Universidade Federal da Bahia Departamento de Matemática

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1 Retas e Plans Univesidade Fedeal da Bahia Depatament de Matemática 000

2 Intduçã Este text é uma vesã evisada e atualizada d text " Retas e Plans" de autia das pfessas Ana Maia Sants Csta, Heliacy Celh Suza e Maia Chistina Fenandes Cads Esta vesã, d mesm md que a pimeia, é um ecus didátic utilizad na Disciplina Matemática Básica II - Mat 00 d Depatament de Matemática da UFBA Espeams cnta cm auxíli ds leites atavés de cíticas, sugestões e ceções Salvad, 0 de nvemb de 999 As autas, Maia Chistina Fenandes Cads Snia Regina Saes Feeia Velane Andade Cabal

3 Índice CAPÍTULO I - Equações da eta 0 CAPÍTULO II - Equações d plan 04 CAPÍTULO III - Psições elativas de dis plans 09 CAPÍTULO IV - Psições elativas de uma eta e um plan e duas etas 4 CAPÍTULO V - Ânguls CAPÍTULO VI - Distância 9 Execícis eslvids 37 Execícis ppsts 46

4 CAPÍTULO I EQUAÇÕES DA RETA Equaçã vetial Um ds aximas da gemetia euclidiana diz que dis pnts distints deteminam uma eta Seja a eta deteminada pels pnts P e P P P Um pnt P petence à eta se, e smente se, s vetes P P e sã clineaes Cm P e P entã existe um escala λ tal que e smente se, P P + λp P ; λ pnt da eta satisfaz à equaçã: sã distints, vet P P λ P P fi X P P P P é nã nul, Assim, P petence a se, IR Pdems entã cnclui que td P + l P P ; l IR, que é chamada de equaçã vetial da eta Obsevems que fundamental na deteminaçã da equaçã vetial de uma eta, é cnhecems um pnt desta eta e um vet ( nã nul ) na sua dieçã Um vet na dieçã da eta é chamad vet dieçã da eta, e indicad p v : X P + hv ; h IR v P Assim, cada escala h detemina um únic pnt P petencente a e, ecipcamente, paa cada pnt de, existe um únic val eal h tal que P P + h v

5 Equações paaméticas e siméticas Fixad um sistema de cdenadas, sejam P (x, y, z) e v (a, b,c) A equaçã vetial da eta, deteminada p P e v é: :(x, y, z), (x, y, z) + h (a,b, c); h IR que equivale a sistema x : y y z + h a + h b + h c ;h IR As equações acima sã chamadas de equações paaméticas da eta Se abc 0, eliminand paâmet h d sistema, btems x - x y y z z : - - a b c Estas equações sã denminadas equações siméticas da eta As equações em, pdeiam se btidas bsevand paalelism que deve existi ente s vetes: P P (x x,y y,z z ) e v (a,b,c), abc 0 Exempls Detemine uma equaçã da eta que: a) passa pels pnts P (3,,) e P (,,) ; b) passa pel pnt P(4,,0) e cntém epesentantes d vet u (,6, ) Sluçã: a) Cm P e P sã distints, deteminam uma eta de equaçã vetial X P + hp P ; h IR, ist é, : (x,y,z) (3,,) + h (,,);h R

6 b) : x y z 4 ( equações siméticas da eta) 3 Veifique se pnt P(,0,) petence às etas: a) :(x, y,z) ( 7, 3, 7) + h (,,3); h IR 3+ h b) s: y + h ; h IR h c) t : x + y 3 z 4 Sluçã: a) P se, e smente, existe h IR tal que:,0,) ( 7, 3, 7) + h (,,3) ( Ou seja, ( 6,3,9) h(,,3) É fácil veifica que h 3 tna a igualdade acima vedadeia, lg P 3 h b) P s se, e smente, existe h IR tal que 0 + h h que é impssível, pis, da pimeia equaçã tems h e da segunda h Lg, P s c) P t se, e smente, P t Cm 0 tems que x y + 3 Seja : z Detemine uma equaçã de nas fmas 4 vetial e paamética 3

7 Sluçã: Das equações siméticas de tems v (,4,) e P(,,0) é um pnt da eta Assim, (x, y, z) (,,0) + h (,4,); h IR e + h y + 4 h ; h IR, sã equações da eta nas fmas vetial e h paamética, espectivamente CAPÍTULO II - EQUAÇÕES DO PLANO Equaçã Vetial Um ds aximas da Gemetia Espacial ns diz que tês pnts nã clineaes deteminam um plan Cnsideems entã π plan deteminad pels pnts A, B e C Desejams encnta uma cndiçã necessáia e suficiente paa que um pnt X petença a plan π Obsevems entã que, cm A, B e C sã nã clineaes, s vetes BA e AC sã lineamente independentes cm epesentantes em π Ptant, um pnt X petence a plan π se, e smente se, vet XB é cplana cm s vetes e BA Assim, existem escalaes t e h AC D C π tais que XB tba+ hac A B X Daí, um pnt X petence a plan π se, e smente se, + X B + t BA hac ; t, h IR Esta equaçã é chamada de equaçã vetial d plan p 4

8 Obsevems que fundamental na deteminaçã da equaçã de um plan é cnhecems um pnt deste plan e dis vetes lineamente independentes, cm epesentantes n mesm Um vet cm epesentante em um plan é dit paalel a plan Assim, uma equaçã vetial de um plan paalel as vetes LI u e v e que passa p P é : X P + tu + hv; t, h IR u v P Obsevems ainda que paa cada pnt X d plan, existe um únic pa denad ( t, h ) satisfazend a esta equaçã e ecipcamente Equações Paaméticas Fixems um sistema de cdenadas d espaç Sejam u ( a, b, c), v ( a, b, c ) vetes lineamente independentes paalels a plan e P ( x, y, z ) um pnt de Assim, uma equaçã vetial d plan pde se escita cm: ( x, y,z) ( x, y, z ) + t( a,b,c ) + h( a, b, c ), t, h IR A equaçã acima equivale a sistema: x y y z + a + b + c t + a h t + b h t + c h ; t, h IR As equações deste sistema sã chamadas equações paaméticas d plan a Exempls Dê uma equaçã vetial d plan deteminad pels pnts A (,,0), B (,,) e C (3,,) 5

9 Sluçã: Cm s vetes AB (,, ) e CA (,, ) sã lineamente independentes, s pnts A, B e C nã sã clineaes, lg deteminam um únic plan Uma equaçã vetial d plan ABC é : ( x, y, z) (,,0) + t(,,) + h(,,) ; t,h IR Dê as equações paaméticas d plan paalel as vetes u (,,), v (,0,3) e que passa pel pnt P (,4, ) Sluçã: Cm s vetes u e v sã lineamente independentes entã P, deteminam um plan de equações paaméticas: u e v t + h y 4 + t + t + 3h ; t, h IR 3 Dê uma equaçã vetial d plan β, dad a segui; Sluçã: + h t β: y + h + 3t 3+ 5h ; t,h IR Das equações paaméticas de β tems que P (,,3) é um pnt de β e s vetes u (,,5) e v (,3,0) sã lineamente independentes cm epesentantes em β Assim, uma equaçã vetial de β é dada p ; β : (x, y,z) (,,3) + t(,,5) + h(,3,0) ; t,h IR 4 Detemine as equações paaméticas d plan paalel a vet u (5,,) e que passa pels pnts A (3,, ) e B (,,0) 6

10 Sluçã: Obsevems que s vetes u (5,, ) e AB (,0, ) sã lineamente independentes cm epesentantes n plan Assim, as equações paaméticas de sã: 3 + 5h t : y + h ; t, h IR + h t 3 Equaçã Geal Seja plan deteminad pel pnt P ( x, y, z ) e pels vetes u e v Lembems que um pnt X(x, y, z) petence a se, smente se, s vetes PX, u e v sã cplanaes Assim, [ PX,u, v ] 0, u seja, ( u v) P X 0 Cnsideand u v (a,b,c), pdems esceve: u equivalentemente, nde d ( ax + by + cz ) ( a, b, c) (x x, y y, z z ) 0, ax + by + cz + d 0, u v P X A equaçã é chamada de equaçã geal d plan a Dizems que um vet nã nul é n nmal a um plan se, smente se, é tgnal a tds s vetes que v pssuem epesentantes neste plan É u P usual indicams um vet nmal a plan p n Obsevems que s ceficientes a, b e c da equaçã geal d plan cespndem às cdenadas de um vet nmal a este plan 7

11 Exempls Detemine uma equaçã geal d plan que passa pel pnt P (3,,) e é paalel as vetes u (,,) e v (,,0) Sluçã : Cm u e v sã LI e têm epesentantes em, pdems cnsidea n paalel a pdut vetial u v (,,0) Cnsideand n (,,0 ), uma equaçã geal d plan tem a fma x + y + d 0, paa um cet val eal de d Cm pnt P petence a plan suas cdenadas satisfazem a esta equaçã, assim tems: 3 + ( ) d 0, daí, d 4 Lg, x + y 4 0 é uma equaçã d plan Sluçã : n,,0 Seja ( ) e X um pnt genéic de Entã, P X n 0, u equivalentemente, ( x 3, y +, z ) (,,0) 0 P n X Daí, uma equaçã geal d plan é x + y 0 Detemine um vet nmal a plan ns seguintes cass: a) : X (,0,) + t(,,3) + h(,,0) ; t,h IR b) + 3t : y + t h; t, h IR t + h c) : x 3y + z 0 Sluçã : a) n (,,3) (,,0) ( 3,3,3) b) n (3,, ) (0,,) (3, 6, 3) c) n (, 3,) 8

12 CAPÍTULO III - POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS N espaç IR 3, dis plans e β sã paalels u cncentes Se s plans e β sã paalels tems: Paalels distints : β n β φ n β Paalels cincidentes : β n β n β Obsevems que dis plans sã paalels se, smente se, seus vetes nmais sã paalels Cnsideems : a x + by + cz + d 0 e β : a x + by + c z + d 0 Tems que e β sã paalels se, smente se, existe um eal k tal que: a b c ka kb kc Se s plans e β sã paalels e, além diss, pssuem um pnt em cmum, entã eles sã cincidentes Supnhams que P(x, y, z) seja esse pnt cmum Assim, as cdenadas de P satisfazem às equações de e β : ax + by + cz + d 0 a x + by + cz + d 0 Ou equivalentemente, ka x + kb a x + by Daí, d k( a x b y c ) z y + c + kc z z + d + d 0 0 Lg, d kd 9

13 Se s vetes nmais ds plans e β nã sã paalels, entã estes plans sã cncentes Neste cas, eles se inteceptam segund uma eta Assim, um pnt P (x, y,z) petence à eta se, smente se, suas cdenadas satisfazem a sistema: a a x + b x + b y + c y + c z + d z + d 0 0 v β n n β Este sistema é denminad equaçã geal da eta Obsevems que um vet dieçã da eta, v, pssui epesentantes ns plans e β Daí, v é tgnal a n e tgnal a n β Pdems cnclui entã que v é paalel a vet n n β Se s vetes n e n β sã tgnais dizems que s plans e β sã pependiculaes Assim, dis plans sã pependiculaes se, smente se, n n 0 β β n β n Exempls Estude a psiçã elativa ds plans: a) : x + y z + 0 e β : 4x + y z + 0 b) : X (,0,) + t(,,3) + h(0,0,) ; t, h IR e β : x + y z + 0 c) : X (,0,) + t(,,3) + h(0,0,) ; t, h IR 4t e β: y + t ; t,h IR + 5t h 0

14 Sluçã : a) Obsevems que n n β, assim, s plans e β sã paalels Além diss, tems que d d Lg, pdems cnclui que e β sã cincidentes b) Cnsideems s vetes n (,,3) (0,0,) (,,0) n (,, ) Cm estes vetes nã sã paalels, tems que s β plans e β sã cncentes Se é a eta inteseçã de e β, entã a equaçã geal de pde se dada pel sistema: y 0 : x + y z + 0 Obsevems ainda que n n 0, assim e β sã pependiculaes β c) Cnsideems s vetes n (,,0) e n β (, 4,0) Obsevems que n n, daí, s plans e β sã paalels N entant, β P (, 0,) petence a plan e nã petence a plan β Cnsequentemente, e β sã estitamente paalels Detemine uma equaçã d plan β paalel a : x 6y + 4z 0 e que passa pel pnt P (, 0, ) Sluçã : Cm plan β é paalel a plan, tems que nβ k n, k 0 Pdems entã cnsidea n (, 6, 4) Assim, pdems esceve: β β : x 6y + 4z + d 0 Paa deteminams val de d basta utilizams fat de que pnt P petence a β e p iss, satisfaz a sua equaçã Daí, ( ) + d 0, u seja, d 6 Lg, uma equaçã geal de β é x 6y + 4z Dads s plans : x + 4y z + 0 e β : x + y + z + 0 detemine uma equaçã vetial da eta inteseçã ds plans e β

15 Sluçã : É fácil btems uma equaçã vetial de uma eta se cnhecems dis de seus pnts Oa, uma equaçã geal da eta pde se dada pel sistema: + 4y z + 0 : x + y + z + 0 Assim, basta cnseguims dis pnts cujas cdenadas satisfaçam a este sistema Cm este sistema é pssível e indeteminad, pdems cnsegui uma sluçã cnsideand y 0 Entã, z + 0 x + z + 0 Daí, x 3, z 5 e P( 3,0, 5) petence à eta De md análg, se cnsideams x 0 n sistema, bteems y, z e Q (0,, ) petence à eta Daí, vet v PQ (3,,4) é um vet dieçã da eta e uma equaçã vetial desta eta pde se dada pela equaçã: : (x, y, z) ( 3,0, 5) + h (3,,4); h R Uma uta maneia de deteminams um vet dieçã da eta é btida quand utilizams fat de que este vet é paalel a vet n n β Assim, pdems cnsidea v (,4, ) (,,) (6,,8) e :(x, y, z) ( 3,0, 5) + h (6,,8); h IR é uma equaçã uta vetial de 4 Dada a eta :(x, y, z) (,,0) + h (,4,); h IR, detemine uma equaçã geal da mesma Sluçã : Devems detemina as equações geais de dis plans distints e β que cntém a eta

16 Obsevems que se um pnt nã petence a uma eta, plan deteminad p este pnt e esta eta, natualmente, cntém a eta Assim, seja plan deteminad pela eta e pel pnt P(0, 0, ) O vet nmal de pde se dad p n v AP, nde A é um pnt de Entã, cnsideand A(,,0) tems que n ( 6,,8 ) e : 6x + y + 8z + d 0 Paa deteminams val de d, substituims na equaçã antei as cdenadas de um pnt qualque de P exempl, substituind as cdenadas d pnt P, btems : ( ) + d 0 Daí, d 8 e : 6x + y+ 8z+ 8 0 A equaçã geal d plan β é btida de md análg a utilizad paa btençã da equaçã d plan Chamams pém a atençã especial paa a esclha d pnt: aga ele deve se esclhid fa d plan a Cnsideand plan β deteminad pela eta e pel pnt O(0,0,0) tems que: n v AO (,,8) O β A v P β A v P e β : x y+ 8z + d 0 Cm plan β passa pela igem d sistema de cdenadas tems que d 0 Lg, β : x y + 8z 0, ptant uma equaçã geal da eta é 6x + y + 8z : x y + 8z 0 3

17 CAPÍTULO IV - POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO E DE DUAS RETAS 4 Psições elativas de uma eta e um plan As psições de uma eta a) paalela a π ( // π ) :X R + t v, t IR R e um plan π sã: v n π π // π v nπ 0 e R π n π R v π π v n π 0 e R π b) cntida em π ( π ) c) e π cncentes ( π {P} ) v P n π π π {P} v n 0 π 4

18 Cas paticula: v n π π Exempls: Detemine a inteseçã da eta cm plan π, ns seguintes cass: a) : X (,6,) + t (,,) ; t IR π: x z 3 0 b) c) : x y (z ) π:x h(6,,) + t (,,); t : y t ; t IR t π : x + y + z 0 t, h IR Sluçã: a) v n π (,,) (,0, ) 0, lg, π u π φ Cm R(,6,) é um pnt de, veificams que R π Lg π φ b) Send v,, e nπ (6,,) (,,) (0, 5,0), tems que v n π 0 Lg, π u π φ Cm R(,,) é um pnt de, veificams que R π Lg π e cnsequentemente π 5

19 b) De v n π (,3, ) (,,) 0 cncluíms que e π sã cncentes Seja π {P} {(a,b,c)} Tems entã: () a + b + c 0 () a t b t, c t paa algum escala t De () e () btems t e P(,3, ) Detemine uma equaçã da eta que passa pel pnt A(,0, ) e é paalela as plans : x y + 0 e β : x + z 3 0 Sluçã: Cm // e // β, tems v n e v nβ Send n e nβ tems que // n n Assim pdems cnsidea v β LI, v n nβ (,0) (,,0) (,, ) Daí uma equaçã vetial da eta é: : X (,0, ) + t (,, ); t IR 4 Psições elativas de duas etas Se duas etas estã cntidas n mesm plan dizems que sã cplanaes Cas cntái sã denminadas evesas As etas cplanaes pdem se paalelas (distintas u cincidentes) u cncentes 6

20 Resumind, duas etas e pdem se: Cplanaes Cncentes : { P} π P Paalelas: Distintas : φ Cincidentes : π π Revesas P π Estabeleceems a segui cndições paa a identificaçã da psiçã elativa de duas etas Cnsidee as etas : X R + h v e s :X S + t v ; h, t IR Se e s sã cplanaes entã s vetes RS, v s e v s [ RS,v,vs ] sã cplanaes e ptant [ RS,v,vs ] 0 Recipcamente, se 0 pdems te: i) v // vs, nesse cas e s sã paalelas, lg cplanaes 7

21 ii) v e vs LI, nesse cas RS, v e v s sã LD Cm v e lineamente independentes, entã pdems esceve RS cm cmbinaçã linea de v e vs Lg, existem escalaes h e t tais que S R + hv + tvs Assim, plan β : X R + h v + t v s ; h, t IR, cntém as etas e s, que ptant sã cplanaes Obsevems ainda que, neste cas as etas sã cncentes vs sã Um cas paticula de etas cncentes sã as etas pependiculaes Obsevems que se duas etas e s sã pependiculaes entã v v 0 s v s v P s π Exempls Estude a psiçã elativa ds seguintes paes de etas: y z + 0 a) : e s : X (,0,) + h (, 3,7); h IR x + 3y z + 0 h x y b) : y h ; h IR e s : z h x 3 c) : X (,,3) + t( 0,, 8) ; t IR e s : y 5 4 d) : X (4, 3,) + h(0,,); h IR e s : y t ; t IR 3 t z 9 Sluçã: a) Cm v // (,, ) (,3, ) (4,,7) e vs // (, 3,7) tems que as etas e s sã cncentes u evesas Vams entã cnsidea R(0,0,) e S(,0,) pnts de e s, espectivamente Assim, 8

22 [ RS,v,vs ] Ptant, as etas e s sã evesas c) Cm v // (,,4) e vs // (,3,) tems que as etas e s sã cncentes u evesas Vams entã cnsidea R(0,,4) e S(,0,8) pnts de e s, espectivamente Assim, 4 [ RS,v,vs ] Lg as etas e s sã cncentes c) Cm v // ( 0,, 8) e vs // (5,,9) tems que as etas e s sã paalelas (distintas u cincidentes) Além diss, pnt R(,,3 ) petence às etas e s Assim, pdems cnclui que as etas e s sã cincidentes d) Cm v // (0,,) e vs // (0,, ) tems que as etas e s sã paalelas (distintas u cincidentes) Obsevems que pnt R(4, 3,) petence à eta, n entant nã petence à eta s, pis sistema t nã tem sluçã 3 t Assim, pdems cnclui que as etas e s sã paalelas distintas Dê uma equaçã da eta que passa pel pnt P(,, ) e é paalela à eta s: x y+ 4z x + 5y z

23 Sluçã: Send e s etas paalelas pdems cnsidea v vs Cm // (,,4) (,5, ) ( 9,6,) as equações siméticas de s sã: v s x + 9 y 6 z 4 + t 3 Mste que as etas : x y z e s : y t; t IR 3 sã cncentes e detemine pnt de inteseçã Sluçã: Sejam v (,,), vs (,,0) e R(,0,) e S(4,,3) s, pnts de e espectivamente Entã v,v,rs] 0 0 [ s e assim cncluíms que e s sã cplanaes Cm nã sã paalelas pis v e vs sã vetes LI, tems que as etas sã cncentes Seja P (x, y, z ) { } { } s Entã, x y z e Daí, t 0 e P (4,,3) y 4 + t t 3 4 Detemine uma equaçã da eta que passa pel pnt P (,,3), é cncente cm a eta s : X (,3,5) + h (,5,); h IR, e tem vet dieçã v tgnal a vet u (0,, 4) 0

24 Sluçã: Seja { } s P Entã existe um eal h, tal que P ( + h,3 + 5h,5 + h ) Cnsideems v PP Cm v é tgnal a u, tems que ( + h, + 5h, + h) (0,, 4) 0 Lg, h 7 Assim, P (3,8,) e : X (,,3) + t (,5,); t IR 5 Detemine uma cndiçã necessáia e suficiente paa que uma eta seja paalela a eix OX Sluçã: O eix OX tem vet dieçã i (,0,0) Entã, uma eta é paalela a eix OX se, e smente se, v é paalel a vet i (,0,0) 6 Detemine uma equaçã da eta que passa pel pnt P (,0,), é cncente cm a eta s : X (,0,) + t (,,);t IR e é paalela a plan π : x 3y + 4z 6 0 Sluçã: π P 0 P s Seja { } s P P entã, existe t IR tal que ( + t, t, + t) e PP (t, t, t ) Cm // π tems ( t,t,t ) (, 3,4) 0 Assim, t 5 4 Cnsideand (8,4, ), uma equaçã vetial de é: v : X (,0,) + t (8,4, ); t IR

25 CAPÍTULO V - ÂNGULOS 5 Ângul ente duas etas O ângul ente duas etas e s, indicad p (,s), é definid cm v, v, men ds ânguls ( ) e ( ) v s v s s v v s v s Se e s sã etas paalelas entã (, s) 0 Na figua a lad, ângul, s v, v ( ) ( ) θ s s v s v s v θ v s θ v v s Na figua a lad, as etas e s sã evesas e (,s) ( v, v ) θ s s π Assim, 0 (,s) e cs (, s) cs ( v, vs ) cs ( v, vs ) Lg, v vs (,s) ac cs v vs π Quand (, s), dizems que e s sã tgnais e escevems s Se e s sã tgnais e cncentes dizems que as etas sã pependiculaes É cla que ^ s v v 0 s

26 Exempls Detemine s ânguls fmads pelas etas e s, ns seguintes cass: t a) : X λ(,,) ; λ IR e s : y t ; t IR t b) + y z 0 y : e s : x + z x y + z 0 t c) : y + t ; t IR 3 e x 3 s : y + z + 3 Sluçã: a) Cm v (,, ), s Assim, ( ) 0 b) Tems (,, ) (,,) (,, 3) v (,s) c) Cm (,,0) v e (,, ), as etas e s sã paalelas v s e v s (,, ) Daí, 4 3 ac cs ac cs (,s) e v s (,,3 ), tems: ac cs ac cs Detemine uma equaçã da eta que passa pel pnt P(,, ) e é pependicula à eta s : + t y t t ; t IR 3

27 Sluçã: Cm e s sã pependiculaes, tems que estas etas sã cncentes e tgnais Assim, se P é pnt de cncência de e v P s, existe t eal, tal que s P ( + t,t, t ) Pdems entã v s P cnsidea v PP (t,t,4 t ) Pela cndiçã de tgnalidade, tems: vs PP 0 Assim, t + (t ) (4 t ) 0, daí, t Ptant uma equaçã da eta é : X (,, ) + λ(,,3) ; λ IR 3 Substituind, n exempl antei, a cndiçã de pependiculaidade p tgnalidade, pblema tem sluçã única? Sluçã: Neste cas, a dieçã de pdeia se dada p qualque vet tgnal a v s, sem estições e, ptant, existe uma infinidade de sluções: tda eta que passa p P e está cntida n plan : PX vs 0 v s P v P s 4 Detemine uma equaçã da eta que passa p P (,0,0) é cncente π cm s : X t(,,0) ; t IR e (, s) 4 Sluçã: Obsevems inicialmente que pnt P nã petence à eta s Assim, se P é pnt de cncência de e s, existe t eal, tal que P (t, t,0) e v PP (t, t,0) P π 4 P π 4 ' s 4

28 Entã, Daí, cs (,s) (,,0) (t, t,0) cs (t ) + t + 0 t + t (t ) + t Lg, t 0 u t Assim, este pblema admite duas sluções: t ; : X (,0,0) + t(,0,0) ; t IR 0 t ; : X (,0,0) + h(0,,0) ; h IR 5 Ângul ente dis plans O ângul ente dis plans e β, indicad p (, β), é definid cm men ds ânguls ( n, n β ) e n, ( ) n β π e Assim, 0 (, β) n β n θ θ β Quand (, β) ( a, b) n ac cs n a a n n π, dizems que e β sã tgnais e escevems β É cla que a ^ b n n 0 a b Chamams eta nmal a um plan a tda eta que tem a dieçã de n Assim, pdems dize que ângul ente dis plans é ângul fmad p duas etas nmais a esses plans b b 5

29 Exempls Detemine ângul fmad pels plans e β, ns seguintes cass: a) : x + y z + 0 e β : x + y + z + 0 b) : x + y z e β : X t(,0,) + h(,,0) ; t, h IR t + h c) : y t ; t,h IR e β : x + y + z 0 + h Sluçã: a) Das equações de e β tems n (,, ) e n (,, ) Assim, β (,, ) (,,) cs (, β) Lg, (, β) ac cs 3 b) n (,, ) e n (,0,) (,,0) (,, ) β (,, ) (,, ) Daí, cs (, β) Lg, (, β) c) n (,,0) (,0,) (,, ) e n (,, ) β (,, ) (,,) Assim, cs (, β) 0 Lg, 3 6 π (, β) Detemine uma equaçã d plan tgnal a plan β : x y + z + 0 e que passa pels pnts A (,0,) e B (,,3) β Sluçã: n Os vetes AB (,, ) e n β β (,, ) sã LI e pssuem epesentantes em Assim, B uma equaçã vetial d plan pde se A dad p: : X (,0,) + t(,,) + h(,,) ; t,h IR 6

30 53 Ângul ente eta e plan O ângul ente uma eta e um plan, indicad p (, ), é definid cm cmplement d ângul fmad pela eta e p uma eta n nmal a plan Na figua, tems φ (,n) e θ (, ) π Assim, 0 (, ) e pde se calculad cm: p p v n (, a) - (,n) - ac cs v n u, v n (, a) ac sen a v n a a a n φ θ π Quand (, ), dizems que a eta e plan sã pependiculaes e escevems É cla que ^ a v // na Exempl Detemine ângul ente e, ns seguintes cass: a) : X (,0,) + t(,0,) ; t IR : X t(,0,) + h(,, 3) ; t, h IR b) y + 0 : e : x y z + 0 x + y z + 0 Sluçã: a) Cm v (,0, ) e n (,0,) (,, 3) (,4,), tems: (,0,) (,,) s en (, ) Lg, (, ) ac sen 30 7

31 b) Tems v (,,0) (,, ) (,,4 ) (,,4) (,, ) s en (, ) 8 9 π Lg, (, ) 4 e n (,, ), assim, 8

32 CAPÍTULO VI - DISTÂNCIA 6 Distância ente dis pnts A distância ente um pnt A e um pnt B B é indicada p d(a,b) e definida p AB A Cnsideand A (a, a, a3 ) e B(b, b, b 3 ) tems que: d(a, B) AB (b a, b a, b3 a3) Daí, - a ) + (b - a ) + (b 3 a3 ) d(a,b) (b - 6 Distância ente um pnt e um plan A distância ente um pnt P e um plan π é indicada p d (P, π ) e definida cm a men ente as distâncias de P a pnts de P π Assim, se P é um pnt qualque de π, entã a distância ente P e π é módul da pjeçã d vet PP, na dieçã de n π P n π P π Cnsideand π : ax + by + cz + d 0 P (x, y, x ) e P(x, y, z) entã: a(x x) + b(y y) + c(z z) d(p, π) PP n π a + b + c Lg, d(p, ax ) + by a + b + cz + c + d p 9

33 Exempls: Detemine a distância ente pnt P e plan π ns seguintes cass: a) P (,,) e π : x y + z b) P (,,4) e π : X (,0,) + h(,,) + t(,,3) ; h, t IR Sluçã: a) d(p, π) 3 9 b) Cnsideems P(,0,) e n π (,,) (,,3) (,,) Assim, + ( ) + 3 d(p, π) PP nπ Distância ente um pnt e uma eta A distância ente um pnt Q e uma eta é indicada p d(q, ) e definida cm a men ente as distâncias de Q a pnts de Q d (Q, ) Assim, se P e m é a eta definida pels pnts P e Q, tems que : m P PQ v d(q,) PQ sen (, m) PQ PQ v fi PQ v Lg, d(q,) v 30

34 Utilizand a intepetaçã gemética d pdut vetial, pdems bseva que d(q,) é a altua d paalelgam, cujs lads sã epesentantes ds vetes v e PQ, em elaçã à base PR, send R P + v P Q h d (Q, ) v R Exempls: Detemine d(q,) ns seguintes cass: a) Q(,,0) e + t : y t t ; t IR b) Q(,,3) e y + z + 0 : x + y z Sluçã: a) Sejam P(,0,) e v (,, ) Entã, (,, ) (,, ) d (Q,) 6 3 b) Sejam P(0, 7, 4) e v (,5,3) Entã, (,9,7) (,5,3) 6 4 d (Q,)

35 64 Distância ente uma eta e um plan A distância ente a eta e plan π é indicada p d(, π ) e definida cm a men distância ente s pnts de a π Assim: a) Se e π sã cncentes u se está cntida em π entã d (, π) 0 π π b) Se é paalela a π entã d(, π ) d(r, π ) ; R R π 65 Distância ente dis plans A distância ente s plans e β é indicada p d(, β) e definida cm a men distância ente s pnts de a β Assim, a) Se e β sã cncentes entã d(, β) 0 β b) Se e β sã paalels entã d(, β) d (P, β ); P β 3

36 Exempls: Calcule d(, π ) ns seguintes cass: y + z 0 a) : x + y z + 0 e π : 3x y + z 0 b) :X (,,) + h(,,0); h IR e π :3x + 3y + z 0 Sluçã: a) Sabems que v // (,,) (,, ) (0,3,3) Cnsideems v (0,,) e nπ (3,,) Cm v nπ, tems que e π sã cncentes Ptant, d(, π )0 b) Cm n 0 e R(,,) π, cncluíms que é paalela a π v π Assim, d (, π ) d(r, π), send R(,,) 9 9 um pnt de Calcule d(, β) ns seguintes cass: a) : X h(,,0) + t(0,,); h, t IR e β: 3x + 3y z b) : x + y z + 0 e h β : y h + t ; t h, t IR Sluçã: a) Sejam n (,,0) (0,,) (,,) e nβ (3,3, ) Cm n e n sã LI tems que e β sã cncentes Assim, d (, β) 0 β b) Sejam n (,, ) e n (,,0) (0,,) (,, ) Cm β estes vetes sã LD, cncluíms que e β sã paalels Assim, d (, β) d(p, ), send P(0,0,0) um pnt 6 de β 33

37 66 Distância ente duas etas A distância ente as etas e s é indicada p d(,s) e definida cm a men distância ente s pnts de e s Cnsideems as etas Assim, : X ) Se é paalela a s entã d(,s) d(r,s) d(s,) R + tv ; t IR e R s : X S + hvs; S s h IR ) Se e s sã cncentes entã d(,s) 0 π S R s 3) Se e s sã evesas entã d(,s) d(, π) d(r, π), send π um plan que cntém s e é paalel a Assim, d(,s) d(r, π) pj s v vs RS Ou seja, fi [RS, v, v ] d(,s) s v vs Da intepetaçã gemética de pdut mist e pdut vetial, cncluíms que d(,s) é a altua d paalelepíped cujas aestas sã epesentantes ds vetes SR, v e v s em elaçã à base SPQ, send P S + v e Q S + v s π s S R v P v s Q 34

38 Exempls: Calcule d(,s) ns seguintes cass: a) : X (,0,) + h(,,); h IR e s : x y + z 3 b) : X (3,,) + t(,0,); t IR e 6 h s : y + h ; + h h IR c) : X (,,) + h(,,); h IR e s : X (,,3) + t(,,3); t IR Sluçã: a) As etas e s sã paalelas pis v (,,) vs Assim, d(,s) d(r,s) d(s,) Cnsideems R(,0,) e S(,,3) pnts de e s, espectivamente Entã: (0,,) (,,) 4 d (,s) (,,) 3 b) Tems v (,0, ) e vs (,, ) Assim, as etas nã sã paalelas Sejam R(3,,) e S(6,,) pnts de e s, espectivamente Entã: 3 0 RS, v, vs 0 0 Lg, e s sã cncentes e d(,s) 0 c) Sejam v (,,) e vs (,,3 ) Assim, as etas nã sã paalelas Cnsideems R(,,) e S(,,3) pnts de e s, espectivamente Entã: 0 0 RS, v, vs Daí, e s sã evesas 35

39 Lg, RS,v, vs d(,s) v v s 3 3 ah ) Sejam : X (,,0) + t(,,); t R e s: y + h ; h R h Detemine a, de md que : a) d(,s) 0 b) e s sejam evesas Sluçã: a) d(,s) 0 e s sã cncentes u cincidentes Sejam v (,,), vs (a,, ), R(,,0) e S(0,,) Cm nã existe a eal tal que v e vs sejam LD, pdems afima que d(,s) 0 se, e smente se, RS, v,vs 0 Mas, RS,v,vs 3 3a a Lg, e s sã cncentes se, e smente se, a b) Da sluçã d item a), tems que e s sã evesas se, e smente se, a R {} 36

40 Execícis eslvids Um paalelepíped ABCDEFGH de base ABCD tem vlume igual a 9 unidades Sabend-se que A (,,), B(,,), C(,,), vétice E petence à eta de equaçã : x y z e (AE, i) é agud Detemine as cdenadas d vétice E Sluçã: Cm E petence à eta, tems E(t, t, t) e AE (t, t, t) Assim, 0 [AB,AC,AE] 0 3 t 9 t t t Lg t 6 u t Se t 6,entã AE ( 7, 5,7) e AE i 7 Lg (AE, i) é btus Cm este val de t cntadiz uma das hipóteses d nss execíci, cnsideems t Neste cas, AE (, 3, ) e AE i assim, (AE, i) é agud Ptant E A + AE (,, 0) Um quadad ABCD está sbe plan : x y + z 0 Sabendse que A (,0,0) e B(0,,) sã vétices cnsecutivs Detemine as cdenadas ds uts dis vétices Sluçã: C D B A n De A (,0,0) e B(0,,) tems AB (,, ) de : x y + z tems n (,,) Cm AD AB e AD n tems: AD // AB n (3,3,0) e 37

41 Além diss, AD AB 3 Cnsideand AD (,,0 ) tems: AD,,0, D A AD,, 0 + e C B + AD,, Pdems bseva que cnsideand AD (,,0) encntaems a uta sluçã d execíci 3 Detemine uma equaçã d plan π que passa pel pnt P (,0, ) e y + z + 0 cntém a eta de equaçã : x + y z + 0 π Sluçã: v Sejam R(,0,0) um pnt da eta e vet R P (,,0) //(0,3,3) (,,) (,, ) Cm v pnt P(,0,) nã petence à eta, tems RP (,0,) e v sã vetes LI cm epesentantes em π Assim, uma equaçã vetial d plan π é: π : (x, y, z) (,0,) + t (,0,) + h (0,,) ; t, h IR 4 Detemine uma cndiçã necessáia e suficiente paa que um plan : Ax + By + Cz + D 0 seja tgnal a plan XOZ Sluçã: Obsevems que s vetes j (0,,0 ) e (A,B,C) sã nmais as plans XOZ e, espectivamente Assim, s plans e XOZ sã tgnais se, smente se, ( A,B,C) (0,,0) 0 Daí, B 0 Obsevaçã: De md análg, pdems msta que as cndições necessáias e suficientes paa que um plan : Ax + By + Cz + D 0 seja tgnal a plan XOY e a plan YOZ sã, espectivamente C 0 e A 0 38

42 5 Detemine uma equaçã geal de um plan que cntém a eta x + z + 3 s : y e é tgnal a plan YOZ 3 Sluçã: z + 3 Obsevems que plan : y cntém a eta s, já que tds 3 s pnts de s satisfazem à equaçã de Além diss, : 3y z 6 0 é tgnal a plan YOZ ( pque? ) Assim, é plan pcuad 6 Mste que um plan : Ax + By + Cz + D 0 é paalel a eix OY se, e smente se, é tgnal a plan XOZ Sluçã: v Sabems que um plan é paalel a uma eta se, e smente se, n v 0 Assim, plan é paalel a eix OY se, e smente se 0 (A,B,C) (0,,0) B Ptant a cndiçã paalel a eix OY é equivalente a tgnal a plan XOZ 7 Dads s plans : Ax + 4y + 4z + D 0 e β :6x + 8y + Cz 0, detemine as cnstantes A, C e D tais que: a) d (, β) 4 b) O plan seja tgnal a plan β e cntém eix OX Sluçã: a) Cm d(, β) 0 tems que β φ Assim, s vetes n (A,4,4) e n (6,8,C) sã paalels e ptant A 3 e C 8 β Tmems P(,,0) um pnt d plan β Sabems que: ( ) D d (, β) d(p, ) Assim, D 4, lg D 4 u D 40 39

43 b) Cm plan cntém eix OX tems A 0 e D 0 Da tgnalidade ds plans e β tems: n n (0,4,4) (6,8,C) 3 + 4C 0 Lg C 8 β 8 Detemine as cdenadas d pnt P, simétic de P(,, ) em elaçã à eta s : x + y z Sluçã: P s Sejam a eta pependicula à eta s que I passa pel pnt P e { I} s Entã, I (t, + t, t) e pdems cnsidea v PI (t,t,t + ) Cm as etas e s sã tgnais tems: Lg, t 0 e PI (,0,) Cm (,,0) + (,0,) ( 3,,) P Obsevaçã: v v s (t, t, t + ) (,,) 0 P IP PI tems P I + IP Assim s O pnt I também pdeia se deteminad atavés da inteseçã da eta s cm plan que passa pel pnt P e é tgnal à eta s P I P Send pependicula a s tems: : x + y + z + D 0 Utilizand fat de que P, pdems cnclui que D 0 9 Detemine uma equaçã da eta, simética da eta + t s : y t ; t IR, em elaçã a plan : x y + z

44 Sluçã: n Obsevems que se S e Q sã pnts da eta S s entã S e Q, simétics de S e Q, espectivamente, em elaçã a plan sã I I pnts da eta De v s n (,,0) (,,) 0, tems que s e sã cncentes Seja { I} s Entã, I ( + t,t,) e + t t S s Lg, t 4 e I( 7, 4,) Assim, as equações paaméticas da eta n, nmal a e cncente cm a eta s em S(,0,) sã : + t n : y t + t ; t IR Cnsideand { I } n, tems I ( + t, t, + t) e t + t + + t + 0 Lg, t e ptant I,, Daí, S I + SI,, +,,,, Cm I e S sã pnts distints de pdems cnsidea v SI 4 Assim, uma equaçã vetial de é : X ( 7, 4,) + h(4,5, ); h IR 0 Detemine, cas exista, uma eta t que passa pel pnt P(,, ) e é cncentes cm as etas e s λ h : y λ 3; λ IR e s : y h ; h IR z λ h Sluçã : Pdems veifica que e s sã etas evesas e que P Assim, plan deteminad p P e, cntém tda eta que passa p P e é cncente cm Lg, a eta t, cas exista, está cntida em : x y + z 0 4

45 De v s n 0 cncluíms t que s e sã cncentes, P seja { Q} s Cm Q s tems Q(h, h,h), p ut lad, Q também s petence a daí, β Q h ( h) + h 0 Cnsequentemente, 5 5 h e Q,, Cm PQ,, nã é paalel a v ) (,,, pdems esceve: t :X P + λ PQ; λ IR Sluçã : Cnsideems que exista uma eta t que passa p P e é cncente cm as etas e s em A e B, espectivamente Assim, A( λ,λ 3, λ), B(h, h, h), PA ( λ,λ, λ + ) e PB (h 3,3 h,h + ) Cm P, A e B sã pnts clineaes s vetes PA e PB sã LD Daí pdems esceve: λ λ λ + h 3 3 h h + λ λ De tems λ λ Lg, λ e PA (,,) h 3 3 h Cnsideand v t PA, as equações paaméticas da eta t sã: a y + a ; a IR + a s B A t 4

46 Detemine uma equaçã da eta que passa pel pnt Q(,,0), é + t cncente cm a eta s : y 3t ;t IR e fma ânguls iguais cm s t eixs OX e OY Sluçã: Sejam a eta que queems detemina e { I} s Assim I ( + t,3t,t) e v QI (t,3t,t) Cm (,OX) (,OY) tems a equaçã: (,0,0) (t,3t,t) v Lg, t u t 4 Cnsideand t, tems v // (,, ) e (0,,0) : X (t,3t,t) v (,,0) + h(,,) ;h IR Cnsideand t, tems v // (,, ) 4 e : X (,,0) + h(,,) ;h IR Cm vims execíci tem duas sluções Da figua abaix sabe se que: i) a eta é pependicula a plan, tem a dieçã P d vet u (,, ) e P(,, ) petence à eta ii) s pnts Q e R(,0,) petecem a plan R Q iii) S (0,,) Detemine: a) uma equaçã d plan b) as cdenadas d pnt Q c) uma equaçã d plan QRS d) ângul ente s plans QRS e 43

47 e) a distância ente as etas e RS f) uma equaçã d plan que cntém a eta e é paalel à eta t : X (3,,0) + h(,0, ) ;h IR g) uma equaçã d plan pependicula a plan que cntém a eta QS Sluçã: a) Cm n // v (,, ) tems : x + y z + d 0 Além diss R (,0, ), assim d Lg : x + y z t b) As equações paaméticas da eta sã : y + t ; t IR t Cm { Q} tems: Q( + t, + t, t) e + t + ( + t) ( t) + 0 Lg, t e Q(0,,0) c) Os vetes QR (,,) e QS (0,,) sã LI Lg, pdems esceve uma equaçã vetial d plan QRS cm: d) Sabems que n (,, ) X t(,,) + h(0,,) ; t e h IR e //(,,) (0,,) (0,, ) n QRS 6 3 Assim, cs( QRS, ) Lg ( QRS, ) e) Sabems que v (,, ), RS (0,,) (,0,) (,, ) daí, [ v,rs,qr] 6 Assim, as etas e s sã evesas [v,rs,qr] Lg, d(,rs) v RS 6 (3,, )

48 f) Seja β plan que queems detemina Os vetes v (,, ) e vt (,0, ) sã LI e têm epesentantes β, lg uma equaçã vetial d plan β é : X P + λ (,, ) + σ (,0, ) ; λ e σ IR g) Os vetes n (,, ) e QS (0,,) sã LI e têm epesentantes n plan que queems detemina Assim uma equaçã deste plan é : X S+ t (,, ) + h (0,,) ; t e h IR 45

49 Execícis ppsts 0 Esceva uma equaçã da eta ns cass a segui: a) passa pel pnt P(,,3) e tem a dieçã d vet u (,, ) b) passa pels pnts A(,3, ) e B(0,,3) 0 Veifique, em cada um ds itens abaix, se pnt P petence à eta : a) P(,,) e : X (,0,0) + h(,,); h IR t b) P(,, 7) e : y + 3t ; t IR 5 + t z c) P,,3 e : x (y ) 3 03 Esceva uma equaçã d plan a ns cass a segui: a) a passa pels pnts A(,0,) e B(,,3) e é paalel a vet v (0,,) b) a passa pels pnts A(3,, ) e B(,0,) e é paalel a vet CD, send C (,,) e D(0,,0) c) a passa pels pnts A (,0,), B(,0,3) e C(,,3) 04 Veifique em cada um ds itens abaix se pnt P dad petence a plan π a) P(,,0), π :X (,,3) + h(,0,) + t(0,,0); t e h IR b) P (,,3), π :x + y z h + t c) P (3,,), π : y h t ; t, h IR h 46

50 05 O pnt P(,, ) é pé da pependicula taçada d pnt Q(5,4, 5) a plan π Detemine uma equaçã de π 06 Detemine um vet nmal a plan: a) deteminad pels pnts P(,0,0), Q(0,,0) e R(0,0, ) b) : x y + 0 c) que passa pels pnts A(,0,) e B(,,) e é paalel a vet v (,,3) + t + h d) : y t + h; t e h IR h 07 Detemine as equações ds plans cdenads na fma geal + y + z 08 a) Veifique se P(,3, ) petence a : x + y + 3z b) Esceva uma equaçã da eta passa pel pnt P (,, ) e tem a dieçã + t de um vet nmal a plan : y t + 3h ; t e h IR t + h 09 Detemine a equaçã geal d plan β paalel a plan + h + t : y + h + t ; h e t IR e que 3t a) passa pel pnt P(3,,0); b) passa pela igem d sistema de cdenadas 0 Detemine uma equaçã d plan π: a) que cntém eix OX e passa pel pnt P(5,,) b) que passa pel pnt P(,,3 ) e é pependicula à eta : X (,0,) + h(, 3,); h IR 47

51 48 Veifique se as etas e s ns cass a segui sã cplanaes: a) IR h,); h(3, (,0,) X s : e 0 z y 3x 0 z y x : b) IR h ; h (0,,3),) (, X s : e 3 z y x : + + c) z 6 y 4 x s : e IR h ; h z 3h y h x : + Detemine val de a paa que as etas e s sejam cncentes e ache pnt de inteseçã, send: a z 3 y x : IR h ; h z 5 h y 3h x : s 3 Detemine, se pssível, uma equaçã geal d plan deteminad pelas etas e s, ns cass a segui: a) IR h,,3) ; h ( (,,0) X : + z 3 y x : s b) IR h ) ; h (,,,,) ( X : + IR t,4,) ; t ( ) (,5, X : s + c) IR h h (,0,) ; (,,3) X : + IR t ; 4t z 3 y t x : s +

52 + h z 4 Sejam : x + By + z + 0, β : x + y + + D 0, s : y h ; h IR A y + z e : x Detemine, se pssível: 3 4 a) B, tal que e β sejam paalels b) B, tal que e β sejam pependiculaes c) D, tal que β d) A, tal que e s sejam cplanaes 5 Cnsidee s pnts P (4,a,4) e Q(0,3b + 8, b), as etas y : x z 3 e s : X Q + t (,0,) ; t IR e s plans π :mx y + (m + 3)z 0 e π : X t(, 3,) + h(, 3,) ; t e h IR Detemine, se pssível: a) a, de md que a eta paalela à eta s que passa pel pnt P seja evesa cm a eta b) b e m, de md que a eta s seja paalela a plan π c) m, de md que s plans π e π sejam cncentes segund a eta 6 a) Detemine uma equaçã da eta s que passa pela igem d sistema de cdenadas, é paalela a plan π : 3x y + z 0 e intecepta a eta y + : x z 3 b) Ache uma equaçã d plan que passa pel pnt P(,,3), é paalel à eta : X (,,3) + h(,, ); h IR, e é pependicula a plan π : x y + z Cnsidee as etas e t, tais que: y + 3z 5 0 (i ) passa pel pnt P(3,, ) e é paalela à eta s : ; 3x + y z + 0 (ii) t passa pela igem d sistema de cdenadas e seu vet dieçã tem ânguls dietes iguais Detemine: a) as equações siméticas de b) as equações paaméticas de t 49

53 8 Dad plan π : X (0,0,) + h(,, ) + t(,, 4); h, t IR e a eta AB, send A(0,0,0) e B(,,), detemine uma equaçã d plan que passa pel pnt nde a eta AB fua plan π e é paalel a plan β : x a) Detemine simétic de P(,,3) em elaçã: (i) a pnt Q(3,, ) t (ii) à eta : y t ; t IR + t (iii) a plan x y + 3z b) Encnte uma equaçã da eta s simética da eta t : x y z 3, em elaçã a plan d item a(iii) 0 Detemine ângul das etas s : X (,0,0) + h(,, ) ; h IR e x : y z Detemine ângul da eta : x y z cm plan, ns cass a segui: + h t a) : x y z 0; b) : y h + t ; h,t IR 4 t Detemine ângul ds plans: a) : x + y z 0 e β : x + y+ 3z 0; h b) : y + t ; h, t IR e β : x + y+ 3z 0 h 3t 3 Detemine uma equaçã da eta s que passa p P(,0,) e intecepta a eta π : x y z +, fmand um ângul de d 3 50

54 4 Detemine uma equaçã d plan que passa pel pnt P(,,), é pependicula a plan cdenad yz e (, β) ac cs( 3) d, send plan β : x y + z Cnsidee plan deteminad pel pnt P(,,0) e pela eta x z 4 y : y Calcule ângul que fma cm a eta s : 3 x + 4z 0 6 Calcule a distância ente: a) pnt P(0,0,) e a eta z + : y z b) plan π : X (,, ) + h(3,, ) + t(,,0); h, t IR e pnt P(,, 3) x c) as etas : y z 3 e z s : 5 y z d) as etas : X (,0,0) + h(,4,); h IR e y z s : x e) a eta : x y z e plan π : x y z 0 7 a) Esceva as equações ds plans β e γ paalels a plan : x y z 3 distand dele 5 unidades b) Encnte uma equaçã d luga gemétic ds pnts equidistantes de: (i) A(, 4,) e B(7,, 5) (ii) A(,,), B(,4,3) e C(3,,) c) Dads s pnts A(,,3), B(4,, ) e plan : x y+ z 3 0, detemine uma equaçã da eta cntida em, tal que td pnt de é equidistante ds pnts A e B 5

55 8 De um tiângul ABC tems as seguintes infmações: + t (i) A(,, 3) (ii) B e C sã pnts da eta : y t ; t IR t Detemine a altua d tiângul ABC elativa à base BC y + 9 Cnsidee : x + 3y z + 0, P(, 4,5) e s : 3 Detemine, justificand: a) d(p,s) b) d(p, ) c) uma equaçã da eta m que satisfaz às tês cndições: (i) d(p,m) 0 (ii) d(m,s) 0 (iii) d(m, ) d(p, ) 30 Da figua a lad sabems que: (i) s plans e π : x z 0 sã pependiculaes (ii) A(0,, ) e B(,3, ) (iii) C e D sã pnts de π B Detemine: π a) Uma equaçã d plan b) As equações paaméticas da eta E inteseçã ds plans e π c) Uma equaçã d plan β que passa p A e é paalel a π d) A altua d tetaed ABCD elativa à base BCD e) As cdenadas d pnt E, sabend que tiângul ABE é equiláte e cntém a altua deste tiângul elativa a vétice B C A D 3 D paalelepíped dad a segui sabe-se que: (i) O plan ABC : x + y z e a eta DG : X t(,, 3), t IR (ii) O plan ABF é pependicula a plan ABC e H F (0,,0) Detemine: E a) As equações siméticas da eta AF D b) As equações paaméticas d plan ABF c) As cdenadas d pnt D A d) Uma equaçã geal d plan EFG F B G C 5

56 3 Detemine vlume da piâmide delimitada pels plans cdenads e pel plan 5 x y + 4z 0 33 Esceva as equações de uma eta t paalela as plans e β, e cncente cm as etas e s, cnsideand: : x + y z + 0 β: x + 3y + z 0 : X (,,) + h(,0,); h IR s : X (,3, ) + λ(,,3); λ IR 34 Seja a eta inteseçã ds plans : ax + by + cz + d 0 e β : a x + by + cz + d 0 Mste que a equaçã ax + by + cz + d + t( a x + by + cz + d) 0, t IR, epesenta a família ds plans que cntém a eta, cm exceçã d plan β Esta família é chamada de feixe de plans de eix 35 Seja a eta inteseçã ds plans : x + y + z 0 e β : x 4y + 5z 0 0 Detemine a equaçã d plan que cntém a eta, e: a) passa pel pnt A(3,,4) b) é paalel a plan 9 x y + 33z + 0 c) dista 3 unidades da igem d sistema de cdenadas d) é pependicula a y e) é paalel à eta x z f) é paalel a eix x Respstas 0 a) :(x, y, z) (,,3) + t (,, ) ; t IR z + b) : x y a) P b) P c) P 53

57 03 a) :(x, y, z) (,0,) + t (,,) + h (0,,) ; t e h IR b) : 3x 4y + z t c) : y t ; t e h IR + t + h 04 a) P π b)p π c)p π 05 π : 3x + y 4z a) (,,) b) (,,0) c) (,, ) d) (,, 3) 07 plan OXY : z 0; plan OXZ : y 0; plan OYZ : x 0 + t 08 a) P b) : y + t ; t IR 3t 09 a) x y z 4 0 b) x y z 0 0 a) π : X t (,0,0) + h (5,,) ; t e h IR u π: y + z 0 b) π : x 3y + z - 0 a) Nã b) Sim c) Sim a, I(, 3, ) 3 a) : x + 5y 7z + 0 b) β : x + z 0 c) γ : x + z a) B b) B c) D d) A 7 5 a) a 4 b) m e b 5 c) $ IR tal que π π m a) s :X h,, ; h IR b) 9 9 : x + y + z 0 54

58 7 a) : h y z + x 3 b) t : y h ; h IR h 8 : 4x a) (i) P (4, 3, ) (ii) P (0,, ) 53 3 (iii) P,, b) s :X (,,0) + h(5,87, 3) ; h IR 0 (,s) 0 a) (, ) ac sen b) 3 3 (, ) ac sen 9 7 a) (, β) ac cs b) (, β) ac cs s : X (,0, ) + h(, 3 +, 3 + ); h IR e s : X (,0,) + t(, 3, 3 ); t IR 4 : z 0 e : 4y 3z (,s) ac sen a) d (P,) b) d (P, π ) 0 c) 6 d (,s) 3 6 d) 3 d (,s) e) d (, π ) 0 7 a) β : x y z + 0 e γ : x y z 8 0 b) (i) Plan π : 6x + 5y 7z 7 0 (ii) Reta s : y 3 z y + z 3 0 c) : x y z 0 55

59 8 h uc 9 a) d (P,s) 3 b) d (P, ) 4 c) m : X (, 4,5) + t(7, 3,5) ; t IR + h 30 a) : x + y + z 0 b) : y 3 h ; h IR c) β : x z 0 + h d) h e) E(,,0) t + h y z 3 a) eta AF : x b) Plan ABF : y + t + h, t, h IR 3 3t h c) D (,,3) d) Plan EFG :x + y z V uv 3 33 t : X (4,,4) + h(,,) ; h IR 34 Se é a eta inteseçã ds plans : ax + by + cz + d 0 e β : a x + by + cz + d 0, td pnt de satisfaz às equações destes plans Ou seja, se P(x 0, y0,z 0) é um pnt de, entã ax 0 + by0 + cz 0 + d 0 e a x 0 + by0 + cz0 + d 0 Daí, pnt P(x 0, y0,z 0) satisfaz à equaçã ax + by + cz + d + t( a x + by + cz + d) 0 Lg, esta última equaçã epesenta um plan que cntém a eta P ut lad, seja γ : ax + by + cz + d 0 um plan distint de β e que cntém a eta Vams msta que existe um t 0 IR, tal que uma equaçã d plan γ é ax + by + cz + d + t 0 ( ax + by + cz + d) 0 Entã, se está cntida em γ as cndições seguintes devem se satisfeitas: (i) n v 0 γ (ii) Td pnt P de petence a γ 56

60 Cm é a inteseçã de e β, tems que v n n β, daí, n γ (n nβ) 0 Ou seja, [ nγ,n,nβ] 0 Lg, s vetes n γ,n e nβ sã cplanaes Cm n e nβ sã lineamente independentes, existem escalaes t e t, tais que n γ tn + t nβ Obseve que cm γ e β sã distints, t t nã pde se igual a ze Assim, pdems esceve: n γ n + n β t t Fazend t 0, tems n γ (a,b,c) (a + t 0 a,b + t0b,c + t 0c) Entã t uma equaçã d plan γ é : ( a + t0 a)x + (b + t 0b)y + (c + t 0c)z + d 0 Utilizand a cndiçã (ii), seja P(x 0, y0,z 0) um pnt de, entã tems: ( 0 a + t0 a)x0 + (b + t 0b)y0 + (c + t 0c)z + d 0 Daí, d ( ax 0 by0 cz0 ) + t 0( ax0 bx0 cz0) d + t 0d Ptant, γ ax + by + cz + d + t (a x + b y + c z + d ) 0 : 0 35 a) x 3y + 4z 37 0 b) 3 x 7y + z 3 0 c) x 3y + 6z 0 u 9x+ 37y 96z d) x 4y + 3z 8 0 e) 3 x y + 7z 3 0 f) 5 y 4z 0 57