u ( β) = dˆ + u ( β) [, a ) (3) É imporane observar que, para o inervalo [, a), sempre ocorrerá que μ = pois x > x(α) e, como conseqüência, (usando o resulado dado em ()) segue que μ = r u(β)+λ e como λ implica que μ saisfaz as condições limies do Lagrangeano, esabelecidas aneriormene. Por ouro lado, para o inervalo [ a, T) em-se que = x ( α), e desde que λ (caso ), em-se que as rajeórias óimas serão: u x = max (u ( β), = x ( α) x ( α) + dˆ ) [ k, T) (4) [ 87 ]

10 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiene e Desenvolvimeno a 5/9/6 Goiânia, GO Noe-se que, de modo análogo à siuação anerior, as condições limies são saisfeias u u ( ) para ese inervalo, pois, uma vez que, β μ, em-se que = e, assim, a parir de (), obém-se que μ = /( r)+λ, pois, a parir do caso, λ. 7. Exemplo ilusraivo Considere uma empresa que opera com os seguines dados: esoque inicial x = unidades de um dado produo; o esoque de segurança x = e capacidade mínima de u processameno =. A demanda pelo produo é esacionária e apresena uma média ordinária de 5 unidades, com desvio padrão igual a σ d =,8. Os índices probabilísicos α e β são fixados iguais a 95%. Com base neses dados acima, pode-se adoar um esquema de simulação como, por exemplo, a esruura em diagrama de blocos apresenada na figura, com o objeivo de produzir cenários de produção que são dependenes dos valores de α e β fornecidos pelo usuário. x ( α) + * û = max (u ( β), dˆ ) k Previsor d [, k ) + * û = u ( β) + + u E quação de Balanço x = x + u ττ d ττ x K (x - * ) K + _ k _ * = x ( α ) * = u ( β) + dˆ [, k ) Fig.. Esquema de Simulação, para análise de cenários Com ese objeivo em mene, aplica-se a regra de decisão linear discuida na seção 6 junamene com o esquema de simulação da figura. Como conseqüência, um cenário baseado em α=β=95% é gerado como resposa. Ese cenário é ilusrado na figura 3 aravés da rajeória de esoque Níveis de esoque (i) (ii) (iii) a Fig. 3. Trajeória de esoque T [ 88 ]

11 Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiene e Desenvolvimeno a 5/9/6 Goiânia, GO Noe que na figura 3, a linha cheia fina (i) represena o comporameno da função de esoque mínimo que é dado por x (,95) ; a linha ponilhada (ii) represena a variação dos níveis de esoque do produo, ou seja x; e, por fim, a linha cheia grossa (iii) indica o esoque de segurança fixado pela gerência, iso é, x = x x (,95). Noe, ambém, que se <, significa que não há uma regra de decisão facível para o problema. Inerpreando a figura 3: no inervalo [, a], a esraégia é consumir o excedene de esoque enconrado no insane inicial = (ou seja, x=). Nese caso, a políica de esoques segue o resulado dado pela regra linear descria em (3), com a políica de conrole manendo-se esável e fixada na capacidade mínima de produção. Por ouro lado, no inervalo [a, T], quando o nível de esoque x enconra o limiane mínimo x (,95), a regra de decisão adoada é a que esá apresenada em (4). Pode-se inerprear o resulado apresenado pela figura 3 como um cenário de produção onde a gerência procura maner esoques alos visando saisfazer sempre o cliene no que ange à enrega nos prazos. Nese cenário, o aendimeno se dará de forma efeiva em, pelo menos, 95% das vezes. 8. Conclusão Nese rabalho discuiu-se a formulação de um problema de planejameno esocásico a empos conínuos, usando uma formulação do ipo LQG resrio. Como forma de resolver o problema, uma regra de decisão linear foi considerada. Esa regra é baseada num esquema de realimenação linear que permie o ajuse dos níveis correnes de esoque e produção, sempre que eses se dispersarem dos níveis médios alvos que, por sua vez, são deerminados a parir de um problema deerminísico equivalene, resolvido via princípio do mínimo de Ponryagin. A solução gerada pode ser empregada por gerenes para geração de planos de produção, que servirão como meas a serem seguidas em ouros níveis de decisão do planejameno hierárquico. Oura imporane função dese ipo de modelo é ajudar a gerência a simular diferenes cenários de produção relacionados ao aendimeno com o nível de serviço ao cliene. 9. Referências Asröm, K. J. (97): Inroducion o Sochasic Conrol Theory, Academic Press, N. Y. Bersekas, D. P.(995) Dynamic Programming and Sochasic Conrol, Ahena Scienific, Vol.. Bryson, A. E. and Y. Ho (975): Applied Opimal Conrol: Opimizaion, Esimaion and Conrol, (Hemisphere Publishing Corporaion, USA). Cheng L., e Subrahmanian, A. W. Weserberg (4) A Comparison of Opimal and Sochasic Programming from a Formulaion and Compuaion Perspecive, Mahemaical and Compuer Modelling, 9, Geromel, J. C. and Silva Filho O. S. (989): Parial Closed-Loop Conrol Srucuure for Linear Sochasic Sysem, IEEE Trans. A. Conrol 34, n. Gershwin, R., R. Hildebran, R. Suri and S. M. Mier (986). A Conrol Perspecive on Recen Trends in Manufacuring Sysems, IEEE Conrol Sysem Magazine, Vol. 6, No., 3-5. Graves, S. C. (999) A Single-Iem Invenory Model for a Non-saionary Demand Process, Manufacuring & Service Operaions Managemen, Vol., No. Hackman, S., G. Riano, R. Serfozo, S. Huing, P. Lendermann, and L. P. Chan () A Sochasic Producion Planning Model, Technical Repor, The Logisic Insiue, Georgia Tech and Naional Universiy of Singapore. Hax, A., and Candea. D. (984): Producion and Invenory Managemen, Prenice-Hall. Hol, C. C., F. Modigliani, J. F. Muh and H. A. Simon (96) Planning Producion, Invenory and Work Force, (Prenice-Hall, NJ). Papoulis, A. (99). Probabiliy, Random Variables, and Sochasic Process (Third Ediion), McGr-Hill. [ 89 ]

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