Circuitos de Corrente Alternada

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1 SUO DE FÍSA DA UFBA DEPAAMEO DE FÍSA DO ESADO SÓDO DSPA: FÍSA GEA E EXPEMEA (FS 3) ircuis de rrene Alernada nsidere um circui cm várias malhas e cnsiuídas de resisências, capacires e indures. Em alguma regiã d circui é aplicada uma ensã alernada = csω. Para descreverms circui, aplicams a lei das malhas e ds nós e encnrams um sisema de equações diferenciais nã hmgêneas que, em sua mairia, nã sã simples reslvê-las. Um cas bem rivial, cm circui, envlve idenidades rignméricas que sã, para dizer mínim, edisas. Para cnrnarms esas dificuldades e encnrarms sluções mais eleganes e cncisas, farems us ds númers cmplexs. Uilizarems ambém uma generalizaçã da lei de Ohm para a crrene alernada, is é, a lei de Ohm na frma cmplexa. As scilações que esudams n capíul anerir sã chamadas de scilações livres, uma vez que elas decrrem d fa da fne exerna que frnece a energia a sisema (carregand capacir) só esar presene n insane inicial. Após carregamen, a fne é reirada e as cargas n capacir e a crrene n circui cmeçam a scilar cm uma freqüência deerminada pels valres ds elemens clcads n circui. presene esud, erems uma scilaçã frçada uma vez que a fne de ensã nã é reirada e, em ds s insanes, ela frça a crrene e a ensã ns elemens a scilarem cm sua própria freqüência. Em urs erms, se ω é a freqüência angular de scilaçã da fne, a crrene e a ensã ns elemens scilarã cm esa mesma freqüência, independenemene ds valres ds elemens clcads ns circuis. Definims, enã, uma ensã cmplexa = e ω, nde a ensã física é a pare real de, is é, = e {} = cs ω. Analgamene, definims uma crrene cmplexa nde a crrene física é a pare real de, is é, = e { }. Em circuis de crrene cnínua aplicams cnsanemene a lei de Ohm ( = ), a qual apresena uma relaçã linear enre a ensã e a crrene. Esa relaçã é inermediada pr uma grandeza que descreve a psiçã à livre passagem ds pradres de carga: a resisência elérica. Dizems que esa resisência é ôhmica e em sua rigem n chque ds pradres de carga cm a rede crisalina. nud, em circuis de crrene alernada exisem urs fares que geram cmpramen resisiv (n senid de psiçã á passagem ds pradres de carga). s indures, pr exempl, cm a crrene varia cm emp, surgirá uma frça elermriz au induzida que se põe à esa variaçã. m vims anerirmene, esa frça elermriz e, pran, cmpramen resisiv - é prprcinal à induância e à freqüência de scilaçã. O capacir, pr sua vez, se põe à migraçã ds pradres de carga de uma placa à ura, pis é preenchid cm um dieléric, brigand a fne de ensã efeuar esa migraçã a inverer senid da f.e.m. e que, nese cas quan mair a freqüência, cm mais rapidez as cargas passarã de uma placa à ura, de md que a psiçã à passagem de carga exercida pel capacir rna-se menr. A grandeza que descreve ese cmpramen resisiv mais generalizad é chamada de impedância.

2 m na lei de Ohm, exise aqui uma relaçã linear enre a crrene e a ensã cmplexa. hamarems de a impedância cmplexa d circui, de frma que a lei de Ohm na frma cmplexa será:. Aplicações Em ircuis a. ircui puramene resisiv A resisência nese cas esá simblizand a assciaçã de das as resisências d circui. Usand a lei das malhas, bems =, u na naçã cmplexa =. mparand cm a lei de Ohm =, bems =, u seja, a impedância de um circui puramene resisiv é a própria resisência. = A crrene cmplexa será dada pr jω = = e enquan que a crrene física será = e{} = csω. Observand a figura a lad, vems que s máxims, mínims e zers an da ensã quan da crrene crrem n mesm insane. Dizems enã que a crrene esá em fase cm a ensã. an a ensã quan a crrene cmplexas pdem ser represenads n plan cmplex aravés ds veres giranes u fasres. = e ω m e que e e j ω = sã númers cmplexs que variam cm emp e, cm senid de crescimen d ângul ω n plan cmplex é ω anihrári, s fasres ambém giram nesse senid. e que e giram a e mesm emp, pis esã em fase. b. ircui puramene induiv A lei das malhas ns frnece d =, u em erms de linguagem ds d cmplexs = (). Assumims aqui que a crrene scila cm a mesma freqüência da fne, pis se raa de uma scilaçã frçada. j( ω φ) Escrevems enã = me, nde m é a ampliude e φ é a fase da crrene. Assim devems er: d j( ω φ = j ω me ) = j ω Subsiuind na equaçã (), erems = j ω que, cmparada cm a lei de Ohm, ns leva a = j ω. Pdems escrever esa impedância de ura frma. Basa lembrar que j = e jπ, de frma que = ω jπ jπ e = Xe, nde X = ω é chamada de reaância induiva. A crrene será dada pr:

3 jω e = = jπ Xe j( ω π ) e = X g, a crrene d circui será: = e{} = X π cs ω e que a crrene esá defasada da ensã de π/. ese cas dizems que a crrene esá arasada em relaçã à ensã. Os diagramas da crrene e da ensã sã : m ω e c. ircui puramene capaciiv A lei das malhas ns frnece d dq =. Usand Em naçã cmplexa devems er: = q dq =, erems:. Diferenciand em relaçã a emp, erems: d =. d = (). m = e ω d jω, enã = jω e = jω Subsiuind ese úlim valr na equaçã (), bems. jω =, u seja, =. jω mparand cm a lei de Ohm, chegams a: = = jω j ω embrand-se que j = e jπ, enã: jπ jπ = e = Xe, nde ω A crrene n circui será = e{}, u seja crrene esá adianada de π/ em relaçã a ensã. X = é chamada de reaância capaciiva. ω = X π cs ω +. e que nese circui a m ω e. Assciaçã de impedâncias 3

4 a. Em série b. Em paralel Sejam duas impedâncias e assciadas em série e submeidas a uma ensã alernada. A impedância esá submeida a uma ensã e à ensã, nde = +. Usand a lei de Ohm, erems = + = eq, que ns leva a: eq = + Se iverms impedâncias assciadas em série, erems: eq = i= ese diagrama é fácil ver que = +. Usand a lei de Ohm, bems: = + = uma das impedâncias. Assim: eq = + i, nde é a ensã aplicada em cada eq Se iverms impedâncias assciadas em paralel, devems er: = = i eq i 3. ircui em série acplad a uma f.e.m. alernada Seja um circui em série acplad a uma f.e.m. alernada = csω. De acrd cm a lei de Ohm, a crrene será = e ω é a ensã cmplexa. =, nde Para a resluçã dese prblema, devems calcular a impedância al d circui. m s rês elemens esã assciads em série, erems : = + jω ω j = + j ω ω Pdems escrever na frma = = + ω e ϕ = arc g ω ω ω A crrene cmplexa será: = jω e j( ω ϕ) = = e jϕ e A crrene n circui será = e { }, u seja = + + jϕ e nde e ϕ serã dads pr: 4

5 = cs( ω ϕ), nde e ϕ esã acima descris. a. essnância. e que a ampliude da crrene irá depender m da freqüência, uma vez que a impedância em / essa dependência. Assim, pdems er uma ensã < alíssima, mas uma crrene baixa a depender d valr da freqüência ω. Pdems fazer crescer ese valr usand-se expediene de variar ω, aé aingir pn máxim da crrene m, que equivale a valr mínim de. ω=ω ω s crrerá quand X - X = 0, u seja, quand ω = 0, que ns levará a ω = ω =. ω Em uras palavras, quand a freqüência da fne fr igual à freqüência naural d sisema, a crrene n circui irá scilar cm ampliude máxima m = /. hamams esa cndiçã de ressnância. Ese circui em uilidade, pr exempl, ns circuis de rádi, nde é usad cm circui sinnizadr. ese cas a anena serve cm fne. Esa capa as ndas elermagnéicas, ransfrmand s camps elérics scilanes em crrenes. e que anena capa das as freqüências, mas só irá scilar cm ampliude máxima naquela que esiver em ressnância. Para sinnizar uma ura esaçã de rádi basa mudar a freqüência naural d circui, alerand-se u capacir u indur. 4. Pência média. alr eficaz m vims, a crrene assim cm a ensã sã grandezas que scilam cm freqüência ω, que pdem variar desde alguns Hz - cm na rede elérica - aé a rdem de MHz cm ns circuis de rádi e. Assim, para medirms s valres insanânes desas grandezas, necessiams de insrumens adequads, ais cm s scilscópis, que respndam cm precisã a esas variações. enan, em diversas casiões nã ns ineressams pr eses valres insanânes, mas sim pel valr médi u valr eficaz. Anes de definirms esas grandezas, precisams cnhecer cm calcular a média empral de uma grandeza. a. Média empral Supnha que um veícul percrra uma esrada cm velcidade v durane um emp Δ, cm velcidade v durane um Δ, cm v 3 durane Δ 3 e assim sucessivamene. Para calcular a velcidade média desenvlvida pel veícul, simplesmene dividims a disância al percrrida pel emp al de v percurs. v = Δ + v Δ + v 3Δ3 Δ + Δ + Δ 3 Pdems generalizar ese cncei para uma grandeza f qualquer. Seja f() uma grandeza que varie discreamene cm emp, u seja, ela assume um valr cnsane f durane um emp Δ, f durane Δ e assim pr diane. Se exise inervals de emp, a média empral de f() será: 5

6 fδ + fδ f = Δ + Δ + K + f K + Δ Δ = i i= i= f Δ Δ i i (3) Supnd agra que f= f() seja uma funçã cnínua n emp, valr médi será bid se fizerms as smaórias da equaçã (3) para limie Δ i 0. Se marms a média enre s insanes e enã : f = f () Se f() fr uma funçã periódica de períd, csuma-se fazer esa média para períds. Msra-se que se a funçã nã fr amrecida, a média para um inerval de emp igual a será igual a média irada em um únic períd. Assim, clcand-se = +, enã: f = + f () nud, se f() fr uma funçã rignmérica cm sen u csen, a média será nula, pel simples fa dessas funções assumirem igualmene em um períd, valres psiivs e negaivs. Pr ese miv, csuma-se definir valr médi quadráic: + f mq = f u f mq = f () Seja P a pência dissipada em um resisr em um circui de crrene cnínua. Esse mesm valr ambém pde ser encnrad em um circui de crrene alernada a calcularms a pência média P dissipada em. hamarems de crrene eficaz e de ensã eficaz as valres médis quadráics da crrene e ensã necessáris para prduzir aquela pência média em um circui de crrene alernada. + Assim, + ef = () e ef = () Supnha que = cs( ω θ). Assim: = cs ( ω θ) + ef. + m cs ( ω θ) =, bems ef = + ef, Para a ensã () = cs( ω φ), erems = cs ( ω φ) 6

7 que ns leva a: ef = d. Pência Média Seja = cs ( ω φ ) a ensã e = cs( ω θ ) a crrene que passa pr um elemen de um circui. A pência (insanânea) dissipada nese elemen é dada pr P () = () (), u seja: ( ω θ ) = ( csω csφ + senω senφ )( csω θ senω senθ ) [ cs ω csφ csθ + sen ω senφ senθ + senω csω ( csφ senθ senφ csθ )] P( ) = cs( ω φ) cs cs +. P( ) = + sen + = cs + cs e cm a pência média é dada pr P = P(), enã Usand ( φ θ ) φ senθ senφ θ = P + + ( + ) csφ csθ cs ω senφ senθ sen ω sen φ θ senω csω + Usand fa de que + + cs ω = sen ω = e cs = 0 senω ω, chegams a: + = P cs( φ θ ). O erm cs ( φ θ), que descreve a diferença de fase enre a ensã e a crrene n elemen cnsiderad, é chamad de far de pência. Em um circui resisiv ( φ θ) = 0 (pis a crrene e ensã esã em fase) e erems: = ef P = ef que ns remee para a definiçã de valr eficaz de crrene e ensã. BBOGAFA. E, Jhn.; MFOD, Frederick J; HSY, ber W. Fundamens da eria elermagnéica. i de Janeir: ampus, c p.. EDMSE, Jseph A. ircuis elérics..ed. Sã Paul: McGraw-Hill d Brasil, 985, (Schaum) 3. PUE, Edward M.., urs de Física de Berkeley, vl., Elericidade e magneism. Sa Paul: Edgard Blucher,