z = y 1 n. (3) Conclusão. A equação de Bernoulli (1) se transforma em uma equação linear através da 1 n, y = 1 1 n z 1

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1 Seção 6: Equação de Bernoulli Definição. Uma equação de Bernoulli é uma equação diferencial ordinária de a ordem da forma y + fx) y = gx) y n, ) onde n é um número real não precisa ser inteiro nem positivo). Vamos sempre considerar n 0,, pois nestes dois casos ) seria uma EDO linear, que já saemos resolver. Método de resolução. Experimentemos fazer uma mudança de variável do tipo y = z p. Sustituindo em ), temos p z p z + fx)z p = gx) z np, ou seja, p z + fx)z = gx) z np p+. 2) A EDO 2) se torna o mais simples possível se np p + = 0, isto é, para p = n. Em outras palavras, para resolver ), vamos fazer a sustituição z = y n. ) Conclusão. A equação de Bernoulli ) se transforma em uma equação linear através da sustituição z = y n. De fato, fazendo a sustituição z = y n, calcula-se e a equação ), portanto, se transforma em ou, multiplicando a equação por z n n, que é uma EDO linear. y = z n, y = n z n z n z n n z + fx) z n n z + fx) z = gx), = gx) z n n Se o expoente n for negativo, é preciso ter cuidado, pois ao fazer a sustituição ), estaremos eliminando a possiilidade de y = 0. Com isto perdemos uma solução da EDO ), pois é fácil ver que se n > 0, então y = 0 é uma solução da EDO ). Não vale a pena memorizar a forma da equação linear que resulta. Basta somente lemrar da sustituição z = y n. Exemplo. Consideremos o crescimento de uma actéria que vamos supor esférica, por simplicidade). Para cada instante de tempo t, indiquemos por M = Mt) a massa da actéria, V = V t) seu volume, S = St) a área da superfície e r = rt) o raio. Supondo a densidade da

2 actéria constante igual a ρ, temos M = ρv. Vamos construir um modelo matemático levando em conta que a taxa de crescimento da massa da actéria é influenciada por dois fatores: i) A massa M tende a aumentar, devido à alimentação. Como o alimento entra através da memrana superficial, é razoável supor que este efeito seja diretamente proporcional à área S da superfície da actéria; ii) Existe uma queima da massa da actéria devida ao metaolismo. Como esta queima é mais ou menos uniforme ao longo de todas as partes da actéria, é razoável supor que este efeito seja diretamente proporcional à masa M da actéria. Consideremos o prolema de determinar de que maneira a massa M varia com a passagem do tempo t. As duas suposições feitas acima implicam que existem duas constantes α > 0 e β > 0 tais que dm = αs βm. 4) Esta equação ainda está envolvendo duas quantidades M e S que dependem do tempo. Para poder resolver a equação é preciso eliminar uma delas. Note que V = 4 π r e S = 4π r 2. ) 2 V ) Segue daí que S = 4π = 4π V ) 2. Por outro lado, V = M/ρ. Sustituindo tudo 4π isto na equação 4), encontramos dm = α 4π) M) 2 ρ 2 βm. Vemos que a equação diferencial que governa o crescimento da actéria e do tipo onde λ = α 2 4π) ρ 2 dm = λ M 2 βm, 5) e β são constantes positivas. A equação 5) é uma equação de Bernoulli, com n = 2. Fazendo a sutituição z = M n = M, temos M = z e M = z 2 z, que transforma 5) em que é equivalente à equação linear z 2 z = λ z 2 βz, z + β z = λ. 6) Um fator integrante para a equção 6) é µ = e R β = e βt. Multiplicando 6) por este fator integrante, encontramos e βt z + β e βt λ z = e βt. O lado esquerdo desta última EDO é a derivada de um produto, Assim, e βt ) λ z = e βt. Por integração temos e βt λ z = 2 e βt.

3 Calculando a integral, encontramos ou seja, e βt z = λ β e βt + C, z = λ β + Ce βt e, finalmente, Mt) = ) λ β + C β t e. Oservação: A constante C depende da condição inicial. Existe um tamanho limite para a célula, que não depende do tamanho inicial, isto é, qualquer que seja C, λ lim Mt) = t + β = M eq. Condições iniciais M0) < M eq é que fazem sentido em nosso prolema. Elas correspondem a valores C < 0 da constante. Neste caso, a λ solução Mt) é uma função crescente, pois a β exponencial é decrescente. Uma condição inicial M0) > M eq é matematicamente possível. Teríamos C > 0 e a solução Mt) seria decrescente. A função constante Mt) = M eq é a solução que corresponde a C = 0. É a solução de equilírio. Trata-se de um ponto de equilírio estável: tomando uma condição incial M0) próxima do valor de equilírio M eq, a solução que se otém tende a voltar ao valor de equilírio, emora sem atingi-lo num tempo finito. Exemplo 2. Resolver a equação diferencial y = xy + xy. 7) Esta EDO é uma equação de Bernoulli com n =. Fazemos a mudaça de variável z = y = y 2, isto é, y = z 2, y = 2 z 2 z. 8) Note que com esta mudaça de variável, eliminamos a possiilidade de y se anular. Precisamos então verificar separadamente se y = 0 é uma solução da EDO 7). Verifica-se que é. Sustituindo 8) em 7), tem-se isto é, 2 z 2 z = x z 2 + x z 2, z + 2xz = 2x. Esta é uma EDO linear e um fator integrante para ela é µ = er 2x dx = e x2.

4 Multiplicando por este fator integrante, temos e x2 z + 2xe x2 z = 2xe x2, ou, equivalentemente, e x2 z) = 2xe x 2, cuja solução é e x2 z = 2xe x2 dx = e x2 + C. Segue que z = + C e x2. Fazendo a sustituição inversa, otemos que a solução geral de 7) é y = + C e x2) 2. Oserve que a solução particular y = 0 de 7) não está incluída na solução geral para nenhum valor de C. Portanto, a solução de 7) é y = + C e x2) 2, y = 0. Aplicação: Modelos de Crescimento Populacional Como uma aplicação das idéias desolvolvidas até este ponto, vamos estudar alguns modelos simples de crescimento populacional. Crescimento Exponencial. É o modelo mais simples, que já foi estudado na primeira aula, em que se supõe que a taxa de crescimento de uma população em um dado instante é diretamente proporcional ao número de indivíduos neste instante. Em símolos, designando por N = Nt) o número de indivíduos no instante t, dn = λ N, 9) onde λ > 0 é uma constante que só depende da espécie de actérias que se está oservando N t depende do tempo que cada célula leva para se dividir). Na primeira seção, resolvemos a equação 9) por separação de variáveis, econtrando a solução geral N = Ce λ t. Se for conhecida a população no instante inicial t = 0, isto é, se tivermos uma condição inicial N0) =, determinamos C =, N = Nt) = e λ t. Conclui-se que, segundo este modelo, a população cresce exponencialmente. 4

5 Crescimento Logístico. O modelo anterior, de crescimento exponencial, descreve em a evolução de uma população até um certo estágio. Quando o número de indivíduos cresce, começa haver competição entre os indivíduos, pelo alimento, por exemplo. Isto ocasiona uma diminuição na taxa de crescimento, que é preciso levar em conta, para oter um modelo que descreva mais fielmente a realidade. A taxa de crecimento será do tipo dn = ϕn) N, onde ϕn) agora não é mais constante, mas varia com N, diminuindo quando N cresce, podendo inclusive tornar-se negativo se N for muito grande. A funçõ mais simples com estas propriedades é ϕn) = a N, com a > 0 e > 0 constantes, cujo gráfico é uma reta. Otemos assim a euqação diferencial dn = a N ) N, 0) conhecida como equação logística. Vamos supor que 0 < a, de modo que, enquanto a população N não for muito grande, a taxa de crescimento será aproximadamente N an, e o modelo anterior dará uma oa aproximação. Para valores muito gandes de N, o termo N se faz sentir e a taxa de crescimento fica menor. A EDO 0) é separável, mas tamém é de Bernoulli e, justamente, é mais fácil resolvê-la como tal. De fato, N = an N 2 é de Bernoulli com n = 2. Seguindo o método expoxto acima, fazemos a mudança de variável Sustituindo na EDO, temos z = N 2 = N, N = z, N = z 2 z. z 2 z = az z 2. Multiplicando por z 2, otemos a equação linear z + az =, cujo fator integrante é µ = e R a = e at. Então, e at z + ae at z = e at, e at z ) = e at, e at z = e at = a eat + C e, portanto, z = a + Ce at. Finalmente, a solução geral de 0) é N = a +. Ce at Note que N = 0 é uma solução de 0), que não está incluída na solução geral para nenhumvalor de C, e que foi perdida no momento em que se fez a mudança de variável z = N, que exclui a possiilidade de N = 0. Mas, na presente situação, a solução N = 0 não é relevante. Se tivernos uma condição inicial N0) =, podemos determinar C de = a + C e encontramos N = Nt) = a + 5 a ) e at.

6 Oservamos que o modelo prevê que para t grande, independente da população inicial N0), Nt) vai se aproximar sempre de um mesmo valor Para valores pequenos de t, escrevendo como e at 0, temos Nt) = Nt) e at, lim Nt) = a t. e at + a e at ), para t pequeno, concordando com o modelo anterior. A solução constante Nt) = a coresponde a um ponto de equilírio estável. Se a condição inicial for = a, Nt) permanecerá constante igual a esse valor em todos os instantes a futuros. Tomando uma condição inicial um pouco diferente desse valor, Nt) tende a voltar ao valor de equilírio. Já a solução constante Nt) = 0 é um ponto de equilírio instável. Se mudarmos um pouco a condição incial, Nt) tenderá a se afastar ainda mais de 0 quando t. Este modelo foi proposto em 88 pelo matemático elga Verhulst para a população humana. Em 90 foi comprovado que descreve razoavelmente em a população de drozófilas. 6