5 Membrana circular com massa específica e espessura variável

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1 5 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável N estud de membanas quand se fala da vaiaçã da sua inécia lg se ecai na vaiaçã da sua massa específica u da sua espessua. Na liteatua encntam-se divess estuds tatand da vaiaçã da massa específica de membanas ciculaes pincipalmente na dieçã adial Jabaeen e Eisenbege 00; Bala Subahmanyam e Sujith 00; Willatzen 00; Buchanan005. Tds estes esultads sã estits à análise das vibações lineaes usand a teia elástica de membanas. P iss inicialmente estuda-se cas da membana cicula de espessua cnstante pém cm vaiaçã da massa específica na dieçã adial e cmpaamse s esultads cm s encntads na liteatua. Psteimente estuda-se pblema da membana cicula cm vaiaçã da espessua. 5.. Vaiaçã da massa específica na dieçã adial da membana cicula Neste pblema cnsidea-se que a massa específica da membana vaia na dieçã adial da seguinte maneia Jabaeen e Eisenbege 00; Bala Subahmanyam e Sujith 00; Willatzen 00: Γ Γ κ 5. nde Γ é um val cnstante e κ é um val cnstante cnhecid que desceve a vaiaçã da massa específica a lng d ai indefmad. Tem-se que a massa específica cesce d cent paa bd quand κ > 0 e decesce quand κ < 0 cm pde se bsevad na Figua 5..

2 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 0 Figua 5. Vaiaçã da massa específica nmalizada a lng da dieçã adial da membana Equaçã 5.. A espsta estática neste cas é a igual à apesentada n item Análise linea da vibaçã live Paa a análise linea das vibações lives pate-se da equaçã de mviment na dieçã tansvesal da membana.8 na qual é substituíd ai da membana tacinada. btend-se a seguinte equaçã de mviment: C 6 Γ κ t 0 5. O deslcament tansvesal é btid atavés da tansfmaçã da equaçã de mviment linea 5. em uma equaçã difeencial que pssue sluçã analítica. Empegand a sepaaçã das vaiáveis e t tem-se que a sluçã da equaçã 5. pde se escita em funçã dessas vaiáveis da seguinte maneia: t A G cs n cs ω t 5. mn nde A mn cespnde à amplitude mdal; G à funçã em d deslcament tansvesal; m a núme de semi-ndas adiais; n a núme de ndas cicunfeenciais e ω mn à feqüência natual de vibaçã. Substituind 5. em 5. btém-se a seguinte equaçã de mviment linea em funçã da dieçã adial: 6 d G dg Γ κ ωmn n G d d C mn

3 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 0 A equaçã 5. é simila as equaçã difeencial Whittake Abamitz e Stegun 97. Utilizand a sluçã da equaçã difeencial de Whittake Abamitz e Stegun 97 juntamente cm as cndições de cntn d pblema btém-se a seguinte sluçã analítica paa deslcament tansvesal da membana cicula: send: I K n t Amn M n ; ; Kκ I cs n cs ωmn t κ 5.5 Γ kmn K C nde M n é a funçã hipegemética cnfluente Whittake d tip M; k mn é m- ésim val psitiv nde a funçã Whittake cm é nula. 6 A funçã hipegemética cnfluente Whittake é uma fma alteada da funçã hipegemética send uma fma altenativa de sluçã lineamente independente paa as equações hipegeméticas cnfluentes dadas p Wlfam mathld 008: M α; β; x 0.5 β x n x e i β α i i x β i! i 5.7 nde i é símbl Pchhamme dad p x i x x L x j paa j 0 Wlfam mathld 008. Substituind deslcament tansvesal 5.5 na equaçã de mviment 5. btém-se a feqüência natual da membana cicula cm massa específica vaiável cm: ω mn k mn 5.8 Os deslcaments adial u e cicunfeencial v sã despezíveis em elaçã a deslcament tansvesal send suas cntibuições em tems de inécia e igidez despezadas na análise das vibações tansvesais da membana. As feqüências e s mds de vibaçã lineaes fam calculads atavés da fmulaçã analítica e cmpaads cm s esultads btids pel métd ds elements finits. Paa a sluçã via métd ds elements finits utiliza-se uma malha cm 880 elements de membana MD e MD que gea um sistema cm 86

4 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 0 equações. A malha é discetizada cm 0 elements na dieçã adial e 7 na dieçã cicunfeencial dividids em 0 cnjunts axissimétics cm 7 elements cada. Paa a vaiaçã da massa específica cada cnjunt de elements ecebe val dad na equaçã 5. nde é a distância d cent da membana até cent d element na dieçã adial. Os esultads analítics AN e btids p elements finits MEF paa difeentes vales de κ em 5. sã cmpaads na Tabela 5.. Tabela 5. Feqüências de vibaçã lineaes ad/s paa a membana cicula cm massa específica vaiável na dieçã adial. κ 0.5 m n..5.0 AN MEF AN MEF AN MEF κ m n ΑΝ MEF ΑΝ MEF ΑΝ MEF κ m n ΑΝ MEF ΑΝ MEF ΑΝ MEF

5 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 0 Obseva-se que s vales das feqüências btids pels dis métds sã cncdantes tend uma men vaiaçã ns pimeis mds de vibaçã. Veifica-se também que as feqüências decescem à medida que κ cesce u seja aumenta a densidade n bd da membana. Os mds de vibaçã pssuem a mesma fma que s apesentads na Figua.5. Os vales paa paâmet de feqüência ω ω mn Γ btids 6 C cm s esultads deste tabalh sã favavelmente cmpaads cm s esultads apesentads p Bala Subahmanyam e Sujith 00 na Tabela 5.. Os autes calculam esse paâmet de feqüência analiticamente paa membanas ciculaes cmpletas e anulaes cm divess ceficientes de hetegeneidade κ. Pém s autes utilizam cm espsta da equaçã difeencial uma funçã hipegemética de Kumme Abamitz e Stegun Tabela 5. Paâmet da feqüência de vibaçã ω paa a membana cicula cm massa específica vaiável na dieçã adial. ω ω mn Γ C 6 6 κ Bala et al 00 AN MEF Na Figua 5. apesenta-se uma elaçã ente a feqüência de vibaçã e ceficiente de taçã adial da membana paa difeentes distibuições da massa específica. Obseva-se um gande aument na feqüência natual paa pequens vales de e que a cuva tende a um val cnstante quand tal cm n cas da membana cm densidade cnstante.

6 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 05 Figua 5. - Feqüência de vibaçã ad/s em funçã d ceficiente de taçã adial paa difeentes vaiações da massa específica da membana cicula. Na Figua 5. apesenta-se uma elaçã ente a feqüência de vibaçã e ceficiente de vaiaçã da massa específica κ da membana paa difeentes vales de. Obseva-se uma diminuiçã na feqüência natual cm aument d val d ceficiente de vaiaçã da massa específica e que paa vales de mai que dis a cuva já é bem póxima da cuva cm supei da feqüência. que define limite Figua 5. - Feqüência de vibaçã ad/s em funçã d ceficiente de vaiaçã da massa específica κ Análise nã linea da vibaçã live Na análise das vibações nã lineaes da membana cicula s deslcaments u e v sã despezads e a equaçã de mviment nã linea na

7 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 06 dieçã tansvesal da membana cicula cm massa específica vaiável é dada p: Γ κ t C C C 5.9 Paa a análise nã linea apxima-se camp de deslcaments tansvesais pela Equaçã 5.5 e utiliza-se métd de Galekin paa se bte as equações difeenciais dináias nã lineaes n dmíni d temp. Estuda-se as vibações assciadas à men feqüência natual m e n 0 eslvend-se a equaçã de mviment nã linea 5.9. Obtém-se assim a elaçã feqüência de vibaçã-amplitude que é apesentada na Figua 5. paa difeentes vales d ceficiente de vaiaçã da massa específica κ Figua 5. - elaçã feqüência ad/s-amplitude m paa vibaçã live da membana cicula cm difeentes vales de κ. Na Figua 5.5 ilusta-se a elaçã feqüência de vibaçã - amplitude mdal paa difeentes vales da ceficiente de taçã adial paa κ 0.5.

8 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 07 Figua elaçã feqüência ad/s amplitude m paa vibaçã live da membana cicula cm difeentes vales de κ 0.5. Obseva-se nas Figua 5. e 5.5 mesm cmptament hadening mai paa as menes amplitudes de vibaçã e tendend a um val cnstante nas gandes amplitudes de vibaçã em tds s cass apesentads. Esse val cnstante da feqüência de vibaçã efee-se a val da feqüência quand a ceficiente de taçã adial tende a infinit. Veifica-se também que a membana mens tacinada exibe uma espsta altamente nã linea e que essa nã lineaidade diminui cm aument d ceficiente de taçã adial e a espsta fica paticamente linea paa um ai tacinad igual a duas vezes ai indefmad cm já fi bsevad n capítul. Além diss bseva-se que a vaiaçã da massa específica nã influencia n tip d cmptament nã-linea da membana cicula. Paa uma vaiaçã cm aument da massa específica a lng da dieçã adial κ > 0 s vales das feqüências de vibaçã diminuem deslcand a cuva paa a esqueda. Enquant que paa uma vaiaçã cm diminuiçã da massa específica na dieçã adial κ < 0 s vales das feqüências de vibaçã aumentam deslcand a cuva paa a dieita. Na Figua 5.6 msta-se a elaçã nmalizada feqüência-deslcament da membana paa um pnt de cdenadas 0; 0.5 da membana indefmada. A feqüência de vibaçã fi nmalizada cm elaçã à feqüência natual de cada cas. Nvamente bseva-se que quant mais tacinada a membana men gau de nã-lineaidade da espsta.

9 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 08 Figua elaçã nmalizada feqüência ad/s - deslcament tansvesal m da membana cicula κ 0.5. A elaçã feqüência deslcament também é btida a pati da espsta n temp encntada p elements finits e utilizand a metdlgia ppsta p Nandakuma e Chattejee 005. Essa elaçã é favavelmente cmpaada cm a elaçã btida analiticamente paa um pnt de cdenadas 0.5; 0 da membana indefmada paa duas vaiações da massa específica. Esses esultads sã apesentads na Figua 5.7. Paa a sluçã p elements finits é utilizad um mdel cm uma malha cm 880 elements de casca S e S que gea um sistema cm 86 equações. κ 0.5 κ -0.5 Figua elaçã feqüência de vibaçã ad/s-deslcament tansvesal m..

10 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável Vaiaçã da espessua na dieçã adial da membana cicula Paa a membana cm espessua vaiável cnsidea-se uma vaiaçã na dieçã adial da cnfiguaçã indefmada da seguinte maneia: η h he 5.0 nde h é um val de efeência e η é uma cnstante que desceve a vaiaçã da espessua a lng d ai indefmad. Quand η > 0 tem-se que a espessua cesce d cent paa bd e decesce quand η < 0 cm pde se bsevad na Figua 5.8. Figua 5.8 Vaiaçã da espessua nmalizada a lng da dieçã adial da membana Equaçã Análise estática Neste cas nã há sluçã exata paa a equaçã nã-linea de equilíbi. A sluçã estática da membana cm espessua vaiável sb deslcament adial unifme é btida de fma apximada atavés da integaçã numéica das equações.6 e.7 atendend as cndições de cntn.8 e.9. As cmpnentes de deslcament estátic cicunfeencial e tansvesal β 0 e z espectivamente sã nulas. Paa a sluçã via métd ds elements finits utiliza-se n pgama cmecial Abaqus 0 elements sólids ti-dimensinais CD8H e CDH que gea um sistema cm 0086 equações. essalta-se que s esultads btids cm s elements sólids fam cmpaads cm esultads utilizand elements

11 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 0 de membana apesentand bns esultads. Optu-se pel us ds elements sólids paa melh epesenta a vaiaçã da espessua a lng d ai da membana. Dessa fma btém-se a cnfiguaçã tacinada da membana cicula paa difeentes vales d ceficiente de taçã adial. Na Figua 5.9 apesenta-se a vaiaçã d cmpiment adial tacinad btid pela integaçã numéica IN e pel métd ds elements finits MEF paa membanas ciculaes cm tês vales de e ceficiente de vaiaçã da espessua η 0.5. Figua 5.9 Vaiaçã d cmpiment adial tacinad da membana cicula cm espessua vaiável η 0.5. Paa visualiza a influência da vaiaçã adial da espessua n ai tacinad apesenta-se na Figua 5.0 a vaiaçã d deslcament adial após a aplicaçã da taçã adial na membana cicula paa difeentes vales d ceficiente de vaiaçã da espessua. Os vales apesentads sã s btids pela integaçã numéica Figua 5.0 Vaiaçã d deslcament adial m da membana cicula cm espessua vaiável paa difeentes vales de η.

12 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável Obseva-se que a vaiaçã de é levemente paabólica. A funçã que epesenta a vaiaçã da cdenada adial tacinada é entã deteminada atavés d métd ds mínims quadads send dada p: a a a a 5. nde a i sã cnstantes que dependem da cnfiguaçã tacinada da membana. As membanas ciculaes apesentadas na Figua 5.0 pssuem as seguintes distibuições adiais: 0.75 η η η η η η η η

13 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 0.75 η η η η Substituind a equaçã de dada em 5. nas equações das tensões pincipais σ e σ dadas em.0 e. btém-se uma expessã analítica apximada AN paa as tensões. Essa expessã juntamente cm as sluções btidas pela integaçã numéica IN e p elements finits MEF sã favavelmente cmpaadas na Figua 5. paa uma membana cicula cm.0 e difeentes vales d ceficiente de vaiaçã da espessua. Obseva-se na Figua 5. que as tensões pincipais vaiam de fma paabólica e que paa uma vaiaçã cm aument da espessua a lng da dieçã adial η > 0 s vales das tensões pincipais diminuem. Enquant que paa uma vaiaçã cm diminuiçã da espessua na dieçã adial η < 0 s vales das tensões pincipais aumentam. Finalmente bseva-se que quant mai é a vaiaçã de η mai é a vaiaçã das tensões a lng da dieçã adial.

14 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável σ σ Figua 5. Tensões pincipais N/m da membana cicula tacinada cm espessua vaiável paa difeentes vales de η..0. Na Figua 5. apesentam-se s vales da espessua da membana cicula tacinada btids p integaçã numéica e p elements finits cnsideand difeentes vales d ceficiente de vaiaçã da espessua e.0. Apesenta-se também uma expessã analítica apximada paa a espessua btida a pati da substituiçã da apximaçã de 5. em H h btida atavés / de. e.8. Obseva-se em tds s cass apesentads uma ba cnfmidade ente s esultads btids. Assim a apximaçã analítica é usada paa a deduçã das equações de mviment.

15 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável Figua 5. Espessua m da membana cicula tacinada cm espessua vaiável paa difeentes vales de η Análise linea da vibaçã live Paa a análise linea da vibaçã live pate-se da equaçã de mviment linea na dieçã tansvesal da membana dada em.5 que paa a membana cicula cm a vaiaçã da espessua é dada pela seguinte equaçã difeencial pacial cm ceficientes vaiáveis: 0 5 Γ t t t t t C η η 5.5 nde é dad p 5.. Cm apesentad paa vibaçã live da membana cm vaiaçã da massa específica a sluçã da equaçã de mviment linea 5.5 é btida eslvend a equaçã difeencial pacial pel métd de sepaaçã das vaiáveis e t na equaçã 5.5 e tem-se que deslcament tansvesal escit em funçã dessas vaiáveis cm apesentad em 5.. Substituind 5. em 5.5 btém-se a seguinte equaçã de mviment linea em funçã da dieçã adial simila a equaçã difeencial Whittake Abamitz e Stegun 97:

16 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável Γ ω η η G n n C d dg d G d mn 5.6 Utilizand a sluçã da equaçã difeencial de Whittake Abamitz e Stegun 97 juntamente cm as cndições de cntn d pblema btém-se a seguinte expessã paa deslcament tansvesal da membana cicula: cs cs ; ; t n n B b M A t mn mn n mn ω η η Γ 5.7 send: f f C B 5.8 nde A mn cespnde à amplitude mdal; M n à funçã hipegemética cnfluente Whittake M apesentada em 5.7; m a núme de semi-ndas adiais; n a núme de ndas cicunfeenciais; b mn a m-ésim val psitiv nde a funçã Whittake cm é nula; ω mn à feqüência de vibaçã e d d. Substitui-se deslcament tansvesal 5.7 na equaçã de mviment 5.5 aplica-se métd de Galekin e pela sluçã de um pblema de autval btém-se as feqüências natuais da membana cicula cm espessua vaiável. Cm dit anteimente s deslcaments adial u e cicunfeencial v sã despezíveis em elaçã a deslcament tansvesal send suas cntibuições em tems de inécia e igidez despezadas na análise das vibações tansvesais da membana. Paa a sluçã via métd ds elements finits utiliza-se a mesma malha empegada na análise estática cm elements sólids ti-dimensinais CD8H e CDH. Os esultads analítics AN e btids p elements finits MEF sã cmpaads na Tabela 5.

17 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 6 Tabela 5. Feqüências de vibaçã lineaes ad/s paa a membana cicula cm espessua vaiável na dieçã adial. η 0.75 m n..5.0 AN MEF AN MEF AN MEF η m n AN MEF AN MEF AN MEF η 0.5 m n..5.0 AN MEF AN MEF AN MEF η m n AN MEF AN MEF AN MEF Apesenta-se na Figua 5. a vaiaçã da feqüência de vibaçã ω 0 cm ceficiente de taçã adial da membana paa tês difeentes leis de vaiaçã da espessua. Cm ns cass anteies bseva-se um gande aument na feqüência natual paa pequens vales de e que a cuva tende a val cnstante da quand.

18 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 7 Figua 5. Vaiaçã da feqüência de vibaçã ad/s em funçã d ceficiente de taçã adial paa difeentes leis de vaiaçã da espessua da membana cicula. Na Figua 5. apesenta-se a influência d ceficiente de vaiaçã espessua η nas feqüências de vibaçã. Obseva-se um aument na feqüência natual cm aument d val d ceficiente de vaiaçã da espessua η. Iss ce devid a aument da espessua paa vales cescentes de η e cnseqüentemente da igidez da membana que ppcina um aument da feqüência de vibaçã. Além diss veifica-se também que paa vales de maies que dis a cuva já é bem póxima da cuva limite supei cm. Figua 5. Vaiaçã da feqüência de vibaçã ad/s em funçã d ceficiente de vaiaçã da espessua η.

19 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável Análise nã linea da vibaçã live Cm ns cass anteies cm base ns esultads btids p elements finits na análise das vibações nã lineaes da membana cicula s deslcaments u e v sã despezads e a equaçã de mviment nã linea na dieçã tansvesal da membana cicula cm espessua vaiável se eduz a: W η z W z W z Γ 0 t 5.9 Paa a análise nã linea apxima-se a espsta nã linea pela expessã 5.7 e utiliza-se métd de Galekin-Uabe paa se bte a elaçã feqüência de vibaçã-amplitude assciada à men feqüência natual m e n 0. Essa elaçã é apesentada na Figua 5.5 paa difeentes vales d ceficiente de vaiaçã da espessua η. Obseva-se que paa vales cescentes de η as feqüências de vibaçã aumentam deslcand a cuva paa a dieita Figua elaçã feqüência ad/s amplitude m paa vibaçã live da membana cicula cm difeentes vales de η. Na Figua 5.6 ilusta-se a elaçã feqüência de vibaçã - amplitude mdal paa difeentes vales de cm η 0.5. Obseva-se nas Figua 5.5 e 5.6 que a vaiaçã da espessua nã influencia n tip d cmptament da membana cicula apesentand mesm cmptament hadening mai paa as menes amplitudes de vibaçã e tendend a um val cnstante nas gandes amplitudes de vibaçã. Esse val cnstante da feqüência de vibaçã efee-se a val da feqüência quand a tende a infinit. Além diss bseva-se que a nã lineaidade diminui cm

20 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 9 aument d ceficiente de taçã adial e que a espsta fica paticamente linea paa um ai tacinad igual a duas vezes ai indefmad.0. Figua elaçã feqüência ad/s-amplitude m paa vibaçã live da membana cicula cm difeentes vales de η 0.5. Na Figua 5.7 msta-se a elaçã nmalizada feqüência-deslcament da membana paa um pnt de cdenadas 0; 0.5 da membana indefmada. A feqüência de vibaçã fi nmalizada cm elaçã à feqüência natual de cada cas. Nvamente bseva-se que quant mais tacinada a membana men gau de nã-lineaidade da espsta. Figua elaçã nmalizada feqüência-deslcament tansvesal m da membana cicula η 0.5. A elaçã nmalizada feqüência deslcament tansvesal da membana paa difeentes vales de η e cm. é apesentada na Figua 5.8. Obsevase que paa pequens deslcaments as cuvas cm difeentes vales de η se

21 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 0 sbepõe e que paa gandes deslcaments a nã lineaidade aumenta levemente paa vales cescentes de η. Figua elaçã nmalizada feqüência ad/s deslcament tansvesal da membana cicula.. A elaçã feqüência-deslcament também é encntada a pati da espsta n temp btida p elements finits juntamente cm metdlgia ppsta p Nandakuma e Chattejee 005 e é favavelmente cmpaada cm a elaçã btida analiticamente paa um pnt de cdenadas 0.5; 0 da membana indefmada paa duas vaiações da massa específica η ±0.5. Esses esultads sã apesentads na Figua 5.9. η 0.5 η -0.5 Figua elaçã feqüência de vibaçã ad/s - deslcament tansvesal m paa dis vales de η.0.

22 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável Cm a membana cicula cm ceficiente de vaiaçã da espessua η 0.5 pssui a mesma massa ttal que a membana cicula cm ceficiente de vaiaçã de massa específica κ cmpaam-se as suas elações nmalizadas feqüência-deslcament na Figua 5.0. A feqüência de vibaçã fi nmalizada cm elaçã à feqüência natual de cada cas e deslcament apesentad é n pnt de cdenadas 0.5; 0 da membana indefmada. Figua elaçã nmalizada feqüência deslcament tansvesal m da membana cicula cm vaiaçã de espessua e massa específica. Obseva-se que apesa da massa da membana se a mesma s esultads nã se sbepõem mas apesentam vales bem póxims e mesm cmptament glbal Análise nã linea da vibaçã fçada Na análise das vibações fçadas cnsidea-se a vibaçã tansvesal axissimética pvcada p uma pessã excitada unifme dependente d temp Pt. Além diss da mesma fma que na vibaçã live nã linea s camps de deslcaments adial u e cicunfeencial v sã despezíveis em elaçã a camp de deslcament tansvesal. Dessa maneia a equaçã de mviment nã linea da membana cicula cm espessua vaiável na dieçã tansvesal sb vibaçã fçada axissimética é dada p:

23 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável W η z W z W z nde a pessã excitada é P t P cs Ωt. d Γ ζ C 0 c P t 5.0 t t d Cm a vibaçã axissimética tansvesal é assciada a pimei md axissimétic n 0 e m utiliza-se deslcament tansvesal 5.7. Paa btençã ds esultads numéics cnsideam-se a fça cm amplitude de excitaçã P N/m. A elaçã feqüência de vibaçã amplitude é apesentada na Figua 5. paa difeentes vales d ceficiente de vaiaçã da espessua η. Figua 5. - elaçã feqüência ad/s amplitude m paa vibaçã fçada da membana cicula cm difeentes vales de η.. As cuvas de essnância paa difeentes vales de sã apesentadas na Figua 5. paa uma vaiaçã da espessua cm η 0.5. Obseva-se que paa um dad val de η as cuvas tendem a um mesm val cnstante paa gandes amplitudes de vibaçã.

24 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável a Amplitude b Deslcament tansvesal Figua 5. Cuva de essnância paa a vibaçã fçada da membana cicula cm espessua vaiável cm difeentes. η 0.5 O métd de cntinuaçã é utilizad paa cálcul ds diagamas de bifucaçã d mapa de Pincaé da membana cicula tacinada que sã apesentadas na Figua 5. paa uma membana cm ceficiente de taçã adial. amplitude da excitaçã P N/m e tês difeentes vales de η. Figua 5. Diagama de bifucaçã d mapa de Pincaé. Cdenada de Pincaé A 0 m cm funçã da feqüência de excitaçã Ω ad/s P N/m ; ζ 0.05;.. Obseva-se que dependend d val de P e Ω a membana pde exibi uma u tês espstas e que s ams estáveis e instáveis estã cnectads p bifucações d tip nó-sela NS nas figuas. Na Figua 5. apesentam-se s diagamas de bifucaçã d mapa de Pincaé paa vales cescentes de P. Obseva-se que paa vales cescentes da

25 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável magnitude da caga a nã-lineaidade da sluçã aumenta e que tds s cass apesentam mesm tip de cmptament hadening. a η 0.5 b η -0.5 Figua 5. Diagama de bifucaçã. Amplitude de vibaçã A 0 m cm funçã da feqüência de excitaçã Ω ad/s ζ 0.05;. Na Figua 5.5 apesenta-se diagama de bifucaçã em funçã da amplitude da excitaçã P paa vales selecinads de Ω na egiã pincipal de essnância e dis vales de η. Obsevam-se em cada cas duas bifucações d tip nó-sela e que paa cas nde η -0.5 a nã-lineaidade da espsta é men levand a uma men faixa de P nde se bseva multiplicidade de sluções. a Ω ad/s; η 0.5 b Ω 9 ad/s; η -0.5 Figua 5.5 Diagamas de bifucaçã paa vales selecinads da feqüência de excitaçã. Cdenada de Pincaé A 0 m cm funçã da amplitude da excitaçã P N/m ζ 0.05;..

26 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 5 Na Figua 5.6 apesentam-se diagamas de bifucaçã em funçã da amplitude da excitaçã paa difeentes vales de amteciment. Obseva-se que amteciment influencia na multiplicidade das sluções e ns salts ente as sluções estáveis c-existentes diminuind cm aument d amteciment as egiões nde iss pde ce. a Ω ad/s; η 0.5 b Ω 9 ad/s; η -0.5 Figua 5.6 Diagamas de bifucaçã cm difeentes vales de amteciment. Cdenada de Pincaé A 0 m cm funçã da amplitude da excitaçã P N/m. Na Figua 5.7 apesenta-se diagamas de bifucaçã em funçã da amplitude da excitaçã paa difeentes vales da feqüência da excitaçã paa a membana cm. e dis vales de η ±0.5. a η 0.5 b η -0.5 Figua Diagamas de bifucaçã cm difeentes vales da feqüência de excitaçã. Cdenada de Pincaé A 0 em funçã da amplitude da excitaçã P..; ζ 0.05

27 Membana cicula cm massa específica e espessua vaiável 6 Obseva-se na Figua 5.7 que paa s vales das feqüências de excitaçã na egiã pincipal de essnância há duas sluções estáveis e uma instável paa uma gande faixa de P. Paa vales da feqüência de excitaçã distantes da egiã de essnância só é bsevada uma espsta estável. A Figua 5.8 ilusta as das bacias de ataçã paa vales de paâmets esclhids de tal md que a espsta pemaneça na egiã pincipal de essnância nde cem tês sluções. A Figua 5.8 cespnde à pjeçã da bacia de ataçã n plan fase A 0 x A& 0 e as ces difeentes cespndem as atates distints ealçads nas bacias de ataçã pela cuz nega. A c cinza escu cespnde à bacia de ataçã da scilaçã de gande amplitude e a c cinza cla cespnde à scilaçã de pequena amplitude. Nta-se que na egiã pincipal de essnância paa a membana cm η -0.5 a maiia das cndições iniciais cnduz a sluções que cnvegem a atat de gande amplitude que nã ce paa a membana cm η 0.5. a Ω ad/s; η 0.5 b Ω 9 ad/s; η -0.5 Figua 5.8 Bacia de ataçã n plan fase das cndições iniciais A 0 x A& 0 P N/m ; ζ 0.05;..