Aparatos que desenham curvas Elvia Mureb Sallum Matemateca-IME-USP

Transcrição

1 ptos que esenhm cuvs Elvi Mue Sllum Mtemtec-IME-US teoi s cônics com oigem no século IV.C. esenvolveu-se ininteuptmente té nossos is: váios spectos, ccteizções, popiees, elções com outs áes o conhecimento fom seno estus o longo os tempos. té o século VIII não hvi mtemático impotnte que não se eicsse o tem s cônics em como o e outs cuvs. Sempe houve, inclusive n Géci ntig, um esteit elção ente Geometi e Mecânic. Nos séculos V e VI ess elção intensificou-se com plicções Mtemátic às máquins, à nvegção, o comécio sugino ness époc o specto inâmico Geometi e umentno su elção com Mecânic. constução e máquins p esenh cetos tipos e cuvs como s cônics, cissóie e conchóie teve impotânci funmentl n esolução ltentiv e polems clássicos insolúveis com égu e compsso tis como Duplicção o cuo e Tissecção e ângulo. Destcm-se s otis como intesecção e cuvs tis como páols, cicunfeêncis, hipéoles, cissóie e Diocles e conchóie e Nicomees. O polem uplicção o cuo foi esolvio po Menechmus ( C.) com intesecção e us páols x 2 = y e y 2 = 2x. Diocles (II.C.) inventou cissóie e Desctes ( ) usou um s páols x 2 = y, y 2 = 2x e su intesecção com cicunfeênci (x-1) 2 +(y-1/2) 2 = 5/4 p esolve esse polem. tissecção e um ângulo Nicomees (século III.C.) usou conchóie e ppus (século IV) usou um hipéole intecept com cos e cicunfeênci. pesentemos, inicilmente, s cônics e lguns instumentos que s esenhm. Iniciemos com um efinição, pouco conheci, p c cônic e emos váis ccteizções. Justificemos o funcionmento e c pto com lgum ccteizção especil cônic. Um mecnismo especil é o pto e Stong poque esenh páols, elipses e hipéoles epeneno somente e egulgem e peçs que o compõem. Demos um justifictiv esse mecnismo usno ccteizção s cônics pels ietizes e focos. Teminemos com pesentção s cuvs cissóie e conchóie e ptos que s esenhm. concepção e c pto está elcion com um specto especil cuv que ele esenh. nálise e c um eles é um fonte ic p o pofunmento, 1

2 plicção e váios conceitos geometi em como p o estuo inâmico Geometi. Toos os esenhos qui pesentos fom geos no Sketchp, um pogm que tmém possiilit simulção o funcionmento os mecnismos. áol Dos um et e um ponto, páol e foco e ietiz é o L.G. os centos s cicunfeêncis que pssm po e são tngentes ou, equivlentemente, os pontos tis que s istâncis e e e são iguis. Constução e páol, ponto ponto, com égu e compsso. c ponto, tce o segmento, su meitiz e pepenicul s à et po. O ponto intesecção e e s esceve páol quno pecoe. s =+ Mecnismo e fio estico p tç páols segun ccteizção justific constução, com tço contínuo, usno um fio estico e um égu em T com um etu longituinl e moo que o T pecoe um et. me um nte, e compimento com um s ponts pes n extemie 2

3 etu, opost o T, e out fix num ponto mes. Um lápis, mnteno estico o nte enqunto o T escoeg pel et, esceve um páol e ietiz e foco. ológfo N figu ixo, CD é um losngo ticulo nos vétices, com D fixo num plc e coeno num et. Um égu e compimento suficientemente gne coesponente à igonl C o losngo e out, pepenicul à, fix em, encontm-se num ponto que esceve páol e foco D e ietiz. De fto, qulque ponto igonl o losngo está um mesm istânci os vétices e D, pois s sus igonis são pepenicules pelos seus pontos méios. D=foco D=foco =gui C =ietiz =gui C =ietiz Execício 1: ixe um et e um ponto. Tce páols com foco e ietizes plels fstno-se ou poximno-se e. one tenem s páols quno ietiz se poxim e? E quno su istânci tene infinito? Execício 2: Moste que o L.G. os pontos eqüiistntes e um et s e e um cicunfeênci e cento O e io é um páol e foco no cento cicunfeênci e ietiz plel e um istânci e s. Ve figu ixo. 3

4 O s Equção euzi páol Seno p>0 istânci ente ietiz e o foco, num sistem e cooens em que =(p/2,0) e é et x=-p/2, um tecei ccteizção páol poe se pel su equção euzi: =(x,y) petence à páol, se e só se x + π 2 = (ξ π 2 )2 + ψ 2 (ξ + π 2 ) 2 =(ξ π 2 )2 + ψ 2 ψ 2 =2πξ. y =(x,y) x (-p/2,0) 0 =(p/2,0) Elipse Dos um cicunfeênci γ e cento e io 2>0 e um ponto ' no inteio ess cicunfeênci com ' = 2c < 2, elipse e focos e ' e excenticie e=c/<1 é o lug geomético os centos s cicunfeêncis tngentes γ que pssm po ', ou, equivlentemente, os pontos tis que +' = 2. γ ' γ ' =2 > '=2c +'=2 4

5 Constução e elipse, ponto ponto, com égu e compsso c ponto γ, tçmos os segmentos e ' e meitiz e ' que encont num ponto elipse. Ve figu cim. Execício 3: Ns notções nteioes, consiee e γ fixos. ) Tomno ' mis póximo e como fic o tço elipse? ) O que contece com elipse quno '? E com excenticie? c) E se ' tene p cicunfeênci γ? Quem sei elipse, se c=? Mecnismo e fio estico p tç elipses segun ccteizção e elipse, lev o seu tço contínuo os istânci 2c ente os focos e excenticie e<1. O mecnismo consiste e um plc, com ois pontos e fixos tis que =2c, e um fio flexível e compimento 2, =c/e, com s extemies pess em e '. Um lápis, mnteno o fio estico, esenh os pontos elipse e focos e ' e excenticie e pois + ' = 2. l pis ' +'=2 Use esse pto, com os focos fixos, p ve como vim s elipses fzeno o compimento o fio ument ou iminui. Detemine s excenticies. Equção euzi elipse Consieno um sistem e cooens em que =(-c,0) e '=(c,0), se um ponto =(x,y) petence à elipse po +'=2 tem-se: (x - c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 =2 Þ (x - c) 2 + y 2 =2- (x + c) 2 + y 2 Þ (-,0) 0 (,0) x 2 + y 2 =(-c,0) '=(c,0) c =1Þ 2 x 2 + y 2 2 =1 com = c 2. (*) =(x,y) - -c c = 2 -c 2 Veifique que, ecipocmente, too ponto (x,y) que oeece (*), petence à elipse. 5

6 ssim, temos out ccteizção elipse: elipse e focos =(-c,0) e =(c,0) e excenticie 0<e<1 é o conjunto os pontos (x,y) o plno ctesino tis que x 2 + y 2 2 =1, com = c /e, = 1- e 2. 2 que seá us p justific o mecnismo pesento ixo. Execício 4: ) Sej elipse e equção x2 + ψ2 =1. D seus focos, su excenticie e seu 2 β 2 esoço, confome > ou <. E se =? ) Um segmento é limite e lgum fmíli e elipses? E um et? E um semiet? Mecnismo ticulo e 5 vets p tç elipses No mecnismo, figu ixo, ticulo em,, E, e, o ponto está fixo num plc, =, D=C=c, E é um losngo e lo, e s extemies D e C movimentm-se num et fix n plc e que está um istânci e, com +<c. À mei que pecoe cicunfeênci e cento, o vétice o losngo E pecoe um elipse. y E c =(0,) q α G E =(x,y) c q=ðg α=ðdc D O C D O C x De fto, n figu cim à ieit, =(x,y) é o po ì x = cosq í î y = + senq - Como = 2δσενα e senα = então, s cooens e são s po β+ ασενθ, χ 6

7 ì x = cosq ï í y =(1-2. )( + senq) î ï c Você poe veific ietmente que, p c/2, o ponto =(x,y), pecoe elipse e equção β x 2 χ2 (ψ + χ (χ 2δ)) 2 =1 2 α 2 (χ 2δ) 2 quno θ vi em [0,2π]. Loclize seus focos! Execício 5: ) Estue vição s elipses confome o lo o losngo mue e <c/2 p >c/2. Quem é elipse se =c/2? ) Dos os focos e excenticie, como just s meis s s o pto p que ele esenhe elipse coesponente? Elipse etemin po 2 cicunfeêncis Vejmos out ccteizção e elipse po meio e us cicunfeêncis concêntics γ e γ, e cento O e ios e, com >. c ponto (x,y') e γ consiee os pontos (x',y) γ, no segmento que une (x,y') o cento O, e =(x,y). O lug geomético os pontos ssim otios, quno (x,y') pecoe γ, é elipse po x2 + ψ2 2 β =1. 2 g γ' O (x',y) (x,y') =(x,y) De fto, po semelhnç e tiângulos, tem-se que x x' = ψ ψ = α β e, potnto, x 2 +(y') 2 = 2 Þ x y 2 = 2 Þ x y 2 2 =1. 2 Recipocmente, se um ponto (x,y) oeece ess equção, tem-se x, y e pontos (x,y) γ e (x,y ) γ com xx 0 e yy 0 que eteminm (x,y). 7

8 Mecnismo e 1 vet p tç elipses Ess últim ccteizção poe se us p justific o uso e um com tês pontos, pevimente mcos,, e p esenh elipse. Deslizno no eixo x, mnteno sempe no eixo y, pont o gfite em vi esenhno os pontos e um elipse. tç elipse x2 + ψ2 =1, consiemos 3 pontos, e n tis que: 2 β 2 1º cso: ente e, =- e =. 2º cso: ente e, = e =. - =(x,y) =gui Justifictivs: 1º cso: ente e Q y T R S O - x 2º cso: ente e y Q O R x 8

9 Execício 6: )Quem são os focos elipse esenh pelo pto? E excenticie? ) Mue posição e no pto e veifique como mu excenticie. Simulmos ixo o mesmo pto com os eixos inclinos. cuv esenh pelo ponto, em c um os csos, é um elipse? hipociclóie como envolvente. Nos ois csos o mecnismo nteio e 1 vet p esenh elipse, quno os eixos cooenos são pepenicules, s ivess posições égu efinem um fmíli e segmentos cuj envolvente é um hipocicóie. De fto: Quno está ente e, fmíli e segmentos coesponentes às ivess posições o segmento é po O.y = O(x - O), isto é, po y cosq - senq(x - cosq)=0, "q Î [0,2p]. y Ψ Ψ(α) θ Ξ(α) Ρ Ο α R/4 Ξ(0) x otnto, envolvente ess fmíli e segmentos é escit po ou sej, ì f (x, y,q)=ycosq - xsenq + senq cosq =0 ï í f q (x,y,q)=-ysenq - x cosq - sen2 q + cos 2 q =0 î ï 9

10 ì x = cos 3 q í î y =-sen 3 q " q Î [0,2p]. Logo, os pontos ess envolvente oeecem x 2/3 + y 2/3 = 2/3. o outo lo, hipociclóie, oti pelo olmento e um cicunfeênci e io =R/4, n pte inten cicunfeênci e io R e cento n oigem, é po ( )= 3R 4 (cos,sen )+ R (cos3,- sen3 ), 4 i.e, Como tem-se x 2/3 + y 2/3 = R 2/3. ì ï x( )= R (3cos + cos3 ) : 4 í ï y( )= R (3sen - sen3 ) î 4 ì x( )=Rcos 3 í î y( )=Rsen 3. Que tl fze o cso em que está ente e? Execício 7: No cso em que os eixos cooenos são inclinos, envolvente os segmentos poe se vist n figu o lo. Qul seá equção ess cuv? 10

11 Hipéole Dos um cicunfeênci γ e cento e io 2>0 e um ponto ' no seu exteio com '=2c, c>, hipéole e focos e ' e excenticie e=c/>1 é o L.G. os centos s cicunfeêncis tngentes γ, que pssm po, ou, sej, os pontos tis que -' =2. γ ' ' '=2c =2 '=2c =2 Constução e hipéole, ponto ponto, com égu e compsso efinição e hipéole lev à su constução, ponto ponto, com égu e compsso. Do γ, tçmos o segmento ' e su meitiz encontno et no ponto. O conjunto os pontos que poem se ssim otios quno vi em γ é hipéole. Nos ois pontos γ p os quis é tngente à cicunfeênci, meitiz e é plel à et e, potnto, não fic etemino ponto hipéole. Esss us meitizes são chms e ssíntots. ss ntot γ ' γ ' ss ntot 11

12 Mque n cicunfeênci γ os conjuntos os pontos que escevem c um os mos hipéole. Execício 8: Ns notções nteioes, ) ixe e ' e esenhe hipéoles vino γ, ou sej, vino excenticie. ) ixno um os focos e cicunfeênci γ, estue vição s hipéoles com ' fstno-se ou poximno-se e γ. c) Consiee um sistem ctesino e cooens em que os focos são os po =(-c,0) e '=(c,0). Moste que equção hipéole coesponente ` cicunfeênci γ e cento e io 2>0 é po x 2 - y 2 2 c 2 - =1. 2 ) Moste que, em c), s ssíntots têm equções y =± c 2-2 e) Confime sus suposições e ). x Mecnismo e fio estico p tç hipéole segun ccteizção cim justific o uso o pto figu ixo p esenh hipéole. Ele é composto e um plc one estão fixos os focos e, um égu com extemie fix (ms poeno gi) em e e um fio e compimento l tl que - < l <, peso em ' e em. Mnteno o lápis n fen égu, com o fio sempe estico, su pont esenhá um hipéole e equção -' =-l. Oseve, n figu, que -l =-. l pis = ' Mue o compimento l o fio e oseve como mum s hipéoles! 12

13 Ccteizção s cônics pels ietizes e focos Do mesmo moo como páol, elipse e hipéole poem se efinis em temos e um ponto, chmo foco, e um et chm ietiz e e um númeo e>0. Um elipse (hipéole) é o L.G. os pontos cuj zão ente s sus istâncis o foco e à ietiz é um constnte e<1 (e>1). D um elipse x2 + ψ2 2 β =1 com excenticie e=c/, isto é, com 2 2 = 2 -c 2 = 2 (1-e 2 ) p o foco '=(-c,0) pocumos um et x= tl que ou, equivlentemente tl que e x - = (x + c) 2 + y 2, " (x,y) / x y 2 2 =1, (1 - e 2 )x 2 +2x(c + e 2 )+y 2 = e c 2, " (x, y) / (1- e 2 )x 2 + y 2 = 2 - c 2. Como temos que te 2x(c + e 2 )=e 2 2-2, st escolhe =- c 2 e, potnto, et e ietiz é po x =- c 2. Do mesmo moo, p o foco =(c,0) otemos ietiz e po x = c e 2. (- c c e,0) ( 2 e,0) (-,0) O (,0) 2 =(-c,0) '=(c,0) Recipocmente, os um ponto =(c,0), um et x= e um númeo 0<e<1, você poe veific que os pontos =(x,y) tis que e x - = (x - c) 2 + y 2, estão num elipse. isso st elev ess equção o quo e epois complet quos. Consiee, go, um hipéole po x2 ψ2 =1 com excenticie e=c/, isto é, 2 2 β com 2 = c 2-2 = 2 (e 2-1). o foco =(-c,0), pocumos um et x= tl que 13

14 x 2 e x - = (x + c) 2 + y 2, " (x,y) / - y 2 2 c 2 - =1, 2 oteno x = =- c e. o foco =(c,0), otém-se et x = c 2 e. 2 Como no cso nteio, vle ecípoc. -c/e2 -c 0 c c/e2 Execício 9: Quem é cuv limite e um fmíli e elipses, com vétices fixos, quno e 1? E e um fmíli e hipéoles? Mecnismo e Stong p esenh cônics Ess ccteizção e cônic: o conjunto os pontos cuj zão ente s istâncis um et e um ponto fixo é constnte, justific o pto, esenvolvio po Stong, composto po us s D e C com um losngo coplo em D, p esenh cônics em gel. D R C Q S No mecnismo, C=C, é um ponto fixo n C, com CD=C, que é oigo pemnece n igonl QR o losngo QDR e e movem-se livemente n et. Mnteno fixo num plc, esceveá um cônic, e foco e ietiz. De fto: estno n igonl o losngo, D= e, então, /S=D/S. o semelhnç e tiângulos tem-se (D/2):S=C:. Logo /S=D/S =2C/= constnte=e. 14

15 cônic escit po seá elipse, páol ou hipéole, confome >2C, =2C ou <2C, ou sej, confome se tenh >(2/3)C, =(2/3)C ou <(2/3)C. Como /2C=(C-C)/2C e C poe ssumi qulque vlo ente C e 0, então, /S poe se qulque númeo positivo e o mecnismo poe se justo p esenh qulque cônic. Not: s simulções o mecnismo e Stong no Sketchp, fom feits pelo pofesso C.E.Hle o IME-US. s 6 figus seguintes fom toms esss simulções. D R C Q >2C Q D C =2C R 15

16 D R C Q <2C Execício 10: No pto cim, e Stong: ) Moste que, o ponto D esenh um cônic o mesmo tipo esenh po levno em cont que mos têm mesm sciss e ivie s oens s ivess posições e D sempe n mesm popoção. ) ch equção o lug geomético os pontos, num sistem e cooens em que et é o eixo x e =(0,f). c) Iem os pontos D. ) Iem s ivess posições o cento o losngo, veificno que é um cônic o mesmo tipo s e ) e c), que pss po. Q D C R >2C 16

17 Q D C =2C R R D C Q Cissóie e Diocles Sej um cicunfeênci γ, com iâmeto O=2, e su et tngente no ponto. c ponto, consiee o ponto no segmento O tl que O=C em que C é intesecção o segmento O com γ. O lug geomético os pontos, ssim otios, quno pecoe, é cissóie e Diocles etemin pel cicunfeênci γ e pel tngente. 17

18 Β Χ Π Χ Β Π Ο Α O=C O'='C' γ Régu ou esquo e Newton Newton mostou que cissóie poe se tç pelo escoegmento e um égu DE em L: ângulo eto em E, lo meno E=2 e o outo lo e compimento suficientemente gne. zeno extemie pecoe et s plel, que pss pelo cento O e γ, enqunto o lo mio pss sempe em D com D=3, o gfite em, ponto méio e E, esceveá cissóie. Ξ Π Ο Ο Α γ s ciss ie Ε Justifictiv: N figu ixo DG e DE são tngentes à cicunfeênci e cento e io 2. Mostemos que o ponto méio e E está n cissóie etemin po γ e po. Tem-se //D pois é isósceles e DG DE. Sej Y o ponto e enconto et com et O. 18

19 Como YD é um plelogmo, DY== e, potnto, Y=O. Logo, OC= pois O OC. Γ Χ Ο=Ψ γ Ξ s Β Π Ε Ο Α Ns 2 figus ixo vemos outs cuvs esenhs pel égu ou esquo e Newton quno pecoe s. quel escit pelo vétice E, é conheci po estofóie. Ο Ξ γ 2 Ο Α ESTROîIDE Ε=λ πισ Ο Ξ γ 2 Ο Α Ε Execício 10: ) Moste que, no sistem e cooens figu ixo, equção 19

20 ctesin cissóie é x(x 2 +y 2 )=2y 2 (um cúic). Qul su equção pol? ) ocue um escição e um equção p estofóie. c) E p s outs cuvs que poem se esenhs com égu e Newton muno posição o lápis n E? y Χ Β Ο θ Π=(ξ,ψ) x Α=(2α,0) Conchóie e Nicomees Consiee fixos um ponto O, um et cuj istânci O é O=>0 e >0. c ponto, consiee os pontos e otios pel intesecção et O com cicunfeênci e cento e io. conchóie, é o lug geomético os pontos e ssim otios quno pecoe et. O ' O ' O ' > = < ='= O= 20

21 Compsso e Nicomees Como esquemtizo n figu ixo, o pto é composto e um plc com um cnlet em e um pino em O e um égu com um pino fixo num ponto, que eve coe n cnlet. égu tem etus em pontos e, p o lápis, e moo que = = e um etu longituinl one eve pemnece o pino O plc quno pecoe. =l pis '=l pis O fixo ='= O= cnlet Execício 11: Moste que conchóie, num sistem e cooens equo, é pel equção 2 x 2 =(x 2 +y 2 )(-x) 2 (um quátic) e compe com cissóie no ponto singul. y Π y Ξ ' Π =(ξ,ψ) Ο α x O =2 x O'== x 2 +y 2, = x, po semelhn e ti ngulos. -x Equ o ctesin e ' : (-x) x 2 +y 2 =x Equ o pol e ': =sec θ β ' ponto conch ie po O=2 e =2. ponto ciss ie pel cicunfenci e cento (,0) e io e pel. 21

22 Refeêncis iliogáfics: 1. STRONG, W. M. On linkges fo tcing conic sections, The nnls of Mthemtics, vol.8, nº 6, pp , STILLWELL, J. Numes n Geomety, ustli: Spinge, DORRIE, H. 100 Get olems of Elementy Mthemtics: thei histoy n solutions. N. Yok: Dove, SIMMONS, G.. Cálculo com Geometi nlític. São ulo: Mkon, LVES, S. & SLLUM, E. M. Constuções ltentivs p polems insolúveis com égu e compsso, II Enconto RM/II ienl e Mtemátic, U, Slvo, outuo e ofessos esponsáveis pelo mini-cuso, epesentno Mtemtec o IME-US: Soni Regin Leite Gci Déo Rphel Elvi M. Sllum 22