3. 3. VIBRAÇÕES LIVRES DE DE SISTEMAS COM

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1 3. 3. VIBRAÇÕES LIVRES DE DE SISTEMAS OM OM M M GRA GRA DE DE LIBERDADE onfome já esentdo, eqção fndmentl é: m &&+ c& + f (t) em qe m, c, e f(t) odem se qntiddes genelizds. Tt-se dm eqção difeencil line de ª odem, de coeficientes conntes ( conntes de integção). OBJETIVO: lcl ( t) conhecendo f ( t), ( ) e & ( ). A eso totl é som de ds cels: (t) - movimento foçdo elciondo diectmente com cg f(t) (t) c - movimento ntl elciondo ens com s ccteíics do siem Em temos mtemáticos: Solção GERAL Solção Pticl (t) + Solção omlement c (t) FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde

2 3. VIBRAÇÕES LIVRES SEM AMORTEIMENTO m & + Exiem ocedimentos geis solção dee tio de eqções. Poém, nee cso simles odemos esolvê-l diectmente. m solção do tio Acos t o B sen t isfz eqção difeencil. A e B são conntes qe deendem do início do movimento e é m ccteíic físic d et Sbitindo n eqção difeencil e tendendo qe && Acos t A ( m + )cos t omo eqção deve se isfeit qlqe innte t, obtém-se m m Feqênci Ntl (cicl o ngl) do Siem (d/s) A eqção B sen t tmbém isfz eqção difeencil. A solção gel vem então Acos t + B sen t FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 3

3 Deteminção ds conntes iniciis: Se qndo t () & & ; () A Acos + B sen e sendo & Asen t + Bcos t eslt & & Asen + Bcos B A solção gel vem então ( t ) cos & t + sen t (Eq. 3.) Note-se qe e fnção é PERIÓDIA! ( t) ( t + T ) ( t + T ) t π T π Peíodo d fnção (segndos) f T π Feqênci Ntl em iclos / Segndo o Hetz (Hz) FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 4

4 Exemlo: Sej o seginte ótico com m vig de igidez infinit. Petende-se clcl, f e T. N/m 4. EI L 3 EI L 3 Resolção: Ddos: 5. A.3.3 m E GP m EI 3 l g f 3.63 Hz d / s 6.6 N / m T.76 s Se no innte t mm e & ( t).cos. 8t (mm) t(seg).76s FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 5

5 A eqção (3.) ode se tnsfomd de modo conveniente. Definindo & + Obsevndo fig vem t & ( ) cos t + sen t ode-se esceve o Amlitde ( & ) + α & ( cosα cos t + sen sen t) ( t) α ( t) cos t ( α) Tπ/ω com cosα & sen α & tg α Ânglo de FASE t Tπ/ω Reesentção Vectoil o em Digm de Agnd I & ( t) cos t + sen t α t / R Pojecção no eixo R dos vectoes e & o ( t) cos t ( α) / sen t cos t cos (t-α) Pojecção no eixo R do vecto, qe ti com tso de fse de α FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 6

6 3. VIBRAÇÕES LIVRES OM AMORTEIMENTO m && + c& + A fnção e isfz eqção difeencil. Sbitindo m s e + c s e + e m s + c s + s s c m ± c m m A solção viá e + e esentndo difeentes foms confome s ízes s e s. 3.. Siem iticmente Amotecido so em qe o dicndo é nlo c c m m cc m motecimento cítico o, tendendo qe m c c m e então s s cc m FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 7

7 omo s solções são igis, solção gel do tio e fonece só m connte, e otnto só m solção indeendente. e ( m)t c c Ot solção indeendente ode se ocd com o seginte secto t e ( m)t c c Designndo c c m s & e + && tse se + se + ts e e sbitindo m s e + mt s e + ce + ctse + te ( m s + c) e + ( m s + c s + ) t e obtém-se m exessão veddei qe confim vlidde de segnd solção indeendente. Assim, solção gel seá: ( + t) e ( c c / m) t (t) Não ent em movimento osciltóio!! t FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 8

8 3.. Siem com Amotecimento Seio o ítico c > c c As ds solções s e s são eis e solção gel é e + e O gáfico é idêntico o do cso citicmente motecido só qe tende zeo menos idmente Siem com Amotecimento Infeio o ítico c c oeficiente de motecimento: ξ c m c Foi vio qe s s c m ± c m m e então s ξ ± s ξ ξ ± ξ sendo s ξ < ξ ± i ξ s 443 A solção gel é então ξt+ it e + e ξt i t FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 9

9 Fzendo intevi s eqções de Ele e ix e ix cos x + i sen x cos x i sen x ode-se tnsfom exessão nteio obte ( t) e e e ξt ξt ξt it it ( e + e ) ( ( cos t + i sen t) + ( cos t i sen t) ) 443 A sen t 443 B ( + ) cos t + ( i i) ( Acos t B sen t) t ( t) e ξ + Intodzindo s condições iniciis, tem-se A ξt ( Acos t + Bsen t) + e ( Asen t B cos t) ξt & ( t) ξ e + & e finlmente B ξ + B & + ξ & + t ( t) e cos t + ξ sen t onde é feqênci ngl do movimento com motecimento. FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde

10 Tl como o cso sem motecimento, ode-se defini α tl qe α & + ξ e obte ( t) e ξ t cos ( t α) com & + ξ + tg α & + ξ Qe gficmente dqie o secto (t) e ξt Movimento osciltóio não eiódico t T T π Nos csos coentes o motecimento vi ente % e %. Se ξ.: ξ. 98 O digm de Agnd é idêntico o esentdo os siems com motecimento. Nee cso gndez do vecto vi diminindo com o temo. ( e ξt ) FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde

11 3.3 DETERMINAÇÃO DO OEFIIENTE DE AMORTEIMENTO Exeimentlmente odemos detemin o coeficiente de motecimento indzindo m vibção no siem e egindo diminição d s mlitde com o temo. onsideem-se dois icos scessivos ξt e cos ( α) t é tl qe t π α t α + π t t ξt e cos ( α) t e π ξ Tomndo o logitmo ntl obtém-se δ ln πξ πξ ξ P eqenos motecimentos vem δ ln πξ o qe emite detemin o coeficiente de motecimento conhecidos e fdos de T. P ment ecisão n s deteminção odemos s n eíodos, obtendo-se δ ln nπξ Oto ocesso consie em obsev o númeo de ciclos qe são necessáios edzi 5% mlitde do movimento é conslt seginte elção gáfic 6 nº de ciclos edzi mlitde de 5% ln nπξ ξ, coef. de motec. FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde

12 4. 4. RESPOSTA DE DE M M SISTEMA OM OM M M GRA GRA DE DE LIBERDADE A MA MA ARGA HARMÓNIA A solicitção (foçs o deslocmentos) odem se eesentds o seno o cosseno. 4. SISTEMA NÃO AMORTEIDO sen Sej solicitção () t t - mlitde - feqênci d solicitção A eqção de eqilíbio dinâmico é m&&+ sen t e solção comlement já se vi qe é c () t A cos t + B sen t Ddo qe no º membo só ecem deivds es, solção ticl odeá se do tio () t sen t sendo & () t cos t && () t sen t Sbitindo vem m sen t + sen t sen t donde m FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 3

13 Designndo o e zão de feqêncis vem o deslocmento eático A solção gel é então cos () t A t + Bsen t + sen t Admitindo qe t ( ) e ( ) & obtém-se & A () t Asen t + B cos t + B + B cos t donde () t ( sen t sen t) Tt-se d sobeosição de ds fnções hmónics com feqêncis difeentes, elo qe o movimento esltnte NÃO É HARMÓNIO!! Temos ssim sen t sen t Fcto de AMPLIFIAÇÃO DINÂMIA (ecionáio) Reso em edo ESTAIONÁRIO Reso TRANSITÓRIA FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 4

14 Exemlo: onsidee-se o mesmo ótico já eddo, sjeito go m foç hmónic hoizontl. Petende-se clcl eso dinâmic. m g/m Ddos e esltdos nteioes: 4..3x.3 5. (t) E GP.8 d/s 6.6 N/m ( t) N sen t 5 d/s &. 38m () t ( sen5t.658sen. t).658 D. 764 Acção (t) N N sen 5t t(s) (mm) sen5t 4 Reso t(s) sen.8t ecionái tnsitói eso totl FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 5

15 Fctoes de Amlificção Dinâmic D,D t 4 3 Totl, D t Ecionái, D / - d eso ecionái D mx t - d eso totl D t () Fcto de AMPLIFIAÇÃO DINÂMIA TOTAL Qndo () t Veific-se otnto qe qndo ocoe RESSONÂNIA é imossível detemin el exessão nteio. Então solção seá do tio () t t cos t com & && Sbitindo vem () t cos t t sen t () t sen t sen t t cos t m sen t mt cos t + { t cos t sen t m m donde m t cos t e nov solção totl eslt em m () t Acos t + Bsen t t cos t FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 6

16 Sendo t ( ) e ( ) & obtém-se A & () t B cos t cos t + t sen t m m B B m m donde exessão finl m () t ( t cos t + sen t) ( sen t t cos t) Obs : cj evolção no temo, tem o seginte secto (t) Amlitde cescente t 4. SISTEMA OM AMORTEIMENTO A eqção é go m&&+ c & + sen t sendo solção comlement c t () t e ξ ( Acos t + Bsen t) A solção ticl ssme fom seginte () t t cos t sen + Onde são intodzids es ds cels oqe em gel eso do siem motecido não eá em fse com cg hmónic. FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 7

17 Re-njndo eqção, vem c &&+ & + m m ξ sen t m Ms como & () t t sen t cos && () t sen t cos t obtém-se, ós sbitição e seção dos múltilos de sen e cos ( ( ξ) + ) sen t sen t ( + ( ξ) + ) cos t Dividindo o eslt ξ + ( ) + ξ m donde ( ) + ( ξ ) ξ ( ) + ( ξ ) A solção gel vem então Pcel Tnsitói t () t e ξ ( Acos t + B sen t) [( ) sen t cos t] + ( ) + ( ξ) ξ Pcel Ecionái FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 8

18 Tl como nteiomente, ode-se defini α tl qe α ξ com ξ tg α cos α ξ sen α e ( ) + ( ξ ) onsidendo ens te ecionái, viá sen t α () t ( cosα sen t sen α cos t) donde ( t) sen t ( α) em qe I R R t α R ( ) R R ξ A zão o o ( ) + ( ξ ) D eesent o OEFIIENTE DE AMPLIFIAÇÃO DINÂMIA d cel ecionái. FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 9

19 Eqilíbio de foçs d eso em REGIME ESTAIONÁRIO I F e D D F e Velocidde R F c t α P c F c c& c D D D m ξ F i F i m& m D D Ee siem de foçs eá em eqilíbio em REGIME ESTAIONÁRIO. A dedção d eqção do movimento odi então se feit, tmbém, ti de consideção de eqilíbio. O motecimento intodz m tso n eso ecionái, tdzido elo ânglo de fse α: ( t) sen t ( α) c I ( α) & ( t) cos t m ( α) && ( t) sen t -P R α P Pelo eqilíbio de foçs ode-se então detemin fse α e mlitde. FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 3

20 Do tiânglo ectânglo d fig obtém-se c tg α m c m ξ ( K m ) + ( c ) ( m ) + ( c ) c + m { ( ) + ( ξ ) D Relção ente o FATOR de AMPLIFIAÇÃO DINÂMIA e RAZÃO de FREQÊNIAS: 4 3 D ξ ξ. ξ.5 ξ.7 ξ. 3 FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 3

21 onclsões mis imotntes ( eso ecionái): ) O movimento é HARMÓNIO e têm mesm feqênci d excitção b) A mlitde é fnção de: mlitde e feqênci d excitção; feqênci e motecimento do siem; O coeficiente de mlificção dinâmic tnto ode se considevelmente seio à nidde como infeio. c) A RESPOSTA e EXITAÇÃO NÃO ESTÃO EM FASE, o sej não tingem os vloes máximos simltnemente. A eso tinge o máximo α segndos deois de excitção o te tingido. d) Em essonânci ( ), mlitde é limitd els foçs de motecimento sendo D ξ Em RESSONÂNIA eso eá tsd de 9º. tg α + α π ( ; ) ( ;ξ) 4.3 RESPOSTA EM RESSONÂNIA O ico d eso em egime ecionáio ocoe vloes de óximos d nidde, sendo qe o vlo máximo excto se obtém deivndo exessão de D em odem. No entnto, eqenos vloes de ξ, os divesos vloes de no ico d eso ticmente coincidem em tono d nidde. Assim, no cso de essonânci ( ) exessão d eso esceve-se: cos t cos ξ () ξ t t e ( A t + Bsen t) e, dmitindo qe t, ( ) e ( ) & A ξ ; B ξ obtém-se () t ξ e ξt cos t + ξ ξ sen t cos t FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 3

22 Nos csos coentes e ξsen t contibi oco mlitde: () t ξt ( e ) cos t ξ P ξ solção é indetemind, odendo indeteminção se levntd sndo eg de l Hôitl. () t t e ξt cos t + ξ ξ sen t + ξ sen t e ξt sen t t cos t Assim, tdção gáfic d eqção do movimento em essonânci com motecimento é: /ξ / t -/ξ FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 33

23 ξt Resolvendo eqção oximd ( e ) cos t em odem t, obtém-se o númeo de ciclos necessáio qe eso motecid em essonânci tinj o se ico, tdzido elo seginte secto gáfico: / /ξ ξ. ξ. ξ.5 ξ. /4ξ nº de ciclos π 8π π 6π π 4π 8π 4.4 ÁLLO DO AMORTEIMENTO EM SISTEMAS DE G.L. i) Decéscimo d mlitde ns vibções lives ξ δn nπ ln m em qe n m+ n δ ii) Amlificção em essonânci onsidee-se et solicitd o () t sen t 3 lcl-se máxim mlitde m conjnto de feqêncis cescentes. FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 34

24 Sbe-se qe ( ) + ( ξ ) e qndo ξ ξ Inconveniente dee ocedimento: necessidde de detemin. Os elhos qe emitem lic cg dinâmic, não têm, dm modo gel, ossibilidde de lic de fom eátic. mede-se no gáfico iii) A ti ds ccteíics d cv qe elcion máxim mlitde com zão de feqêncis A difeenç ente ds feqêncis qe coesondem à mesm mlitde eá elciond com o motecimento. Sej o cso ticl em qe 3 o sej ( ) + ( ξ ) ξ donde ( ) + ( ξ ) 8ξ Fzendo R vem R ξ ± ξ + ξ ± ξ ± ξ desezável 3 sndo exnsão binomil o em séie de Mc-Lin e desezndo os temos de odem seio à imei, obtém-se então + ( ξ) ( ξ) + L + L ξ FEP - Rimndo Delgdo & António Aêde 35