Equações Diferenciais Ordinárias. Lúcia de Fátima de Medeiros Brandão Dias

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1 Equações Diferenciais Ordinárias Lúcia de Fátima de Medeiros Brandão Dias São Cristóvão/SE 2009

2 Equações Diferenciais Ordinárias Elaboração de Conteúdo Lúcia de Fátima de Medeiros Brandão Dias Capa Hermeson Alves de Menezes Reimpressão Copyright 2009, Universidade Federal de Sergipe / CESAD. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização por escrito da UFS. FICHA CATALOGRÁFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE D541e Dias, Lúcia de Fátima de Medeiros Brandão. Equações diferenciais ordinárias / Lúcia de Fátima de Medeiros Brandão Dias -- São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, Matemática. 2. Equações diferenciais ordinárias. I. Título. CDU

3 Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário de Educação a Distância Carlos Eduardo Bielschowsky Reitor Josué Modesto dos Passos Subrinho Chefe de Gabinete Ednalva Freire Caetano Coordenador Geral da UAB/UFS Diretor do CESAD Antônio Ponciano Bezerra Vice-coordenador da UAB/UFS Vice-diretor do CESAD Fábio Alves dos Santos Vice-Reitor Angelo Roberto Antoniolli Diretoria Pedagógica Clotildes Farias (Diretora) Hérica dos Santos Mota Iara Macedo Reis Daniela Souza Santos Janaina de Oliveira Freitas Diretoria Administrativa e Financeira Edélzio Alves Costa Júnior (Diretor) Sylvia Helena de Almeida Soares Valter Siqueira Alves Coordenação de Cursos Djalma Andrade (Coordenadora) Núcleo de Formação Continuada Rosemeire Marcedo Costa (Coordenadora) Coordenadores de Curso Denis Menezes (Letras Português) Eduardo Farias (Administração) Haroldo Dorea (Química) Hassan Sherafat (Matemática) Hélio Mario Araújo (Geografi a) Lourival Santana (História) Marcelo Macedo (Física) Silmara Pantaleão (Ciências Biológicas) Núcleo de Avaliação Guilhermina Ramos (Coordenadora) Carlos Alberto Vasconcelos Elizabete Santos Marialves Silva de Souza Núcleo de Serviços Gráficos e Audiovisuais Giselda Barros Núcleo de Tecnologia da Informação João Eduardo Batista de Deus Anselmo Marcel da Conceição Souza Assessoria de Comunicação Guilherme Borba Gouy Coordenadores de Tutoria Edvan dos Santos Sousa (Física) Geraldo Ferreira Souza Júnior (Matemática) Janaína Couvo T. M. de Aguiar (Administração) Priscilla da Silva Góes (História) Rafael de Jesus Santana (Química) Ronilse Pereira de Aquino Torres (Geografi a) Trícia C. P. de Sant ana (Ciências Biológicas) Vanessa Santos Góes (Letras Português) NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICO Hermeson Menezes (Coordenador) Edvar Freire Caetano Isabela Pinheiro Ewerton Lucas Barros Oliveira Neverton Correia da Silva Nycolas Menezes Melo UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE Cidade Universitária Prof. José Aloísio de Campos Av. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa Elze CEP São Cristóvão - SE Fone(79) Fax(79)

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5 Sumário Introdução O que é uma E.D.O.? Classificação das Equações Diferenciais Motivação Definições e terminologia Equações Diferenciais Ordinárias e o Teorema Fundamental do Cálculo Exemplo de um estudo qualitativo de uma E.D.O. Conclusão Referências Bibliográficas Introdução Problema de valor inicial ou problema de Cauchy Teorema de existência e unicidade Conclusão

6 Referências Bibliográficas Introdução Equações separáveis Equações exatas Obtendo solução de uma equação de primeira ordem não exata Conclusão Referências Bibliográficas Introdução Equações lineares Equações Homogêneas Equação de Bernoulli, Equação de Riccati e Equação de Clairaut Conclusão

7 Referências Bibliográficas Introdução Dinâmica populacional Datação da idade de um fóssil Esfriamento e aquecimento de um corpo Circuitos elétricos Diluição de soluções Trajetórias ortogonais Conclusão Referências Bibliográficas Introdução Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem superior - Fundamentos teóricos. Dependência e independência linear de funções Soluções de equações diferencias ordinárias lineares.

8 Redução de ordem Conclusão Referências Bibliográficas Introdução Resolvendo equações lineares homogêneas com coeficientes constantes. Equações de ordem superior Resolvendo uma E.D.O. linear não homogênea com coeficientes constantes. Conclusão Referências Bibliográficas Introdução Resolvendo equações lineares não homogêneas. Equações de ordem superior Modelagem matemática em E.D.O. lineares de ordem superior com coeficientes constantes O oscilador harmônico

9 Conclusão Referências Bibliográficas Introdução Equação de Cauchy-Euler Equação de Cauchy-Euler de segunda ordem Equação de Cauchy-Euler de ordem superior Conclusão Referências Bibliográficas Introdução Séries de potências Soluções em série em torno de um ponto ordinário Soluções em série em torno de pontos singulares- Método de Frobenius Conclusão

10 Referências Bibliográficas Introdução A transformada de Laplace A transformada inversa de Laplace Conclusão Referências Bibliográficas Introdução A transformada de uma derivada Resolvendo equações diferenciais utilizando a transformada de Laplace O teorema da convolução eatransformada de funções periódicas Conclusão

11 Referências Bibliográficas Introdução Sistema de equações lineares de primeira ordem: Fundamentos teóricos Sistemas de equações lineares de primeira ordem homogêneo com coeficientes constantes. Conclusão Referências Bibliográficas Introdução Resolvendo um sistema de equações lineares de primeira ordem não homogêneo Variação de parâmetros Conclusão

12 Referências Bibliográficas Introdução Problemas envolvendo sistemas de equações lineares Molas acopladas Sistemas elétricos: Malhas paralelas Problemas envolvendo sistemas de equações não lineares Movimentos de corpos celestes Conclusão Referências Bibliográficas

13 R AULA 1

14 Introdução O que é uma E.D.O.? dx +3x = senx dt x x t t 3 dy dt + xdx dt = y + x x dx dt + dx ds =5 14

15 AULA 1 F (x, y, y,y,,y (n) )=0, F n +2 x y y,y,,y (n) y x n F (x, y, y,y,,y (n) )=0 y (n) y (n) = f(x, y, y,y,,y (n 1) ) d n y dx n y (n) n y x Classificação das Equações Diferenciais 15

16 3xy + y +3x 5 y =5, (y ) 5 + y =0,y (5) +5xy (7) + y =2 n F (x, y, y,,y (n) )=0 a n (x)y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = g(x). x 2 y + y =7 (sen x)y + y (4) = lnx yy + y (4) = lnx yy y (5) +3x 2 y + lny =0 ln y Motivação 16

17 AULA 1 m m x y F ry = N P y = N P cos θ y F rx = P x = P sen θ F r = ma. m F rx +F ry = P sen θ+0 = mg sen θ 17

18 P sen θ = ma x = mx, x t x ( ) a x x = gsen θ. t t a = dv dt a = d2 x dt 2 v x θ =0 θ =90 o 18

19 s AULA 1 θ s = lθ, l t a = d2 s dt 2 = l d2 θ dt 2 y T P y x mg sen θ mgsen θ = ml d2 θ dt 2 d 2 θ dt 2 = g sen θ. l k m 19

20 m s ks = mg. m x F r = ma, F r m F r = mg k(s + x) F r = ma mg k(x + s) =mẍ. g s ẍ = k m x, ks = mg 20

21 Definições e terminologia AULA 1 n n φ I I R F (x, y, y,,y (n) )=0 φ I R n I F (x, φ(x),φ (x),,φ (n) (x)) = 0 x I y = 1 x xy +y =0 x (0, ) y = 1 x R 4y x 3 =0 y y(x) = x4 16,x R R y x y = x 3 /4 4y x 3 4y x 3 =0 y = x c, c R c I 21

22 dy dx = y2 4 y(x) = 2 (1 + ce4x ) (1 ce 4x,c R ỹ(x) = 2 ) c y(x) =ỹ(x) = 2. y = φ(x) G(x, y) = 0 G(t, E, c) = 0, G(t, E) = c t + E sen E de dt = 1 1 cos E. t G(t, E) =0 G(x, y) =0 G(x, y) = x 2 + y 2 4 dy dx = x y 2 <x<2 dy = f(x, y), dx φ(x) =c, c R f(x, φ) =0 22

23 φ(x) =2 AULA 1 dy dx = y2 4. φ φ I I y = x 3 /4 Equações Diferenciais Ordinárias e o Teorema Fundamental do Cálculo f :[α, γ] R γ α f(x)dx [a, b] R [a, b] R F (x) = x a f(x)dx f : F : f F (x) =f(x) x (a, b) 23

24 f F dy dx = f(x). f f f 24

25 AULA 1 Exemplo de um estudo qualitativo de uma E.D.O. 1 a dy = f(x, y) dx dy dx y = y(x) (x, y) f(x 0,y 0 ) (x 0,y 0 ) dy dx = f(x, y) (x 0,y 0 ) (x 0,y 0 ) f(x, y) = y x dy dx = y x, (4, 7) 25

26 f(4, 7) = 7/4 f(x, y) (x, y) xy f(x, y) f(x, y) dy dx = y x, 26

27 AULA 1 Conclusão 27

28 RESUMO PRÓXIMA AULA ATIVIDADES 28

29 3x 2 y (4) +(y ) 6 =1. AULA 1 3x dy dx + dz dx = x5. (lnx) d3 x dt 3 +5dx dt x =0. (1 x)y 4xy +5y = cos x. ( ) x d3 y dy 4 dx y =0. dx yy +2y =1+x 2. x 2 dy +(y xy xe x )dx =0. dx dt +3xdy ds +1=90. g(x) = c 1 cos(4x) + c 2 sen (4x),c 1,c 2 R y +16y =0. y = xy +(y ) 2 y = cx + c 2. k y = kx 2 y =8xy dx dt =(1 t2 )(1 x 2 ) y 1 =2x +2 y 2 = x 2 /2 y = xy +(y ) 2 /2. 29

30 c 1 y 1 c 2 y 2 c 1,c 2 R m v v a = dv/dt LEITURA COMPLEMENTAR Referências Bibliográficas 30