Aparatos que desenham curvas Elvia Mureb Sallum Matemateca-IME-USP

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1 ptos que esenhm cuvs Elvi Mue Sllum Mtemtec-IME-US teoi s cônics com oigem no século IV.. esenvolveu-se ininteuptmente té nossos is: váios spectos, ccteizções, popiees, elções com outs áes o conhecimento fom seno estus o longo os tempos. té o século VIII não hvi mtemático impotnte que não se eicsse o tem s cônics em como o e outs cuvs. Sempe houve, inclusive n Géci ntig, um esteit elção ente Geometi e Mecânic. Nos séculos V e VI ess elção intensificou-se com plicções Mtemátic às máquins, à nvegção, o comécio sugino ness époc o specto inâmico Geometi e umentno su elção com Mecânic. constução e máquins p esenh cetos tipos e cuvs como s cônics, cissóie e conchóie teve impotânci funmentl n esolução ltentiv e polems clássicos insolúveis com égu e compsso tis como uplicção o cuo e Tissecção e ângulo. estcm-se s otis como intesecção e cuvs tis como páols, cicunfeêncis, hipéoles, cissóie e iocles e conchóie e Nicomees. polem uplicção o cuo foi esolvio po Menechmus ( ) com intesecção e us páols x 2 = y e y 2 = 2x. iocles (II..) inventou cissóie e esctes ( ) usou um s páols x 2 = y, y 2 = 2x e su intesecção com cicunfeênci (x-1) 2 +(y-1/2) 2 = 5/4 p esolve esse polem. tissecção e um ângulo Nicomees (século III..) usou conchóie e ppus (século IV) usou um hipéole intecept com cos e cicunfeênci. pesentemos, inicilmente, s cônics e lguns instumentos que s esenhm. Iniciemos com um efinição, pouco ivulg, p c cônic e emos váis ccteizções. Justificemos o funcionmento e c pto com lgum ccteizção especil cônic. Um mecnismo especil é o pto e Stong poque esenh páols, elipses e hipéoles epeneno somente e egulgem e peçs que o compõem. emos um justifictiv esse mecnismo usno ccteizção s cônics pels ietizes e focos. Teminemos com pesentção s cuvs cissóie e conchóie e ptos que s esenhm. concepção e c pto está elcion com um specto especil cuv que ele esenh. nálise e c um eles é um fonte ic p o pofunmento, 1

2 plicção e váios conceitos geometi em como p o estuo inâmico Geometi. Toos os esenhos qui pesentos fom geos no Sketchp, um pogm que tmém possiilit simulção o funcionmento os mecnismos. áol os um et e um ponto, páol e foco e ietiz é o L.G. os centos s cicunfeêncis que pssm po e são tngentes ou, equivlentemente, os pontos tis que s istâncis e e e são iguis. onstução e páol, ponto ponto, com égu e compsso. c ponto, tce o segmento, su meitiz e pepenicul s à et po. ponto intesecção e e s esceve páol quno pecoe. s =+ Mecnismo e fio estico p tç páols segun ccteizção justific constução, com tço contínuo, usno um fio estico e um égu em T com um etu longituinl e moo que o T pecoe um et. me um nte, e compimento com um s ponts pes n extemie etu, opost o T, e out fix num ponto mes. Um lápis, mnteno estico o nte enqunto o T escoeg pel et, esceve um páol e ietiz e foco. 2

3 ológfo N figu ixo, é um losngo ticulo nos vétices, com fixo num plc e coeno num et. Um égu e compimento suficientemente gne coesponente à igonl o losngo e out, pepenicul à, fix em, encontm-se num ponto que esceve páol e foco e ietiz. e fto, qulque ponto igonl o losngo está um mesm istânci os vétices e, pois s sus igonis são pepenicules pelos seus pontos méios. =foco =foco =gui =ietiz =gui =ietiz Execício 1: ixe um et e um ponto. Tce páols com foco e ietizes plels fstno-se ou poximno-se e. one tenem s páols quno ietiz se poxim e? E quno su istânci tene infinito? Execício 2: Moste que o L.G. os pontos eqüiistntes e um et s e e um cicunfeênci e cento e io é um páol e foco no cento cicunfeênci e ietiz plel e um istânci e s. Ve figu ixo. 3

4 s Equção euzi páol Seno p>0 istânci ente ietiz e o foco, num sistem e cooens em que =(p/2,0) e é et x=-p/2, um tecei ccteizção páol poe se pel su equção euzi: =(x,y) petence à páol, se e só se x + p 2 = (x p 2 )2 + y 2 (x + p 2 ) 2 = (x p 2 )2 + y 2 y 2 = 2px. y =(x,y) x (-p/2,0) 0 =(p/2,0) Elipse os um cicunfeênci γ e cento e io 2>0 e um ponto ' no inteio ess cicunfeênci com ' = 2c < 2, elipse e focos e ' e excenticie e=c/<1 é o lug geomético os centos s cicunfeêncis tngentes γ que pssm po ', ou, equivlentemente, os pontos tis que +' = 2. γ ' γ ' =2 > '=2c +'=2 4

5 onstução e elipse, ponto ponto, com égu e compsso c ponto γ, tçmos os segmentos e ' e meitiz e ' que encont num ponto elipse. Ve figu cim. Execício 3 : Ns notções nteioes, consiee e γ fixos. ) Tomno ' mis póximo e como fic o tço elipse? ) que contece com elipse quno '? E com excenticie? c) E se ' tene p cicunfeênci γ? Quem sei elipse, se c=? Mecnismo e fio estico p tç elipses segun ccteizção e elipse, lev o seu tço contínuo os istânci 2c ente os focos e excenticie e<1. mecnismo consiste e um plc, com ois pontos e fixos tis que =2c, e um fio flexível e compimento 2, =c/e, com s extemies pess em e '. Um lápis, mnteno o fio estico, esenh os pontos elipse e focos e ' e excenticie e pois + ' = 2. lápis ' +'=2 Use esse pto, com os focos fixos, p ve como vim s elipses fzeno o compimento o fio ument ou iminui. etemine s excenticies. Equção euzi elipse onsieno um sistem e cooens em que =(-c,0) e '=(c,0), se um ponto =(x,y) petence à elipse po +'=2 tem-se: (x c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2 (x c) 2 + y 2 = 2 (x + c) 2 + y 2 x 2 + y c =1 2 x 2 + y 2 2 =1 com = 2 2 c 2. (*) (-,0) =(-c,0) 0 '=(c,0) =(x,y) (,0) - -c c = 2 -c 2 Veifique que, ecipocmente, too ponto (x,y) que oeece (*), petence à elipse. 5

6 ssim, temos out ccteizção elipse: elipse e focos =(-c,0) e =(c,0) e excenticie 0<e<1 é o conjunto os pontos (x,y) o plno ctesino tis que x 2 + y 2 2 =1, com = c /e, = 1 2 e2. que seá us p justific o mecnismo pesento ixo. Execício 4 : ) Sej elipse e equção x2 + y2 = 1. seus focos, su excenticie e seu 2 2 esoço, confome > ou <. E se =? ) Um segmento é limite e lgum fmíli e elipses? E um et? E um semiet? Mecnismo ticulo e 5 vets p tç elipses No mecnismo, figu ixo, ticulo em,, E, e, o ponto está fixo num plc, =, ==c, E é um losngo e lo, e s extemies e movimentm-se num et fix n plc e que está um istânci e, com +<c. À mei que pecoe cicunfeênci e cento, o vétice o losngo E pecoe um elipse. y E c =(0,) θ α G E =(x,y) c θ= G α= α x e fto, n figu cim à ieit, =(x,y) é o po x = cosθ y = + senθ omo = 2senα e senα = + senθ, c então, s cooens e são s po 6

7 x = cosθ y = (1 2. )( + senθ) c Você poe veific ietmente que, p c/2, o ponto =(x,y), pecoe elipse e equção quno θ vi em [0,2"]. Loclize seus focos! x 2 c 2 (y 2 (c 2)) + c = (c 2) 2 Execício 5: ) Estue vição s elipses confome o lo o losngo mue e <c/2 p >c/2. Quem é elipse se =c/2? ) os os focos e excenticie, como just s meis s s o pto p que ele esenhe elipse coesponente? Elipse etemin po 2 cicunfeêncis Vejmos out ccteizção e elipse po meio e us cicunfeêncis concêntics γ e γ, e cento e ios e, com >. c ponto (x,y') e γ consiee os pontos (x',y) γ, no segmento que une (x,y') o cento, e =(x,y). lug geomético os pontos ssim otios, quno (x,y') pecoe γ, é elipse po x2 2 + y2 2 = 1. γ γ' (x',y) (x,y') =(x,y) e fto, po semelhnç e tiângulos, tem-se que x x' = y' y = e, potnto, x 2 + (y') 2 = 2 x y 2 = 2 x y 2 2 =1. 2 Recipocmente, se um ponto (x,y) oeece ess equção, tem-se x, y e pontos (x,y) γ e (x,y ) γ com xx 0 e yy 0 que eteminm (x,y). 7

8 Mecnismo e 1 vet p tç elipses Ess últim ccteizção poe se us p justific o uso e um com tês pontos, pevimente mcos,, e p esenh elipse. eslizno no eixo x, mnteno sempe no eixo y, pont o gfite em vi esenhno os pontos e um elipse. x 2 tç elipse + y2 = 1, consiemos 3 pontos, e n tis que: 2 2 1º cso: ente e, =- e =. 2º cso: ente e, = e =. - =(x,y) =gui Justifictivs: 1º cso: ente e Q y Tce Q// com Q=, R//ox e RS//oy. T R S - x R=, pois R é um plelogmo. onclu que é ponto elipse etemin pels cicunfeêncis e cento e ios e, isto é, elipse x2 2 + y2 2 =1. 2º cso: ente e 8

9 y Q Sej QR// como n figu. R x Use que é intesecção s ets Q//oy e R//ox p conclui que está n elipse etemin pels cicunfeêncis e cento e ios e. Execício 6: )Quem são os focos elipse esenh pelo pto? E excenticie? ) Mue posição e no pto e veifique como mu excenticie. ' ' ' ' ' ' Simulmos ixo o mesmo pto com os eixos inclinos. cuv esenh pelo ponto, em c um os csos, é um elipse? 9

10 hipociclóie como envolvente. Nos ois csos o mecnismo nteio e 1 vet p esenh elipse, quno os eixos cooenos são pepenicules, s ivess posições égu efinem um fmíli e segmentos cuj envolvente é um hipocicóie. e fto: Quno está ente e, fmíli e segmentos coesponentes às ivess posições o segmento é po.y = (x ), isto é, po y cosθ senθ(x cosθ) = 0, θ [0,2π]. y (x,y) Y(α) θ Y θ R α (α) (0) R/4 x otnto, envolvente ess fmíli e segmentos é escit po ou sej, f (x,y,θ) = y cosθ xsenθ + senθ cosθ = 0 f θ (x, y,θ) = ysenθ x cosθ sen2 θ + cos 2 θ = 0 x = cos 3 θ θ [0,2π]. y = sen 3 θ Logo, os pontos ess envolvente oeecem x 2 / 3 + y 2 / 3 = 2 / 3. 10

11 o outo lo, hipociclóie, oti pelo olmento e um cicunfeênci e io =R/4, n pte inten cicunfeênci e io R e cento n oigem, é po (α) = 3R 4 (cosα,senα) + R 4 (cos3α, sen3α), i.e, omo tem-se x(α) = R (3cosα + cos3α) : 4 y(α) = R (3senα sen3α) 4 x(α) = Rcos 3 α y(α) = Rsen 3 α x 2 / 3 + y 2 / 3 = R 2 / 3.. Que tl fze o cso em que está ente e? Execício 7 : No cso em que os eixos cooenos são inclinos, envolvente os segmentos poe se vist n figu o lo. Qul seá equção ess cuv? Hipéole os um cicunfeênci γ e cento e io 2>0 e um ponto ' no seu exteio com '=2c, c>, hipéole e focos e ' e excenticie e=c/>1 é o L.G. os centos s cicunfeêncis tngentes γ, que pssm po, ou, sej, os pontos tis que -' =2. 11

12 ' '=2c =2 -' =2 onstução e hipéole, ponto ponto, com égu e compsso efinição e hipéole lev à su constução, ponto ponto, com égu e compsso. o γ, tçmos o segmento ' e su meitiz encontno et no ponto. conjunto os pontos que poem se ssim otios quno vi em γ é hipéole. Nos ois pontos γ p os quis é tngente à cicunfeênci, meitiz e é plel à et e, potnto, não fic etemino ponto hipéole. Esss us meitizes são chms e ssíntots. ssíntot γ ' γ ' ssíntot Mque n cicunfeênci γ os conjuntos os pontos que escevem c um os mos hipéole. Execício 8: Ns notções nteioes, ) ixe e ' e esenhe hipéoles vino γ, ou sej, vino excenticie. 12

13 ) ixno um os focos e cicunfeênci γ, estue vição s hipéoles com ' fstno-se ou poximno-se e γ. c) onsiee um sistem ctesino e cooens em que os focos são os po =(-c,0) e '=(c,0). Moste que equção hipéole coesponente ` cicunfeênci γ e cento e io 2>0 é po x 2 y 2 2 c 2 =1. 2 ) Moste que, em c), s ssíntots têm equções y = ± c 2 2 e) onfime sus suposições e ). x Mecnismo e fio estico p tç hipéole segun ccteizção cim justific o uso o pto figu ixo p esenh hipéole. Ele é composto e um plc one estão fixos os focos e, um égu com extemie fix (ms poeno gi) em e e um fio e compimento l tl que - < l <, peso em ' e em. Mnteno o lápis n fen égu, com o fio sempe estico, su pont esenhá um hipéole e equção -' =-l. seve, n figu, que -l =-. lápis = ' Mue o compimento l o fio e oseve como mum s hipéoles! cteizção s cônics pels ietizes e focos o mesmo moo como páol, elipse e hipéole poem se efinis em temos e um ponto, chmo foco, e um et chm ietiz e e um númeo e>0. 13

14 Um elipse (hipéole) é o L.G. os pontos cuj zão ente s sus istâncis o foco e à ietiz é um constnte e<1 (e>1 ). um elipse x2 + y2 2 = 1 com excenticie e=c/, isto é, com 2 2 = 2 -c 2 = 2 (1-e 2 ) p o foco '=(-c,0) pocumos um et x= tl que ou, equivlentemente tl que e x = (x + c) 2 + y 2, (x,y) / x y 2 2 =1, (1 e 2 )x 2 + 2x(c + e 2 ) + y 2 = e 2 2 c 2, (x, y) / (1 e 2 )x 2 + y 2 = 2 c 2. omo temos que te 2x(c + e 2 ) = e 2 2 2, st escolhe = c e, potnto, et 2 e ietiz é po x = c. o mesmo moo, p o foco =(c,0) otemos ietiz 2 e po x = c e 2. (- c c,0) ( e 2 e,0) (-,0) (,0) 2 =(-c,0) '=(c,0) Recipocmente, os um ponto =(c,0), um et x= e um númeo 0<e<1, você poe veific que os pontos =(x,y) tis que e x = (x c) 2 + y 2, estão num elipse. isso st elev ess equção o quo e epois complet quos. onsiee, go, um hipéole po x2 y2 = 1 com excenticie e=c/, isto é, 2 2 com 2 = c 2-2 = 2 (e 2-1). o foco =(-c,0), pocumos um et x= tl que oteno e x = (x + c) 2 + y 2, (x,y) / x = = c. o foco =(c,0), otém-se et 2 e x 2 2 y 2 c 2 2 =1, x = c e 2. 14

15 omo no cso nteio, vle ecípoc. -c/e2 -c 0 c c/e2 Execício 9: Quem é cuv limite e um fmíli e elipses, com vétices fixos, quno e 1? E e um fmíli e hipéoles? Mecnismo e Stong p esenh cônics Ess ccteizção e cônic: o conjunto os pontos cuj zão ente s istâncis um et e um ponto fixo é constnte, justific o pto, esenvolvio po Stong, composto po us s e com um losngo coplo em, p esenh cônics em gel. R Q S No mecnismo, =, é um ponto fixo n, com =, que é oigo pemnece n igonl QR o losngo QR e e movem-se livemente n et. Mnteno fixo num plc, esceveá um cônic, e foco e ietiz. e fto: estno n igonl o losngo, = e, então, /S=/S. o semelhnç e tiângulos tem-se (/2):S=:. Logo /S=/S =2/= constnte=e. cônic escit po seá elipse, páol ou hipéole, confome >2, =2 ou <2, ou sej, confome se tenh >(2/3), =(2/3) ou <(2/3). omo /2=(-)/2 e poe ssumi qulque vlo ente e 0, então, /S poe se qulque númeo positivo e o mecnismo poe se justo p esenh qulque cônic. 15

16 16 Not: s simulções o mecnismo e Stong no Sketchp, fom feits pelo pofesso.e.hle o IME-US. s 6 figus seguintes fom toms esss simulções. >2 Q R =2 Q R <2 Q R

17 Execício 10: No pto cim, e Stong: ) Moste que, o ponto esenh um cônic o mesmo tipo esenh po levno em cont que mos têm mesm sciss e ivie s oens s ivess posições e sempe n mesm popoção. ) ch equção o lug geomético os pontos, num sistem e cooens em que et é o eixo x e =(0,f). c) Iem os pontos. ) Iem s ivess posições o cento o losngo, veificno que é um cônic o mesmo tipo s e ) e c), que pss po. Q >2 R Q =2 R 17

18 R Q issóie e iocles Sej um cicunfeênci γ, com iâmeto =2, e su et tngente no ponto. c ponto, consiee o ponto no segmento tl que = em que é intesecção o segmento com γ. lug geomético os pontos, ssim otios, quno pecoe, é cissóie e iocles etemin pel cicunfeênci γ e pel tngente. ' ' ' = '='' γ 18

19 Régu ou esquo e Newton Newton mostou que cissóie poe se tç pelo escoegmento e um égu E em L: ângulo eto em E, lo meno E=2 e o outo lo e compimento suficientemente gne. ' γ s cissóie E zeno extemie pecoe et s plel, que pss pelo cento e γ, enqunto o lo mio pss sempe em com =3, o gfite em, ponto méio e E, esceveá cissóie. Justifictiv: N figu ixo G e E são tngentes à cicunfeênci e cento e io 2. Mostemos que o ponto méio e E está n cissóie etemin po γ e po. Tem-se // pois é isósceles e G E. Sej Y o ponto e enconto et com et. omo Y é um plelogmo, Y== e, potnto, Y=. Logo, = pois. G =Y γ s E ' 19

20 Ns 2 figus ixo vemos outs cuvs esenhs pel égu ou esquo e Newton quno pecoe s. quel escit pelo vétice E, é conheci po estofóie. 2 E=lápis ' γ ESTRÓIE 2 ' γ E Execício 10: ) Moste que, no sistem e cooens figu ixo, equção ctesin cissóie é x(x 2 +y 2 )=2y 2 (um cúic). Qul su equção pol? ) ocue um escição e um equção p estofóie. c) E p s outs cuvs que poem se esenhs com égu e Newton muno posição o lápis n E? y θ =(x,y) x =(2,0) 20

21 onchóie e Nicomees onsiee fixos um ponto, um et cuj istânci é =>0 e >0. c ponto, consiee os pontos e otios pel intesecção et com cicunfeênci e cento e io. conchóie, é o lug geomético os pontos e ssim otios quno pecoe et. ' ' ' > = < ='= = ompsso e Nicomees omo esquemtizo n figu ixo, o pto é composto e um plc com um cnlet em e um pino em e um égu com um pino fixo num ponto, que eve coe n cnlet. égu tem etus em pontos e, p o lápis, e moo que = =, e um etu longituinl one eve pemnece o pino plc quno pecoe. =lápis '=lápis fixo ='= = cnlet 21

22 Execício 11 : Moste que conchóie, num sistem e cooens equo, é pel equção 2 x 2 =(x 2 +y 2 )(-x) 2 (um quátic) e compe com cissóie no ponto singul. y y ' '=(x,y) x =2 x '== x 2 +y 2, = x, po semelhnç e tiângulos. -x Equção ctesin e ' : (-x) x 2 +y 2 =x Equção pol e ': =secθ- ' ponto conchóie po =2 e =2. ponto cissóie pel cicunfeênci e cento (,0) e io e pel. ofessos esponsáveis pelo mini-cuso ministo n 3º ienl e Mtemátic n UG: Soni Regin Leite Gci éo Rphel Elvi Mue Sllum Refeêncis iliogáfics: 1. STRNG, W. M. n linkges fo tcing conic sections, The nnls of Mthemtics, vol.8, nº 6, pp , STILLWELL, J. Numes n Geomety, ustli: Spinge, RRIE, H. 100 Get olems of Elementy Mthemtics: thei histoy n solutions. N. Yok: ove, SIMMNS, G.. álculo com Geometi nlític. São ulo: Mkon, LVES, S. & SLLUM, E. M. onstuções ltentivs p polems insolúveis com égu e compsso, II Enconto RM/II ienl e Mtemátic, U, Slvo, outuo e