Análise Complexa Derivação e Analiticidade Turma EIA /2011

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Angélica Beppler Ximenes
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1 Análise Complexa Derivação e Analiticidade Turma EIA+4 00/0 No que segue, consideramos f uma função complexa de variável complexa definidanumconjuntoabertod Cez 0 Dumnúmerocomplexo. Sef temderivadaemz 0,istoé,seexisteolimite f f(z) f(z 0 ) f(z 0 + z) f(z 0 ) (z 0 )=lim z z0 =lim z 0 z z 0 z entãof diz-sediferenciável emz 0. Sef édiferenciávelemz 0 enumacertavizinhançadez 0,entãof dizseanalítica emz 0. Portanto,aanaliticidadenumpontoz 0 requera existência de derivada em todos os pontos de um conjunto aberto que contenhaz 0. f analíticaemz 0 f diferenciávelemz 0 (i.e, f (z 0 )) f contínua emz 0 f contínuaemz 0 f diferenciávelemz 0 f analíticaemz 0 Validade de regras de derivação: sef egsãofunçõesanalíticas numconjuntoabertodentãotambémsãoanalíticasemdasfunções a f(z)+b g(z)(ondeaebsãonúmeroscomplexos),f(z) g(z), f(z) g(z) (seg(z) 0)ef n (z)(comn N)etemosasregrasdederivação [a f(z)+b g(z)] =a f (z)+b g (z), [f(z) g(z)] =f (z) g(z)+f(z) g (z) ( ) f(z) = f (z) g(z) f(z) g (z) g(z) g (z) [f n (z)] =n f n (z) f (z)

2 Validade da regra da derivação da função composta: se f é analítica num conjunto aberto A e g é analítica num conjunto aberto B e ainda f(a) B, então a função composta (g f)(z)=g(f(z)) tambéméanalíticaemaetemosaregradederivação (g f) (z)=g (f(z)) f (z). Exemplos de funções analíticas em todo o seu domínio: funções polinomiais f(z)=c n z n +c n z n +...+c z +c z+c 0 (D f =C). Temporfunçãoderivada f (z)=n c n z n +(n ) c n z n +...+c z+c. funções racionais (quociente de funções polinomiais) f(z)= a n z n +...+a z +a z+a 0 b m z m +...+b z +b z+b 0 (D f = { z C:b m z m +...+b z +b z+b 0 0 },queéum conjunto aberto). Equações (ou condições) de Cauchy-Riemann: paraf ez 0 escritosnaformacartesianacomof(z)=u(x,y)+v(x,y)iez 0 =x 0 +y 0 i, são as igualdades x (x 0,y 0 )= v y (x 0,y 0 ) y (x 0,y 0 )= v x (x 0,y 0 ) f diferenciável em z 0 (i.e, f (z 0 )) são válidas as equações de Cauchy-Riemann(obviamentenoponto(x 0,y 0 )). Por maioria de razão, também f analíticaemz 0 sãoválidasasequaçõesdecauchy-riemann(obviamentenoponto(x 0,y 0 )). seremválidasasequaçõesdecauchy-riemannnoponto(x 0,y 0 ) f diferenciávelemz 0 =x 0 +y 0 i..

3 Por maioria de razão, também seremválidasasequaçõesdecauchy-riemannnoponto(x 0,y 0 ) f analíticaemz 0 =x 0 +y 0 i. Teorema de Cauchy-Riemann: e uevsãocontínuasnumavizinh. de(x 0,y 0 ) x, v y, y e v x sãocontínuasnumavizinh. de(x 0,y 0 ) uevverificamaseq. decauchy-riemannem(x 0,y 0 ) f (z 0 ) f (z 0 )= x (x 0,y 0 )+i v x (x 0,y 0 ) f (z 0 )= v y (x 0,y 0 ) i y (x 0,y 0 ). Ainda, Déumconjuntoaberto x, v y, y e v x sãocontínuasemd uevverificamaseq. decauchy-riemannemd f éanalítica emd Afunçãou:D R R(D umconj. aberto)diz-seharmónica se satisfaz a equação de Laplace Resultado: u u x (x,y)+ y(x,y)=0, (x,y) D. Déumconjuntoaberto f =u+ivanalíticaemd uevsãofunçõesharmónicasemd. Asfunçõesuevdizem-seharmónicasconjugadasemD. Resultado: Déumconjuntoaberto v(x,y) definidaemdtal quef(z)=u(x,y)+v(x,y)i u(x,y) funçãoharmónicaemd éanalíticaemd 3

4 Análise Complexa Funções elementares Turma EIA+4 00/0 FUNÇÃO EXPONENCIAL: Define-se como e z =e x+yi :=e x (cosy+isiny), z C. Verifica: (a) e z+w =e z ew (b) e z nuncaseanula (c) e x+iy =e x (d) e z éumafunçãoperiódica,comperíodoπi (e) e z = z=nπi,paraalgumn Z (f) (e z ) n =e nz,comn Z (g) éanalíticaemc(portanto,inteira)e (e z ) =e z. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: Definem-se como Verificam: (a) sin( z)= sinz (b) cos( z)=cosz (c) sin z+cos z= sinz= ezi e zi i e cosz= ezi +e zi, z C. (d) sin(z±w)=sin(z)cos(w)±cos(z)sin(w) (e) cos(z±w)=cos(z)cos(w) sin(z)sin(w) (f) sinzecoszsãofunçõesperiódicas,comperíodoπ (g) sãoanalíticasemc(logo,inteiras)e (sinz) =cosz, (cosz) = sinz. 4

5 Definem-se ainda as funções tanz= sinz { (n+)π, para cosz 0(i.e,D=C\ cosz cotz= cosz sinz, parasinz 0(i.e,D=C\{nπ:n Z}) secz= cosz, paracosz 0(i.e,D=C\ { (n+)π cscz=, para sinz 0(i.e,D=C\{nπ:n Z}) sinz } :n Z ) } :n Z ) quesãoanalíticasemtodooseudomínioetêmcomofunçõesderivadas (tanz) = cos z =sec z, para cosz 0 (cotz) = sin z = csc z, para sinz 0 (secz) = sec(z)tanz,, para cosz 0 (cscz) = csc(z)cotz, para sinz 0 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: Definem-se como Verificam: sinhz= ez e z e coshz= ez +e z, z C. (a) sinh(iz)=isinz e cosh(iz)=cosz (b) sin(iz)=isinhz e cos(iz)=coshz (c) cosh z sinh z= (d) sinhz=sinh(x+iy)=sinh(x)cos(y)+icosh(x)sin(y) (e) coshz=cosh(x+iy)=cosh(x)cos(y)+isinh(x)sin(y) (f) sinhz=0 z= nπi, n N 5

6 (g) coshz=0 z= (n+) π i, n N (h) sinhzecoshzsãofunçõesperiódicas,comperíodoπi (i) sãoanalíticasemc(i.e,inteiras)eassuasfunçõesderivadassão Definem-se ainda as funções (sinhz) =coshz, (coshz) =sinhz. tanhz= sinhz, para coshz 0 coshz cothz= coshz sinhz = tanhz, parasinhz 0 assim como a função secante hiperbólica e a função cosecante hiperbólica, para coshz 0, coshz, para sinhz 0. sinhz FUNÇÃO LOGARITMO PRINCIPAL: Define-se como Verifica: logz=ln z +iargz com argz [ π,π[, z C\{0}, de modo que seja válida a equivalência (a) log(zw)=logz+logw(modπi) (b) log(z/w)=logz logw(modπi). logz=w z=e w. (c) éanalíticanoconjuntoc\{x+yi:x 0ey=0} etemcomofunção derivada (logz) = z. 6

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