FOLHAS DE PROBLEMAS. (2º Ano da L.E.E.C. Ano Lectivo de 2001 / 2002) Maria Inês Barbosa de Carvalho

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1 FOLHS DE POBLEMS Disciplin de ELECTOMGNETSMO (º no d L.E.E.C. no Lectivo de / ) Mi nês Bos de Cvlho Deptmento de Engenhi Electotécnic e de Comptdoes (D.E.E.C.) Fcldde de Engenhi d Univesidde do Poto (F.E.U.P.)

2 NÁLSE VECTOL POBLEMS ESOLVDOS. Considee o cmpo vectoil epesso em coodends cilíndics po ) Clcle divegênci do cmpo. ) Clcle o flo do cmpo qe tvess spefície ltel cilíndic de io e lt L, com o eio coincidente com o eio dos, tl como most fig. c) epit líne nteio tilindo o teoem d divegênci (teoem de Geen-Ostogdsk). L esolção: ) Em coodends cilíndics (,, ) divegênci de m cmpo vectoil é dd pel epessão Neste cso tem-se e, então, div ( ) ( ) ( ) ( ) 3 cos ) O flo tvés d spefície ltel do cilindo é ddo po

3 n ds S l onde S l é spefície ltel do cilindo, de io e lt L, ds é m elemento de spefície petencente S l, e n é o veso noml ess spefície. Ns condições do polem, ds ds d d, e n, o qe signific qe L π n ds S l d d π L c) De codo com o teoem d divegênci, o flo de p fo d spefície cilíndic fechd pode se clcldo tvés do integl de volme d divegênci de, integl esse estendido o volme do cilindo: dv n ds Em coodends cilíndics, dv d d d, e então V L π n ds dv S V lém disso, é impotnte não esqece qe n ds n ds S S ( 3 cos ) d d d 3π L n ds ( ltel ) ( topo) ( se) n ds onde n ds ( topo) ( topo) n topo ds topo ( topo) ( ) ds π L d d π L pois, p spefície do topo, n ds ( se) ( se) n L. De fom semelhnte, tem-se se ds se ( se) ( ) ds π pois neste cso. Note qe p est spefície n (o veso pont p fo d spefície fechd). Utilindo estes esltdos, otém-se como sei de espe. n ds 3π L π L π ( ltel ) L. Considee o cmpo vectoil E epesso em coodends cilíndics po 3

4 E B ) Moste qe em coodends ctes o cmpo E tem como epessão E B ) Clcle ciclção do cmpo o longo do ectânglo d fig, tendendo o sentido indicdo. c) Veifiqe o teoem de Stokes p o cmpo ddo e p geometi indicd. V esolção: ) O veso do sistem de coodends cilíndics pode se escito n fom (ve pêndice) cos e, potnto, E B B ) ciclção do cmpo vectoil E o longo do ectânglo d fig é dd po E dl E dl E dl E dl E dl L ( ) ( ) ( ) ( V ) onde L é o contono do ectânglo e dl é o vecto deslocmento infinitesiml tngente em cd ponto o pecso considedo e com o sentido indicdo n fig. Como o pecso está ssente no plno, podemos esceve dl d d, o qe signific qe E dl d d Ldo 4

5 e d e, então, ( ) E dl d E dl d ( ) Ldo e d e, então, ( ) E dl d E dl d ( ) tenção o sentido de integção, indicdo neste cso pelos limites de integção. É impotnte efei qe o sentido d ciclção pode se indicdo de ds foms difeentes: o tvés dos limites de integção, o tvés do sentido tiído o vecto dl. É edo indic o sentido simltnemente dests ds foms. qi foi escolhido indic o sentido tvés dos limites de integção, logo, o vecto d l pens indic m diecção (e não o sentido d ciclção). Ldo d e d e, então, E dl d ( ) E dl d Ldo V d e d e, então, E dl d ( V ) E dl d Utilindo estes esltdos pode finlmente clcl-se E dl L ( ) 5

6 c) O teoem de Stokes fim qe o flo do otcionl de m cmpo vectoil tvés de m dd spefície et é igl à ciclção desse cmpo vectoil o longo d linh qe limit spefície. Então, devemos te ( E) n ds E dl S onde S é m spefície limitd pelo ectânglo. Ovimente deveá escolhe-se spefície ectngl ssente no plno, e então temos de n L ds d d e n (sentido está elciondo com o sentido d ciclção pel eg d mão-dieit). Po oto ldo, o otcionl deste cmpo vectoil é ddo po E B B B e, então, tendo em tenção o esltdo d líne nteio, most-se qe efectivmente E n ds E dl ( ) S L POBLEMS POPOSTOS. Considee o io vecto de posição de m ponto genéico. Clcle nos segintes sistems de coodends: ) ctes; ) cilíndics; c) esféics.. Considee o cmpo vectoil v sen. ) Clcle v. 6

7 ) Detemine o flo de v tvés de m spefície esféic de io centd n oigem. c) Utilindo o esltdo d líne nteio, demonste vlidde do teoem d divegênci. 3. Considee o seginte cmpo vectoil epesso em coodends ctes: V i j ( ) k ) Clcle V em coodends ctes. ) Moste qe o esltdo otido n líne nteio, epesso ns viáveis do sistem de coodends cilíndics (,, ), tom fom: cos 3 c) Detemine o flo de V tvés d spefície do cilindo de io nitáio, centdo no eio dos, qe tem s ss ses ssentes nos plnos e. 4. Considee eistênci de m cmpo potencil eléctico V ddo po V. ) Moste qe o cmpo eléctico E coespondente o efeido cmpo potencil ( E V ) tem seginte epessão: E ) Clcle ciclção do cmpo eléctico E do ponto P (,,) o ponto P (,,) pelo segmento de ect qe os ne. c) Detemine o flo de E tvés d spefície ltel do cilindo de io, centdo no eio dos, qe tem s ss ses ssentes nos plnos e h. 5. Considee o cmpo vectoil F i j. ) Detemine F. ) Ddo o pecso tingl epesentdo n fig, demonste vlidde do teoem de Stokes. (,) (, ) 6. Demonste s segintes iglddes: ( U ) 7

8 ( V ) ( ) ( ) SOLUÇÕES. 3. ) 4 sen cotg ; ) 4π 4 3. ) ( ) 3 ; c) 3π 8 4. ) ; c) π h 5. ) k 8

9 LE DE COULOMB E PNCÍPO D SOBEPOSÇÃO POBLEM ESOLVDO. Considee m fio finito de compimento, centdo n oigem ds coodends e com densidde line de cg λ. ) Moste qe no ponto P de coodends (,) o cmpo eléctico é P (,) ddo po λ E πε λ λ ) Detemine o cmpo eléctico no cento do qddo de ldo mostdo n λ λ fig. -λ esolção: ) De codo com lei de Colom, o cmpo eléctico cido po m linh com m densidde line de cg λ é ddo po λ dl E 3 4πε L onde é o vecto qe pont do elemento dl (petencente à linh) p o ponto onde se está clcl o cmpo. Considendo o elemento epesentdo n fig seginte, temos 9

10 dl d 3 ( ) 3 λ P (,) dl Sstitindo estes vloes n epessão d lei de Colom, vem E 4πε λ d λ 4πε λ πε ( ) 3 ( ) d ( ) 3 ( ) d 3 ) O pincípio d soeposição fim qe E E E E3 E4, onde E, E, E 3, e E 4 são os cmpos cidos po cd m dos ldos do qddo. lém disso, neste cso veific-se qe o ponto considedo está à mesm distânci dos qto ldos, sendo. tendendo à cg qe eiste em cd ldo do qddo, podemos então esceve λ E 4πε λ 4πε ( ) ( λ) 4πε λ 4πε λ 4πε POBLEMS POPOSTOS. Clcle o cmpo eléctico cido po m nel de io, com densidde line de cg λ nifome, nm ponto do se eio m distânci do cento.

11 . Utilindo o esltdo do polem nteio e o pincípio d soeposição, clcle o cmpo eléctico nm ponto do eio de m disco de io, com densidde speficil de cg nifome σ, m distânci do se cento. 3. Utilindo novmente o pincípio d soeposição, clcle o cmpo eléctico nm ponto m distânci do cento de m esfe com densidde volmétic de cg nifome V e io. 4. Ds cgs pontis Q e Q estão colocds simeticmente no eio dos, m distânci d d oigem. ) Detemine os cmpos V e E p qlqe ponto no eio dos. ) Sendo qe Q Q, detemine mss m qe m ptícl de cg q, (sjeit à cção do cmpo gvítico) deve te p qe poss est em eqilíio soe o eio dos, m distânci h d oigem. 5. Um fio com cg line nifome λ fom m co cicl de io qe está centdo no eio dos eléctico cido pelo fio n oigem é, tl como most fig. Moste qe o módlo do cmpo E ( λsen ) ( 4πε ), onde é o ânglo medido pti do eio dos té cd m ds etemiddes do fio. λ 6. Ds cgs pontis, Q e Q, estão loclids em (,, ) e (,, ), espectivmente. Qe elção deve eisti ente Q e Q p qe foç totl soe m cg de teste qe se encont em (-,, ) não tenh ) componente segndo o eio dos ; ) componente segndo o eio dos.

12 7. Um tiânglo eqiláteo é constitído po tês linhs de compimento L. densidde line de cg ns tês linhs é nifome, tendo os vloes λ, λ e λ 3. dmitindo qe λ λ λ 3, detemine intensidde do cmpo eléctico no cento do tiânglo. 8. Ds ptícls de mss m e cg q estão sspenss do mesmo ponto po dois fios de compimento l. Moste qe, em eqilíio, os fios fem m ânglo em elção à veticl ddo po 6πε mgl sen 3 q cos. SOLUÇÕES [ ] 3. ( λ ε ) ( ) σ ε. ( )( ) 3. inteio: ( V 3ε ) 3 ; eteio: ( V 3ε ) [ j] ( d ) 4. ) d( Q Q ) i ( Q Q ) 4 [ ] 3 E πε V ( Q Q ) ( 4 d ) πε qqh ) m 8 πε g d h ( ) 3 6. ) Q Q 3 8 ; ) Q Q 4 7. λ ( 4 L) j 3 πε

13 LE DE GUSS POBLEM ESOLVDO. ) Moste qe o cmpo eléctico cido po m fio infinito com densidde line de cg λ nm ponto P m distânci do fio é ddo po onde é o veso noml o fio. E λ πε ) Sponh m clh infinit de io com secção semicicl. clh está cegd com m densidde de cg speficil nifome σ. Utilie o esltdo d líne nteio e o pincípio d soeposição p clcl o cmpo eléctico nm ponto do eio d clh. esolção: ) Qndo m polem tem simeti pln, cilíndic o esféic, mnei mis simples de clcl o cmpo eléctico é sndo lei de Gss. pes de est lei se sempe válid, só deve se sd qndo m ddo polem eie m dos tipos de simeti efeidos. lei de Gss no vio fim qe o flo do vecto cmpo eléctico p fo de m dd spefície fechd é igl à cg totl no inteio dess spefície dividi pel pemitividde do vio: Q E n ds ε S int 3

14 spefície fechd S (tmém chmd spefície gs) e o sistem de coodends se tilido devem se escolhidos de modo poveit simeti eiid pelo polem. Neste cso, o polem eie simeti cilíndic, e conseqentemente deve se tilido o sistem de coodends cilíndics (,, ), com o eio dos oientdo segndo o fio infinito. Como cg se distii o longo de m fio ectilíneo infinito, espe-se qe o módlo do cmpo eléctico não depend de nem de, ms pens de. lém disso, tendendo qe o vecto cmpo eléctico é sempe pependicl à spefície de m condto em eqilíio, podemos fim qe o cmpo eléctico cido po est distiição de cg oedece E E, isto é, o se módlo depende pens d ( ) distânci o fio e s diecção é pependicl o fio. Escolhendo p spefície gs m spefície cilíndic (fechd) de io e compimento l, com o eio coincidente com o eio dos, temos S E n ds E n ldsl E n tdst E n ds Sl St S Q ε int onde n, l n t n, ds l ds d d e dst ds ds d d. lém disso, Q int λl, o qe lev S l Eds l l π dst ds S t S λ l E d d π l E ε É impotnte efei qe no integl dplo cim, E e são ttdos como constntes (poqe s viáveis de integção são e ), podendo pss p fo do l de integção. D eqção nteio pode fcilmente concli-se qe E E λ πε ) Com o ojectivo de estd o cmpo eléctico cido pel clh, pode conside-se qe est é constitíd po m conjnto infinito de fios infinitos, colocdos plelmente ns os otos e à mesm distânci de m detemindo eio. Sendo o cmpo cido po m desses fios, pode fcilmente clcl-se o cmpo cido pel clh tilindo o pincipio d soeposição: o cmpo totl é igl à som vectoil dos cmpos cidos pelos difeentes fios. 4

15 cg eistente nm compimento l de cd m desses fios é λ l. Po oto ldo, se dmitimos qe cd fio tem m lg d, cg eistente nm compimento l sei dd po σ d l. Como s cgs devem te o mesmo vlo independentemente de considemos lg do fio o não, podemos imeditmente concli qe λ σ d. Este esltdo pemite-nos poveit epessão otid n líne nteio p clcl o cmpo cido po m dos fios qe constiti clh: σ d de σ d πε πε (tenção o l negtivo!). Como est epessão é válid p qlqe fio petencente à clh, o cmpo cido pel clh é π π π v σd σ σ E de cos d d πε πε πε onde se teve em tenção qe integção. cos vi com viável de POBLEMS POPOSTOS. Um coo esféic limitd po ds spefícies de ios e 3 está cegd com m densidde volmétic de cg nifome e tem pemitividde ε, tl como most fig. Dento dest coo eiste m spefície esféic concêntic de io e densidde speficil de cg σ. O sistem encont-se nm meio de pemitividde ε. ) Sendo qe o cmpo eléctico no eteio do sistem (on 4) é nlo, detemine elção ente e σ. ) Detemine E ns estntes egiões. c) dmitindo qe o potencil eléctico V é nlo n 3 σ spefície de io, esoce o gáfico de vição de V 3 4 p s ons e. 5

16 . Um mteil dieléctico com fom de m esfe de io, tem pemitividde ε() k, onde k é m constnte e é distânci o cento d esfe, e está odedo po m csc esféic condto (de pemitividde ε ) com io inteio e io eteio. Sendo qe no meio dieléctico é emeid m cg (live) de vlo totl Q, ql se distii nifomemente pelo volme do dieléctico, detemine ) os cmpos elécticos E e D em todo o espço; ) distiição de cg n csc condto; c) o potencil eléctico V em todo o espço, dmitindo qe o se vlo no infinito é nlo. ε ε 3. N egião, há m distiição esféic de cg de densidde [ ( ) ]. Est distiição de cg está oded po m csc esféic condto, concêntic, de io inteio ( < ) e io eteio c. Detemine E em todo o espço. 4. s densiddes speficiis de cg em ds spefícies cilíndics coiis de compimento infinito e ios e ( > ) ) são nifomes e têm os vloes σ e σ, espectivmente. ) Detemine E em todo o espço. ) Qe elção deve eisti ente σ e σ p qe E em >? 5. Um esfe de io, epesentd em cote n fig, possi m cvidde tmém esféic de io c, cjo cento está m distânci d ( > d c ) do cento d esfe. dmitindo qe esfe se encont cegd com m densidde volmétic de cg, nifome, detemine ) cg totl no inteio d esfe; ) o cmpo eléctico no inteio d cvidde. d c 6

17 6. Sponh qe o vecto cmpo eléctico nm ddo ponto é ddo po E k 3, onde k é m constnte e é distânci à oigem no sistem de coodends esféics. Detemine ) densidde de cg, ; ) cg totl contid nm esfe de io centd n oigem. SOLUÇÕES 3 3. ) ( ) ( ) E σ ; ) ( ) ( 3 ) 3 3 ε E σ ε E ( ). < < < > Q E 3 4πk E D E D / ε Q σ Q 4π 3 3. : [ 3 ( 5 )] ε 3 < < e > : ( 5ε ) ( 4πε ) ( 4πε ) V Q ( 4πε ) Q D 4π 3 Q V 3 4π ε k V Q σ Q 4π < ; < < c : ; 4. ) < : ; < < σ ( ε ) ; ( σ σ ) ( ε ) ) σ σ π c : 4 ; ) ( ) ) ( ) 3 6. ) 5k ε ; ) 4πk 5 ε d ε 3 > ; : 7

18 CPCDDE POBLEM ESOLVDO. Um condensdo esféico é constitído po m esfe condto de io e m coo esféic condto de ios inteio e eteio e c, espectivmente. O espço ente os dois condtoes está vio. Sendo qe n esfe e n coo são depositds cgs de vlo totl Q e Q, espectivmente, detemine ) o cmpo eléctico E e o potencil V em todo o espço, ( ) dmitindo qe V ; -Q Q ) cpcidde deste condensdo. c esolção: ) Este polem tem simeti esféic, devendo po isso tili-se lei de Gss p se detemin o cmpo eléctico E cido pel cgs eistentes n esfe e n coo. Qndo E fo conhecido, pode clcl-se fcilmente o potencil V: onde ( P) e V ( ) V P ( P) V ( ) E dl V são o potencil nm ponto P e o potencil no infinito, espectivmente. Como neste cso se dmite qe V ( ), tem-se simplesmente V ( P) P E dl. Ovimente, o sistem de coodends s é o esféico (,, ) cento do condensdo. lei de Gss fim qe Q E n ds ε S int, com oigem no 8

19 onde spefície gs S deve poveit simeti do polem: S deveá se m spefície esféic de io centd n oigem do sistem de coodends. Nesse cso, n e ds ds d d. Po cs d simeti do polem, podemos tmém concli qe o módlo do cmpo eléctico não depende de e, ms pens de, e qe s diecção é diecção dil (o cmpo eléctico é pependicl à spefície de m condto em eposo electostático), isto é, E E( ). Sstitindo n epessão d lei de Gss, otémse E S ππ π π n ds E d d E d d 4π Q E ε int o sej, E Q 4πε int É impotnte efei qe este esltdo ind não está completo, pois o vlo de Q ind não foi detemindo. Ovimente o se vlo vi depende do io d spefície gs. int egião : > c cg qe se encont no inteio de m spefície gs com m io ( ) int Q Q > c seá tod cg mend no condensdo, o sej, Q, o qe pemite imeditmente concli qe nest egião E. Po s ve, este esltdo lev tmém à conclsão qe qi V. egião : c > O cmpo eléctico no inteio de m condto em eqilíio electostático é sempe igl eo!. Po ess ão, podemos concli qe qndo considemos m spefície gs com o io considedo, o vlo d cg totl qe se encont no se inteio tem qe se tmém igl eo. Como n esfe está depositd m cg de vlo Q, isto pemite-nos concli qe cg depositd n coo se encont mend n s spefície inteio. tendendo os esltdos otidos n egião nteio e qe o cmpo eléctico é nlo qi, podemos fim qe o potencil tmém seá igl eo. 9

20 egião 3: > Neste cso, cg no inteio d spefície gs é pens cg qe está depositd n esfe, de vlo Q. sso lev qe o cmpo eléctico nest egião sej igl E 4πε Q O potencil pode se go otido tilindo epessão V P ( P) E dl. Neste cso, dl é o vecto deslocmento infinitesiml escito no sistem de coodends esféics dl d d d, o qe signific qe E dl E d. tendendo os esltdos otidos p o cmpo eléctico ns difeentes egiões, pode fim-se qe o potencil nest egião é ddo po NOT: ( ) V. V Q d Q E d πε 4πε 4 egião 4: > Est egião, tl como egião, coesponde o inteio de m condto em eqilíio electostático. Po ess ão pode imeditmente fim-se qe o cmpo eléctico nest egião é igl eo! Po s ve, isto pemite-nos concli qe cg Q depositd nest esfe se encont loclid n s spefície. O potencil seá ddo po Q V E d d 4πε NOT: O potencil é constnte n esfe, como sei de espe. ) Po definição, cpcidde de m condensdo é dd po C Q V onde Q é o vlo solto d cg depositd nm ds mds do condensdo, e V é difeenç de potencil ente md onde está depositd cg positiv e

21 md onde está depositd cg negtiv. Neste cso, cg positiv está depositd n spefície d esfe e negtiv n coo, logo donde se concli qe V Q Q πε 4πε 4 C Q V 4πε POBLEMS POPOSTOS. Sponh m condensdo cilíndico em qe s spefícies condtos têm ios e ( < ), e compimento L (L>>, ). O espço ente s spefícies condtos está peenchido po dois dielécticos, tendo spefície de sepção ente eles io ( < < ). O dieléctico mis póimo d plc inteio tem pemitividde ε e dmite m cmpo máimo E M, e o oto, espectivmente, ε e E M. ) Detemine cpcidde do condensdo ssim fomdo. ) Ql difeenç de potencil máim qe se pode plic às spefícies condtos? Ql dos dois dielécticos limit ess difeenç de potencil? ε ε L. Um condensdo de plcs plels é constitído po ds spefícies condtos plns, plels, de dimensões ( ), sepds po m distânci d (d<<,, ). O espço ente s plcs está peenchido po dois meios dielécticos difeentes, de pemitividdes ε e ε, sendo spefície de sepção ente eles pependicl às plcs condtos. Detemine cpcidde deste condensdo.

22 d ε ε SOLUÇÕES. ) πl ln [ ( ) ε ln( ) ε ]; ) min[ ( EM πε L C),( EM πε L C) ]. C ε d ε d C C (plelo de dois condensdoes)

23 LE DE OHM E ESSTÊNC POBLEM ESOLVDO. O espço ente ds spefícies esféics concêntics condtos de ios e c, espectivmente, está peenchido po dois mteiis difeentes, de condtividdes σ e σ, tendo spefície de sepção ente eles io. Sendo qe m coente ent no dispositivo pel spefície condto inteio e si pel eteio, detemine ) densidde de coente ente s ds spefícies condtos; ) esistênci ente os dois condtoes do dispositivo. c σ σ esolção: ) densidde de coente J está elciond com coente qe pss tvés de m dd spefície S po J n ds S onde o veso n é pependicl à spefície S. Nomlmente plic-se est epessão spefícies pependicles à diecção do flo de coente. Neste cso coente tem diecção dil, e potnto deveemos escolhe m spefície esféic de io centd no cento do dispositivo. lém disso, po cs d simeti do polem, não se espe qe o módlo d densidde de coente depend de e de. sso signific J J. Como p m spefície esféic n e qe ( ) ds ds d d, temos e, então, ππ J d d J d d 4π J J 4π π π 3

24 ) Po definição, esistênci de m ddo dispositivo é dd po V onde é difeenç de potencil ente o teminl do dispositivo po onde coente eléctic ent e o teminl po onde est si. P se clcl est difeenç de potencil, é necessáio detemin-se pimeio o cmpo eléctico V E. Este é otido diectmente d lei de Ohm: E J σ onde σ é condtividde do meio. Utilindo o esltdo d líne nteio, tem-se c E < < < <, 4, 4 πσ πσ de onde se pode fcilmente ote difeenç de potencil petendid ( ) ( ) c d d E dl c V V V c c 4 4. σ σ π σ σ π esistênci seá então dd pel epessão c 4 σ σ π o qe coesponde à som de ds esistêncis (séie de ds esistêncis)! N epessão cim é o vecto deslocmento infinitesiml escito no sistem de coodends esféics (ve pêndice). l d POBLEMS POPOSTOS. Um co coil é constitído po ds spefícies cilíndics condtos de ios e ( < ) e compimento L (L>>, ). O espço ente s spefícies condtos está peenchido po dois meios condtoes difeentes de condtividdes σ e σ. Detemine esistênci ente s ds spefícies. 4

25 σ σ c L. ) Detemine esistênci ente ds spefícies esféics concêntics condtos de ios e, sendo qe o espço ente els está peenchido po m meio condto de condtiilidde γ. ) Um esfe condto pefeit de io está meglhd nm γ meio condto de condtiilidde γ. Ess sitção é de m ligção à te de m cicito. Clcle esistênci ente esfe e o infinito. 3. Um mteil homogéneo de condtividde nifome σ tem fom de m cone tncdo, ocpndo egião definid em coodends esféics po e. Detemine esistênci ente s spefícies e. 4. epit o polem nteio, dmitindo go qe o mteil efeido não é homogéneo, tendo m condtividde não nifome qe vi de codo com epessão σ() σ. SOLUÇÕES [ ( ) σ ln( c) σ ]( πl). ln c. ) ( )( 4πγ ); ) ( 4πγ ) ( ) πσ ( cos ) ln [ ] [ ( )] ( ) πσ cos 5

26 LE DE BOT-SVT POBLEM ESOLVDO. Considee m semi-nel cicl de io qe tnspot m coente estcionái de intensidde. dmitindo qe o semi-nel está no plno, e qe o se eio coincide com o eio dos, detemine o cmpo de indção mgnétic no ponto P (,, h) P h esolção: Qndo se petende detemin o cmpo de indção mgnétic cido po m dd distiição de coente nm polem qe não tem simeti, é necessáio ecoe à lei de Biot-Svt. Est tem n mgnetostátic m ppel semelhnte o d lei de Colom n electostátic. De codo com lei de Biot-Svt, o cmpo de indção mgnétic cido po m distiição line de coente (os enncidos dest lei p distiições speficiis e volmétics de coente são nálogos) é ddo po µ dl B 3 4π onde L é o contono do cicito pecoido pel coente, dl é m vecto element tngente esse contono em cd ponto e é o vecto qe pont desse elemento d l p o ponto onde se qe clcl o cmpo de indção mgnétic. pes de n fig do polem estem epesentdos os eios coodendos cteos, deve tili-se no cálclo de B o sistem de coodends cilíndics (,, ) L, o ql se 6

27 dpt pefeitmente à geometi do polem. O eio dos é o qe pece epesentdo n fig. N fig estão tmém epesentdos o elemento dl e o vecto. dl P h D osevção dest fig fcilmente se concli qe 3 qe, potnto, ( ) 3 h e dl d e h e dl d h h d d Sstitindo n epessão d lei de Biot-Svt, temos π µ B h 3 4π ( h ) π µ 3 4π ( h ) d ( h π ) π π d N epessão cim, o veso não psso p fo do l de integção poqe vi com viável de integção (ve pêndice e polem esolvido soe lei de Gss). POBLEMS POPOSTOS. Um fio condto de compimento L é pecoido po m coente estcionái de intensidde. Detemine o cmpo de indção mgnétic nm ponto P sitdo no plno issecto do fio, m distânci deste. 7

28 . Moste qe o cmpo de indção mgnétic no cento de m polígono egl de N ldos, cicnscito po m cicnfeênci de io e pecoido po m coente eléctic estcionái de intensidde no sentido nti-hoáio, é ddo po B µ N π tg π N n onde n é o veso noml o plno do polígono. 3. Um folh condto mito fin tem fom de m clh de io, compimento infinito e et ngl de π dinos. N clh cicl m coente estcionái de intensidde no sentido do eio dos. Sendo qe coente se distii nifomemente po tod clh, detemine B nm ponto do eio d clh. 4. Um coente estcionái de intensidde pecoe m fin folh condto de lg w e compimento infinito. folh condto est colocd no plno, com oigem no se cento. dmitindo qe coente tem o sentido do eio dos, detemine B no ponto de coodends (,, ). 5. Detemine B nm ponto do eio de m nel cicl de io qe tnspot m coente estcionái de intensidde. 8

29 6. Utilindo o esltdo do polem nteio, detemine B no eio de m solenóide fomdo po m enolmento de N espis po nidde de compimento em tono m to cilíndico de io, pecoido po m coente estcionái de intensidde. Ql o vlo de B no eio de m solenóide infinito? P SOLUÇÕES. ( µ L) ( 4π L 4) µ π 3. ( ) i 4. µ ctg ( w ) ( πw) j 5. µ ( ) [ ] 3 k 6. N( cos ) k µ cos ; solenóide infinito: µ N k 9

30 LE DE MPEE POBLEM ESOLVDO. N volts de m fio condto pecoido po m coente estcionái de intensidde estão enolds de fom compct em tono de m núcleo cilíndico de io e compimento l (mito longo). Sendo qe o núcleo é feito de m mteil não mgnético, detemine o cmpo de indção mgnétic em todo o espço. esolção: N esolção deste polem é conveniente tili-se o sistem de coodends cilíndics (,, ). simeti pesente neste polem pemite plic lei de mpèe n deteminção do cmpo de indção mgnétic. No vio (o p m mteil não mgnético), est lei fim qe ciclção do cmpo de indção mgnétic o longo de m ddo pecso fechdo é igl à coente qe tvess spefície limitd po esse pecso mltiplic pel pemeilidde mgnétic do vio: B dl µ Γ É impotnte efei qe pes de lei de mpèe se sempe válid, deve se tilid pens qndo o polem tem simeti (pln, solenoidl, tooidl o cilíndic). N epessão nteio, Γ é o pecso fechdo, dl é m elemento desse pecso e int é coente qe tvess spefície limitd pelo pecso. No cálclo d ciclção de B o longo do efeido pecso, o sentido é mito impotnte. Como eg gel, o sentido int 3

31 de integção está elciondo com o sentido considedo positivo p coente eléctic pel eg d mão-dieit. Este sentido de integção pode se indicdo mtemticmente de ds foms difeentes: o tvés do sentido escolhido p o vecto dl o tvés dos limites de integção. No entnto, simltnemente destes dois modos. não se deve indic o sentido de integção Po cs d simeti deste polem, espe-se qe o módlo do cmpo de indção mgnétic não depend de (poqe se dmite qe o solenóide é pticmente infinito) e de, ms pens d distânci o fio condto, ql depende de, isto é, ( ) B B. Po oto ldo, simeti e eg d mão-dieit pemitem-nos fim qe B tem diecção e o sentido do veso. ssim, po simples inspecção do polem se-se qe B B. Est infomção vi condicion escolh do pecso fechdo tili n ( ) lei de mpèe. Ovimente, deve escolhe-se o pecso qe tone mis simples o cálclo d ciclção de B. Neste cso, esse pecso seá m pecso ectngl, ssente nm plno coespondente m vlo de constnte, e com dois ldos plelos o eio dos. N fig seginte, qe epesent m secção tnsvesl do solenóide, estão desenhdos tcejdo tês pecsos possíveis. 3 pecso pecso 3 w pecso Nest fig está indicdo po sets o sentido de ciclção qe coesponde considese como positiv coente qe pont p nós. Cd pecso tem m lg w, m 3

32 lt, e está m distânci mínim i do eio dos. Consideemos os tês pecsos sepdmente. Pecso tendendo qe B B( ), pode fcilmente most-se qe B dl B( )d e qe B dl [ B( ) B ( ) ] w. Po oto ldo, osevndo fig concli-se qe pecso nenhm coente tvess spefície limitd po este pecso. sso signific qe int é igl eo. Como w, devemos te B( ) B ( ), o sej, o cmpo de indção mgnétic é constnte no eteio do solenóide. lém disso, é de espe qe m distânci infinit do solenóide não eist cmpo de indção mgnétic ( ( ) sto lev-nos concli qe B no eteio do solenóide. B ). Pecso Neste cso veific-se qe B dl [B( ) B( )] w B( )w pecso (note qe B no eteio do solenóide). lém disso, coente qe tvess spefície limitd po este pecso é igl vees o númeo de vees qe o fio condto tvess spefície. Como N volts de fio estão enolds o longo de m compimento l do solenóide, o númeo de volts po nidde de compimento é igl N/l e, potnto, p este pecso, B µ, onde int(n/l )w. Sstitindo n epessão d lei de mpèe, otém-se ( ) n nn/l é o númeo de volts do fio po nidde de compimento. É inteessnte veific qe o esltdo otido não depende do vlo de, o qe lev pens qe B teá o mesmo vlo em qlqe ponto do inteio do solenóide. Ess hipótese é fcilmente veificável considendo plicção d lei de mpèe o pecso 3. Pecso 3 À semelhnç do qe conteci com o pecso, tmém qi se veific qe int. Como neste cso ciclção de B é dd pel epessão B dl [ B( 3 ) B( 3 ) ] w, podemos concli qe B ( 3 ) B( 3 ), o sej, o pecso3 cmpo de indção mgnétic é constnte no inteio do solenóide. 3

33 Tem-se então B B inteio eteio µ n POBLEMS POPOSTOS. Um condto cilíndico de io e compimento infinito tnspot m coente estcionái de intensidde. ) Moste qe o módlo do vecto de indção mgnétic p todo o espço é ddo po B µ ( π ), p < <, e B µ ( π ), p >. ) Do condto efeido é emovido m cilindo de diâmeto / e compimento infinito. O eio deste vio é plelo o eio do condto (eio dos ), e intesect o plno no ponto (, /4). Detemine B nm ponto qlqe d cvidde. NOT: Use o pincípio d soeposição. /. Um spefície pln infinit condto ssente no plno é pecoid po m coente eléctic estcionái de densidde speficil nifome de vlo K segndo diecção do eio dos. Detemine o cmpo de indção mgnétic em qlqe ponto do espço. SOLUÇÕES. ) µ ( 5π) î 33

34 . >: B µ K <: B µ K 34

35 FOÇ MGNÉTC POBLEM ESOLVDO. Um espi ectngl de ldos e, colocd no plno, é pecoid po m coente constnte de intensidde e, com o sentido indicdo n fig. Um fio infinito, loclido no plno e plelo o eio dos é tmém pecoido po m coente constnte de intensidde f. Sendo qe distânci ente o fio e espi é, detemine foç mgnétic qe é eecid soe cd ldo d espi. e V f esolção: Um condto pecoido po m coente eléctic qe estej colocdo nm egião do espço onde eist m cmpo de indção mgnétic B sofe cção de m foç mgnétic dd po F mg dl B onde C é o contono do cicito e dl é m vecto tngente em cd ponto esse contono. Deve se efeido qe o sentido de integção é mito impotnte no cálclo cim. Esse sentido de integção, qe coesponde o sentido d coente no cicito, pode se indicdo mtemticmente de ds foms difeentes: o ssocindo o vecto dl o sentido d coente, o tvés dos limites de integção. É, no entnto, necessáio te ciddo com este psso, m ve qe estes dois pocessos não podem se tilidos C 35

36 simltnemente. NOT: Nest esolção, o sentido de integção seá indicdo pelos limites de integção. Neste polem petende-se clcl foç mgnétic qe é eecid soe cd ldo d espi. espi sofe cção de m foç mgnétic poqe está colocd nm egião onde eiste m cmpo de indção mgnétic. Esse cmpo é o cido pel coente qe tvess o fio infinito. plicndo lei de mpèe, pode fcilmente veific-se qe o cmpo de indção mgnétic cido pelo fio infinito nm ponto m distânci do fio tem módlo B µ f π e diecção e sentido ddos pel eg d mão-dieit: B B f B B Como qeemos clcl foç mgnétic qe se eece soe espi, e est está colocd no plno, temos qe detemin epessão de B p m ponto qlqe do plno. lém disso, po cs d geometi deste polem, distânci de m qlqe ponto P(,,), petencente o plno, o fio infinito não depende de, ms pens de, sendo dd po : f B No ponto considedo, o cmpo de indção mgnétic cido pel coente f tom fom B B cos µ π cos, onde ( ) ( )( ) cos e. 36

37 Tendo em tenção qe espi se locli no plno, podemos esceve p qlqe ldo d espi d d l d e ( ) d B d B B B d d B l d cos cos Clclemos go foç qe ct em cd ldo d espi. Ldo P este ldo constnte, o qe signific qe d. Então, d B B l d e temos f e e d d B F π µ Ldo Neste cso /, o qe signific qe d. Então, ( ) ( )( ) f d B B l d 4 cos π µ e temos f e f e d F 4 4 π µ π µ onde epesent lt do ldo d espi mis póimo d oigem. Ldo Tl como conteci com o ldo, tmém neste cso d B B l d e f e e d d B F π µ Ldo V Neste cso -/, o qe signific qe d. Então, ( ) ( )( ) f d B B l d 4 cos π µ e temos f e f e V d F 4 4 π µ π µ 37

38 NOT: Compe os limites de integção p os difeentes ldos. POBLEMS POPOSTOS. Um fio infinito e m espi qdd estão no mesmo plno. O fio é pecoido po m coente e espi po m coente com os sentidos mostdos n fig. Detemine s foçs eecids soe os ldos d espi, indicndo s ss diecções e sentidos. 3 4 c. Um espi tingl, com s dimensões indicds n fig, está colocd m distânci intensidde. Detemine de m fio infinito pecoido po m coente eléctic estcionái de ) o cmpo de indção mgnétic cido pelo fio infinito, B ; ) foç esltnte qe ct soe espi, qndo est é pecoid pel coente estcionái de intensidde no sentido hoáio. SOLUÇÕES. F µ ln( c) ( π ) k F3 ; F [ ( c ) ] µ π j F4 µ π ( c) j ; 38

39 . ) µ ( π) ; ) µ [ ln( ) ] ( )i π 39

40 CCUTOS MGNÉTCOS. Um cicito mgnético é constitído po m núcleo em fom de nel, com m io médio de 3 cm e secção ect qdd de cm de ldo, e po m entefeo de de mm. O enolmento nifome em tono do nel tem espis. Spondo qe secção ect do entefeo é % speio à secção ect do mteil feomgnético ns poimiddes, detemine ) coente eléctic necessái p ote no entefeo m indção mgnétic de.8 T, qndo o núcleo é fomdo po m lig de feo-níqel; ) o vlo d indção mgnétic no entefeo qndo coente é de.7 e o núcleo é constitído po ço-silício.. Considee o cicito mgnético epesentdo n fig seginte. Um coente eléctic estcionái de 3 pecoe s volts de fio enoldo em tono do ço centl. dmitindo qe o núcleo tem m secção tnsvesl constnte de áe 3 m e m pemitividde eltiv de 5, detemine ) o flo mgnético em cd ço; ) intensidde do cmpo mgnético em cd ço e no entefeo. mm.4m.m.m SOLUÇÕES. ).33 ; ).364 T. ) Φ lt Φ cent W; ) H ent 4 H lt 5H cent.84 5 m 4

41 C D D B C B B (T) Feo fndido B ço fndido C ço-silício D Lig Feo-Níqel H (/m) D C B (T) B 4

42 COEFCENTE DE UTO-NDUÇÃO POBLEM ESOLVDO. Detemine o coeficiente de to-indção de m solenóide de io, compimento l, mito longo, constitído po N volts de m fio condto, pecoido po m coente, enoldo de fom compct em tono de m núcleo não mgnético. esolção: Método O coeficiente de to-indção L é ddo po L Λ, onde Λ N Φ é o flo de ligção, N é o númeo de espis do cicito e Φ é o flo mgnético qe tvess m espi. P se pode clcl o coeficiente de to-indção pti d epessão cim, é necessáio clcl o flo mgnético qe tvess m espi. Po definição, o flo mgnético qe tvess m espi é ddo po Φ B n ds S onde B é o cmpo de indção mgnétic cido pel coente qe tvess o cicito e S é spefície limitd pel espi. Neste cso, o cmpo de indção mgnétic no inteio do solenóide é B ( µ N l) (ve polem esolvido soe lei de mpèe). lém disso, escolhendo S como spefície coespondente à secção tnsvesl do solenóide ( S π ), vem n û, o qe signific qe B n µ N l e Φ πµ N l. pti deste esltdo fcilmente se otém L πµ N l. 4

43 Método P mteiis não mgnéticos, enegi mgnétic é dd po W m µ B todo espço o Neste cso, como o cmpo de indção mgnétic tom vloes não nlos pens no inteio do solenóide, pode esceve-se qe enegi mgnétic mend é dv W m µ B solenóide dv Utilindo os esltdos otidos p B e o sistem de coodends cilíndics, temos W m µ l π ( µ N l) πµ N d d d l Po oto ldo, enegi mgnétic mend nm sistem com m coeficiente de to- indção L é dd po W L, o qe signific qe m L W m πµ N l POBLEMS POPOSTOS. Um cicito mgnético é fomdo po ds metdes de m tooide de io médio, áe de secção tnsvesl S e po dois entefeos de de compimento. O mteil mgnético qe constiti s ds metdes do tooide tem pemeilidde µ. Em tono deste cicito mgnético enolm-se de fom compct N volts de m fio condto pecoido po m coente eléctic estcionái de intensidde. Detemine ) o flo mgnético, Φ, qe tvess este cicito; ) o coeficiente de to-indção, L, deste cicito; c) enegi mgnétic, W, mend neste cicito. m µ 43

44 . Um co coil de compimento l é constitído po ds spefícies cilíndics condtos coiis de ios e ( >, l >>, ). Os cilindos estão ctocicitdos nm etemidde e o espço ente eles está peenchido po mteil mgnético de pemeilidde µ. Sendo qe o co coil tnspot m coente eléctic estcionái de intensidde, detemine o se coeficiente de to-indção ) sndo o método dos flos de ligção; ) sndo enegi mgnétic. µ l 3. Um co coil de compimento l, mito longo, é constitído po m condto inteio sólido de io ( e pemeilidde µ ) e m spefície condto eteio de io ( > e l >>, ). O espço ente os dois condtoes está peenchido po mteil mgnético de pemeilidde µ. distiição de coente no condto inteio não é nifome e densidde de coente pode se poimd po J k, onde k é m constnte e é distânci o eio do co. coente eléctic totl, de intensidde, eton tvés do condto eteio. ) Detemine k em fnção de e. ) Detemine B em todo o espço. c) Detemine enegi mgnétic mend neste sistem. d) Utilindo o esltdo d líne nteio, otenh m epessão p o coeficiente de to-indção do co coil. µ 44

45 SOLUÇÕES. ) NS [ ( π µ )] ; ) S [ ( π µ µ )] µ c) N S [ 4 ( π µ µ )]. µ l ln( ) ( π ) N ; ) k ( π ) ; ) : µ ( π ) < ; ( ) < < : µ π > : ; c) l [ µ 8 µ ln( ) ] ( 4π ); d) l [ µ 8 µ ln( )] ( π ) 45

46 LE DE NDUÇÃO DE FDY POBLEM ESOLVDO. Um espi condto cicl de io está ssente no plno, nm egião do espço onde eiste m cmpo de indção mgnétic B viável no tempo e no espço, B B t, onde B e ω são ( ) ( ) ω constntes. Detemine B ) o flo mgnético Φ qe tvess espi; ) foç electomoti ε indid n espi; c) o sentido de ciclção d coente indid no instnte t π ( 4ω ). esolção: ) Po definição, o flo mgnético qe tvess m spefície S é ddo po Φ B n ds S onde o veso n é pependicl à spefície consided e tem o sentido qe pont segndo o cmpo de indção mgnétic. Neste cso, spefície S é spefície pln limitd pel espi, n e û ds ds d d (o sistem de coodends cilíndics deve se escolhido po se dpt pefeitmente à geometi do polem). Sstitindo ests epessões n definição cim, temos π 4 3 π B Φ B ( ω t) d d ( ω t) N otenção deste esltdo, so-se (ve pêndice). 46

47 ) De codo com lei de indção de Fd, sempe qe o flo mgnético qe tvess m ddo cicito é não estcionáio, sge nesse cicito m foç electomoti ε indid ql é dd po dφ ε dt Utilindo o esltdo otido n líne nteio, cheg-se ε 4 π B ω cos ( ω t) c) lei de Len fim qe coente ssocid com foç electomoti indid (coente indid) tende opo-se à vição de flo qe lhe de oigem. ssim, se o flo estive ment, coente indid oiginá m cmpo de indção mgnétic indido com o sentido contáio o qe lhe de oigem. Se, pelo contáio, o flo mgnético estive dimini, coente indid iá oigin m cmpo de indção mgnétic com o mesmo sentido do qe lhe de oigem. Osevndo epessão do flo mgnético qe tvess espi, veific-se qe ele vi soidlmente, o qe signific qe dnte cetos intevlos de tempo o flo ment, enqnto qe p otos intevlos dimini. ssim, o sentido d coente indid não seá constnte, vindo tmém soidlmente à medid qe o tempo pss. N vedde, se epesent esistênci d espi, podemos fim qe 4 intensidde d coente indid é π B ω cos( ω t)( ) ind ε. 4 4 No instnte considedo, d Φ dt π B ω ( π 4) π B ω 4 > cos, o qe signific qe o flo está ment. Po ess ão, o flo indido (cido pel coente indid) deveá pont no sentido contáio o de B, o sej, deveá pont segndo û mgnético tem o sentido de û :. Pel eg d mão-dieit, coente qe dá oigem esse flo û ind 47

48 NOT: O sentido d coente indid pode se detemindo tilindo seginte eg pátic: dφ dt n ind ind - ind ind POBLEMS POPOSTOS. Um espi qdd de ldo está colocd no mesmo plno de m fio condto infinito qe é pecoido po m coente eléctic estcionái de intensidde. Sendo qe espi, inicilmente m distânci do fio infinito, se fst deste com m velocidde v, detemine ) o flo mgnético qe tvess espi (nm instnte de tempo t ); X ( t ) ) foç electomoti indid n espi; c) o sentido de ciclção d coente indid n v espi. X. Um espi qdd de ldo e esistênci od em tono do eio dos (qe está no mesmo plno d espi e pss pelo se cento) com m velocidde ngl 48

49 constnte ω no sentido indicdo n fig. espi está colocd nm egião onde o cmpo de indção mgnétic é ddo po B B, onde B é m constnte. Sendo qe no instnte inicil espi se encont no plno ( ), detemine ) o flo mgnético Φ qe tvess espi em fnção de ; ) epessão d coente qe tvess espi. ω 3. Um espi qdd de ldo L desloc-se velocidde constnte v mesmo em fente de m oine de secção qdd de ldo L pecoid po m coente eléctic estcionái. O cmpo mgnético cido pel oine pode se considedo nifome, com vlo solto B e sentido e diecção indicdos n fig, em todos os pontos à síd d oine e nlo em qlqe oto ponto. fig seginte most títlo de eemplo lgms posições d espi no se movimento. ) Detemine epessão d foç electomoti indid n espi e esoce m gáfico d vição dess foç electomoti com o tempo. ) Moste qe lei de Len é tmém qi válid, isto é qe foç electomoti indid tende ci m coente qe intect com o cmpo mgnético de fom conti o movimento d espi. 49

50 4. Um condto desli sem tito soe dois soe o cicito epesentdo n fig. Sendo qe o cmpo de indção mgnétic n egião vi de codo com B 5cos( ωt) (mt) e qe posição d é dd po.35[ cos( ωt) ] (m), detemine coente i qe tvess o cicito. i. m B. Ω O.7m SOLUÇÕES. ) µ ln[ ( )] ( π ); ) µ v [ π ( vt)( vt) ] vt c) sentido hoáio. ) B sen ; ) B ω cos ; 3. ) fem BLv t t BLv 4..75ω sen ω t ( cosω t) ( m) Lv Lv 5

51 PÊNDCE SSTEMS DE COODENDS Coodends ctes (,, ) û û û P (,, ) dl d d d ds dd - elemento de spefície pependicl ds dd ds dd dv ddd gd V V V V V div 5

52 ot Coodends cilíndics (,, ) P (,, ) û û û cos cos cos d d d l d d d ds d d ds 5

53 d d ds d d d dv V V V V V gd ( ) div ( ) ot NOT: π Coodends esféics (,, ) û û û P (,, ) 53

54 cos cos cos cos cos cos cos cos d d d l d d d ds d d ds d d ds d d d dv V V V V V gd ( ) ( ) div ( ) ( ) ( ) ot NOT: π 54

55 π TEOEMS MPOTNTES Teoem d divegênci O integl de volme d divegênci de m cmpo vectoil estendido m ddo volme é igl o flo do cmpo vectoil p fo d spefície qe limit esse volme. dv n ds V S onde - cmpo vectoil V - volme em cs dv - elemento de volme S - spefície (fechd) qe limit o volme V ds - elemento de spefície petencente S n - veso noml S, qe pont p fo de V (noml eteio) Teoem de Stokes O flo do otcionl de m cmpo vectoil tvés de m dd spefície et é igl à ciclção desse cmpo vectoil o longo d linh qe limit spefície. ( ) n ds dl S C onde - cmpo vectoil S - spefície et consided ds - elemento de spefície petencente n - veso noml S S 55

56 C dl - linh qe limit spefície et S - vecto infinitesiml tngente em cd ponto S mpotnte: - sentido de n e sentido de ciclção (o sej, sentido de eg d mão-dieit: dl n dl ) elciondos pel dl n 56