CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 5 RETA

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1 Lui Fancisc da Cu Depatament de Matemática Unesp/Bauu CAPÍTULO RETA Definiçã: Seja () uma eta que cntém um pnt A e tem a dieçã de um vet v, cm v. Paa que um pnt X d R petença à eta () deve ce que s vetes AX e v sejam paalels. Assim, eiste um escala t R tal que: AX tv X A tv X A tv. Esta epessã é chamada de equaçã vetial da eta. Obseve que, paa escevems a equaçã vetial de uma eta ():X A tv, sempe necessitams cnhece um pnt A de () e um vet v paalel a ela. O vet v é chamad de vet diet da eta () e chamad de paâmet. t R é A AX X () v P um aima imptante da gemetia plana, dis pnts distints, A e B, deteminam uma eta. Lg, pdems esceve a equaçã vetial da eta quand se cnhece dis pnts petencentes a ela, da seguinte fma: pdems cnsidea vet diet da eta () cm send vet AB u BA, pis ambs sã paalels a eta (), assim cm pdems esclhe qualque um ds pnts A u B e esceve que ( ):X A t AB u ( ):X A t BA u ( ):X B t AB u ainda ( ):X B t BA. A AB B () A AB B ()

2 Lui Fancisc da Cu Depatament de Matemática Unesp/Bauu P eempl: cnsidee a eta () deteminada pels pnts A(,,) e B(-,,). Entã pdems esceve que ( ):X A t AB, t R ( ):X (,,) t (, ) que é a equaçã vetial da eta (). Assim, paa cada val eal d paâmet t substituíd na equaçã vetial da eta vams bte seus infinits pnts, u seja: paa t X (,,) (, ) X (,,) () ; paa t X (,,) (, ) X (,,) () ; paa t X (,,) ( ) (, ) X (9,7, ) () ; Assim p diante.. Equações da Reta Equações Paaméticas da Reta Sejam X(,, ) e A(,, ) nde, A é pnt cnhecid da eta e X epesenta qualque pnt da eta, paa algum val de t R. Seja v (,, ) vet diet da eta (). Assim, sua equaçã vetial é ():X A tv. Substituind as cdenadas de cada element da eta teems: (,, ) (,, ) (,, ) t (): t t t, t R. Esta fma de esceve é chamada de equações paaméticas da eta (). Equações Siméticas da Reta Das equações paaméticas (): t t, pdems esceve: t t t t. Entã: (): paa, e. Esta fma de esceve a equaçã da eta é chamada de equações siméticas.. Cndiçã de alinhament de tês pnts Sejam P (,, ), P (,,) e P(,,) tês pnts clineaes, u seja, alinhads. Lg, eles petencem à mesma eta (). Seja () a eta

3 Lui Fancisc da Cu Depatament de Matemática Unesp/Bauu deteminada pels pnts P e P. Entã ( ):X P tp P. Na fma simética ():. Cm P petence à eta (), ele satisfa a equaçã de (), u seja:. Esta elaçã é chamada de cndiçã de alinhament de tês pnts, desde que, e. Eempl (): Dadas as etas na fma simética, destaca pnt e vet diet de cada uma. a) b) (): (s): c) ( m): e Sluçã: Lembe que, uma eta está na fma simética quand sua equaçã é escita cm (): paa, e, u seja, quand s ceficientes das vaiáveis, e sã tds iguais a. Neste cas, as cdenadas (,, ), que apaecem n numead destas ppções sã as cdenadas d pnt A da eta e as cdenadas (,, ) sã as cdenadas d vet diet. a) A(,, ) ( ) : v (,,) b) A eta (s) nã está adequadamente escita na fma simética. Faend: (s) : A(,,) ( s) : v,,. Aga, na fma simética, vem: c) Neste cas em que tems um tem, escevend a equaçã na fma paamética, vem: ( m) : e

4 Lui Fancisc da Cu Depatament de Matemática Unesp/Bauu t t t t t (m) : t t A,, v,, Eempl (): Dada a eta ( ) : X (,, ) t(,, ), veifica se s pnts P(,7,- ) e Q(-,-8,-) petencem à eta. Sluçã: Se um pnt petence a uma eta, ele deve satisfae a equaçã simética da eta. () : 7 P () () : 8 Q (). Cndiçã de cplanaidade ente duas etas Diems que duas etas sã cplanaes se elas estã cntidas n mesm plan. Cas nã eista um plan que as cntém diems que elas nã sã cplanaes. P eempl: as etas e sã cplanaes, pis estã cntidas n mesm plan β. As etas e nã sã cplanaes, pis estã cntidas em plans distints. O mesm ce ente as etas e, sã etas nã cplanaes. α β Sejam ( ): X A tv e ( ): X A tv duas etas cplanaes cm A (a,b,c), A (a,b, c), v (,, ) e v (,,). Nte que, se as etas sã cplanaes, entã s vetes v, v e AA sã cplanaes. A v ( ) A A A v ( )

5 Lui Fancisc da Cu Depatament de Matemática Unesp/Bauu Lg, a cndiçã de cplanaidade ente as etas é a mesma cndiçã de cplanaidade ente s vetes v, v e AA. Ptant: a a b b c c [A A,v,v]. Psições Relativas ente duas etas As psições elativas ente duas etas ( ) e ( ) sã divididas em dis cass: I- Retas cplanaes. Se ( ) e ( ) sã etas cplanaes entã suas psições elativas sã: paalelas u cncentes; II- Retas nã cplanaes. Se ( ) e ( ) sã etas nã cplanaes a única psiçã elativa ente elas é evesas. Eistem alguns cass paticulaes cm: Retas cincidentes é um cas paticula quand as etas sã paalelas. Retas pependiculaes é um cas paticula quand as etas sã cncentes. Retas tgnais é um cas paticula quand as etas sã evesas. Paa uma melh discussã das psições elativas ente duas etas e, de uma fma fácil e ápida distingui um cas d ut, vams analisa cada psiçã elativa ente duas etas ( ) e ( ). Cnsidee duas etas ( ) : X A tv e ( ) : X A tv. I - Retas cplanaes: Se as etas ( ) e ( ) sã cplanaes entã A A,v,v ] [. ) Retas Paalelas: Sã etas cplanaes, nã se inteceptam e ângul ente θ. Analisand a dependência linea ente s vetes pdems cnclui: elas é { v, v} LD (paalels) { v, AA} LI (nã paalels) { v, AA} LI (nã paalels) A A Usaems a ntaçã ( ) ( ) paa indica etas paalelas. A A v v ( ) ( )

6 Lui Fancisc da Cu Depatament de Matemática Unesp/Bauu ) Retas Cincidentes: Sã etas cplanaes, uma está psicinada inteiamente sbe a uta, a inteseçã ente elas é uma delas e ângul ente elas é Analisand a dependência linea ente s vetes pdems cnclui: { v, v} LD (paalels) A A v v { v, AA} LD (paalels) ( ) ( ) { v, AA} LD (paalels) θ. Usaems a ntaçã ( ) ( ) paa indica etas cincidentes. ) Retas Cncentes: Sã etas cplanaes, se inteceptam num pnt P e ângul ente elas é θ 9 ente s vetes pdems cnclui: { v, v} LI (nã paalels) v v. Analisand a dependência linea e pdut escala v P θ ( ) ( ) v ) Retas Pependiculaes: Sã etas cplanaes, se inteceptam num pnt P e ângul ente elas é ente s vetes pdems cnclui: { v, v} LI (nã paalels) v v θ 9. Analisand a dependência linea e pdut escala ( ) ( ) v v P θ Usaems a ntaçã ( ) ( ) paa indica etas pependiculaes. II - Retas nã cplanaes: Se as etas ( ) e ( ) nã sã cplanaes entã AA, v, v ] [. ) Retas Revesas: Sã etas nã cplanaes, nã se inteceptam e ângul ente elas é θ 9 vetes pdems cnclui: { v, v} LI (nã paalels) v v. Analisand a dependência linea e pdut escala ente s ( ) ( ) v v v θ

7 Lui Fancisc da Cu Depatament de Matemática Unesp/Bauu ) Retas Otgnais: Sã etas nã cplanaes, nã se inteceptam e ângul ente elas é θ 9 vetes pdems cnclui: { v, v} LI (nã paalels) v v. Analisand a dependência linea e pdut escala ente s v ( ) ( ) v θ v Cm base a análise feita acima, sugeims seguinte esum paa distinguims as psições elativas ente duas etas ( ) e ( ). Resum: Sejam ( ): X A tv e ( ): X A tv. I - Retas Cplanaes [ A A,v,v] ) Retas Paalelas: { v, v} LD (paalels) e { v,aa } LI (nã paalels). ) Retas Cincidentes: { v, v} LD (paalels) e { v,aa } LD (paalels). ) Retas Cncentes: { v, v} LI (nã paalels) e v v. ) Retas Pependiculaes: { v, v} LI (nã paalels) e v v. II - Retas nã Cplanaes [ AA,v,v] ) Retas Revesas: v v ) Retas Otgnais: v v Eempl (): Dadas as etas () : e (s) : veifica a psiçã elativa ente elas e detemina a inteseçã se huve., A(,,) A(,, ) Sluçã: Paa a eta () tems: e paa (s) tems:. v (,, ) v (,,) Vams detemina [ AA, v, v] paa sabems se as etas sã u nã 6 cplanaes. Entã: [ A A,v,v]. Lg as etas sã cplanaes. Cm { v, v} LI (nã paalels) e v v, as etas sã cncentes e eiste a inteseçã ente elas que é um pnt P(,,). Paa detemina a

8 Lui Fancisc da Cu Depatament de Matemática Unesp/Bauu inteseçã devems iguala as equações das etas () e (s). Assim, das etas () e (s) pdems esceve: (): e (s): e 7. Vltand a equaçã de () u (s) e faend, teems, e -. Ptant, a inteseçã de () cm (s) é pnt P(,,-). Eempl (): Detemine s pnts de fus da eta ) : (. Sluçã: Pnts de fu de uma eta, sã s pnts P, P e P, inteseçã da eta cm s plans cdenads, e, espectivamente. Paa detemina pnt nde a eta "fua" plan, basta fae a cdenada na equaçã da eta e detemina as utas cdenadas e. Analgamente paa e, paa detemina s pnts de fu sbe s plans e. Assim: ) (,, P (,,) P,) (, P Vams epesenta estes pnts n R e também a eta (). () P P P -

9 Lui Fancisc da Cu Depatament de Matemática Unesp/Bauu Eempl (): Detemine a equaçã da eta (s) que é pependicula à eta ( ) : X (,,) t(,, ) e passa pel pnt M(,,-). Sluçã: Vams detemina pnt Q(,,) que a inteseçã das etas () e (s) e esceve a equaçã da (s) que passa pels pnts M e Q da seguinte fma ( s): X M t QM. Pela figua pdems nta que vet QA é paalel a vet v, e tgnal a vet QM. Entã: QA // v QA α v (,, ) α (,, ) M α α Q: α α α α QM v QM v A QA Q QM v () (,, ) (,, ) 8 (s) ( α ) ( α) α 8 α Deteminand pnt Q: 8 Q,,. Assim vet 8 QM,, 6 9,, 9. Cm QMé vet diet da eta (s), pdems tma qualque vet paalel a ele paa se vet diet da eta (s). Em paticula seja u QM (,, ). Ptant a eta (s) seá escita cm X M t u, u seja, ( s) : X (,, ) t (,, ). Na fma simética (s) :. Eecícis Ppsts ) Veifica a psiçã elativa ente as etas e detemina a inteseçã quand huve: a) () : e (s) : Resp:a) Retas pependiculaes e () (s)p(-,,-) b) () : e (s) :

10 Lui Fancisc da Cu Depatament de Matemática Unesp/Bauu Resp:a) Retas evesas e nã eiste () (s) ) Detemine a equaçã da eta supte da altua elativa a lad BC d tiângul de vétices A(,,), B(,,) e C(,6,). ( ): X (,,) t(,,) Resp: ) Os pnts médis ds lads de um tiângul sã s pnts M(,,), N(,,-) e P(,-,). Detemine a equaçã da eta supte d lad deste tiângul que cntém pnt M. Resp: X(,,)t(,7,-) ) Esceva a equações siméticas da eta que passa pel pnt A(,-,) e é paalela a ei O. Resp: e t ) Detemine s vales de k paa que as etas sejam cplanaes: () : k e k (s) :. Resp: k u k COMENTÁRIOS IMPORTANTES ) É muit cmum e até natual que se intdua estud da eta quand ela é definida pimeiamente n R. Muitas vees, a eta é apesentada a alun cm gáfic da funçã linea f () a b, sempe epesentada n R (n plan) e nã de uma fma gemética u vetial. Os cuidads que se deve tma, neste capítul, sã: a) Nós estams tabalhand sempe n R (as definições sã difeentes quand tabalhams cm R ); b) A eta aqui definida (n R ), tem uma definiçã vetial e uma intepetaçã gemética (nã apenas gáfic da funçã linea). ) Quand estams n R a funçã linea f () a b, cm a pópia epesentaçã di, tems cm funçã de, u seja: f(). Assim, a equaçã de uma eta é, p eempl:. N R a funçã linea é epessa na fma a b e c d, tant cm sã funções de. Lg, a equaçã da eta é, p eempl: e. Nte que esta fma de esceve a equaçã da eta vem da fma simética, pis: Lg. e. ) É muit imptante alun sabe destaca da equaçã simética da eta seu pnt e seu vet diet. Ptant, lhe eempl () e patique um puc.

11 Lui Fancisc da Cu Depatament de Matemática Unesp/Bauu ) Atençã às psições elativas ente etas. É muit cmum alun afima que as etas sã tgnais (petencem a plans difeentes) e acha a inteseçã. Oa, cm iss é pssível? Na vedade nã é pssível. ) Out e muit cmum é die que as etas sã pependiculaes u cncentes e nã sã cplanaes. Oa, iss nã é pssível. Reveja estes cnceits nvamente e pense antes de afima alguma cisa. 6) Deve-se nta que uma eta é cnstituída de pnts. Cm estams intduind s cnceits vetiais paa definims e tabalhams cm as etas, é muit cmum, quand utiliams as equações da eta, cnfundi que sã pnts da eta e que sã vetes paalels u cntids na eta. P eempl: Cnsidee a eta de equaçã simética ():. Cm é cmum epesenta um vet epessand smente suas cdenadas p v (,, ), iss pde causa cnfusã cm as cdenadas, e ds pnts da eta, u seja, as cdenadas, e que apaecem na equaçã simética (bem cm nas utas equações), sã as cdenadas ds pnts da eta e nã de um vet paalel u cntid nela. Um vet só seá paalel u estaá cntid na eta se f múltipl (u seja, paalel) a vet diet da eta. N entant, paa que um pnt petença à eta é necessái que ele satisfaça a equaçã da eta. Nte que pnt P(,,) (), pis:, mas vet v (,, ) nã é paalel à eta, pis vet diet da eta é u (,, ) que nã é múltipl d vet v (,, ). Já vet w (,,6 ) é paalel à eta, pis é múltipl d vet diet, u seja, w u, mas pnt de cdenadas Q(,,6) (), pis: 6.