Física Moderna II Aula 01

Transcrição

1 Univesidade de São Paulo Instituto de Física º Semeste de 05 Física Modena II Aula 0 Pofa. Mácia de Almeida Rizzutto Osca Sala sala 0 izzutto@if.usp.b Monito: Gabiel M. de Souza Santos Sala 309 Ala Cental Plantão de Dúvidas: Sala 0, Ala Cental Segunda-feia, 8h às 9h. gabiel.mainello.santos@usp.b

2 Hoáio a feia :00 3:00 4a feia 9:00 :00 Sala: 0 Ala Cental Pofessoa: Mácia A. Rizzutto Sala 0 Osca Sala izzutto@if.usp.b Monito: Gabiel gabiel.mainello.santos@usp.b Página do cuso: Objetivos O objetivo pioitáio da disciplina é da uma noção básica sobe os aspectos mais elevantes da física dos átomos isolados, do seu núcleo, de moléculas isoladas e das patículas elementaes. Além disto seão abodados os aspectos básicos da estatística quântica visando a compeensão de algumas popiedades específicas dos sólidos e dos núcleos e noções de cosmologia.

3 Pogama Átomo de Hidogênio (ecodação) Momentos de dipolo magnético; spin; a expeiência de Sten- Gelach Átomos multieletônicos Indistinguibilidade e o pincípio de Pauli A teoia de Hatee Estados fundamentais e a tabela peiódica Estatística quântica Indistinguibilidade e estatística quântica Funções de distibuição quânticas Exemplos: lase, gás de elétons lives Moléculas Ligações iônicas e covalentes Espectos moleculaes (otação, vibação e eletônicos) Sólidos Tipos de sólidos Popiedades eléticas Condutoes, Isolantes, Semicondutoes; a junção p-n O núcleo atômico Caacteísticas e popiedades geais Foças ente nucleons Radioatividade, Fissão, Fusão Reações nucleaes Aceleadoes Patículas Elementaes Noções de Cosmologia P P P3 P4 3

4 Livos Textos - Física Quântica, R. Eisbeg e R. Resnick, 4a edição, Ed. Campus Ltda., RJ, Basil, Física Modena, oigens clássicas e fundamentos quânticos, F. Causo e V. Ogui, Ed. Campus, RJ, Física Modena, P. A. Tiple e R. A. Llewellyn, 3a edição, LTC editoa, RJ, Basil, 00. -Moden Physics Seway, Moses and Moye -Moden Physics S.T. Thonton e A. Rex, Thomson Books/Cole, USA, Thid Edition. 4

5 Textos adicionais: - The pictue book of quantum mechanics, S. Bandt and H.D. Dahmen, Wiley, New Yok, USA, 985. Podem também se consultados, como leitua pelimina, os capítulos sobe física modena de váios textos de física básica (po exemplo, Física, de P. A. Tiple (3 a edição) ou Física, D. Halliday, R. Resnick e K. S. Kane (4 a edição). Tenha em mente que a apesentação dos tópicos de física modena nesses textos é feita em nível bastante intodutóio. Leituas ecomendadas: - A matéia, uma aventua do espíito, Luís Calos de Menezes, Editoa Livaia da Física, SP, Basil, 005; - A pate e o todo, W. Heisenbeg, Contaponto Editoa Ltda, RJ, Basil, 996; - Física Modena, paa iniciados, inteessados e aficionados, Vol., Ivan S. Oliveia, Editoa Livaia da Física, 005; - Thity yeas that shook physics, G. Gamow, Dove Publications, NY, USA, 985; - Geat expeiments in physics: fisthand accounts fom Galileo to Einstein, M.H. Shamos, Dove Publ., NY, USA, 987; - The Geat Design: Paticles, fields and ceation, R. K. Adai, Oxfod Univesity Pess, NY, USA, 987; - The foce of symmety, Vincent Icke, Cambidge Univesity Pess, Cambidge, UK,

6 Atividades Aulas expositivas Listas de execícios e discussões em sala de aula e na platafoma Moodle: Execícios em sala de aula - classe (EC) M = Média simples das notas das quato povas > 5,0 apovado Avaliação EC = Média simples das sete maioes notas dos oito execícios ealizados em classe. MF = média final da pimeia avaliação é calculada como a média pondeada ente MF= M (peso 0,8) e EC (peso 0,). Só haveá pova substitutiva paa alunos que apesentaem atestado médico!! NÃO HÁ PROVA SUBSTITUTIVA

7 Calendáio

8 Avaliação Pesença: a pesença seá monitoada nas povas e nas aulas. caso a aluno não tenha as pesenças nas listas e epovou po nota, também seá epovado po faltas. Recupeação: Só podeão faze a pova de ecupeação os alunos que tiveem pesença acima ou igual a 70%. A média da segunda avaliação seá a média pondeada ente MF (peso ) e a nota da pova de ecupeação PREC (peso ). Datas das povas e dos execícios : Execício em Classe Execício em Classe Pimeia pova Execício em Classe 3 Execício em Classe 4 Segunda pova Execício em Classe 5 Execício em Classe 6 Teceia pova Execício em Classe 7 Execício em Classe 8 Quata pova 7 de agosto 6 de agosto 3 de agosto (6 aulas) 6 de setembo 8 de setembo 5 de outubo (7 aulas) 9 de outubo 04 de novembo 6 de novembo (6 aulas) 3 de novembo 0 de dezembo 07 de dezembo (5 aulas) 8

9 Átomo de Hidogênio Po que estudá-lo? Átomo mais simples E foi objeto de muitos expeimentos e mais estudado que qualque outo Vocês se lembam? Expeimentos ealizados mostaam que atavés do especto de linha dos átomos podia-se identifica os elementos químicos e a composição dos mateiais e que cada elemento tinha seus compimentos de onda caacteísticos A fómula de Balme (885) Se ajusta bem as linhas visíveis do H A fómula de Rydbeg (888) Rydbeg =,097373x0-7 m -

10 O Modelo de Boh (93) Começa a ealiza mais expeimentos do especto de H e entende melho como as fomulas empíicas desceviam o especto Publica em atigo Os constituintes dos átomos e moléculas Postulados de Boh e- em um átomo move-se em uma óbita cicula em tono do núcleo, sob ação da foça coulombiana, de acodo com a mecânica clássica: Apenas as óbitas com momento angula fomam estados estacionáios (n inteio) Apesa de continuamente aceleado, o e- em uma dessas óbita não iadia Radiação eletomagnética é emitida quando um e- que se move em uma óbita de enegia total E faz uma tansição (descontínua) paa uma óbita de enegia E f. Nesse caso : h L n, E i E f

11 Raio de Boh, somente alguns valoes de são pemitidos Diâmeto do átomo de H = * ~0-0 m. Estados de enegia são quantizados. Paa o estado mais baixo (n=) temos E=3,6eV

12 Região do infavemelho Região do visível Região do ultavioleta

13 Sucessos e Falhas no modelo de Boh (93) Modelo de Boh foi o pimeio passo paa entende a estutua do átomo No entanto medidas mais pecisas exibiam desacodos com o esultados do Modelo de Boh Limitações Com o aumento da pecisão nos espectógafos óticos, obsevou-se que cada linha (oiginalmente descitas como simples) eam duas ou mais linhas Limitações do Modelo: Foi aplicado com sucesso em átomos de elétons simples (H, He+, Li++, etc.) Não foi suficiente paa da conta das intensidade e da estutua fina das linhas espectais Este modelo não pode explica a ligação dos átomos nas moléculas

14 Equação de Schoedinge A função de onda é uma solução da equação de Schoedinge paa um dado potencial. É uma equação difeencial, pois a solução é uma função, e de mais de uma vaiável deivadas paciais. Popiedades desejadas da equação de movimento da MQ:. Se consistente com de Boglie Einstein;. Consistente com E = p /m +V (não elativística); 3. Linea em Ψ, de tal foma que, se Ψ e Ψ são soluções Ψ = c Ψ + c Ψ também é solução (combinação linea). Daí podemos te intefeência. m ( x, t) x Notem que a função de onda da patícula V ( x, t) ( x, t) i ( x, t) t ( x, t) coskxt isenkxt live é complexa: De Boglie: associa popiedades de onda as patículas Eq. de Schoedinge dependente do tempo

15 Em muitos casos estudados, o potencial não depende explicitamente do tempo. A dependência do tempo e posição pode se sepaada Váias aplicações em váios modelos de sistemas O potencial degau II E> Vo, etc... (poço infinito, finito, baeia de potencial)

16 Equação de Schöedinge paa o átomo de H Este seá o pimeio sistema que seá necessáio a complexidade total da Equação de Schoedinge em tês dimensões. Paa uma boa apoximação paa a enegia potencial do sistema eléton-póton : é eletostática: e V 0 4 ) ( ) ( ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( V E z z y x y z y x x z y x z y x m O potencial depende somente da distância ente o póton e o eléton E V ) ( Massa eduzida

17 Foças centais Inteação Coulombiana ente um eléton e o núcleo de um átomo Átomo de hidogênio Coodenadas esféicas: (,,) e Agoa é função das coodenadas, e f sen sen sen Relações ente coodenadas esféicas (,,) e catesianas (x,y,z) (Ângulo pola) (Ângulo azimutal) 7

18 8 A eq. de Schödinge em coodenadas esféicas sen sen sen Podemos, então, esceve a eq. de Schödinge como: Lembe-se que a dependência tempoal é paametizada po um autovalo da enegia, E. E t i E V sen sen sen E V ) (

19 9 A eq. de Schödinge em coodenadas esféicas E t i E V sen sen sen Sepaação de vaiáveis: R V E d dr d d R )) ( ( ) ( f f f f ), ( ), ( ), ( Y sen Y sen sen Y Radial: Angula: ( ) E V ) ( sen sen sen Este temo só depende de,

20 Então: E aí podemos faze a segunda sepaação de vaiáveis, uma vez que o lado esquedo só opea em f e o dieito só em. Popomos então uma foma: que, substituída na eq. acima e dividida po, leva a: d df Posso esceve que: m Assim, A eq. em f é bem conhecida e tem soluções oscilatóias da foma:, com m positivo ou negativo 0

21 Pate que depende de f m 0,,,3..., com m positivo ou negativo Aí apaece uma difeença fundamental com a patícula na caixa 3D: a vaiável f é cíclica e se epete após o intevalo [0,]. As autofunções devem se unívocas. Então, paa gaanti a unicidade da função de onda, temos que impo uma condição de peiodicidade à autofunção: e (π) (0) im(π) e im0 o que implica em: cosπm isenπm Potanto os valoes de m ficam estitos, uma vez que m tem que se inteio., m só pode se inteio, positivo ou negativo Temos um novo númeo quântico m

22 Pate que depende de R d d dr( ) d ( E V ( )) R () Pate que depende de d d( ) m sen ( ) ( ) sen d d sen () Novamente a equação () depende de e a equação () depende de, logo podemos esceve uma constante de igualdade ente as duas equações como: d d sen d d dr( ) d d( ) sen d, ( E V ( )) R l( l ) R m ( ) l( l ) ( ) sen Resolvendo as equações, encontaemos que a equação () só tem soluções aceitáveis paa cetos valoes de m l. Usando esses valoes de m l na equação ( ) também só tem soluções aceitáveis paa cetos valoes de l. Com estes valoes de l na equação R() encontamos soluções aceitáveis também paa cetos valoe de enegia total E (enegia quantizada do átomo de H).

23 Pate que depende de d d sen sen m d d sen 0 x sen Soluções: Funções de Legende As soluções aceitáveis paa θ são funções de Legende vaiam com l e m m ( ) As únicas soluções finitas e unívocas de (θ) são aquelas paa as quais a constante de sepaação é tal que: 0,,,3... m,,...,,,0,,,...,, 3

24 Y f f, São chamados de hamônicos esféicos lm m São nomalizados de acodo com a elação: com 4

25 . momento angula obital, associada a R(), ( ) e ao módulo de L númeo quântico magnético, associado a componente z do momento angula osautovaloes de Isso mosta que os valoes possíveis de L e de L z são discetos (quantizados), evidenciando a quantização do momento angula e da componente z do momento angula. L L op.osautovaloes de l( l ) L z m l São chamados de hamônicos esféicos (,, f) L z L z L Y, f f são iguais a l( l ) (,, f) são iguais a m, sendo m um inteiotal que : m (,, f) m (,, f) m 0,,, 3,..., lm ( ),sendo um inteio não negativo l m 0,,,3,... ml l, l,...,0,,... l, l 5

26 Apenas uma das obseváveis L x, L y ou L z pode se deteminada com inceteza nula e a escolhida foi L z. A figua abaixo mosta os valoes do momento angula paa o caso l =. Modelo vetoial do átomo ilustando as oientações possíveis de L no espaço e os valoes possíveis de L z O veto momento angula nunca aponta no sentido do eixo z (a maio componente possível neste eixo é m, que é sempe meno que o módulo do veto). inceto Não confundi com pecessão! Isto se deve ao pincípio de indeteminação do momento angula, o que diz que é impossível detemina com pecisão absoluta duas componentes do momento angula (L x e L y ) 6

27 Quantização da enegia Até agoa só tatamos da pate angula, que dependia apenas da simetia do poblema, ou seja, do fato da foça se cental. A dinâmica depende da foma de V(), e se manifesta na solução da pate adial: R d d dr( ) d ( E V ( )), que pode se escita de foma equivalente como: que é análoga à eq. de Schödinge em D. potencial efetivo: 7

28 Potanto as soluções R() paa um potencial V eff () devem apesenta as mesmas popiedades que as (x) paa um potencial V(x). Cuidados necessáios: x vaia em [, ] em D, enquanto vaia em [0, ] em 3D. Como no caso em x, a eq. de Schödinge deve apesenta uma família de soluções apopiadas, coespondendo a um conjunto de enegias pemitidas. Uma solução com enegia E seá aceitável se houve uma função R() que seja contínua, unívoca e finita no intevalo [0, ]. A dependência explícita de V eff com l é impotante, pois mosta que a foma da eq. difeencial muda com a escolha de l. Isso mosta que cada l deve te uma seqüência de soluções paa E e R() e que elas devem depende de um pa de índices, coespondentes a dois númeos quânticos: e 8

29 Então podemos eesceve a eq. da pate adial como uma eq. de autovaloes: Assim, as soluções estacionáias devem apesenta a seguinte estutua: E podemos nota que o nosso poblema 3D eque, como espeado, o apaecimento de 3 númeos quânticos. Como vimos, l e m estão associados à pate angula da função de onda: E deve te paidade bem definida, pois deve obedece: na tansfomação R nl () funções adiais e E nl autovaloes de enegia E, finalmente: e podemos assumi que n indica os níveis de enegia paa um dado l, de tal foma que as enegias cesçam com n, como no caso D. Sabemos que a enegia de um estado aumenta com o númeo de nós da função. Isso deve também se vedade paa R(), pois satisfazem eqs. análogas. Assim, n deve se um númeo quântico dos nós adiais, indicando o númeo de nós na função R(). 9

30 Soluções paa a equação adial Soluções: Funções de Legende Assim, as funções são definidas po: com São as funções denominadas polinômios de Laguee Alguns exemplos de funções adiais nomalizadas: 30

31 Então podemos tia uma pimeia conclusão a espeito do poblema de foças centais: devem existi funções de onda que sejam autofunções simultâneas da enegia, do quadado do momento angula e de sua componente z. Isso significa que podemos detemina essas 3 quantidades ao mesmo tempo. Devemos também nota que o númeo quântico m não apaece como índice da enegia quantizada. Isso é assim poque ele não apaece na equação difeencial e potanto as soluções coespondentes não podem depende dele. Isso indica a existência de uma degeneescência, uma vez que E n l não depende de m. Paa cada valo de E n l existem l + funções de onda difeentes, uma paa cada possível valo de m. Essa degeneescência é mais uma conseqüência da simetia otacional da foça cental. A foça não povê uma dieção natual paa a escolha do eixo z, e, potanto, obseváveis como a enegia não podem depende de m, o númeo quântico associado a essa escolha. 3

32 O poblema 3D eque, como espeado, o apaecimento de 3 númeos quânticos. Como vimos, l e m estão associados à pate angula da função de onda e paa cada valo de E n l existem l + funções de onda difeentes, uma paa cada possível valo de m. Dessa foma, a degeneescência do nível n, seá:. degeneescência nlm (,, f, t) R nl ( ) Y lm (, f) e E nl t / n, l 0, m 0 00 R 0 Y 00 e E t / estado não degeneado n, l 0, m 0 l ; m,0, 00 m R R 0 Y Y 00 m e e E t / E t / 4 estados degeneados 3

33 Camada N, 6 estados Camada M, 9 estados Camada L, 4 estados n,,3... m 0,,,3,...( n ),..., FNC Fisica Modena Aula Camada K, estado há n estados distintos notação espectoscópica spdfgh... Valoes de l os níveis de enegia do eléton simples são chamados camadas K L M N... com valoes de n

34 A solução da eq. de Schödinge esulta em tês númeos quânticos: n l m l númeo quântico pincipal momento angula obital, associada a R(), ( ) e ao módulo de L númeo quântico magnético, associado a componente z do momento angula L As condições de contono equeem que: n,,3... l 0,,,3,..., n ml l, l,...,0,,... l, l númeos inteios n 0 l n m l l Estados degeneados: Qual é a degeneescência do nível n=3? O nível 3 é degeneado (na ausência de campo B) poque todos os 9 estados tem a mesma enegia, mas difeentes númeos quânticos n l m l l ,0, ,-,0,. 5 Total=9 34

35 Os valoes pemitidos paa os númeos quânticos n,,m associados as vaiáveis, e f são: n,,3... n 0 L l 0,,,3,..., n ml l, l,...,0,,... l, l l( l ) L z m l l n Paa qualque potencial V= V() o momento angula é quantizado, e seus módulos pemitidos (autovaloes) são dados po: m 0,,, 3,..., l 0,,,3,..., m l l, l é chamado númeo quântico momento angula A componente z do momento angula também é quantizada, Física Modena Aula 3 35

36 Diagama de níveis de enegia do H não pemitido n=4-0,8 n=3 -,5 n= -3,4 4s 4p 4d 4f 3s 3p 3d s p pemitido n= -3,6 s Cada tansição epesenta a mudança de enegia do átomo e deve se compensada po emissão (ou absoção) e enegia de outa foma. Paa conseva o momento angula total (átomo+ fóton) em uma tansição óptica, o momento angula do eléton de um estado inicial e um estado final deve difeencia de uma unidade isto é: f i l= leta s p d f g h SHARP PRINCIPAL DIFUSE FUNDAMEN TAL

37 Átomos com eléton Pate adial da eq. de Schödinge, com autovalo de enegia E: Vamos inicialmente nos concenta nos casos em que l = m = 0, o que nos estinge aos hamônicos esféicos Y 00 (que são constantes): (isto seia o estado fundamental n=) dr d R Ze R d d. 40 Potencial Coulomb Como a solução deve tende a 0, quando tende a infinito, podemos tenta uma função que decaia exponencialmente: ER 37

38 Solução : R 0 a Y / a e 3 R ( ) Ae 00 / a Os valoes pemitidos de E: a elacionado ao aio de Boh Boh / a E t / a 3 e E n e Z E n O fato da enegia do átomo de hidogênio não depende de está de acodo com a teoia clássica Uma patícula que se move óbita elíptica sob ação de uma F não depende da excenticidade da óbita. A óbita de meno excenticidade (póxima de um cículo) está associada ao maio valo do momento angula, enquanto que o de pequeno coesponde a uma óbita altamente excêntica. C 00 0 E E 0 0 e 4 0 Z E Boh 3,6eV n Z m m e e E 0 3,6eV 38

39 A função paa o estado fundamental Densidade de pobabilidade do átomo no estado fundamental 00 e a / a 3 00 e / a a 3 e Boh ie t / A distância média ente o eléton e o núcleo é dado pelo valo espeado: * nlm nlmd d 0 e a / a 3 d 0 a Paa o estado fundamental: Paa o estado estacionáio: n, l 0 3 a 39

40 A função paa o estado fundamental do átomo de H 3 00 Um eléton descito pela função de onda acima é encontado com pobabilidade po unidade de volume dada po: / a A posição do e- agoa é diluída no espaço não é mais bem deteminada 00 e a e / a a 3 e Boh ie t / Não depende do ângulo, todo l=0 (estado s) são esfeicamente siméticos * DENSIDADE DE PROBABILIDADE a pobabilidade tem simetia esféica é máxima na oigem diminui exponencialmente com

41 Obseváveis Deteminação de pobabilidades: medidas de (,,f,t) num d em tono de uma ceta oientação, em um númeo gande de sistemas. Mas o elemento de volume em coodenadas esféicas é: Pela condição de nomalização, temos que: espaço Potanto: espaço 4

42 E pela popiedade de nomalização dos hamônicos esféicos com temos que: O que nos pemite intoduzi uma densidade de pobabilidade adial, dada po: sujeita à condição de nomalização: P nl é intepetada como a pobabilidade da patícula se encontada em uma casca esféica de espessua d a uma distância da oigem. Notem o apaecimento do fato na definição de P nl, que faz com que a densidade de pobabilidade adial tenda a zeo quando o faz. Isso se deve ao fato de que o volume da casca esféica tende a zeo com. P nl nos dá a densidade de pobabilidade adial paa qualque estado, paa o estado s de simetia esféica é o mesmo que Já que ( ) R( ) 4 4

43 Obseváveis A pobabilidade de enconta um eléton em uma casca esféica ente e +d P() d = densidade de pobabilidade adial P( ) d P( ) d R C * nl nl R e nl / a d d a distância mais povável é igual ao aio de Boh =a= a 0 P( ) Rnl Notem o apaecimento do fato na definição de P(), que faz com que a densidade de pobabilidade adial tenda a zeo quando o faz. Isso se deve ao fato de que o volume da casca esféica tende a zeo com. 43

44 =, m=+,0, - : Estados Excitados O pimeio estado excitado, n= e =0 ou R 0 Y 00 Y Y Y R 0 =0 temos m = 0: / a e 3 a a 4 e 3 6a a 3 cos 4 / a 3 sene 8 3 sene 8 if if C Boh / a ie t / a 00 C C 3 e 0 a e a a e e / / a a / a a e ie e Boh cos e sen e t / ie if Boh e t / Boh ie t / 44

45 Distibuições de pobabilidade da função adial paa estas funções de onda: densidade de pobabilidade adial: P nl ( ) Rnl n= =0 P() tem dois máximos, o maio ocoe paa distância um pouco maio que a segunda óbita de Boh ( a o ) s / a p n= = o valo de P() é máximo quando a distância adial = segunda óbita de Boh máx = a 45

46 Distibuições de pobabilidade da função adial paa estas funções de onda: densidade de pobabilidade adial: P nl ( ) Rnl Paa n=3 temos um temo e -/na quando 0 n=3, l=0 paa um dado valo de n maio nas poximidades da oigem quando l pequeno nlm é n=3, l= n=3, l= 46

47 Densidades de pobabilidade * Apesentam simetia esféica =0 s p p Distibuições angulaes da densidade de caga do eléton dependem do valo de l Dependem de (cos ) quando l difeente de 0, m=0 Dependem de (sen ) quando, m= ou m= - 47

48 Repesentação da densidade de pobabilidade nlm FNC Fisica Modena Aula 3 Figuas simética em elação a um eixo vetical no plano do papel 48

49 n= =0 m=0 n= = m=0 foma de um haltee n= = m=+,- foma de um pneu 49

50 n=3 =0 m=0 n=3 = m=0 n=3 = m=0 50

51 5

52 5