Análise Complexa. José Luis Silva Departamento de Matemática Universidade da Madeira 9000 Funchal Madeira

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1 Análise Complexa José Luis Silva Departamento de Matemática Universidade da Madeira 9000 Funchal Madeira

2 Conteúdo Números Complexos Breve nota histórica Definições e propriedades 3 3 Complexos conjugados Valores absolutos 9 4 Forma polar Potências e quocientes Exercícios 7 Funções Analíticas 0 Funções Elementares 0 Função exponencial 0 Funções trigonométricas 3 3 Função logarítmica 4 4 Potências complexas 8 5 Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas 8 Transformações 30 3 Noções topológicas 3 4 Derivadas 36 5 Equações de Cauchy-Riemann 4 6 Funções harmónicas 45 7 Derivadas de funções elementares 47 7 Função exponencial 47 7 Funções trigonométricas Função logarítmica Potências complexas 5 Exercícios 55 i

3 ii CONTEÚDO 3 Integrais 59 3 Integral de caminho 59 3 O teorema de Cauchy-Goursat Fórmula integral de Cauchy Módulo máximo de funções analíticas 76 Exercícios 80 4 Séries de funções analíticas 83 4 Convergência de sucessões e séries 83 4 Séries de potências e teorema de Taylor Séries de Laurent e Classificação de Singularidades 97 Exercícios 3 5 Cálculo de Resíduos 7 5 Técnicas para o cálculo de resíduos 7 5 O teorema dos resíduos 3 53 Suplemento ao teorema dos resíduos 6 53 Ponto no infinito 6 53 Resíduos e comportamento no infinito 8 54 Aplicação ao cálculo de integrais reais impróprios Integrais do tipo f (x) dx Integrais impróprios envolvendo funções trigonométricas Integrais definidos de funções trigonométricas Integrais em torno de um ponto de ramificação 5 55 Soma de Séries 56 Exercícios 6

4 Capítulo Números Complexos Neste capítulo definimos o conjunto dos números complexos (denotado por C) usando o plano xy (denotado por R ) para os representar os números complexos, ideia original de J R Argand Depois de introduzirmos a soma e multiplicação de números complexos vamos provar que o conjunto dos números complexos forma um corpo, ver Teorema 4 em baixo Isto é essencialmente o conteúdo da Secção Nas Secções 3 e 4 vamos explorar outras propriedades dos números complexos usando o plano xy tais como, representação em coordenadas polares, interpretação geométrica da multiplicação de números complexos, resolução de equações envolvendo números complexos etc Resta dizer que na Secção apresentamos uma breve nota sobre o surgimento dos números complexos a qual também serve de motivação para a introdução destes números Breve nota histórica O nascimento dos números complexos pode ser datado do século XVI, quando alguns matemáticos Italianos se envolveram na tarefa de encontrar a fórmula resolvente para as equações do terceiro grau Parece ter sido Niccolo Fontana ( ) (mais conhecido por Tartáglia) o primeiro a apresentar essa fórmula, embora fosse o seu colega Gerolamo Cardano (50-576) o primeiro a publicá-la A fórmula para a equação do terceiro grau na forma x 3 px + q = 0

5 Capítulo Números Complexos é dada por x = 3 q + q Ao aplicar a fórmula () à equação 4 + p q q 4 + p3 7 () x 3 5x 4 = 0 () obtemos x = (3) A equação (), conhecida por equação Bombelli (56-573), Cardano dizia que a fórmula não se aplicava Bombelli pensou na seguinte conjectura Conjectura: Como os radicandos em (3) só diferem de um sinal, o mesmo deverá acontecer com as suas raízes cúbicas Assim resolveu o sistema 3 + = a + bi 3 = a bi obtendo as soluções a = e b = aplicando aa regras ( b) = b e ( b) 3 = b b Portanto a raiz da equação () é, segundo (3) + + = 4 Na realidade 4 é uma raiz de (), como se verifica facilmente Assim se deram os primeiros passos na criação dos números complexos

6 Definições e propriedades 3 Definições e propriedades Definição Designa-se por conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto R dos pares ordenados de números reais com a soma vectorial e multiplicação por um escalar usuais, ie, (x, y ) + (x, y ) = (x + x, y + y ) a (x, y) = (ax, ay) e a multiplicação de números complexos definida por Observação (x, y)(u, v) = (xu yv, xv + yu) O par (x, 0) é identificado com o número real x, ie, (x, 0) x, por outras palavras, temos que R C 3 Ao par (0, ) vamos atribuir um símbolo, i, ie, Consequências z C, z = (x, y) = x + yi, pois (0, ) i x + yi (x, 0) + (y, 0)(0, ) = (x, 0) + (0, y) = (x, y); z = x + yi representação na forma algébrica, onde x é a parte real (R(z) = x) e y é a parte imaginária (I(z) = y) (ver Figura ) 3 iy = yi, pois (0, )(y, 0) = (0, y) = (y, 0)(0, ) = yi 4 i =, pois (0, )(0, ) = (, 0) 5 Dois números complexos dizem-se iguais se e só se tiverem ambos a mesma parte real e a mesma parte imaginária, ie, a + bi = c + di a = c b = d;

7 4 Capítulo Números Complexos y w z + w y = I(z) z = x + yi x = R(z) x Figura : Representação geométrica de números complexos na forma algébrica 6 bi é um imaginário puro 7 Se z C\ {(0, 0)}, então!z C : zz = Unicidade: Suponhamos que existiam z, z tais que zz = e zz = Mas, z = z = z (zz ) = (z z) z = z = z logo z é único z = z Existência: Seja z = a + bi C\ {(0, 0)} e suponhamos a 0, no caso a = 0 vem z = i b Queremos determinar z = a + b i tal que zz = Assim { { aa bb = a ab + ba = 0 = bb + a ab + b bb + = 0 a { { a = bb + a a a b + b + b b = 0 = bb + a b = b a +b { a = a a +b b = b a +b z z = a a + b + i b a + b ;

8 Definições e propriedades 5 8 z w = zw = x+yi a+bi = (x+yi)(a bi) (a+bi)(a bi) = xa+yb a +b + ya xb a +b i Exemplo 3 A partir das fórmulas para o quociente e para o produto mostre que ( a) z z = z z ), z C\ {(0, 0)} 0 z C ( )( ) b) z z = z z, z, z C\ {(0, 0)} Resolução Seja z = a + bi e z = c + di a) Por um lado tem-se por outro z ( z ) z z = ac + bd c + d ad + bc + i (4) c + d ( c di = (a + bi) c + d = (a + bi) = ) ( c c + d d ) c + d i ac + bd ad + bc + i (5) c + d c + d Como as partes reais e imaginárias de (4) e (5) são iguais, tem-se que os números são iguais b) O processo é análogo: z z = = ac bd + (ad + bc) i ac bd (ac bd) + (ad + cb) + ad cb (ac bd) + (ad + cb) i ( ) ( ) z z = = ( ) ( ) a bi c di a + b c + d ac bd ad cb + (ac bd) (ad + cb) i e a igualdade também se verifica Temos as seguintes propriedades, como consequência das propriedades de R : Propriedades da adição:

9 6 Capítulo Números Complexos z + w = w + z z + (w + s) = (z + w) + s 3 z + 0 = z 4 z + ( z) = 0, z, w, s C Propriedades da multiplicação: zw = wz z (ws) = (zw) s 3 z = z 4 zz =, z C\ {(0, 0)}, w, s C Lei distributiva: z (w + s) = zw + zs, z, w, s C Teorema 4 O conjunto dos números complexos constitui um corpo (não ordenado) Prova Fica demonstrado tendo em conta as seguintes factos Em C não se pode estabelecer uma relação de ordem, pois se assim fosse, para uma certa ordem teríamos i 0 ou i 0 mas se i 0 i 0 0 absurdo, e o mesmo se i 0 Assim não podemos ter uma ordem em C Podemos estabelecer as propriedades de corpo do conjunto C a partir do seguinte isomorfismo: (R, θ, φ) é um corpo para θ e φ definidas do seguite modo (x, y)θ (u, v) := (x + u, y + v) e (x, y)φ(u, v) := (xu yv, xv + yu)

10 Definições e propriedades 7 ie, (R, θ) e (R \ {(0, 0)}, φ) são grupos abelianos Define-se C := { z : z = a + bi; a, b R i = } e as seguintes operações em C : Seja (a + bi) + C (c + di) := a + c + i (b + d) (a + bi) C (c + di) := ac bd + i (ad + bc) f : R C, (x, y) x + yi f é um isomorfismo de (R, θ, φ) sobre (C, + C, C) ie, uma transformação que transforma a operação θ na operação + C e a operação φ na operação C Para simplificação da notação, e por abuso de linguagem representa-se + C por + e C por 3 Uma das razões da utilização dos números complexos é permitir extrair raízes quadradas de números negativos Proposição 5 Seja z C Então existe w C tal que w = z O corpo C é a menor extensão de R onde w = z tem sempre solução Note que w também satisfaz a equação Prova Seja z = a + bi Pretendemos encontrar w = x + yi tal que { a + bi = (x + yi) x y = a xy = b A existência de soluções pode ser garantida pela análise do gráfico da Figura Temos a + b = ( x y ) + 4x y = ( x + y ) x + y = a + b a + x + x = a + b x = (a + ) a + b y = ( a + a + b )

11 8 Capítulo Números Complexos y xy = b a a, b > 0 a x x y = a Figura : Exemplos de curvas de x y = a e xy = b Seja α = (a + ) a + b β = ( a + ) a + b b > 0 : (x = α y = β) (x = α y = β) b < 0 : (x = α y = β) (x = α y = β) Concluimos, pois, que para b > 0, temos ( x = a + a + b ) x = y = ( a + a + b ) y = ( a + a + b ) ( a + a + b ) e para b < 0, temos ( x = a + a + b ) ( x = a + a + b ( y = a + a + b ) ) ( y = a + a + b )

12 3 Complexos conjugados Valores absolutos 9 Exemplo 6 Resolva a equação z 4 + i = 0 Resolução Seja z = w, então w + i = 0 Substituindo na fórmula a + bi = ± (α + sgn (b) βi) com a = 0 b = sgn (b) = Assim w = ±( ) i Considerando agora a equação z = i, aplicamos novamente a fórmula, pondo a = b =, obtendo-se ( z = ± ) + + ( i ( ( ) = ± + i ( ) + = ± i Para o outro valor, w = + i, obtemos + ( ) ) + ( ) + z = ± + i ) + 3 Complexos conjugados Valores absolutos Definição 3 Dado z = x + yi C, designa-se por conjugado de z, ao número complexo z = x yi, ie, é uma simetria do ponto z em relação ao eixo dos x (ver Figura 3) Consquências: z, z C

13 0 Capítulo Números Complexos y z θ x θ z Figura 3: Representação de z e z z + z = z + z z z = z z 3 z z = z z z C\ {(0, 0)} 4 z = z z R 5 z + z = R(z) z z = ii(z) Definição 3 Dado z = x + yi C, chama-se valor absoluto de z, ao número real não negativo z = x + y Geometricamente z é o comprimento do vector (x, y), (ver Figura 4) Proposição 33 Para quaisquer z, z, z C temos z = R(z) + (I(z) z > R(z) e z I(z) 3 z z = x + y = z, z = z, z = z z 4 z z = z z 5 z z = z, z z 0

14 3 Complexos conjugados Valores absolutos y z = x + yi z = x + y x Figura 4: Representação geométrica de z 6 z + z < z + z (desigualdade triangular); 7 z z z z Prova Faremos a prova só de 7 a) z = z + (z z ) z + z z b) Mudando o papel de z com z temos: De (6) e (7) concluimos que z z z z (6) z z z z z z z z (7) z z z z z z z z z z Exemplo 34 Prove que se z =, então az + b = bz + ā para quaisquer números complexos a e b

15 Capítulo Números Complexos y z = x + yi r r sin θ θ r cos θ x Figura 5: Coordenadas polares associadas ao número complexo z = x + yi Resolução Como z = temos z = z z = z z = z Assim az + b = az + b bz + ā = z b + zā = az + b z b + za = z = 4 Forma polar Potências e quocientes Para cada número complexo z = x + yi C\ {0}, podemos associar as suas coordenadas polares r e θ, dadas por: r = z = x + y θ = arg z = arctan y x, 0 θ < π (ver Figura 5) Assim { x = r cosθ y = r sin θ r > 0, θ [0, π[

16 4 Forma polar Potências e quocientes 3 pelo que podemos escrever z = x + yi z = r (cosθ + i sin θ) Esta é a representação de z na forma polar Observação 4 Para cada z C, arg z não é único, na verdade, dado que sin θ e cos θ são funções periódicas de período π, se θ é o argumento de z, então θ + kπ, (k Z) também o é No entanto, se fixarmos um intervalo θ 0 arg z < θ 0 + π a representação é única; Quando z = 0 tem-se z = 0 e θ arbitrário; arg z = arg z Teorema 4 Dados z, z C com z = r (cosθ + i sin θ ) e z = r (cosθ + i sin θ ), então z z = r r (cos (θ + θ ) + i sin (θ + θ )), ie, z z = z z e arg (z z ) = arg z + arg z (modπ) Prova Basta multiplicar os números complexos com a representação na forma polar e usar as fórmulas trigonométricas cosθ cosθ sin θ sin θ = cos (θ + θ ) e sin θ cosθ + cos θ sin θ = sin (θ + θ ) Exemplo 43 Fixemos o intervalo [0, π[, z =, z = i Calcule z z usando a forma polar Resolução As coordenadas polares de z são: z = e arg z = π e para z temos: z = e arg z = 3 π Assim z z = z z = e arg (z z ) = arg z + arg z = 5 π

17 4 Capítulo Números Complexos y i arg( ) arg( i) arg(( )( i)) x arg( ) + arg( i) i Figura 6: Multiplicação do número complexo por i como 5 π não está no intervalo escolhido, [0, π[, devemos subtrair π para colocar o argumento de z z no intervalo [0, π[, (ver Figura 6) Observação 44 Outra forma de ver a multiplicação de números complexos é a seguinte: seja z C, define-se ψ z : C C, w zw Pelo teorema 4 sabemos que o efeito de ψ z é rodar cada número complexo de um ângulo igual a arg z no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio e ampliando o comprimento pelo factor z ψ i simplesmente roda cada número complexo de π, (ver Figura 7) A aplicação ψ z é linear, ie, ψ z (αw + βw ) = αψ z (w ) + βψ z (w ) com α, β R e w, w C Assim ψ z pode ser representada pela sua matriz Pondo z = a + bi, sabemos da álgebra linear que a matriz de ψ z é dada por ( ) a b M (ψ z ) = b a

18 4 Forma polar Potências e quocientes 5 y iw ψ i (w) w x Figura 7: Multiplicação por i A base de C é (, 0);(0, ) A imagem de w = x + yi por meio de ψ z é dada por ( ) ( ) ( ) a b x ax by ψ z (w) = = b a y bx + ay Teorema 45 (Fórmula de De Moivre) Se z = r (cosθ + i sin θ) e n é um inteiro positivo, então Prova Pelo teorema 4 multiplicando novamente z n = r n (cos (nθ) + i sin (nθ)) z = r (cos (θ) + i sin (θ)) z 3 = r 3 (cos (3θ) + i sin (3θ)) O resultado desejado obtém-se por indução em n Seja w C ( 0) Usando a fórmula de De Moivre, tentemos resolver em ordem a z a equação z n = w Suponhamos que w = r (cosθ + i sin θ) e z = ρ (cos ψ + i sin ψ) Então pela fórmula de De Moivre z n = ρ n (cos (nψ) + i sin (nψ))

19 6 Capítulo Números Complexos e pela unicidade da representação polar, temos ρ n = r nψ = θ + kπ, k Z ρ = n r ψ = θ + kπ, k Z n Atendendo à periodicidade do seno e do co-seno, temos ψ = θ + kπ, k =,,, n n Assim ( ( ) ( )) z = n θ + kπ θ + kπ r cos + i sin, k =,, n n n Exemplo 46 Resolva a equação z 8 = Resolução Como = (cos 0 + i sin 0), então ( ( ) ( )) kπ 0 + kπ 8 = cos + i sin, k =,,, Que dá as seguintes raízes: k = 0 : z 0 = k = : z = + i k = : z = i k = 3 : z 3 = + i k = 4 : z 4 = k = 5 : z 5 = i k = 6 : z 6 = i k = 7 : z 7 = i De um modo geral as raízes n-ésimas da unidade formam um polígono convexo regular com um vértice em z = (ver Figura 8) Exemplo 47 Sendo w uma das raiz n-ésima da unidade diferente dela própria, mostre que + w + w + + w n = 0 Resolução Atendendo a que a soma em questão está em progressão geométrica de razão w, temos: n w j = wn w j= Como w é uma raiz n-ésima da unidade, então w n =, logo w n w = 0 w = 0

20 4 Forma polar Potências e quocientes 7 Figura 8: As oito raízes da unidade y i z 3 z x z 5 z 7 i Exercícios Exercício Prove que, para qualquer inteiro k i 4k =, i 4k+ = i, i 4k+ =, i 4k+3 = i Mostre como este resultado dá uma fórmula para i n, n N escrevendo n = 4k + j, 0 j 3 Calcule i 000 Exercício Determine a parte real e a parte imaginária do número complexo z + z, sabendo que z = x + yi Exercício 3 Prove que R(iz) = I(z) e que I(iz) = R(z), z C Exercício 4 Prove a seguinte igualdade zw z w = ( z )( w ), z, w C

21 8 Capítulo Números Complexos Exercício 5 Sendo z k, k = 0,,5 as raízes sextas de 8, calcule S = 5 k=0 z k Exercício 6 Prove que a hipótese x y = pode escrever-se como z + z = Exercício 7 Prove por indução a forma binomial para os números complexos, ie, z, w C temos ( ) ( ) ( ) n n n (z + w) n = z n + z n w + z n w + + zw n + w n, n onde ( n k) = n!/(k!(n k)!) Exercício 8 Prove que se a <, então z < z a āz Exercício 9 Assumindo z < ou w = e que zw, prove que z w zw = Exercício 0 Resolva as seguintes equações z 5 = 0 z 4 + i = 0 Exercício Usando a fórmula de De Moivre deduza as identidades trigonométricas cos 3θ = cos 3 θ 3 cosθ sin θ sin 3θ = 3 cos θ sin θ sin 3 θ Exercício Demonstre a desigualdade triangular para números complexos z + z z + z Em que condições se obtém a igualdade Interprete o resultado geometricamente

22 4 Forma polar Potências e quocientes 9 Exercício 3 Estabeleça a fórmula + z + z + + z n = zn+, z, n N z Use este resultado para deduzir as identidades de Lagrange + cosθ + cos θ + + cosnθ = + sin[(n + )θ], (8) sin θ sin θ + sin θ + + sin nθ = cotgθ cos[(n + )θ] sin θ Sugestão: note que o lado esquerdo de (8) é o mesmo que R( + e iθ + + e inθ ) Exercício 4 Descreva geometricamente cada uma das seguintes regiões I(z) > 0 arg(z) π 4 3 R( z ) < 4 z 4 z

23 Capítulo Funções Analíticas Neste capítulo vamos introduzir os mais importantes conceitos de funções analíticas bem como o cálculo a elas associado Na Secção definimos as funções elementares mais usuais de variável complexa, eg, exponencial, logarítmo, seno, coseno, funções hiperbólicas etc Investigamos algumas propriedades análogas ao cálculo de variável real das funções elemenatres definidas Na Secção vamos explorar os transformados de conjuntos em C por intermédio de funções de variável complexa para podermos tirar algumas conclusões sobre a função Isto porque, ao contrário das funções de variável real, neste caso não podemos fazer uma representação gráfica, pois precisamos de quatro dimensões A continuidade e diferenciabilidade de funções de variável complexa são estudadas nas Secções 3 e 4 Particular destaque é dado às equações de Cauchy-Riemann as quais desempenham um papel importante na teoria das funções analíticas Finalmente na Secção 7 apresentamos as derivadas das funções elementares mais comuns assim como o domínio de validade dessas derivadas Funções Elementares Função exponencial Pretendemos definir e z =?, com z C 0

24 Funções Elementares Sabemos que se x R, a série de Taylor da exponencial é dada por Seja z = x + yi C Temos e x = + x + x! + e z = e x e yi = e x ( + yi + (yi) + (yi)3 + (yi)4! 3! 4! ( ) ( x = e ( y! + y4 4! + i = e x (cosy + i sin y) + (yi)5 5! + ) y y3 3! + (y)5 5! )) Definição Se z = x + yi, então e z := e x (cosy + i sin y) Observação Se z é real, ie, z = x + 0i, a definição corresponde à exponencial usual Proposição 3 Propriedades da função exponencial e z+w = e z e w, z, w C e z 0, z C 3 e x+yi = e x 4 e π i = i; e πi = ; e 3 πi = i; e πi = 5 e z é uma função periódica de período kπi, k Z, ie, e z+kπi = e z, k Z 6 e z = sse z = nπi, n Z Resolução As propriedades,, 4 podem ser verificadas directamente por definição

25 Capítulo Funções Analíticas 5 Suponhamos que e z+w = e z, z C, ie, e w =, sendo w = s + ti, temos e s cost + ie s sin t = { { e s cos t = e s sin t = 0 sin t = 0 { { e s = s = 0 t = kπ, k Z t = kπ, k Z Assim w = kπi, k Z, ie, o período de e z é kπi, k Z 6 ( ) Se z = nπi e z = por 4 ( ) e z = e z+z = e z, z C z = kπi, por 5, k Z Exemplo 4 Para que valores de z se tem (e iz ) = e i z Resolução Seja z = x + yi z = x yi Temos e iz = e y+xi = e y cosx + ie y sin x logo Por outro lado Assim (e iz ) = e y cos x ie y sin x e i z = e y+xi = e y cosx + ie y sin x { e (e iz ) = e i z y cos x = e y cos x e y sin x = e y sin x { { sin x (e y + e y ) = 0 sin x = 0 { { e y = e y e y = e y (e y ) = x = kπ, k Z { y = 0 x = kπ, k Z Conclusão (e iz ) = e i z sse z = kπ, k Z

26 Funções Elementares 3 Observação 5 Dado z C, a sua representação em coordenadas polares é dada por z = z [cos (arg z) + i sin (arg z)] = z exp (i arg z) Funções trigonométricas Da representação vem que sin y = eyi e yi i e yi = cosy + i sin y cosy = eyi + e yi Definição 6 Seja z C, definimos seno e co-seno por sin z := ezi e zi i e cosz = ezi + e zi Observação 7 Novamente se z é real estas definições correspondem às definições usuais de seno e co-seno Proposição 8 As funções trigonométricas de variável complexa verificam propriedades análogas às de variável real sin z + cos z = sin (z + w) = sin z cosw + sin w cosz 3 cos (z + w) = cosz cosw sin z sin w, z, w C Prova Exercício Observação 9 As restantes funções trigonométricas definem-se pelas relações usuais com à custa do seno e do co-seno tan z = sin z cos z, cosz 0 sinh z = ez e z etc, etc cos z cotz = sin z, sin z 0 cosh z = ez + e z

27 4 Capítulo Funções Analíticas Exemplo 0 Mostre que se z = x + yi, então cosz = cos x cosh y i sin x sinh y Resolução Temos por definição cosz = ezi + e zi = [ e y (cosx + i sin x) + e y (cos x i sin x) ] = cosx ey + e y i sin x ey e y = cosxcosh y i sin x sinh y Exemplo Prove que os únicos zeros de cos z são reais Resolução Pelo exemplo 0 temos cosz = 0 cosxcosh y = 0 sin x sinh y = 0 como cosh y, então terá de ser cosx = 0 x = π + kπ, k Z Como para estes valores de x, sin x não se anula, então de sinh y sin x = 0 tira-se que sinh y = 0 y = 0 Assim os zeros de cos z são todos reais, da forma z = π + kπ, k Z 3 Função logarítmica Pretende-se estender o conceito de logarítmo a argumentos complexos, ie, log z =?, z C Um processo natural de definir o logarítmo usando propriedades reais é pela equação log z = log ( re iθ) = Logr + iθ como o argumento de z não é único, arg z = Θ + kπ, k Z, temos log z = Logr + i (Θ + kπ), pelo que a função log é multivalente

28 Funções Elementares 5 y y 0 + π A y0 y 0 x z e z v u Figura : e z é uma bijecção de A y0 em C\ {0} Proposição Consideremos o conjunto A y0 dado por A y0 = {x + yi C : x R, y 0 y < y 0 + π} Então a aplicação e z : A y0 C\ {0} é bijectiva Prova Sejam z, z A y0 (ver Figura ) e z = e z e z z = z z = kπi, k Z x x = 0 y y = kπ, k Z Como y y < π, pois z, z A y0 temos que y y = 0 Assim z = z Logo e z é injectiva Seja w C\ {0} z (=?) A y0 : e z = w Temos e x+yi = w = w e i arg(w) { e x = w e yi = e i arg(w) { x = Log w y = arg w arg w é único porque w A y0 Assim e z é sobrejectiva

29 6 Capítulo Funções Analíticas Definição 3 A função log : C\ {0} C tal que y 0 I (log z) < y 0 + π é definida por log z := Log z + i arg (z) onde arg (z) [y 0, y 0 + π[ Esta função é chamada um ramo da função logarítmo Observação 4 A função log só fica bem definida quando se especifica um intervalo de comprimento π onde arg (z) toma os seus valores Exemplo 5 Calcule log ( + i) nos seguintes ramos arg ( + i) [0, π[ arg ( + i) [π, 3π[ Resolução log ( + i) = Log + π 4 i log ( + i) = Log πi Notação 6 Log z logarítmo usual, onde z > 0 Logz = Log z + i arg (z) com π arg (z) < π ramo principal Proposição 7 A função log z é a inversa de e z no seguinte sentido: para qualquer ramo de log z temos exp (log z) = z e escolhendo a faixa y 0 y < y 0 + π então log (exp (z)) = z onde z = x + yi com y 0 y < y 0 + π Prova log z = Log z + i arg (z) Logo exp (log z) = exp (Log z )exp (i arg (z)) = z exp (i arg (z)) = z Por outro lado log e z = Log e z + i arg (e z ) = Loge x + i arg ( e x e yi) = x + yi = z

30 Funções Elementares 7 Proposição 8 Se z, z C\ {0}, então log (z z ) = log z + log z (modπ) Prova Temos log (z z ) = Log z z + i arg (z z ) onde arg (z z ) [y 0, y 0 + π[ Mas Log z z = Log ( z z ) = Log z + Log z e arg (z z ) = arg (z ) + arg (z ) (modπ) Assim log (z z ) = Log z + i arg (z ) + Log z + arg (z ) (modπ) = log z + log z (modπ) Exemplo 9 Calcule log [( i) ( i)] no ramo [0, π[ Resolução Por um lado log [( i) ( i)] = log ( ) = Log + iπ Por outro lado e log ( i) = Log + i 5 4 π log ( i) = Log + i 7 4 π Logo log [( i) ( i)] = Log + Log ( 5 + i 4 π + 7 ) 4 π = Log + i (3π) = Log + iπ

31 8 Capítulo Funções Analíticas 4 Potências complexas Pretende-se definir z w =?, quando w C e z C\ {(0, 0)} Definição 0 Seja z, w C, define-se z w := exp (w log z) com arg z [y 0, y 0 + π[ (pré-definido) Exemplo Encontre todos os valores de Resolução i i i i : = exp (i log i) [ ( ( π ) )] = exp i Log + + kπ i = exp ( π ) + kπ, k Z 5 Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas Podemos agora definir as funções trigonométricas inversas Por exemplo, pretende-rmos definir sin z =?, z C Para tal fazemos: sin z = w sin w = z eiw e iw = z i ( e iw) ize iw = 0 e iw = iz + z Assim w = sin z = i log (iz + ) z

32 Funções Elementares 9 Com um procedimento análogo podemos provar que [ cos z = i log z + ] z Para este último, temos tan z tan z = i ( ) i + z log i z = w tan w = z eiw e iw i e iw + e = z iw ie iw + ie iw = ze iw + ze iw ie iw + i = ze iw + z ( e iw) ( i z) = z i z i e iw = i z w = i ( ) z i log i z w = i ( ) i + z log i z A dedução de outras fórmulas, como [ sinh z = log z + ] z + é deixada como exercício [ cosh z = log z + ] z tanh z = ( ) i + z log i z Exemplo Calcule todos os valores de cosh ( ) mostrando primeiro que cosh z = log [ z + ] z

33 30 Capítulo Funções Analíticas Resolução Seja cosh z = w Então temos cosh w = z ew + e w = z (e w ) ze w + = 0 e w = z + 4z 4 e w = z + [ z w = log z + ] z Assim [ cosh z = log z + ] z No caso em que z = temos ( ) ( ) cosh = log + ( ) = log ± ( ) = ± log + [ ( ) = ± Log + Transformações ] + i (kπ), k Z Ao contrário do que acontece com as funções reais de variável real, onde a representação gráfica de uma função permite tirar conclusões sobre o comportamento da função, as funções de variável complexa w = f (z) com w, z C não permitem uma tal representação, dado que precisaríamos de, pelo menos, 4 dimensões Para se tirar conclusões sobre uma função complexa, analisamos os conjuntos de pontos correspondentes a z e w em dois planos complexos, plano-z, (x, y) e plano-w, (u, v) A correspondência entre pontos dos dois planos diz-se uma aplicação, função ou ainda transformação de pontos do plano-z no plano-w

34 Transformações 3 y x z z v u Figura : Efeito da função quadrado ao primeiro quadrante Exemplo Mostre que a função f (z) = z transforma o primeiro quadrante do plano-z no semiplano superior do plano-w Resolução Sabemos que z = z e que arg (z ) = arg (z) Como z pertence ao primeiro quadrante, então 0 arg (z) π 0 arg (z) π 0 arg ( z ) π, por outro lado 0 z < 0 z < Assim temos o resultado pretendido, (ver Figura ) Exemplo Calcule os transformados das curvas x +y = c, c 0 por meio da função f (z) = x + y yi Resolução Fazendo f (z) = u + vi = x + y yi = c + ( y)i

35 3 Capítulo Funções Analíticas u y k c c v = u v = u Plano z Plano w x v k Figura 3: Imagens de circunferências por meio de f (z) = (x + y ) / yi temos u = c v = y com c y c u = c c v c u = c u v u Assim a função transforma circunferências em segmentos, (ver Figura 3) 3 Noções topológicas Definição 3 Sejam z 0 C e ǫ > 0 Chama-se vizinhança de z 0 de raio ǫ ao conjunto V ǫ (z 0 ) {z C : z z 0 < ǫ} Geometricamente (ver Figura 4) Definição 3 Um subconjunto A C diz-se aberto sse z 0 A, ǫ > 0 : V ǫ (z 0 ) A Geometricamente (ver Figura 5) Intuitivamente um conjunto aberto é um conjunto que não contém nenhum ponto da sua fronteira ou lado

36 3 Noções topológicas 33 y ǫ z 0 x Figura 4: Vizinhança de z 0 de raio ǫ y A ǫ z 0 x Figura 5: Conjunto aberto

37 34 Capítulo Funções Analíticas y y z 0 δ = ǫ w 0 x x Figura 6: Interpretação geométrica de z z 0 f (z) w 0 Definição 33 Seja f : A C C, z 0 A Diz-se que lim z z 0,z z 0 f (z) = a ( C) sse ǫ > 0 δ > 0 : 0 < z z 0 < δ (ver Figura 6) Exemplo 34 Prove que f (z) a < ǫ z lim z,z z = Resolução A função f (z) = z não está definida em z = Quando z z, (z )(z + ) f (z) = = z + z Assim f (z) = (z + ) = z Então dado ǫ > 0 basta tomar δ = ǫ ou menor Observação 35 Se f (z) = u (x, y) + iv (x, y) e lim z z0 f (z) = a = t + si, então lim u (x, y) = t lim v (x, y) = s z z 0 z z0

38 3 Noções topológicas 35 O símbolo z z 0 significa que z se aproxima de z 0 de uma forma arbitrária e não numa direcção em particular Proposição 36 Sejam f e g funções tais que Então temos lim f (z) = a e lim g (z) = b z z 0 z z0 lim z z0 [f (z) + g (z)] = a + b lim z z0 [f (z) g (z)] = ab 3 lim z z0 f(z) g(z) = a b se b 0 Prova Semelhante ao cálculo de variável real Definição 37 Seja A C aberto Dizemos que f : A C é contínua em z 0 A sse lim f (z) = f (z 0 ) z z 0 e que f é contínua em A sse é contínua em cada ponto de z 0 A Observação 38 Outras noções e propriedades, tais como, a de sucessão convergente, sucessão de Cauchy, continuidade por sucessões etc definem-se do mesmo modo como se definem para funções de variável real Exemplo 39 Indique os pontos onde a função é contínua f (z) = z + z + z 3 + Resolução Pela proposição 36 somas, produtos e quocientes de funções contínuas são contínuas, excepto nos zeros do denominador Assim f é contínua em C\{exp( πi), 3 exp(5π i), } 3

39 36 Capítulo Funções Analíticas 4 Derivadas Definição 4 Seja f : A C C, A aberto Diz-se que f é diferenciável em z 0 A se o seguinte limite f (z) f (z 0 ) lim = f (z 0 ) = df z z 0 z z 0 dz z=z0 existe Alternativamente, pondo z = z z 0, f é diferenciável se o limite f (z 0 + z) f (z 0 ) lim z 0 z (z z 0 z 0) existe Este limite é denotado por f (z 0 ) e chama-se derivada de f em z 0 f diz-se analítica ou holomorfa em z 0 A se f (z 0 ) existe e existe derivada em todos os pontos de uma vizinhança de z 0 Se f é analítica em todos os pontos de A diz-se que f é analítica em A Observação 4 A definição de derivada de uma função de variável complexa, embora muito semelhante à derivada de uma função de variável real, é muito mais rica No limite na definição de derivada (Definição 4) aparece uma divisão pelo número complexo z z 0, sendo por isso, necessário ter em conta a natureza especial da divisão de números complexos 3 O limite z z 0 é tomado para uma aproximação arbitrária de z a z 0 e não numa direcção em particular 4 A existência de f (z) permite tirar uma maior informação sobre f, nomeadamente que se f (z) existe, então também existem f, f, f (iv),, o que não acontece no caso real (Pense-se, por exemplo, na função { x se x 0 f (x) = x se x 0 Temos f (x) = x, mas f e as restantes derivadas não existem no ponto x = 0) 5 Se uma função é analítica em alguns pontos de cada vizinhança de um ponto z 0, excepto no ponto z 0, então z 0 é chamado ponto singular ou singularidade da função

40 4 Derivadas 37 Exemplo 43 Prove que se f (z) = z, então f (z 0 ) = z 0 Resolução Por definição temos f (z 0 ) := f (z) f (z 0 ) lim z z0 z z 0 = lim z z0 (z z 0 ) (z + z 0 ) z z 0 = lim z z0 z z 0 z z 0 = lim z z0 (z + z 0 ) = z 0, onde a última passagem é justificada pelo facto de os polinómios serem funções contínuas Proposição 44 Se f (z 0 ) existe e é finita, então f é contínua em z 0 Prova Provar que f é contínua em z 0 é provar que lim f (z) = f(z 0 ) z z 0 lim f (z) f (z 0 ) = 0 z z0 lim [f (z) f (z 0 )] = 0 z z0 [ ] f (z) f (z0 ) lim (z z 0 ) z z0 z z 0 = 0 f (z) f (z 0 ) lim lim (z z 0 ) = 0 z z0 z z 0 z z0 f (z 0 ) 0 = 0 0 = 0 O recíproco da proposição anterior não é verdadeiro Um contra exemplo é dado pela seguinte função: A função é contínua em C, pois f (z) = z lim f (z) = z 0 ǫ > 0 δ > 0 : z z0 < δ z z 0 f (z) z 0 < ǫ

41 38 Capítulo Funções Analíticas Temos z z 0 = ( z z 0 )( z + z 0 ) = z z 0 z + z 0 z z 0 z + z 0 δ ( z z 0 + z 0 ) δ ( z z 0 + z 0 ) Supondo 0 < δ < temos δ ( + z 0 ) = ǫ δ = ǫ + z 0 Cálculo da derivada: f f (z 0 + z) f (z 0 ) (z) = lim z 0 z z 0 + z z 0 = lim z 0 z (z 0 + z) (z 0 + z) z 0 z 0 = lim z 0 = lim z 0 ) Suponhamos que z 0 = 0, então z ( z z 0 + z + z 0 z f (z 0 ) = lim z 0 z = 0 ) Suponhamos que z 0 0 : Fazendo z 0 por diferentes direcções: a) z = x + 0i z = z Logo ) f (z 0 ) = lim z 0 (z 0 + z + z 0 ) = z 0 + z 0 b) z = 0 + yi z = z Logo f (z 0 ) = lim z 0 (z 0 z z 0 ) = z 0 z 0

42 4 Derivadas 39 Como o limite, se existir, é único, tem de ser z 0 + z 0 = z 0 z 0 z 0 = 0 absurdo, pois suposemos que z 0 0 Assim a derivada só existe em z = 0 Por definição esta função não é analítica em nenhum ponto Teorema 45 Suponhamos que f e g são analíticas em A, onde A C é um aberto Então af + bg é analítica em A e (af + bg) (z) = af (z) + bg (z), z A, a, b C fg é analítica em A e (fg) (z) = f (z) g (z) + f (z) g (z), z A 3 Se g (z) 0, z A então f/g é analítica em A e ( ) f (z) = f (z) g (z) f (z) g (z) g [g (z)], z A Prova Semelhante ao cálculo de funções de variável real Observação 46 Como consequências da proposição anterior temos que Todo o polinómio P n (z) = a o +a z + +a n z n é uma função analítica em C e P n (z) = a + a z + na n z n, z, a,, a n C Toda a função racional P n (z) Q m (z) = a o + a z + + a n z n b o + b z + + b m z m é analítica em C excepto nos zeros do denominador

43 40 Capítulo Funções Analíticas Teorema 47 (da função composta) Seja f : A C analítica e g : B C analítica, A, B abertos, com f (A) B Então g f : A C definida por (g f) (z) = g (f (z)) é analítica em A e (g f) (z) = g (f (z))f (z) Prova Sejam z, z 0 A, com f (z) = w e f (z 0 ) = w 0 Defina-se { g(w) g(w0 ) h (w) = w w 0 g (w 0 ) se w w 0 0 se w = w 0 Provemos que h é contínua Para w w 0, h está definida por uma função contínua logo contínua Para w = w 0 temos: lim w w 0 h (w) = g (w) g (w 0 ) lim lim g (w 0 ) w w 0 w w 0 w w 0 = g (w 0 ) g (w 0 ) = 0 Assim lim w w0 h (w) = h (w 0 ) = 0, ie, h é contínua Calculemos, pois Mas (g f) (z 0 ) = lim z z0 (g f) (z) (g f) (z 0 ) z z 0 () h (f (z)) = g (f (z)) g (f (z 0)) g (f (z 0 )) f (z) f (z 0 ) g (f (z)) g (f (z 0 )) = [h (f (z)) + g (f (z 0 ))] [f (z) f (z 0 )] g (f (z)) g (f (z 0)) = [h (f (z)) + g (f (z 0 ))] [f (z) f (z 0)] z z 0 z z 0 Portanto () vem (g f) (z 0 ) = lim z z0 { [h (f (z)) + g (f (z 0 ))] [f (z) f (z } 0)] z z 0 = lim z z0 [h (f (z)) + g (f (z 0 ))] lim z z0 [f (z) f (z 0 )] z z 0 = [0 + g (f (z 0 ))]f (z 0 ) Concluimos, assim, que se z A, então (g f) (z) = g (f (z))f (z)

44 5 Equações de Cauchy-Riemann 4 5 Equações de Cauchy-Riemann Teorema 5 Seja f : A C C, A aberto e z 0 A Então f (z 0 ) existe sse f = u + iv é diferenciável em z 0 = (x 0, y 0 ) no sentido de R (isto é, existem e são contínuas as derivadas parciais de u e v), e u e v satisfazem { u = v x y u = y v x equacões de Cauchy Riemann (C R) Se f (z 0 ) existe, então Prova Por definição temos f (z 0 ) = u x + i v x = f x = v y i u y = i f y f (z 0 ) := lim z z0 f (z) f (z 0 ) z z 0 Seja z = x + y 0 i Então f (z 0 ) = u (x, y 0 ) + iv (x, y 0 ) u (x 0, y 0 ) iv (x 0, y 0 ) lim z z0 x x 0 u (x, y 0 ) u (x 0, y 0 ) v (x, y 0 ) v (x 0, y 0 ) = lim + i lim x x0 x x 0 x x0 x x 0 = u x + i v x () Seja z = x 0 + yi Então f (z 0 ) = u (x 0, y) + iv (x 0, y) u (x 0, y 0 ) iv (x 0 y 0 ) lim z z0 i (y y 0 ) = i lim u (x 0, y) u (x 0, y 0 ) y y 0 y y 0 = i u y + v y + lim y y0 v (x 0, y) v (x 0, y 0 ) y y 0 = v y i u y (3)

45 4 Capítulo Funções Analíticas Como o limite quando existe é único, temos de () e (3) que f (z 0 ) = u x + i v x = v y i u y ou seja Temos ainda que { u = v x y u = y v x f x = f i y (C R) Exercício Provar que as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são dadas por { u = v r r θ v = r r e que, se f (z) existe, então ( ) ( ) u u f (z) = (cosθ i sin θ) r + i v = exp ( iθ) r r + i v r u θ Resolução Em coordenadas polares temos { x = r cos θ y = r sin θ e u x = v y u y = v x Obtemos, assim a seguinte representação para f (C R) f (r, θ) = u (x (r, θ), y (r, θ)) + iv (x (r, θ),y (r, θ)) Calculando as derivadas parciais, temos u r = u x x r + u y y r = u u cosθ + x y sin θ

46 5 Equações de Cauchy-Riemann 43 e Assim Por outro lado e Portanto Temos também que v θ = v x x θ + v y y θ = v v ( r sin θ) + (r cosθ) x y ( ) u u = r sin θ + y x cosθ = r u r u r = v r θ v r = v x x r + v y y r = v v cosθ + x y sin θ u θ = u x x = u = r x y θ u ( r sin θ) + θ + u y (r cosθ) y ( ) v v ( sin θ) y x cosθ = r u r v r = u r θ f (z) = u x + i v x onde { r = x + y θ = arctan ( ) y x

47 44 Capítulo Funções Analíticas Então ( θ v x + i r r x + v ) θ θ x = u u cosθ + ( r ) [ v r θ sin θ v + i cos θ + ( r )] r θ sin θ = u ( ) v v cosθ + r r sin θ + i u cosθ r r sin θ ( ) u = (cosθ i sin θ) r + i v r f (z) = u r r x + u θ = exp ( iθ) ( u r + i v r ) Observação 5 As condições de Cauchy-Riemann são condições necessárias para existir derivada As condições suficientes para existir derivada são, além de se ter de verificar as condições de Cauchy-Riemann as funções u, v, u, u, v, v serem contínuas x y x y Exemplo 53 Calcule a derivada das seguintes funções f (z) = z f (z) = z Resolução Neste caso temos que u (x, y) = x y v (x, y) = xy Dado que u x v = x = y u y = y = v x as condições de Cauchy-Riemann verificam-se Como u, v, u x, u y, v x, v y são contínuas em C, então f (z) existe em C e f (z) = u x + i v x = x + iy = z

48 6 Funções harmónicas 45 Temos u (x, y) = x + y v (x, y) = 0 Para se verificar as condições de Cauchy-Riemann, terá de ser: u y u x = x = v y x = 0 = y = v x y = 0 Donde se conclui, dado que u, v, u x, u y, v x, v y, são contínuas em z 0, que a derivada só existe em z = 0, (como já vimos, logo após a Proposição 44) Definição 54 Uma função analítica em C diz-se que é inteira 6 Funções harmónicas Definição 6 Seja u : A C R uma função de classe C Então u diz-se harmónica se u = u x + u = 0 (Laplaciano de u) y Proposição 6 Seja f = u + vi analítica em A, então u e v são funções harmónicas Prova Por f ser analítica temos { u = v x u = y v () y () x (C R) Derivando () em ordem a x e () em ordem a y temos u = v x x y u y = v y x u x + u y = v x y v y x = 0 Provaremos (ver Teorema 334 na pag 73) que se f é analítica, então existem todas as derivadas de f, pelo que, do cálculo de variável real sabemos que se v C (A), então v xy = v yx

49 46 Capítulo Funções Analíticas Definição 63 As funções u e v dizem-se harmónicas conjugadas sse a função f = u + vi é analítica Quando uma das funções harmónicas conjugadas é dada, podemos determinar a outra usando as condições de Cauchy-Riemann Exemplo 64 Verifique se u = y 3 3x y é harmónica em algum domínio e determine a sua harmónica conjugada Resolução Dado que e concluimos que u x = 6xy, u x = 6y u y = 3y 3x, u y = 6y u x + u y = 0 Assim, u é harmónica em C Se v é a harmónica conjugada de u, então as condições de (C-R) dizem que u x = v y 6xy = v y v (x, y) = 3xy + φ (x) Mas, pela outra equação de (C-R), vem que u y = v x 3y 3x = ( 3y + φ (x) ) φ (x) = 3x φ (x) = x 3 + k Logo v (x, y) = 3xy + x 3 + k A função correspondente é f = u + vi dada por f (z) = y 3 3x y + ( 3xy + x 3 + k ) i = (( z 3) + k ) i

50 7 Derivadas de funções elementares 47 7 Derivadas de funções elementares 7 Função exponencial Teorema 7 A aplicação f : C C, z e z é analítica em C e d dz (ez ) = e z Prova Por definição e z = e x (cosy + i sin y) de onde concluimos que u (x, y) = e x cosy v (x, y) = e x sin y que são funções infinitamente diferenciáveis Para provar que e z é analítica temos que verificar as condições de C-R: u x = ex cosy = v y u y = ex sin y = v x Como as derivadas parciais são são de classe C, então e z é analítica em C Temos ainda que d dz (ez ) = u x + i v x = ex (cos y + i sin y) = e z Exemplo 7 Calcule a derivada da função f (z) = e ez Resolução Dado que a composta de funções inteiras é uma função inteira, pela regra da função composta para a derivada temos f (z) = e z e ez

51 48 Capítulo Funções Analíticas 7 Funções trigonométricas Teorema 73 As funções sin z e cosz são inteiras com derivadas d dz (sin z) = cosz d (cosz) = sin z dz Prova Basta ter em conta a definição de sinz sin z := eiz e iz i e usar a regra da derivada da função composta O mesmo para o cosz Observação 74 As derivadas das restantes funções trigonométricas são obtidas u-sando as regras de derivação (teorema 45) e as derivadas do seno, co-seno e da exponencial tan z = sec z sinh z = cosh z tanh z = sech z cot z = csc z cosh z = sinh z coth z = csch z 73 Função logarítmica Teorema 75 Seja A = C\ {x + yi : x 0 y = 0} Define-se um ramo do logarítmo em A por log z = Log z + i arg (z), π arg (z) < π chamado ramo principal do logarítmo Então log z é analítica em A (ver Figura 7) com derivada d dz (log z) = z Prova Seja z = re iθ um elemento em A Então log z = Logr + iθ e assim obtemos u (r, θ) = Logr

52 7 Derivadas de funções elementares 49 x y Figura 7: Domínio de analiticidade de log z e v (r, θ) = θ As condições de (C-R) em coordenadas polares verificam-se, pois u r = r = r v θ v r = 0 = r u θ Como no domínio A u, v, assim como as suas derivadas, são contínuas, concluimos que log z é analítica em A, e temos, pelo Exercício que d dz (log z) = exp (iθ) ( u r + i v r ) = r exp (iθ) = z Observação 76 A razão da escolha do domínio de analiticidade de logarítmo tem a ver com o facto de o argumento de z estando no intervalo π arg z < π não ser uma função contínua sobre o eixo real negativo De facto, para um número no eixo real negativo o argumento é π, ao passo que o valor do argumento na parte superior de cada vizinhança desse número é tão próximo de π quanto se queira, ou seja, a função argumento dá um salto ao cortar o eixo real negativo

53 50 Capítulo Funções Analíticas x y Figura 8: Domínio de analiticidade de log z Os pontos do eixo real negativo, θ = π, assim como a origem são pontos singulares (ver Observação 5 na pág 36) 3 O raio θ = π chama-se corte do logarítmo, para o ramo principal, ie, é a recta ou curva de pontos singulares 4 O ponto singular z = 0 comum a todos os cortes de ramo da função multivalente log z é chamado nó de ramos ou ponto de ramificação Exemplo 77 Calcule a derivada da função log (z ) e indique o domínio de analiticidade Resolução Podemos derivar a função logarítmo desde que arg ( z ) ±π Seja arg(z) = θ arg (z ) = θ Então θ ±π θ ± π Assim em D = C\ {x + yi : x = 0, y R}, (ver Figiura 8)

54 7 Derivadas de funções elementares 5 e neste domínio temos d ( ( )) log z = dz z 74 Potências complexas Lembremos que é uma função multivalente z c := exp (c log z) Proposição 78 Para qualquer ramo da função logarítmo, a função z a z é inteira e tem derivada d dz (az ) = log (a) a z Fixando um ramo do logarítmo, por exemplo o principal, a função z z b é analítica no domínio do ramo do logarítmo escolhido e temos d ( ) z b = bz b dz 3 A função z z /n é analítica no domínio do logarítmo (ver Figura 9) e tem derivada Prova Atendendo à definição d ( ) z /n = dz n z n a z := exp (z log a) e pela derivada da função composta obtemos d dz (az ) = d dz [exp (z log a)] = d dz (z log a) exp (z log a) = log (a) az, onde log a é uma constante A derivada é válida em C

55 5 Capítulo Funções Analíticas x y Figura 9: Domínio de analiticidade de z z b e z z /n Como z b := exp (b log z), então d dz ( z b ) = d dz [exp (b log z)] = d dz (b log z) exp (b log z) = zb b z = bzb a qual é válida no domínio do logarítmo 3 Análogo a Note que se b N, então z b é analítica em C, mas em geral z b é analítica no domínio do logarítmo Exemplo 79 Explique o que está mal no seguinte raciocínio Sabemos que a z := exp (z log a) portanto d dz (az ) = a z log a Por outro lado d dz (az ) = za z (4) Assim za z = a z log a z = a log a

56 7 Derivadas de funções elementares 53 y 3π π π 3π x Figura 0: Domínio de analiticidade de (e z + ) / Resolução O que está mal é a igualdade (4), pois d dz (az ) za z dado que a derivada de a z é a z log a para qualquer ramo do logarítmo Exemplo 70 Diferencie a função z e z + indicando a região onde a função é analítica Resolução Pela proposição anterior a função é analítica no domínio do logarítmo Escolhendo o ramo principal do logarítmo que é analítica em C\ {x + yi : x 0 y = 0} A região de holomorfia de e z +, A, é tal que se z A então e z + não pode ser real negativo (ver Figura 0) Procuremos z tal que e z + R 0, ie, { e x cosy + 0 e x sin y = 0 { (e x + 0 y = kπ) ( e x + 0 y = (k + )π) y = kπ, k Z { x 0 y = (k + )π, k Z

57 54 Capítulo Funções Analíticas Assim o domínio de analiticidade de e z + é A = C\ {x + yi : x 0 y = (k + )π, k Z} e temos para z A d ( ez + ) = dz e z e z +

58 7 Derivadas de funções elementares 55 Exercícios Exercício Encontre a parte real e a parte imaginária de exp (e z ) Exercício 3 Simplifique exp (z + i) e exp (iz ), e mostre que exp (z + i) + exp ( iz ) exp (x) + exp ( yx) Exercício 4 Atendendo à definição de sinh z e cosh z, prove que cosh z sinh z = sinh(z + z ) = sinh z cosh z + cosh z sinh z 3 cosh (z + z ) = cosh z cosh z + sinh z sinh z 4 sinh (x + yi) = sinh x cosy + i cosh x sin y 5 cosh (x + yi) = cosh x cosy + i sinh x sin y Exercício 5 Use a equação sin z = sin x cosh y + i sinh y cosx onde z = x + yi para provar que sinh y sin z cosh y Exercício 6 Mostre que sin z sin x e cosz cosx Exercício 7 Encontre todas as raízes da equação exp (z) = 3 Exercício 8 Calcule todas as raízes das equações cosz = sinh z = i Exercício 9 Prove que log (z/w) = log (z) log (w) (modπ), z, w C\ {0} Exercício 0 Calcule todos os valores de log ( + i) i Exercício Calcule todos os valores de exp(log cosh () ) começando por demonstrar que [ cosh (z) = log z + ( ] z )

59 56 Capítulo Funções Analíticas Exercício Calcule todos os valores de ( + i) +i Exercício 3 Determine a imagem das faixas semi-infinitas x 0 0 y π x 0 0 y π por meio de f (z) = exp (z), exibindo os transformados das fronteiras Exercício 4 Considere a função f (z) = z Determine o conjunto de todos os pontos do plano-z que são transformados nas rectas u = c v = c no plano-w Faça c, c =, 4,, 4 Exercício 5 Prove que a função f (z) = z é contínua e não tem derivada em nenhum ponto E a função I(z)? Exercício 6 Prove que o seguinte limite não existe lim z 0 lim z z Exercício 7 Prove formalmente, por mudança de variáveis, as equações de Cauchy -Riemann em coordenadas polares u = v u r r θ θ = r v r e que a derivada de uma função em coordenadas polares é dada por ( ) u f (z) = exp ( iθ) r + i v r Augustin Louis CAUCHY ( ), engenheiro e matemático francês com enorme contribuição para o desenvolvimento da matemática e outras ciências, em especial a física, através de cerca de 8 centenas de trabalhos publicados, foi um dos fundadores da análise matemática moderna, e o seu nome está ligado a numerosos teoremas Georg Friedrich Bernhard RIEMANN (86-866), matemático alemão que sucedeu a Dirichlet como professor em Göttingen e se tornou notável pelos seus trabalhos sobre a teoria das funções analíticas (de que foi um dos fundadores), geometrias não euclidianas, teoria dos números e física matemática

60 7 Derivadas de funções elementares 57 Exercício 8 Considere a função, f, definida por f(z) = { ( z) z se z 0 0 se z = 0 Prove que as condições de Cauchy-Riemann se verificam em z = 0 mas que a derivada de f não existe nesse ponto Exercício 9 Considere a função f (z) = zi(z) Mostre que f (0) = 0 Será f (z) analítica em z = 0? Justifique Exercício 0 Prove que se f é analítica num domínio, D, então ( x + ) f(z) = 4 f (z) y Exercício Mostre que o módulo e o argumento da função analítica, f (z) = R (x, y)exp (iφ (x, y)), R, φ funções reais, verificam as seguintes relacções R x = R φ y, R y = R φ x Exercício Seja f uma função analítica num domínio D que não contém o ponto z = 0 Sendo f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ), use as condições de Cauchy- Riemann em coordenadas polares, para mostrar que, em D, tanto u como v satisfazem a equação de Laplace 3 em coordenadas polares, admitindo que u, v C (D), r u r + r u r + u θ = 0 Exercício 3 Verifique que se f é analítica em A e u então f é constante em A + v x y = 0 em A, Exercício 4 Seja f uma função analítica em A e f(z) constante em A Mostre que f é constante em A Exercício 5 Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma função analítica em A, tal que u + v = 0, em A Mostre que f(z) = icz + d, onde c R e x y d C\R 3 Pierre Simon de LAPLACE (749-87), astrónomo, matemático e físico francês com importantes contribuições para a mecânica celeste e teoria das probabilidades

61 58 Capítulo Funções Analíticas Exercício 6 Seja u uma função tal que u C (A) tal que u + u = 0 x y Prove que f = u x i u é analítica em A y Exercício 7 Verifique que u é harmónica em algum domínio e determine as suas harmónicas conjugadas u(x, y) = x( y) u(x, y) = sinh(x) sin y Exercício 8 Derive e indique a região de analiticidade de cada uma das seguintes funções log (e z + ) z z 3 e z 4 e az a z, a R Exercício 9 Calcule a derivada da função z e indique o domínio onde essa derivada é válida

62 Capítulo 3 Integrais Este capítulo é dedicado ao estudo dos integrais de funções complexas Neste contexto, o teorema de Cauchy desempenha um papel fundamental na teoria das funções analíticas, nomeadamante permite-nos provar que se f é analítica então existem todas as derivadas da função f Muitos dos resultados deste capítulo dependem deste teorema Não menos inportante são os resultados da Secção 33 que trata da fómula integral de Cauchy Esta fórmula é tão importante que muito dos resultados obtidos posteriormente podem ser considerados consequencia da fórmula integral de Cauchy para as derivadas Em particular destacamos os teoremas de Louville e de Morera Finalmente neste capítulo vamos abordar o módulo máximo de funções analíticas em domínios limitados, ver Secção 34 para mais pormenores 3 Integral de caminho Seja h : [a, b] R C uma função dada por h (t) = u (t) + iv (t), com u, v funções contínuas em [a, b] Definimos o integral definido por b a h (t) dt := b a u (t) dt + i b a v (t)dt C, onde b a u (t) dt e são integrais de uma variável real b a v (t) dt 59

63 60 Capítulo 3 Integrais () () (3) (b) (a) (b) (b) (a) (a) (4) (a) = (b) (b) (5) (a) Figura 3: Curvas em C () classe C ; () seccional/ classe C ; (3) suave; (4) simples fechada; (5) caminho Definição 3 Seja : [a, b] C uma curva em C diz-se de classe C se (t) existe em ]a, b[ e é contínua em [a, b] diz-se seccionalmente de classe C se (t) existe em ]a i, a i [ e é contínua em [a i, a i ], onde [a, b] = n j= [a j, a j ] 3 diz-se uma curva suave se (t) existe e (t) 0, t [a, b] 4 diz-se uma curva fechada de Jordan ou curva simples fechada se (a) = (b) e (t) (t ) t, t [a, b] \ {a, b} com (t) contínua 5 diz-se um caminho se é seccionalmente suave (Ver Fig 3) Definição 3 Seja f : A C C contínua e : [a, b] C um caminho tal que ([a, b]) A Define-se o integral de f ao longo de por f (z) dz := n i= ai a i f ( (t)) (t)dt

64 3 Integral de caminho 6 Proposição 33 Se f (z) = u (x, y) + iv (x, y), então f (z) dz = [u (x, y)dx v (x, y)dy] + i [u (x, y)dy + v (x, y)dx] Prova Seja (t) = (x (t), y (t)) = x (t) + iy (t) (t) = x (t) + iy (t) Temos b f (z) dz := [u (x (t), y (t)) + iv (x (t), y (t))] [x (t) + iy (t)]dt = a b [u (x (t), y (t)) x (t) v (x (t), y (t)) y (t)] dt a b +i a [u (x (t),y (t))y (t) + v (x (t), y (t)) x (t)] dt que, em termos de integrais de caminho reais não é mais do que u (x, y)dx v (x, y)dy + i u (x, y)dy + v (x, y)dx Este resultado pode ser obtido formalmente, calculando f (z) dz = [u (x, y) + iv (x, y)] (dx + idy) Proposição 34 Sejam f, g funções complexas contínuas, c, c C e,, cami-nhos em C Então c f + c g = c f + c g f = f 3 + f = f + f Prova Exercício Exemplo 35 Calcule o valor do integral z dz, onde é o segmento de recta que une z = 0 a z = + i, (ver Fig 3)

65 6 Capítulo 3 Integrais y + i x Figura 3: Curva de 0 a + i Resolução o Processo Seja com (t) = + i Assim z dz := 0 : [0, ] C, t t + it (t + ti) ( + i) dt = ( + i) = ( + i) (3 + 4i) = i 0 t dt = ( + i) (3 + 4i) 3 0 ( 3t + 4t i ) dt o Processo y = x com 0 x, z = x + xi dz = ( + i)dx Assim z dz = = ( ) x + x i ( + ) i dx ( + ) ( ) 34 i + i x dx = = i 0 ( + i ) ( i ) 8 3 Vamos resolver o mesmo exercício percorrendo um caminho diferente O caminho que une z = 0 a z = mais o de z = a z = +i, (ver Figura 33)