ANÁLISE DE BIFURCAÇÃO DE OSCILAÇÕES FORÇADAS NÃO- LINEARES EM PLACAS CIRCULARES COM BORDA LIVRE

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1 INPE-303-PRE/8300 ANÁLISE DE BIFURCAÇÃO DE OSCILAÇÕES FORÇADAS NÃO- LINEARES EM PLACAS CIRCULARES COM BORDA LIVRE Robeto de Oliveia Possidente* *Bolsista FEG/UNESP Relatóio Final de Pojeto de Iniciação Científica (PIBIC/CNPq/INPE) oientado pelo D. José Enesto de Aaújo Filho INPE São José dos Campos 005

2 Análise de bifucação de oscilações foçadas não-lineaes em placas ciculaes com boda live RELATÓRIO FINAL DE PROJETO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA (PIBIC/CNPq/INPE) Bolsista: Robeto de Oliveia Possidente (FEG/UNESP) Oientado: José Enesto de Aaújo Filho (LIT/INPE) Junho de 005

3 Índice Índice de Figuas...3 Intodução Objetivo do Tabalho...4. Desenvolvimento Realizado...5 Históico do estudo sobe Dinâmica de Placas Sistemas Lineaes Sistemas com um gau de libedade Sistema linea massa-mola Simulação de um sistema de um gau de libedade Sistemas com dois gaus de libedade Dois sistemas massa-mola acoplados Simulação de um sistema com dois gaus de libedade Sistema com infinitos gaus de libedade Simulação de um sistema com infinitos gaus de libedade Sistemas Não-Lineaes Sistemas com um gau de libedade Simulação de um sistema não-linea de um gau de libedade Sistemas com dois gaus de libedade Simulação de um sistema não-linea com dois gaus de libedade Equações de Movimento de Placas Ciculaes em coodenadas Cilíndicas Excitação hamônica em placas ciculaes de boda live Análise da dinâmica não-linea de placas ciculaes com boda live Conclusão...44 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...45 APÊNDICE...Eo! Indicado não definido.

4 Índice de Figuas Figua : Resposta tanslacional e etato de fase do sistema com um gau de libedade º Caso...9 Figua : Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de um gau de libedade º Caso... 0 Figua 3: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de um gau de libedade 3º Caso... Figua 4: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade º Caso... 5 Figua 5: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade º Caso... 6 Figua 6: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade 3º Caso... 7 Figua 7: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade 4º Caso... 8 Figua 8: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de um gau de libedade º Caso... 3 Figua 9: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de um gau de libedade º Caso... 4 Figua 0: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de um gau de libedade 3º Caso... 5 Figua : Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade º Caso... 7 Figua : Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade º Caso... 8 Figua 3: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade 3º Caso Figua 4: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade 4º Caso... 3 Figua 5: Resposta do movimento tansvesal últimos 000 pontos analisados Figua 6: Resposta do movimento tansvesal últimos 500 pontos analisados Figua 7: Configuações de defomação da placa nos instantes t= e Figua 8: Resposta amplitude ente 0 e passo 0 - últimos 000 pontos Figua 9: Resposta - amplitude ente 0 e passo 0 - últimos 500 pontos Figua 0: Resposta consideando 0 amplitudes nomalizadas Figua : Resposta amplitude ente 0 e - passo Figua : Resposta consideando 3 amplitudes nomalizadas... 4 Figua 3: Resposta feqüência ente 0 e - passo 0 últimos 000 pontos... 4 Figua 4: Resposta feqüência ente 0 e - passo 0 últimos 500 pontos... 4 Figua 5: Resposta feqüência ente 0 e - passo 0333 últimos 000 pontos Figua 6: Resposta feqüência ente 0 e - passo 0333 últimos 500 pontos

5 Intodução Uma análise da dinâmica não-linea de placas ciculaes com boda live é apesentada neste tabalho. Em paticula é investigado o compotamento de bifucação de oscilações foçadas nãolineaes em placas ciculaes com boda live. Placas ciculaes têm muitas aplicações pincipalmente em engenhaia civil mecânica e aeoespacial. Elas são lagamente empegadas na constução de váios sistemas estutuais incluindo pédios estutuas aeoespaciais componentes eletônicos e estutuas mainhas. Na ealidade váios fatoes complicativos estão pesentes no sistema físico de uma placa tais como: anisotopia foças inplane espessua não-lineamente vaiável gandes deflexões defomação de cisalhamento inécia otacional etc. Esses fatoes são esponsáveis pelo compotamento não-linea do sistema fazendo com que modelos lineaes não sejam eficientes na análise da dinâmica do sistema. Logo a modelagem de um sistema mecânico ou estutual po equações e condições de contono lineaes não é ealista. Se o sistema está sujeito à uma excitação paamética que esulta em uma esposta de instabilidade evidentemente tal modelo pevê amplitudes ilimitadas de vibação pois o cescimento pevisto da esposta é exponencial. Conseqüentemente um modelo mais ealista inclui temos não-lineaes que atuam como limitadoes da esposta pevista. Alguns fenômenos físicos inteessantes que não ocoem em sistemas lineaes podem apaece em sistemas não-lineaes dente os quais podemos destaca o sugimento do fenômeno de bifucação. Um sistema dinâmico que desceve um sistema físico eal depende de um ou mais paâmetos chamados paâmetos de contole. Um sistema dinâmico pode então se pensado como função do paâmeto de contole. Potanto o compotamento dinâmico do sistema pode se bem difeente se o valo desse paâmeto fo alteado. Vaiando-se o paâmeto de contole pode-se eventualmente muda o diagama de fases qualitativamente ou seja novos pontos estacionáios podem se tona instáveis e vice-vesa quando um valo cítico do paâmeto de contole é atingido. No ponto de valo cítico do paâmeto de contole o sistema dinâmico pede a estabilidade estutual. Diz-se que ele sofeu uma bifucação e o ponto de valo cítico é o ponto de bifucação.. - Objetivo do Tabalho Neste tabalho é ealizada uma análise do compotamento dinâmico de oscilações foçadas de sistemas não-lineaes em placas ciculaes com boda live. 4

6 Um modelo matemático de vibação não-linea de uma placa cicula com boda live sujeita à excitação hamônica concentada no ponto cental da placa foi empegado no pesente tabalho. Atavés da vaiação dos valoes de alguns paâmetos de contole tais como: feqüência e amplitude do sinal de excitação foi feita a análise do compotamento dinâmico não-linea da placa. Inicialmente foi ealizada uma pesquisa bibliogáfica sobe sistemas de vibação e dinâmica não-linea. Foam pesquisados livos publicados po pesquisadoes da áea paa foma uma base de conhecimento sobe sistemas de vibação e dinâmica não-linea. Após esse estudo foi ealizada uma pesquisa sobe a dinâmica não-linea de estutuas especificamente de placas ciculaes. Paa tal pesquisa foam utilizadas as seguintes bibliotecas: () Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais; () Univesidade Estadual Paulista Campus Guaatinguetá; (3) Instituto Tecnológico da Aeonáutica. Os atigos e peiódicos foam pesquisados nas bibliotecas já mencionadas e na intenet atavés das bases de dados: () Web of Science.ebofscience.com () Capes.peiodicos.capes.gov.b (3) Scius.scius.com; (4) IEE Exploe.ieee.og/potal/site; e dos sites de busca: () yahoo (Basil).yahoo.com.b () google.google.com. Desenvolvimento Realizado Como etapa inicial ealizou-se simulações de sistemas mecânicos de vibação de um dois e infinitos gaus de libedade atavés de Scipts do MatLab. Os sistemas de um e dois gaus de libedade simulados eam compostos po conjuntos massa-mola-amotecedo onde a esposta à vibação live e foçada foam obtidas utilizando o método de Range-Kutta paa esolução apoximada do sistema de equações difeenciais odináias esultantes da modelagem do sistema. Os métodos utilizados paa obtenção dos modelos matemáticos dos sistemas foam baseados em pincípios físicos tais como: Leis de Neton e Pincipio de D Alembet. Veificou-se o compotamento dinâmico desses sistemas empegando tanto modelos lineaes quanto modelos não lineaes. Sendo que paa obtenção destes foi consideada a caacteística não-linea do compotamento da foça de estauação das molas do sistema ou seja foi consideado um temo não linea caacteístico da constante elástica das molas. No caso linea paa simulação do sistema de infinitos gaus de libedade sistema estutual foi empegado um modelo matemático que epesenta a vibação linea live de uma membana cicula com boda fixa. Onde a equação difeencial pacial que govena o movimento de vibação da membana foi obtida atavés da Teoia Clássica de Membanas confome o livo de Magab []. Com a simulação do modelo foam obtidos os modos natuais de vibação da membana consideando a combinação de n cículos nodais com m diâmetos nodais. 5

7 Históico do estudo sobe Dinâmica de Placas Gealmente enconta-se na natueza estutuas sujeitas à caegamentos dinâmicos ou seja sujeitas à cagas cuja magnitude dieção ou ponto de aplicação vaia com o tempo. A esposta dinâmica do sistema é constituída pelas deflexões e tensões vaiantes no tempo. A obtenção da esposta dinâmica de vibação foçada não linea de placas ciculaes e a análise do compotamento de bifucação do sistema no caso especifico de boda live é aamente vista na liteatua científica. Um bom entendimento do compotamento dinâmico paa componentes estutuais é cucial paa a avaliação do design pefomance e confiabilidade de sistemas mecânicos e estutuais. O estudo da dinâmica de placas tem sido ealizado há váias décadas po pesquisadoes da áea sendo que os livos de Timoshenko [] Magab [] e a monogafia de Leissa [3] são excelentes efeências sobe dinâmica linea de placas. Muitos atigos científicos com base na Teoia Clássica de placas foam publicados até o pesente momento como pode se obsevado atavés da evisão da liteatua feita po Leissa [5] e Lie [8]. Em [9] este auto fomula uma teoia linea tidimensional de vibação live de placas ciculaes difeentemente dos autoes da maioia dos atigos sobe dinâmica linea de placas os quais se baseiam em teoias lineaes em duas dimensões. Lie obteve as feqüências natuais de váios modos nomais de vibação da placa atavés do método de Rayleigh-Ritz e investigou a petubação da esposta de feqüência atavés da vaiação das condições de contono e espessua da placa. Poém sistemas estutuais são ineentemente não lineaes logo fatoes complicativos tais como os expostos po Leissa [4] e [6] tonam a utilização de modelos lineaes inadequados paa a epesentação de sistemas de vibação de placas além de dificultaem a obtenção da solução exata do poblema. Leissa [7] analisou paticulaidades adotadas nas soluções de modelos lineaes aplicados à componentes estutuais e obteve esultados inconsistentes da esposta dinâmica da placa. Tal fato compova que a teoia linea não é capaz de peve a esposta coeta paa sistemas eais devido estes apesentaem popiedades não-lineaes. Uma evisão dos atigos mais ecentes sobe vibação não-linea de placas é feita po Sathyamoothy [0] onde a maioia das efeências citadas tata dos efeitos da não-lineaidade geomética no compotamento dinâmico. Kang [] apesenta um método de análise baseado em equações dinâmicas de elasticidade tidimensionais paa deteminação das feqüências de vibação live e modos de placas ciculaes e anulaes com vaiação não-linea de espessua ao longo da dieção adial da placa. A vibação de placas laminadas compostas finas de geometia não-linea é estudada pelos métodos de elemento finito hieáquico e balanço hamônico po Ribeio [3] sendo que a esposta foçada e live são analisadas e a estabilidade das soluções é investigada pela 6

8 aplicação da teoia de Floquet. Sidha Mook and Nayfeh analisam em [4] e [5] as espostas siméticas e assiméticas espectivamente de uma placa cicula à uma excitação hamônica tendo uma feqüência póxima à uma da feqüências natuais. O equações de von Kàmàn são utilizadas e o método de escalas múltiplas uma técnica de petubação é empegado paa esolve as equações govenantes não-lineaes. Nayfeh and Nayfeh [7] implementam métodos de petubação e escalas múltiplas paa estuda os modos não-lineaes de sistemas contínuos de uma dimensão com nãolineaidades ineciais e geométicas cúbicas. Em [8] Nayfeh and Balachandan fazem uma evisão da teoia e expeimentos sobe a influência das inteações modais na esposta não-linea de sistemas estutuais e dinâmicos excitados hamonicamente. Chia[9] investiga analiticamente as vibações de laga amplitude de placas ciculaes com boda fixa. O método Galekin é empegado na fomulação das soluções que são obtidas numeicamente atavés do método de Range-Kutta. Dumi [0] tata da análise tansiente e estática assimética geometicamente não-linea de placas ciculaes espessas cilindicamente ototópicas sujeitas à caegamentos centais discetos e unifomente distibuídos. Uma impotante efeência sobe oscilações não-lineaes de placas é o livo de Chia [3] que apesenta váios exemplos de vibação live e foçada de placas com divesos fomatos sob condições de contono divesas. Yeh Chen and Lai [4] estudam as condições que possivelmente poduzem o movimento caótico e o compotamento de bifucação paa gandes deflexões de uma placa cicula temo-elástica simplesmente supotada com espessua vaiável. A equação difeencial pacial govenante é deivada pelo método Galekin e váias caacteísticas incluindo especto de Fouie etato de fase mapa de Poinca e e diagamas de bifucação são numeicamente obtidas. Touzé Thomas and Chaigne ealizam um estudo teóico e expeimental em [5] e [6] espectivamente sobe vibações foçadas assiméticas não-lineaes de placas ciculaes com boda live. Sendo que a excitação é hamônica com uma feqüência póxima a feqüência natual de um modo assimético da placa. As equações de von Kàmàn são utilizadas paa estabelece as equações govenantes e o método de escalas múltiplas é empegado paa se obte a solução analítica apoximada. 7

9 3 Sistemas Lineaes O estudo sobe sistemas mecânicos lineaes de vibação seve como intodução à analise de sistemas não lineaes que é o assunto de inteesse deste tabalho. Dente as caacteísticas obsevadas estão o deslocamento e a velocidade tanslacional da massa e a analise de estabilidade atavés do etato de fase do sistema. As equações matemáticas que descevem os modelos físicos simulados são obtidas empegando-se o pincipio de D Alembet. 3. Sistemas com um gau de libedade 3.. Sistema linea massa-mola O movimento etilíneo de uma massa m pesa a uma mola de constante k é govenada pela equação difeencial Modelo Físico do Sistema x x = 0 dt d =k/m Se a massa fo solta com condições iniciais não tiviais ou seja se x(0) e x (0) não foem simultaneamente nulos efetuaá oscilações hamônicas com feqüência angula dada po x = A cos t B sen t ( AB = constantes eais ) ou altenativamente po: x = C e -t (C = constante complexa). OBS.: com a convenção implícita de que a pate eal de x seá identificada com a solução eal. Este é um exemplo de oscilações de um sistema com um gau de libedade. O estado do sistema pode se descito po uma única função x = x( epesentando a coodenada da massa m. 8

10 3.. Simulação de um sistema de um gau de libedade O compotamento de oscilação do sistema linea massa-mola-amotecedo suspenso po um supote foi simulado atavés de Scipts do MatLab (aquivo sim.m) utilizando-se do método de Range-Kutta paa esolução do sistema de equações difeenciais esultantes da modelagem matemática. Foam analisados tês casos distintos de excitação desse sistema: Caso: Sistema sem excitação. (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm.m) Nesse caso o sistema não está sendo excitado po nenhuma foça extena confome figua a segui: Modelo Físico do Sistema Modelagem matemática: Diagama de Copo Live Mx ( ' Cx( Kx( = 0 Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(= e x (=0. Figua : Resposta tanslacional e etato de fase do sistema com um gau de libedade º Caso 9

11 º Caso : Excitação na massa. (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm.m) Nesse caso a função de excitação f( está sendo aplicada dietamente na massa M do sistema confome figua a segui: Modelo Físico do Sistema Modelagem matemática: Diagama de Copo Live Mx ( ' Cx( Kx( = f ( Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(=0 e x (=0. Figua : Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de um gau de libedade º Caso 0

12 3º Caso : Excitação no supote de fixação (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm3.m) Nesse caso a função de excitação f(x) está sendo aplicada dietamente no supote de fixação do sistema confome figua abaixo. Modelo Físico do Sistema Modelagem matemática: Diagama de Copo Live Mx ( ' C[ x( y( ] K[ x( y( ] = 0 Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(=0 e x (=0. Figua 3: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de um gau de libedade 3º Caso

13 3. Sistemas com dois gaus de libedade 3.. Dois sistemas massa-mola acoplados Movimentos oscilatóios semelhantes aos vistos anteiomente em sistemas de um gau de libedade podem se também obsevados em sistemas com váios gaus de libedade. Vamos toma como exemplo duas massas estaticamente acopladas. Considee duas massas m e m ligadas po molas e movendo-se com atito despezível (fig. ). As posições instantâneas das duas massas são epesentadas po x e x e suas posições de equilíbio po x 0 e x 0. É conveniente epesenta o movimento em função dos deslocamentos: u ( = x ( x 0 u ( = x ( x 0 Duas foças hoizontais atuam sobe m (fig. ). São dadas po: F = k e F = ke Em que e e e são os alongamentos das molas coespondentes. Evidentemente e = u e E = u u. A foça esultante na dieção x é potanto F F = k(u -u ) k u E a equação do movimento F = ma seá: ( k k) u 0 m u '' ku = Semelhantemente paa a segunda massa ( k k) u 0 m u' ' ku =

14 Estamos agoa lidando com um sistema com dois gaus de libedade. O estado do sistema (configuação) fica descito po duas funções po duas funções u( e u( que satisfazem um sistema de equações difeenciais acopladas. A expeiência indica que este sistema é capaz de executa oscilações hamônicas com cetas feqüências caacteísticas. Potanto pocuaemos uma solução sob a foma: u ( = U e -it u ( = U e -it (U U = constantes complexas) Substituindo no sistema e cancelando o fato e -it chegamos ao sistema de duas equações lineaes homogêneas: [-m ( k k )]U ku = 0 [-m ( k k )]U ku = 0. Paa obtemos uma solução não tivial exigimos que o deteminante do sistema se anule: ( ) k k m Det k k ( k k m ) = 0 A fim de facilita as manipulações algébicas considee o caso especial em que m =m =m e k =k =k. Temos então k m Det k k k m = 0 As aízes desta equação são: = k m = 3 k m Estas são as feqüências caacteísticas do sistema. As massas podem viba (em movimento hamônico simples) somente com estas feqüências e em nenhuma outa. A fim de enconta explicitamente o movimento do sistema substituí-se os valoes pemissíveis de nas equações de U e U. Desta maneia obtemos: U = U (= ) ou U = U (= ). Um dos coeficientes pemanece indeteminado pois as equações são homogêneas. 3

15 Fisicamente isso significa que o sistema pode viba com amplitude abitáia paa qualque uma das feqüências caacteísticas. As elações ente U e U são essencialmente as elações de fase ente as massas vibantes. A pimeia feqüência da oigem à solução u () ( = C e -it u () ( = C e -it Qualque que seja o valo da constante complexa C as duas massas vibaão em fase (com difeença de fase nula). Paa ve isso claamente esceva C = A e -iφ (A φ = eal) Então as soluções eais são u () ( = A cos( t - φ ) u () ( = A cos( t - φ ) Semelhantemente paa a segunda feqüência u () ( = C e -it u () ( = C e -it ou com C = A e -iφ u () ( = A cos( t - φ ) u () ( = -A cos( t - φ ) = A cos( t - φ π) Neste caso as massas vibaão com uma difeença de fase de 80º. Cada uma das duas soluções epesentadas po paes de funções (u u ) é chamada de modo caacteístico de vibação ou modo nomal de vibação. Um movimento abitáio das massas pode se caacteizado po quato condições iniciais: u(0) u (0) u(0) u (0) A pati desses quato valoes podeemos obte os quato paâmetos A A φ e φ. 3.. Simulação de um sistema com dois gaus de libedade O compotamento de oscilação do sistema linea composto po dois conjuntos massa-molaamotecedo acoplados suspensos po um dos conjuntos foi simulado atavés de Scipts do MatLab (aquivo sim.m) utilizando-se do método de Range-Kutta paa esolução do sistema de equações difeenciais esultantes da modelagem matemática. Foam analisados quato casos distintos de excitação desse sistema: 4

16 º Caso: Sistema não excitado. (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm7.m) Modelo Físico do Sistema Modelagem matemática: Mx( ' Cx( Kx( C[ x( x( ] K[ x( x( ] = 0 M x( ' C[ x( x( ] K [ x( x( ] = 0 Diagama de Copo Live Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(= x (=0 x(= e x (=0 Figua 4: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade º Caso 5

17 º Caso: Excitação na massa. (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm8.m) Modelo Físico do Sistema Modelagem matemática: Mx( ' Cx( Kx( C[ x( x( ] K[ x( x( ] = M x( ' C[ x( x( ] K [ x( x( ] = 0 f ( Diagama de Copo Live Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(= x (=0 x(= e x (=0 Figua 5: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade º Caso 6

18 3º Caso: Excitação na massa. (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm9.m) Modelo Físico do Sistema Modelagem matemática: Mx( ' Cx( Kx( C[ x( x( ] K[ x( x( ] = 0 M x( ' C[ x( x( ] K [ x( x( ] = f ( Diagama de Copo Live Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(= x (=0 x(= e x (=0 Figua 6: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade 3º Caso 7

19 4º Caso: Excitação no supote de fixação dos conjuntos. (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm0.m) Modelo Físico do Sistema Modelagem matemática: Mx( ' Cx( Kx( C[ x( y( x( ] K [ x( y( x( ] = 0 M x( ' C[ x( y( x( ] K [ x( y( x( ] = 0 Diagama de Copo Live Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(=0 x (=0 x(=0 e x (=0 Figua 7: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade 4º Caso 8

20 3.3 Sistema com infinitos gaus de libedade 3.3. Simulação de um sistema com infinitos gaus de libedade Os modos natuais de vibação live de uma membana cicula com boda fixa foam obtidos atavés da utilização de um modelo linea pesente no livo de Magab [] que considea uma membana cicula de aio exteno b pefeitamente elástica esticada com uma tensão constante po compimento (T). O deslocamento tansvesal da membana em qualque ponto e em qualque instante é dado po (. Fazendo-se ( = W() e it a equação que govena o movimento tansvesal da membana é Ω W( ) W( ) = 0 (3.0) b Assumindo a solução desta equação na foma W ( ) = Rm( ) m= 0 j = 0 j( m ) (3.) onde j é dada po π j = sen m j m=0... j=0... (3.) Substituindo (3.) em (3.0) têm-se d d d Ω m Rm Rm = 0 Rm d b m=0... (3.3) que possui a foma de uma equação de Bessel e cuja solução é dada po Rm( ) = AJm ( Ω. / b) (3.4) 9

21 A condição de contono paa boda fixa é W ( ) = 0 (3.5) Substituindo (.4) em (.5) teemos a equação caacteística onde Jm ( Ωmn) = 0 m=0... n=3... (3.6) Ωmn coesponde à aiz da função de Bessel de pimeia odem Jm calculada consideandose m diâmetos nodais e n cículos nodais. O modo nomal coespondendo a coodenada adial é então Rmn( ) = Jm( Ωmn. / b) (3.7) e o modo nomal completo se tona Wmn j( ) = Jm( Ωmn. / b) xj( m ) (3.8) j=0... m=0... n=3... que desceve uma supefície modal em que o valo de m detemina o númeo de diâmetos nodais e o valo de n detemina o númeo de cículos nodais (incluindo o contono). Quando m=0 não existem diâmetos nodais e os modos são siméticos isto é independentes de. Alguns dos modos natuais obtidos atavés da simulação em Scipts do MatLab (aquivo sim3.m) são apesentados a segui 0

22 Modo 0 Modo 0 Modo 03 Modo 04 Modo Modo Modo 3 Modo 4

23 Modo Modo Modo 3 Modo 4 Modo 3 Modo 3 Modo 33 Modo 34

24 4 Sistemas Não-Lineaes 4. Sistemas com um gau de libedade 4.. Simulação de um sistema não-linea de um gau de libedade Caso: Sistema sem excitação. (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm4.m) Nesse caso o sistema não está sendo excitado po nenhuma foça extena confome figua abaixo. Modelo Físico do Sistema Modelagem matemática: Diagama de Copo Live Mx ( ' Cx( Kx( Bx( 3 = 0 Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(= x (=0 Figua 8: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de um gau de libedade º Caso 3

25 º Caso : Excitação na massa. (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm5.m) Nesse caso a função de excitação f(x) está sendo aplicada dietamente na massa M do sistema confome figua abaixo. Modelo Físico do Sistema Modelagem matemática: Diagama de Copo Live 3 Mx ( ' Cx( Kx( Bx( = f ( Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(=0 x (=0 Figua 9: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de um gau de libedade º Caso 4

26 3º Caso : Excitação no supote de fixação (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm6.m) Nesse caso a função de excitação f(x) está sendo aplicada dietamente no supote de fixação do sistema confome figua abaixo. Modelo Físico do Sistema Modelagem matemática: Mx ( ' C[ x( y( ] K[ x( y( ] B[ x( y( ] 3 = 0 Diagama de Copo Live Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(= x (=0 Figua 0: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de um gau de libedade 3º Caso 5

27 4. Sistemas com dois gaus de libedade 4.. Simulação de um sistema não-linea com dois gaus de libedade º Caso: Sistema não excitado. (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm.m) Modelo Físico do Sistema Modelagem matemática: Mx( ' Cx( Kx( Bx( K[ x( x( ] B[ x( x( ] 3 3 C[ x( x( ] = 0 Mx( ' C[ x( x( ] K[ x( x( ] B[ x( x( ] 3 = 0 Diagama de Copo Live 6

28 Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(= x (=0 x(= e x (=0 Figua : Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade º Caso º Caso: Excitação na massa. (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm.m) Modelo Físico do Sistema 7

29 Modelagem matemática: Mx( ' Cx( Kx( Bx( K[ x( x( ] B[ x( x( ] 3 C[ x( x( ] 3 = f ( M x( ' C[ x( x( ] B[ x( x( ] 3 = 0 K[ x( x( ] Diagama de Copo Live Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(= x (=0 x(= e x (=0 Figua : Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade º Caso 8

30 3º Caso: Excitação na massa. (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm3.m) Modelo Físico do Sistema Modelagem matemática: Mx( ' Cx( Kx( Bx( K [ x( x( ] B[ x( x( ] 3 C[ x( x( ] 3 = 0 M x( ' C[ x( x( ] K [ x( B[ x( x( ] 3 = f ( x( ] Diagama de Copo Live 9

31 Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(=0 x (=0 x(=0 e x (=0 Figua 3: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade 3º Caso 4º Caso: Excitação no supote de fixação dos conjuntos. (Modelo matemático usado na simulação: aquivo mm4.m) Modelo Físico do Sistema 30

32 Modelagem matemática: Mx( ' Cx( Kx( Bx( K[ x( y( x( ] B[ x( y( x( ] 3 C[ x( y( x( ] 3 = 0 Mx( ' C[ x( y( x( ] K[ x( y( x( ] B[ x( y( x( ] 3 = 0 Diagama de Copo Live Resposta do sistema consideando as condições iniciais x(= x (=0 x(= e x (=0 Figua 4: Resposta tanslacional e etato de fase do sistema de dois gaus de libedade 4º Caso 3

33 5 - Equações de Movimento de Placas Ciculaes em coodenadas Cilíndicas Consideando um elemento cotado da placa po dois planos adiais e po duas supefícies cilíndicas adjacentes. As coodenadas polaes e são consideadas na supefície cental da placa antes da defomação e o eixo z na dieção da espessua. Pelo uso das equações de tansfomação e a ega de difeenciação pacial as seguintes elações são apesentadas: ( ) x = ( ) ( ) xx = ( ) ( ) = ( ) y ( ) = ( ) ( ) xy ( ) xy = ( ) ( ) (5.00) em que o ângulo pola foi consideado igual à zeo. Como a posição do eixo x é abitáio o esultado obtido pode se aplicado paa qualque linha adial da placa. As foças inplane momentos de toção e foças de cisalhamento tansvesal em coodenadas polaes são definidos po: h [ N N N ] = [ σ σ σ ] h [ Q Q ] = [ σ σ z ] h h dz dz h [ M M M ] = [ σ σ σ ]zdz h (5.0) em que σ e σ são as tensões nomais e σ σz e σz são as tensões de cisalhamento. Essas componentes de tensão associados com as coodenadas cilíndicas são idênticas às tensões em coodenadas catesianas etangulaes σx σy σxy σzx e σzy espectivamente se o aio é coincidente ao eixo x ( = 0). No caso de placas isotópicas os momentos de toção e as foças de cisalhamento tansvesal associadas às coodenadas cilíndicas são dadas pelas equações 3

34 33 ( ) = = = v D M v v D M v v D M (5.0) ( ) ( ) D Q D Q = = (5.03) onde ( ) ( ) ( ) ( ) = é o opeado Laplaciano (5.04) As foças inplane expessas em função de tensão são dadas po F h F h F h N hf N F h F h N = = = = (5.05) sendo que F é a função de tensão de Aiy. Então as equações dinâmicas de von Kámán paa placas não lineaes em coodenadas cilíndicas são dadas po (5.06) = tt F F F F D h D t q D ) ( ρ

35 34 = E F (5.07) Uma vez a solução dessas equações te sido obtida os momentos de toção e as foças da membana e cisalhamento podem se encontadas das equações (5.0) à (5.05) e as tensões em um ponto genéico da placa em coodenadas cilíndicas das equações = = = = = h z h Q h z h Q z h M h N z h M h N z h M h N z z σ σ σ σ σ (5.08) Note que ( ) ( ) u u v u v u u u u u y o x o y o x o = = = = (5.09) e as elações defomação-deslocamento ( ) ( ) ε ε ε u u u u u u = = = (5.0)

36 em que 0 ε 0 ε 0 ε u e u são defomações e deslocamentos da supefície de efeência em z=0 (plano cental da placa) no sistema de coodenadas esféicas. A solução completa das equações de von Kaman dependem das condições de contono ao longo da placa e das condições iniciais. A condição de contono consideada neste tabalho desceve uma situação de libedade de movimento da placa cicula em que a boda da mesma é móvel ao longo do plano da placa ou seja a placa enconta-se simplesmente supotada. 5.- Excitação hamônica em placas ciculaes de boda live Considea-se a vibação de uma placa cicula excitada po uma foça hamônica qo cos(. No caso de modos siméticos de vibação tensões e deslocamentos são independentes do ângulo pola. As equações de movimento da placa são obtidas a pati das equações de von Kàmàn. O esultado é L ( F) = D ρ ( F ) E F = onde ( ) = [ ( ) ] tt h q o cost = 0 (5.) Condição de contono paa a placa simplesmente supotada: v = = 0 paa = a (5.) Paa soluções apoximadas desse tipo de poblema o método Galekin fonece a equação em função do tempo. A condição de contono é satisfeita expessando-se a deflexão na foma sepaável 4 ( bξ c ) = hφ ( ξ (5.3) 35

37 onde ξ = a 6 v b = 5 v v c = 5 v (5.4) em que φ é uma função não conhecida com seu máximo sendo a deflexão máxima não dimensional definida po m/b em que b e c são constantes dadas pelas expessões acima. Evidentemente a equação (.3) poduz o pimeio modo fundamental de vibação da placa. Aplicando o método Galekin à equação (.3) a seguinte condição é obtida 0 a L ( F ) d = 0 (5.5) Fazendo v=03 e integando esultaá em uma equação difeencial odináia em função do tempo 4 Eh ρ hφ tt [ 4φ 059φ 3) = 560qocos( t )] (5.6) 4 a 5.- Análise da dinâmica não-linea de placas ciculaes com boda live O estudo da dinâmica não linea de placas ciculaes foi ealizado com base no modelo descito anteiomente atavés da simulação das soluções das equações (5.3) e (5.6) sendo que paa esolução da equação difeencial odináia foi empegado o método de Range-Kutta. A simulação da esposta do sistema foi ealizada atavés de Scipts do MatLab (aquivos sim4.m e mm5.m). A esposta do movimento tansvesal de cada ponto da placa é apesentado a segui. 36

38 Figua 5: Resposta do movimento tansvesal últimos 000 pontos analisados Figua 6: Resposta do movimento tansvesal últimos 500 pontos analisados Como considea-se uma placa isotópica ou seja cada ponto da placa apesenta as mesmas popiedades mateiais a esposta acima epesenta o compotamento do movimento tansvesal em função do tempo de cada ponto da placa. 37

39 As amplitudes de vibação dos difeentes pontos da placa são definidas consideando-se a posição espacial de cada ponto. Assim a esolução da equação (5.3) vaiando-se a coodenada cilíndica adial de 0 até a esulta em uma configuação de defomação da estutua que é analisada em um deteminado instante de tempo. A simulação da configuação de defomação da estutua paa um deteminado instante de tempo foi ealizada atavés de Scipts do MatLab (aquivos sim5.m e mm5.m). Algumas configuações obtida são dadas a segui: t=5 t=0 t=40 t=60 t=90 t=00 Figua 7: Configuações de defomação da placa nos instantes t= e

40 Vaiando-se um dos paâmetos de contole da equação (5.6) pode-se investiga a ocoência de fenômenos típicos de oscilações não lineaes. No pesente tabalho a amplitude e a feqüência da função de excitação foam os paâmetos escolhidos paa se ealiza tal taefa. A simulação da esposta do sistema com elação à vaiação da amplitude da função de excitação foi ealizada atavés de Scipts do MatLab (aquivos sim6.m e mm5.m) Com a vaiação da amplitude no intevalo de 0 a com passo 0. ou seja 0 amplitudes analisadas e esolução de 0000 pontos no intevalo de tempo de 0 a 000 obteve-se Figua 8: Resposta amplitude ente 0 e passo 0 - últimos 000 pontos Figua 9: Resposta - amplitude ente 0 e passo 0 - últimos 500 pontos 39

41 A simulação da esposta do sistema com elação às amplitudes nomalizadas da função de excitação foi ealizada atavés de Scipts do MatLab (aquivos sim7.m e mm5.m) A nomalização das amplitudes em elação ao valo da maio amplitude esulta na figua a segui: Figua 0: Resposta consideando 0 amplitudes nomalizadas Obseva-se o compotamento não-linea da esposta do movimento tansvesal de cada ponto da placa atavés desse gáfico em que as espostas obtidas em função de cada uma das amplitudes nomalizadas foi subtaída da esposta de efeência (obtida em função da amplitude de efeência) esultando em dez sinais vaiando com o tempo. Com a vaiação da amplitude no intevalo de 0 a com passo ou seja 3 amplitudes analisadas e esolução de 0000 pontos no intevalo de tempo de 0 a 000 obteve-se 40

42 Figua : Resposta amplitude ente 0 e - passo 0333 A nomalização das amplitudes em elação ao valo da maio amplitude esulta em Figua : Resposta consideando 3 amplitudes nomalizadas Obseva-se o compotamento não-linea da esposta do movimento tansvesal de cada ponto da placa atavés desse gáfico em que as espostas obtidas em função de cada uma das amplitudes nomalizadas foi subtaída da esposta de efeência (obtida em função da amplitude de efeência) esultando em tês sinais vaiando com o tempo. 4

43 A simulação da esposta do sistema com elação à vaiação da feqüência da função de excitação foi ealizada atavés de Scipts do MatLab (aquivos sim8.m e mm5.m) Com a vaiação da feqüência no intevalo de 0 a com passo 0. ou seja 0 feqüências analisadas e esolução de 0000 pontos no intevalo de tempo de 0 a 000 obteve-se Figua 3: Resposta feqüência ente 0 e - passo 0 últimos 000 pontos Figua 4: Resposta feqüência ente 0 e - passo 0 últimos 500 pontos 4

44 Com a vaiação da feqüência no intevalo de 0 a com passo ou seja 3 feqüências analisadas e esolução de 0000 pontos no intevalo de tempo de 0 a 000 obteve-se Figua 5: Resposta feqüência ente 0 e - passo 0333 últimos 000 pontos Figua 6: Resposta feqüência ente 0 e - passo 0333 últimos 500 pontos 43

45 6 Conclusão Como etapa inicial foi feita uma pesquisa sobe oscilações não-lineaes e análise da dinâmica não-linea de placas ciculaes atavés das bibliotecas do INPE UNESP e intenet. Logo após foam feitas simulações de sistemas vibatóios lineaes e não-lineaes com um dois e infinitos gaus de libedade utilizando-se de Scipts do MatLab. Atavés dessas simulações veificamos o compotamento dinâmico de sistemas massa-mola-amotecedo sujeitos à difeentes excitações além de obtemos os modos natuais da vibação live linea de membanas ciculaes com boda fixa. Foi identificado um modelo de vibação foçada não-linea de placas ciculaes com boda live atavés do qual obteve-se a esposta do movimento tansvesal de cada ponto da placa. Vaiou-se alguns paâmetos de contole no caso amplitude e feqüência da função de excitação afim de se investiga o compotamento dinâmico não-linea da placa. Contudo nenhum ponto de bifucação foi encontado duante as simulações executadas o que se pôde obseva claamente foi a esposta não linea do movimento tansvesal da placa tendo como base a compaação ente as espostas obtidas com à vaiação da amplitude e feqüência de excitação. 44

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