Capítulo 2 - Limites e Derivadas (pág. 75 a 150 do livro texto 7ª edição) Reta secante e reta tangente ao gráfico de uma função
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- Samuel Pinheiro Gabeira
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1 Aula 5 FUNÇÕES e VARIAÇÕES UFPA, de març de 5 Capíul - Limies e Derivadas (pág 75 a 5 d livr ex 7ª ediçã) Taxa, axa insanânea Rea secane e rea angene a gráic de uma unçã Car alun, De acrd cm crngrama da disciplina Cálcul I, Aula d dia de març deverei er sid unções e variações Peç desculpas pel aras Sem prejuíz n cneúd esarei recuperand as aulas aé dia 6 de abril Nesa aula, alarems da rea angene, axa de variaçã, da rea angene, da axa insanânea à curva da unçã e darems iníci a esud d ie de uma unçã quand a variável x aprxima de um deerminad pn Essas axas vai lhe ajudar a saber se uma unçã em crescimen, decrescimen u nenhum desses cmpramens num deerminad inerval Reaça as cnas eias ns exempls Cm iss vcê enenderá melhr s passs e resulads encnrads Nã esquecer das unções pência, expnencial, lgarímica, sen e cssen, principalmene d dmíni delas Reaçam s exempls e reslvam s exercícis Na dúvida prcure pessas que pssam lhe ajudar Cnsule ambém urs livrs de Cálcul I Bns esuds 58
2 Os prblemas da angene e da velcidade (pág 76 d livr ex) Quand se raa da velcidade de um crp em mvimen, variável independene é empral Vcê aprendeu n Ensin Médi que a velcidade é a variaçã d espaç em relaçã a emp Vejams signiicad dessa variaçã na igura Taxa de Variaçã (pág 76 livr ex) Seja y a unçã que descreve deslcamen percrrid pr um bje u pr uma pessa em unçã da variável emp, cm msrada na igura Figura Variaçã da unçã y n inerval, Analisand deslcamen d gráic da igura n eix ds y, cm ems a variaçã da imagem varia n,, is é a unçã é crescene quand Cninuand análise das imagens da unçã crrespndene a inerval, cm êm a mesma imagem, a variaçã d deslcamen durane, é nula:, O que acneceu cm a unçã nese inerval? N inerval 59
3 as imagens nesses pns sã ais que, e a unçã é decrescene nese inerval pran ems De md geral, dada uma unçã, n inerval da unçã em relaçã a variaçã em é dada pr: A variaçã d mvimen deslcad d, a axa de variaçã variaçã de variaçã em P, a pn Q relaçã a variaçã d emp gas é velcidade calculada pr: ems: emp gas (54), em espaçpercrrid velcidade (55) Na igura, bservams que n inerval nde a unçã deslcamen é crescene v Onde a unçã deslcamen r decrescene: v (56) (57) e ainda, n inerval quand iverem mesma imagem nas exremidades, mesm que a unçã deslcamen esiver crescend u decrescene, u manend cnsane n inerval, a axa é: v (58) As expressões (56), (57) e (58) msram as variações s d deslcamen em relaçã a cada subinerval de emp gas que pdem ser valres psiivs, negaivs u zer Cm vcê analisa a variaçã da unçã deslcamen ns inerval, e, da igura? 6
4 Exempl 7 Exercíci (página 79 livr ex) Um mnir é usad para medir s baimens cardíacs de um paciene após uma cirurgia Ele rnece um númer de baimens cardíacs após minus Quand s dads na abela sã clcads em um gráic, a inclinaçã da rea angene represena a axa de baimens cardíacs pr minus (minus) Baimens cardíacs O mnir esima esse valr calculand a inclinaçã de uma rea secane Use s dads s para esimar a axa de baimen cardíacs após 4 minus, uilizand a rea secane enre s pns para s valres de dads (a) 6 e 4 (b) 8 e 4 (c) 4 e 4 (d) 4 e 44 Respsa: Figura Gráic d exempl 7 indicand a relaçã da variaçã da imagem cm respeciv variaçã d inerval (a) Pela abela ems s pns P, 6,5 e Q 4, 948 Usand (55) a axa de baimen n inerval 6,4 é:, 6
5 baimen medi Q P ,66667 ba/ min (b) Pela abela ems s pns P, 8, 66 e 4, 948 (55) a axa de baimen n inerval 8,4 é: baimen medi Q P Usand, 7,75 ba/ min (c) Pela abela ems s pns P, 4, 86 e 4, 948 Usand (55) a axa de baimen n inerval 4,4 é:, baimen medi Q P ba/ min (d) Pela abela ems s pns P, 4, 948 e Q 44, 8 Usand (55) a axa de baimen n inerval 6,4 é:, baimen medi Q P ba/ min Analisand gráic d baimen cardíac pr minu d paciene, a cada minu esá aumenand cm axas de variações dierenes Os iens nde pedem para calcular as axas de variaçã ds baimens, cm nã em unirmidade da variaçã d emp, s valres das axas bids 69,67; 7,75; 7 e 66 dá uma impressã de aumenar baimen ns aé 4 minus e que depis aé 44 minus cai para 66 baidas N gráic u na abela de baimens cardíacs pdems bservar que, a cada minu, esá aumenand s baimens Taxa insanânea de Variaçã Na axa de variaçã da velcidade dada em (55) quand mams ie dese quciene azend (lê: dela ende a zer) é a deiniçã da axa da variaçã da velcidade insanânea da n insane e denams: velcidade insanâne (69) Exempl 8 Exercíci 5 (página 8 livr ex) Uma bla é airada n ar cm velcidade de y 4,9 Sua alura em mers após segunds é dada pr 6
6 (a), 5s e dura: Encnre a velcidade para períd de emp que cmeça quand (i) (ii) 5s (ii), s, 5s (iv), s (b) Encnre a velcidade insanânea quand, 5s Respsa: (a) Para calcular velcidade, usarems a órmula dada em (55) velcidade gas espaçpercrrid emp y 4,9, em, 5s ems: Tems,5 4,9,5 4,9,5 5 4,9,5 5,5, 975 (i) Quand 5s ems,5,5,5 Enã 4,9 4,94 9,6,4 Subsiuind em (55) ems a velcidade velcidade,5,5,4,975,575 7,5m / s,5,5 (ii), s Nesse cas ems,,5,, 6 Enã,6,6 4,9,6 6 4,9,56 6,544,456 Subsiuind em (55) ems a velcidade velcidade (iii) Para, 5s,6,5,,456,975,, ems,5,5,5, 55,59, 5,9m / s 6
7 ,55,55 4,9,55 5,5 4,9,45 5,5,775,7775 Pran: velcidade,55,5,5,7775,975,475,5,5 4,945 m/ s (iv) Quand, s ems,,5,, 5,5,5 4,9,5 5, 4,9,8 5,,749,975 Pran: velcidade,5,5,,975,975,4749,, 4,749m/ s (b) Encnre a velcidade insanânea quand, 5s Já calculams, 975, calculand em, 5 s :,5,5 4,9,5,5 4,9,5 5 4,9,5 5,5 4,7 4,9,975 4,7 4,9 e subsiuind em (55) velcidade insananea,975 4,7 4,9 5,5 4,7 4,9 4,7 4,9 4,7 4,9 4,7 4,9 4,7 4,7 m/ s 64
8 Pran a velcidade insanânea é de -4,7 m/s O sinal negaiv signiica que esá diminuind velcidade Assim, uma variaçã nã ns dá ideia real da cmpramen d mvimen Quand querems saber que acnece num deerminand insane mams dis pns quase juns que signiica que a variaçã de é quase zer, denad pr, deine que chamams de velcidade insanânea Q vinsanâne a (58) Vams esudar gemericamene a rea que passa ns dis pns, da (54) cnrme igura P, e Figura Reas que passam em dis pns P e Q rmand ângul cm eix ds x A equaçã da rea que passa ns dis pns disins cnhecids A x, y e B x, y d gráic da unçã é a equaçã da rea secane dada pr: y y y x y x x (59) x u na rma da unçã linear () da página 8 da na de aula: 65
9 y mx b, nde m y x y e b y mx (6) x Vland para cas d deslcamen das iguras e, as equações das reas secanes rea, rea e rea que represena deslcamen é: y (6) Esas reas secanes muda de direçã cada vez que pn Q pn, aprxima d P, Quand a rea rea4 ca a curva d gráic da quase n mesm pn Essa rea é chamada rea angene a gráic da curva de n pn bida pr P,, y (6) send m (6) Exempl 9 - Encnre a equaçã da rea angene à curva y x x n pn, P Sluçã: Para achar a rea angene, esclhems mais uma pn da curva, pr exempl Q(,) A inclinaçã da rea que passa nesses dis pns, cnrme (6) é: 9 y y 7x 5 x 7x Cuj ceiciene é 7, represena axa de variaçã da unçã x x y n inerval x, O a de axa ser psiiva signiica que a curva esá crescend nesse inerval Seja ur pn, mais próxim de P(,), pr exempl em x, ems pn,,, Q,,,7 Q A equaçã da rea secane é: 66
10 ,78 y, y,64x,65,78, x x Agra a variaçã passu a ser,65 A unçã cninua crescend, quand Q aprxima de P Seja ur pn, ainda mais próxim de P(,), pr exempl em x, ems pn Q,,, Q,,, N inerval,,, y, y,x, x a rea secane é:,, x x E a axa de variaçã da rea é, Cninua crescene n inerval em quesã Vams pegar pns Q anes d P e bend as reas secanes cujs valres das inclinações esã msradas na abela abaix: + Ceiciene das rea secane: Taxa de variaçã + Ceiciene das rea secane; Taxa de variaçã 7 -,,,65 -,,8,44,5,5,475 -,5,85,575,,, -,,9,7 x,5,55 -,5,95,855,,, -,,99,97,,, -,,999,997 Tabela Os ceicienes das reas secanes a curva x x y 67
11 68 Pdems bservar na abela que cada vez que pn Q aprxima d pn, P, valr d ceiciene das reas secanes a curva x x y aprxima d valr Ese valr é acilmene bid usand a axa de variaçã insanânea De a, mand ie quand a rmula (6) ns dá: m Assim ceiciene angular da rea angene à curva x x n pn, P é m Façam s exercícis das páginas 79 e 8
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