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Transcrição

1 X R Í I OS: Lei de Gauss 1. Uma supefície fechada, na fma de um cilind et, encnta-se imes em um camp elétic unifme. O eix d cilind é paalel a camp elétic. Usand a fma integal paa flux d camp elétic, mste ue flux d camp elétic atavés desta supefície é nul. (sugestã: a áea ttal da supefície cilíndica pde se dividida em tês pates, as duas tampas e a áea lateal d cilind). R: Vams dividi a áea ttal da supefície d cilind em tês pates, as duas tampas (supei e infei) e a áea lateal d cilind, pis, ângul ente e da seá mesm em tds s pnts de cada uma das pates. d A d A d A d A da cs180 da cs 90 da cs A A 0. A lcalizaçã da caga, n intei de uma supefície gaussiana, influencia n val d flux d camp elétic atavés dessa supefície? R: Nã, flux d camp elétic depende smente da caga ttal envlvida pela supefície. 3. Uma caga puntifme é clcada n cent de uma supefície gaussiana esféica. Respnda se flux d camp elétic atavés da supefície mudaá ns seguintes cass: (a) se mudams a fma da supefície gaussiana (paa um cub, p exempl) sem altea a caga n intei da supefície; (b) se a caga f afastada d cent da supefície gaussiana, pemanecend, entetant, em seu intei; (c) a caga f deslcada paa imediatamente fa da supefície gaussiana; (d) uma segunda caga f clcada póxim, e fa da supefície gaussiana; (e) uma segunda caga f clcada dent da supefície gaussiana. R: O flux mudaá smente se muda a caga ttal envlvida pela supefície, ptant: a) Nã mudaá; b) nã; c) Sim; d) nã; e) sim. 4. Uma supefície gaussiana envlve smente um dipl elétic. O ue se pde cnclui sbe val d flux elétic ttal atavés desta supefície? R: m a caga ttal envlvida pela supefície é nula, flux também seá.

2 5. Respnda s itens abaix justificand suas espstas. a ) Supnha ue a caga líuida cntida n intei de uma supefície gaussiana seja nula. Pdems cnclui da lei de Gauss ue camp elétic é igual a ze em tds s pnts sbe esta supefície gaussiana? b ) Se camp elétic f nul em tds as pnts sbe uma supefície gaussiana, a lei de Gauss exige ue a caga líuida dent desta supefície gaussiana seja nula? R: a) Nã, se a caga ttal envlvida pela supefície f nula, pdems afima ue flux d camp elétic atavés da supefície é nul, mas camp elétic pde nã se nul, mas camp elétic pde nã se nul. Uma caga extena à supefície pde gea um camp elétic em pnts desta supefície. b) Sim. Na fómula da lei de Gauss d A env pdems pecebe ue se camp f nul em tds s pnts flux atavés da supefície seá nul e a caga ttal envlvida pela supefície também seá nula. 6. Uma caga puntifme de 1,8 μ está n cent de uma supefície gaussiana cúbica cm 55 cm de aesta. Detemine flux d camp elétic atavés desta supefície. R: Pela lei de Gauss tems ue: 1,8 10 env 8,8510 5, 0310 Nm / Uma esfea cnduta unifmemente caegada, de 1, m de diâmet, pssui uma densidade supeficial de caga de 8,1 μ /m. (a) Detemine val da caga sbe a esfea. (b) ual é flux elétic ttal ue está send gead pela esfea? D 1,m R 0,6m 8,1 / m a A R 6 ) 4 8,110 43,14 0, 6 3, env 3, 6610 b) env 8, ,1410 Nm / Na figua abaix uma caga puntifme psitiva está a uma distância d/ dietamente acima d cent de um uadad de lad d. Aplicand a lei de Gauss detemine flux elétic atavés d uadad. (Sugestã: Pense n uadad cm uma das faces de um cub de aesta d)

3 d/ d d R: Se pensams n uadad cm uma das faces de um cub, n ual a caga ficaá n cent, pdems pecebe pela simetia da figua, ue a flux teá mesm val paa cada uma das seis faces desse cub. Ptant basta calcula flux ttal atavés d cub e dividi esultad p seis (núme de faces d cub). env ttal env ttal face face A lei de Gauss e a de ulmb pdem se euivalentes n cálcul d camp elétic. Pdems cnfima esta euivalência deduzind a lei de ulmb, paa calcula camp elétic de uma caga pntual, a pati da lei de Gauss. Ou seja, aplicand a lei de Gauss, mste ue camp elétic gead p uma caga puntifme a uma distância, é dad p = Q / (4 ) (lei de ulmb). R: vams cnsidea ue a caga é psitiva e ue está n cent de uma supefície gaussiana esféica de ai. Aplicand a lei de Gauss na supefície gaussiana, tems ue: d A env. Paa tds s pnts da supefície gaussiana camp elétic tem mesm val e ângul ente e da é de 0, ptant: dacs0 da env env env 4R 4R env 10. A lei de Gauss ns pemite demnsta, cm ceta facilidade, uma imptante ppiedade em elaçã à distibuiçã de cagas em um cndut islada. Mste ue, se

4 um cndut eletizad estive islad, as cagas eléticas em excess estaã distibuídas em sua supefície extena. R: nsideems um cndut caegad islad e uma supefície gaussiana imediatamente n intei d cndut, u seja, esta supefície está n intei d cndut, mas muit póxima da supefície eal d cndut. d A 0 env env 0 O camp elétic é nul em tds s pnts n intei d cndut islad, ptant, a lei de Gauss exige ue a caga ttal envlvida pela supefície gaussiana seja nula. m a caga d cndut nã está n intei da supefície gaussiana ela nã está n intei d cndut, ptant, a caga está na supefície extena d cndut. 11. Num cndut esféic islad, as cagas em excess se distibuem unifmemente em sua supefície extena. Se cndut nã f esféic esta distibuiçã nã é unifme, ue gea dificuldades n cálcul d camp elétic ciad p estes cndutes. N entant, camp elétic imediatamente fa da supefície de um cndut islad pde se deteminad, cm ceta facilidade, usand-se a lei de Gauss. Mste ue módul d camp elétic num lcal imediatamente fa de um cndut islad (pnt muit póxim da supefície) é ppcinal à densidade supeficial de caga σ, u seja, ue val deste camp é dad p: = σ /ε 0. R: em pnts extens e bem póxims da supefície de um cndut islad, camp elétic é pependicula à supefície deste cndut. O camp elétic pde nã te mesm val paa tds s pnts póxims de um cndut ualue, mas pdems cnsidea ue uma seçã de sua supefície seja tã peuena ue pssams cnsideála plana e, além diss, pdems despeza vaiaçã d camp elétic em pnts póxims desta seçã. nsideems uma supefície gaussiana cilíndica, diminuta, embutida nesta peuena seçã d cndut. Uma base da supefície gaussiana está n intei d cndut, a uta está fa e eix d cilind é pependicula à supefície d cndut, cm pde se vist em pespectiva na figua abaix. Quand aplicams a lei de Gauss na supefície gaussiana pecebems ue smente a tampa ue está em pnts extens a cndut cntibui paa flux d camp elétic atavés dessa supefície, ptant:

5 d A A env env A caga envlvida pela supefície gaussiana é a ue está na supefície de áea cndut, u seja, env A A env A A d 1. Um cndut islad de fma abitáia tem uma caga líuida nula. Dent d cndut existe uma cavidade, n intei da ual está uma caga puntifme 3, supefície extena d cndut.. Detemine a caga: a) Sbe a paede da cavidade. b) Sbe a R: a) nsideems uma supefície gaussiana ue cntna a paede da cavidade, mas está n intei d cndut. m camp elétic é nul em tds s pnts desta supefície gaussiana, a lei de Gauss exige ue a caga ttal envlvida p esta supefície também deve se nula. 3, d A env i 0 6 i 0 i 3, 010 b) m a caga ttal d cndut é nula, tems ue: 6 i e 0 e i 3, Aplicand a lei de Gauss, mste ue camp elétic n pnt P, a uma distância de uma baa fina de plástic, infinitamente lnga e caegada unifmemente cm uma densidade linea de caga, é dad p: = /( ). P baa

6 Aplicand a lei de Gauss na supefície gaussiana pecebems ue smente a supefície lateal d cilind cntibui paa a flux d camp elétic atavés dessa supefície. d A A env env A L A áea da supefície lateal d cilind é e a caga envlvida pela supefície gaussiana é a caga ue está n cmpiment L da baa, u seja, L, cm iss tems: L L L L 14. O camp elétic de uma baa fina e infinita é euivalente a camp de uma linha infinita de caga. Uma linha infinita de caga pduz um camp de 4, N/ a uma distância de m da linha. Detemine val da densidade linea de caga, cnsideada cnstante. m 4 4,510 / 4 1 4,5 10 8, / N m 15. Duas cascas cilíndicas cncênticas e lngas pssuem ais a e b cm a < b. Os cilinds pssuem densidades lineaes de caga de vales iguais e sinais psts, send λ a = - λ e λ b = + λ. Usand a lei de Gauss, pve ue (a) = 0 paa < a (pnts n intei da casca intena e (b) ente as cascas cilíndicas, ist é, paa a < < b, camp elétic é dad p = /( ). é a distância adial a eix cental ds cilinds. A supefície gaussiana é uma supefície cilíndica de ai e cmpiment L, cncêntica cm as duas cascas cilíndicas.

7 A aplicams a lei de Gauss na supefície gaussiana pecebems ue smente a supefície lateal d cilind cntibui paa flux d camp elétic atavés da supefícies gaussiana: Ptant tems: 16. Duas cascas cilíndicas de paedes finas, caegadas, lngas e cncênticas, têm ais de 3 cm e 6 cm. A caga p unidade de cmpiment sbe cilind inten é /m, e sbe cilind exten é de /m. Detemine val d camp elétic e indiue sentid (paa dent u paa fa) em (a) = 4 cm e (b) = 8cm, nde é a distância adial a eix cental ds cilinds. a 3,0cm b 6,0cm a b 6 5, 010 / m 6 7, 010 / m D execíci (15) tems ue: a) m env 4,0cm L a env L env L ( pnt está ente as duas cascas cilíndicas). m iss tems 6 al 5,010 1 L 8,8510 4, 010 6, 5 10 / N m a caga envlvida é psitiva, camp elétic tem dieçã paa dent das cascas cilíndicas. b) m 8,0cm ( pnt é exten às duas cascas cilíndicas). m iss tems env a b env L L

8 6 L 5,0 10 7,010 6 a b 1 L 8,8510 8, ,50 10 / N m a caga envlvida é negativa, camp elétic tem dieçã paa dent das cascas cilíndicas. 17. Uma caga está unifmemente distibuída atavés d vlume de um cilind infinitamente lng de ai R. (a) Mste ue camp elétic a uma distância d eix d cilind ( < R) é dad p = ρ /( ε ), nde ρ é a densidade vlumética de caga. (b) sceva uma expessã paa a uma distância > R e esbce ualitativamente gáfic. Obseve ue cilind nã é cndut. A supefície gaussiana é uma supefície cilíndica de ai, cncêntica cm cilind. Ptant, smente sua supefície lateal cntibui paa flux de camp elétic atavés dela (ve execíci 15). d A L env env a) Paa < R (s pnts estã n intei d cilind)tems ue: env V L L env L L b) Paa > R (s pnts estã n extei d cilind) tems ue: env V R L R L env L R L 18. (lei de Gauss: simetia plana) Aplicand a lei de Gauss, mste ue módul d camp elétic gead p uma chapa fina, islante e infinita, caegada unifmemente cm uma densidade supeficial de caga σ é dad p: = σ /(ε 0 ).

9 Quand aplicams a lei de Gauss na supefície gaussiana pecebems ue smente as duas bases da supefície cntibui paa flux de camp elétic atavés da supefície. m iss tems: A caga envlvida pela supefície gaussiana é a ue esta na supefície de áea A da placa. 19. Na figua abaix duas placas finas, de gande extensã, sã mantidas paalelas a uma peuena distancia uma da uta. Nas faces intenas as placas pssuem densidades supeficiais de cagas de sinais psts e vales absluts iguais σ = 7,0010 / m 3. m tems ds vetes unitáis, detemine camp elétic (a) à esueda das placas; (b) à dieita das placas; (c) ente as placas. 710 / m

10 0. Na figua abaix uma peuena esfea nã cnduta de massa m = 10 g e caga =x10-8 (distibuída unifmemente em td vlume) está penduada em um fi nã cndut ue faz um ângul de 30 cm uma placa vetical, nã cnduta, unifmemente caegada (vista de pefil). nsideand a fça gavitacinal ue a esfea está submetida e supnd ue a placa pssui uma gande extensã, calcule a densidade supeficial de cagas σ da placa m 10g 1010 kg Devems inicialmente epesenta as fças ue atuam na esfea. m a esfea está em euilíbi, vems pela figua abaix ue: F 0 F T F Tsen30 x x F 0 P T mg T cs 30 y y F mg Tsen30 F mgtg30 Ts30 tems ue: F mgtg30 mgtg ,8tg30 8, (lei de Gauss: simetia esféica) nsidee uma casca esféica fina de ai R e unifmemente caegada cm uma caga ttal Q. Send a distância d cent da esfea até cet pnt, aplicand a lei de Gauss, mste ue:

11 a) Paa > R (pnts extens a casca esféica) camp elétic gead pela casca esféica é euivalente a de uma caga pntual situada n cent da casca esféica. Ou seja, val d camp é dad p = Q / (4 ). b) Paa < R (pnts n intei da casca esféica) camp elétic gead pela casca esféica é nul. Ptant, a casca esféica nã exece fça eletstática sbe uma patícula caegada ue se lcalize n seu intei. nsideems uma supefície gaussiana esféica de ai cncêntica cm a esfea de ai R. Se a esfea caegada cm caga psitiva, ângul ente e seá tds s pnts da supefície gaussiana. Além diss, val d camp elétic seá mesm em tds s pnts da supefície gaussiana. Aplicand a lei de Gauss, tems ue: da 0 paa a) Paa >R (pnts extens à casca esféica) tda caga da esfea está n intei da supefície gaussiana, e cm iss: b) Paa <R (pnts n intei da casca esféica), a caga n intei da supefície gaussiana é nula:. Uma caga pntual pduz um flux elétic de 750 N.m / atavés de uma supefície gaussiana esféica de 10 cm de ai cm cent na caga. (a) Se ai da supefície

12 gaussiana é multiplicad p dis, ual é nv val d flux? (b) Qual é val da caga pntual? a) Seia mesm, pis a caga envlvida pela supefície gaussiana nã muda: b) 3. Uma esfea cnduta cm 10 cm de ai pssui uma caga descnhecida. Se camp elétic a 15 cm d cent da esfea tem um módul de N/ e apnta paa cent da esfea, ual é a caga desta esfea? 10,0cm 3000 N / ( 15 cm) Radialmente paa dent. x 4 9 7,5x , ,15 m camp apnta paa dent, a caga sbe a esfea é negativa. 4. Uma esfea metálica de paede fina tem um ai de 5 cm e uma caga de Detemine val d camp elétic paa um pnt (a) dent da esfea, (b) imediatamente fa da esfea e (c) a 3 m d cent da esfea.

13 5. Uma casca esféica cnduta de ai a e espessua insignificante pssui uma caga a. Uma segunda casca, cncêntica cm a pimeia, pssui um ai b > a e uma caga b. Mste, utilizand a lei de Gauss, ue camp elétic em pnts situads a uma distância d cent das cascas paa: (a) < a é igual ze; (b) a < < b é a / (4 ); e (c) > b é igual a (a + b ) / (4 ) nsideems uma supefície gaussiana esféica de ai, cncêncentica cm as duas cascas esféicas. nfme figua a lad. Aplicand a lei de Gauss, tems ue: d A 4 env env execíci 1) a) Paa < a (s pnts estã n intei da casca men) tems ue: env 0 4 env b) Paa a< < R (s pnts estã ente as duas cascas esféicas) tems ue: env a a 4 env 4 a 4 c) Paa > b (s pnts estã fa da casca esféica mai) tems ue: env a b a 4 env 4 a b 4 b (Veja 6. Duas cascas esféicas cncênticas caegadas têm ais de 10 cm e 15 cm. A caga da casca men é , e da casca mai é Detemine módul d camp elétic em (a) = 1 cm e (b) = 0 cm. a 10cm 0,1m b 15cm 0,15m a b a) = 1 cm (ente as duas cascas esféicas) a ,8510 0,1 b) = 0 cm (exten a esfea mai) a b ,8510 0, 4,5 10 / N 4 1,35 10 / N