Aula 13 Apêndice: Parametrizações de curvas planas

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1 MÓDULO 1 - AULA 13 Aula 13 Apêndice: Paametizações de cuvas planas Objetivo Obte equações paaméticas de cuvas planas impotantes. Neste apêndice, vamos estuda algumas cuvas planas que têm sido histoicamente muito impotantes no desenvolvimento da Matemática. históia envolvida po tás das descobetas dessas cuvas é muito inteessante, ecomendamos que você mesmo faça uma busca nas páginas: paa sabe sobe outas cuvas que, paa não estende demais a aula, deixa- I. emos Catenáias. de considea. A catenáia é a cuva desenhada po uma coda ou um cabo peso a dois postes, ou po uma coente quando suspensa pelas suas extemidades e sujeita apenas à foça devida à atação gavitacional, como mosta a Figua 13.. Galileu Galilei foi o pimeio a estuda a catenáia. No entanto, ele cometeu um engano ao pensa que essa cuva fosse uma Figua 13.: suspensa. A Coente paábola. Engano desvendado, em 1669, pelo matemático alemão Joachim Jungius. No entanto, a equação da cuva da coente suspensa foi obtida po Wilhelm Leibniz, Chistian Huygens e Johann Benoulli, po volta de 1690, em esposta ao desafio lançado po Jacob Benoulli: enconta a cuva da coente suspensa a qual Huygens chamou de catenáia, pela pimeia vez, numa cata a Leibniz. Definição (Catenáia) A catenáia é o gáfico da função cosseno hipebólico cosh t = 1 (et + e t ), ou seja, é o conjunto (Figua 13.1) C = {(t, cosh t) t R}, e suas equações paaméticas { são: x = t C : y = cosh t, t R. Joachim Jungius , Alemanha Estudou Metafísica na Univesidade de Rostock. Em 1609, foi nomeado pofesso de Matemática em Giessen, onde pemaneceu até Jungius voltou a leciona Matemática na Univesidade de Rostock ente 164 e 16. Em 169, foi nomeado pofesso de Ciência Natual na Univesidade de Hambugo, pemanecendo até Jungius foi um dos pimeios a utiliza expoentes paa epesenta as potências e usou a Matemática paa modela fenômenos das Ciências Natuais. Em 163, esceveu também um belo tatado sobe Lógica: Logica Hambugensis. Veja: st-andews.ac.uk/histoy/ Mathematicians/Jungius. html Figua 13.1: Catenáia. 191 CEDERJ

2 Figua 13.4: Baquistócona. Uma bola metálica é solta na canaleta cicloidal e outa na canaleta inclinada, patindo do mesmo ponto. A bola que ola na canaleta cicloidal atinge o ponto de inteseção infeio em menos tempo que a bola que ola na canaleta inclinada. Veja: galileo.imss.fienze.it/ museo/4/index.html Johann Benoulli Basel, Suíça Estudou Medicina na Univesidade de Basel. Apendeu Matemática e Física com seu imão Jacob que já lecionava em Basel. Os tabalhos de Leibniz sobe a teoia do Cálculo foam apidamente assimilados pelos Benoulli e utilizados nas suas pópias pesquisas. Johann esolveu o desafio lançado po Jacob sobe a cuva da coente suspensa (catenáia), lançou e esolveu o poblema da baquistócona. www-histoy.mcs. st-andews.ac.uk/histoy/ Mathematicians/Benoulli_ Johann.html Na Figua 13.1, você pode ve como as funções t 1 et e t 1 e t acompanham o gáfico da catenáia de foma assintótica. Obseve também que qualque mudança de escala da catenáia, continua a se uma catenáia. Isto é, dado um númeo eal a fixo, não-nulo, o gáfico da função f(t) = a f( t a ), continua a se a catenáia. Na Figua 13.3, mostamos o gáfico desse tipo de funções com a = 1,, 4. Peste atenção na mudança de escala. II. Ciclóides e tocóides. Definição Figua 13.3: Catenáias: escalas 1, e 4. Sejam C um cículo de aio, s uma eta e P um ponto de C. Denominamos ciclóide à cuva descita pelo ponto P quando C ola sobe a eta s, sem desliza. Na pimeia década do século XVII, Galileu Galilei esceveu uma cata a Guidobaldo del Monte, onde se detalha um pocedimento geomético-analítico paa mosta que a ciclóide é uma cuva baquistócona. Isto significa que o aco de ciclóide ente dois pontos dados é a tajetóia da descida mais ápida que um copo deve segui de um ponto a outo, quando sujeito apenas à ação gavitacional. No entanto, a demonstação de Galileu não ea coeta. Em junho de 1696, Johann Benoulli lançou o desafio do poblema da baquistócona. Em 1697, foam dadas cinco soluções, dente as quais uma do pópio Johann Benoulli, outa do seu imão mais velho Jacob Benoulli e outa de Wilhelm Gottfied Leibniz. Paa obtemos as equações paaméticas da ciclóide, admitamos que: a eta s é o eixo OX; o cículo C inicia o movimento estando com cento no ponto (0, ) o ponto P coincide com a oigem do sistema de coodenadas no início do movimento. Tacemos dois cículos C 1, epesentando Figua 13.5: da ciclóide. Desenvolvimento C em sua posição inicial, e C, epesentando C após te olado alguns instantes. Veja, na Figua 13.5, a designação dos seguintes elementos: CEDERJ 19

3 MÓDULO 1 - AULA 13 sejam O 1 e O os centos de C 1 e C, espectivamente; P = (x, y) o ponto da ciclóide em C ; A o ponto em que C toca o eixo OX; Q = (x, 0) e T = (0, y) as pojeções otogonais de P sobe OX e OY, espectivamente; M e N as pojeções otogonais de P sobe O O 1 e O A. t a medida do ângulo ÂO P, tomada em adianos. Note que o segmento OA tem o mesmo compimento que o aco de A a P, sobe o cículo C que consiste dos pontos que já fizeam contato com a eta s. Como t é a medida de ÂO P, o compimento do aco de C de A a P que já fez contato com s é t. Logo, OA = t. [ 3π Analisando o sinal de sen t e cos t nos intevalos [0, π ], [ π, π], [π, 3π ] e, π], vemos que as coodenadas x e y de P são deteminadas po meio das seguintes elações: x = OQ = OA QA = OA O M = t sen t, y = OT = OO 1 T O 1 = O N = cos t. Obtemos, assim, as seguintes equações paaméticas da ciclóide: { x = t sen t, t R y = cos t Veja como é feito o movimento na seqüência de figuas abaixo. Figua 13.6: t = π 3. Figua 13.7: t = π. Obseve que... paa t = 0, o ponto P está na sua posição inicial; paa t = π, P dista do eixo OX; paa t = π, o cículo dá um gio completo e o ponto P volta a toca o eixo OX. Figua 13.: t = 3π. Figua 13.9: t = π. 193 CEDERJ

4 Figua 13.10: Ciclóide. A ciclóide petence a uma classe mais ampla de cuvas olantes, denominadas tocóides. Definição 13.3 Seja C um cículo de cento C e aio, e seja s uma eta. Consideemos uma semi-eta adial OB e um ponto P nessa semi-eta. Uma tocóide é o luga geomético descito pelo ponto P, quando C ola sobe a eta s sem desliza. A tocóide é denominada: ciclóide longa quando P é exteio a C (isto é, R = d(p, C) > ), ciclóide quando P petence a C (isto é, R = d(p, C) = ), ciclóide cuta quando P é inteio a C (isto é, R = d(p, C) < ). O pocedimento paa obte equações paaméticas dessas tês cuvas é análogo ao caso da ciclóide, que analisamos anteiomente. Acompanhe nas Figuas e 13.1 a designação dos seguintes elementos: assumimos que o cículo C tem cento C = (0, ), aio e ola sobe a eta s = eixo OX; sejam C 1 e C cículos de centos O 1 e O epesentando C no início do movimento e após tanscoido um instante t, espectivamente; designamos po P = (x, y) o ponto olante que desceve a tocóide patindo da posição (0, R), no instante t = 0; seja A o ponto de contato do cículo C com a eta s; sejam Q e T as pojeções de P sobe os eixos OX e OY ; seja M a pojeção de P sobe a eta y = que contém os centos O 1 e O, seja N a pojeção de P sobe a eta O A. Figua 13.11: Ciclóide cuta. Figua 13.1: Ciclóide longa. Como no caso da ciclóide, temos: x = OQ = OA ± QA = t ± O M, y = OT = OO 1 ± T O 1 = ± O N, onde O M = R sen t, O N = R cos t e o sinal é escolhido segundo a posição de P em elação a O. Isto depende em qual dos intevalos [0, π ], CEDERJ 194

5 MÓDULO 1 - AULA 13 [ π, π], [π, 3π] ou [ 3π, π] está o valo t. Em qualque caso, você pode veifica que as cuvas tocóides têm equações paaméticas: x = t R sen t, t R y = R cos t sendo a tocóide uma ciclóide cuta, se R < ; uma ciclóide, se R = ; uma ciclóide longa, se R >. Figua 13.13: Ciclóide cuta. Figua 13.14: Ciclóide longa. Nas Figuas e 13.14, mostamos a ciclóide cuta e a ciclóide longa taçadas em intevalos maioes. Na Figua 13.15, vemos os tês tipos de tocóides. Figua 13.15: Tocóides. III. Epiciclóides e hipociclóides. Definição (Epiciclóide) Consideemos dois cículos, Γ e C, de aios R e, espectivamente,tais que: Γ e C se tocam apenas em um ponto P, os pontos de C, difeentes de P, estão no exteio de Γ. Denominamos epiciclóide o luga geomético descito pelo ponto P quando C ola sobe Γ, sem desliza. As epiciclóides e outas cuvas similaes, que veemos mais adiante (as hipociclóides), foam muito estudadas po gandes matemáticos da idade modena como Desagues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (166), de L Hópital (1690), Jacob Benoulli (1690), la Hie (1694), Johann Benoulli (1695), Daniel Benoulli (175), Eule (1745, 171) e pelo matemático e atista Düe (155). O estudo das cuvas cicloidais está elacionado à pocua pela melho foma e acoplamento de odas dentadas. Paa obtemos as equações paaméticas da epiciclóide, admitamos Γ com cento na oigem, C com cento no ponto (R+, 0) e que a posição inicial de P seja P 1 = (R, 0). Paa sabe mais... Sobe a epiciclóide e outas cuvas cicloidais, veja: st-andews.ac.uk/histoy/ Cuves/Epicycloid.html SpecialPlaneCuves_di/ EpiHypocycloid_di/ epihypocicloid.html 195 CEDERJ

6 Nas Figuas e 13.17, mostamos o cículo C após te olado alguns instantes sobe o cículo Γ. Acompanhe, nessas mesmas figuas, a designação dos seguintes elementos: seja P = (x, y) o ponto da epiciclóide que, estando inicialmente na posição P 1, desceve o aco P 1 P quando C ola um ângulo de medida θ sobe Γ; denotemos A o ponto de contato ente os cículos; O o cento de C; B e D, as pojeções de O sobe os eixos OX e OY, espectivamente; Q = (x, 0) e T = (0, y), as pojeções de P sobe OX e OY ; M e N, as pojeções de P sobe as etas O D e O B e seja t o ângulo ÂO P descito pelo ponto P com espeito à semi-eta adial OO. P desceve uma epi- Figua 13.16: ciclóide. Figua 13.17: P continuando o movimento. O nosso poblema consiste em desceve as coodenadas do ponto P em temos de um paâmeto. Nas figuas acima, vemos que as posições ente Q e B vaiam de acodo com a posição do ponto P. Isto é, de acodo com a medida t do ângulo AO P. No caso em que Q está ente O e B, temos: x = OQ = OB QB = OB O M, y = OT = OD T D = OD O N. (13.1) Note que, enquanto C ola sobe Γ, seu cento desceve um cículo centado em O e de aio R+. Sendo θ a medida do ângulo do semi-eixo OX positivo paa a semi-eta OO (medido no sentido anti-hoáio), obtemos: OB = (R + )cosθ e OD = (R + )senθ. (13.) Sendo t a medida do ângulo de O A paa O P, vemos que: NO P = ÔO B ÂO P = ( π θ) t = π (θ + t). CEDERJ 196

7 MÓDULO 1 - AULA 13 Potanto, no tiângulo-etângulo P NO, temos: O M = sen( NO P ) = sen( π (θ + t)) = cos(θ + t), O N = cos( NO P ) = cos( π (θ + t)) = sen(θ + t). (13.3) Substituindo as identidades (13.) e (13.3) em (13.1), obtemos: x = (R + ) cos θ cos(θ + t), y = (R + ) sen θ sen(θ + t). (13.4) Mas ainda esta uma complicação: as expessões das coodenadas x e y estão dadas em função de duas vaiáveis θ e t. Vamos esolve isto. Note que o compimento do aco de A a P, do cículo C, é igual ao compimento do aco de P 1 a A, do cículo Γ (lembe que C ola sobe Γ). Como a medida do pimeio aco é t e a medida do segundo é Rθ, então t = Rθ, de onde, t = Rθ. Assim, substituindo t = Rθ em (13.4), obtemos as seguintes equações paaméticas da epiciclóide, apenas em função do paâmeto θ: x = (R + ) cos θ cos(θ + Rθ R+ ) = (R + ) cos θ cos(( y = (R + ) sen θ sen(θ + Rθ )θ), R+ ) = (R + ) sen θ sen(( )θ). Resta veifica o caso em que B está ente O e Q (Figua 13.17). (13.5) No tiângulo NP O, (Figua 13.17), temos NO P = t ( π θ) = (θ + t) π. Logo: O M = sen((θ + t) π ) = cos(θ + t), O N = cos((θ + t) π ) = sen(θ + t). Sendo que: x = OQ = OB + QB = OB + O M, y = OT = OD T D = OD O N, obtemos as mesmas equações paaméticas do caso anteio. Assim, você já tem elementos suficientes paa veifica que, quando C ola sobe Γ, as coodenadas do ponto P satisfazem as equações (13.5), independentemente da posição de P. Conclusão: as equações paaméticas da epiciclóide são: x = (R + ) cos θ cos(( R+ )θ) y = (R + ) sen θ sen(( R+ )θ), t R Obseve que, quando C pecoe um aco de Γ de compimento igual a π, o ponto P volta a toca Γ. A Cadióide... É a epiciclóide com = R: ( x = cos θ cos(θ) y = sen θ sen(θ) O nome cadióide foi dado em 1741 po Johann de Castillon ( ) e significa foma de coação. Mas, em 170, o matemático fancês Phillippe de La Hie ( ) calculou o seu compimento. Figua 13.1: = R: Cadióide. O conjunto de Mandelbot Em 1979 o matemático polonês Benoit Mandelbot (194- ) analisou a dinâmica das iteações 197 de funções da CEDERJ foma f c(z) = z + c, onde z C e c C é constante, estudadas po Gaston Julia

8 Potanto, se R = n, onde n N, então o ponto P toca Γ n vezes e a n-ésima vez coincide com sua posição inicial. Paa veifica isto, basta obseva que o compimento de Γ contém n vezes o compimento de C: πr = π(n) = n(π). Nas seguintes figuas, mostamos váias epiciclóides, indicando os valoes de e R, assim como suas equações paaméticas. Figua 13.0: = 1, Figua 13.1: = R = 3 3, Figua 13.: = 5, R =. R = < x = cos θ 1 cos(4θ) < x = cos θ 3 cos(3θ) < x = 13 cos θ 5 cos( 13 5 θ) : y = sen θ 1 sen(4θ) : y = sen θ 3 sen(3θ) : y = 13 sen θ 5 sen( 13 5 θ) Figua 13.3: =, R = 1. < x = 3 cos θ cos( 3 θ) : y = 3 sen θ sen( 3 θ) Figua 13.4: =, R =. < x = ( + ) cos θ cos( + θ) : y = ( + ) sen θ sen( + θ) Figua 13.5: = 3, R =. < x = 5 cos θ 3 cos( 5 3 θ) : y = 5 sen θ 3 sen( 5 3 θ) Outa classe de cuvas olantes análoga à epiciclóide é a seguinte. Definição (Hipociclóide) Consideemos dois cículos Γ, C de aios R e, espectivamente, tais que: < R, Γ e C se tocam apenas em um ponto P, os pontos de C, difeentes de P, estão no inteio de Γ. Denominamos epiciclóide o luga geomético descito pelo ponto P, quando C ola sobe Γ, sem desliza. Paa obtemos as equações paaméticas da hipociclóide admitamos Γ CEDERJ 19

9 com cento na oigem, C iniciando o movimento com cento no ponto (R, 0) e P com posição inicial P 1 = (R, 0). Deteminemos as coodenadas do ponto P = (x, y) em temos de um paâmeto, quando C ola sobe Γ sem desliza. Paa sabe mais... Outas MÓDULO cuvas 1 - olantes AULA 13 são as epitocóides e as hipotocóides, essas cuvas são constuídas da mesma foma que as epiciclóides e as hipociclóides, quando o ponto que desceve a cuva está no inteio (ou exteio) do cículo que ola dento ou foa do cículo fixo. Veja: SpecialPlaneCuves_di/ specialplanecuves.html Figua 13.6: P descevendo uma hipociclóide. Figua 13.7: P continuando o movimento. Acompanhe, nas Figuas 13.6 e 13.7, a designação dos seguintes elementos: A é o ponto de C que toca Γ; O o cento de C; B e D as pojeções de O sobe os eixos OX e OY ; Q = (x, 0) e T = (0, y) as pojeções de P sobe OX e OY ; M e N as pojeções de P sobe O D e O B, espectivamente. Com essas notações, consideando o caso em que B está ente O e Q, mostado na Figua 13.6, temos: x = OQ = OB + QB = OB + O M, y = OT = OD T D = OD O N. (13.6) Sendo que o cento de C desceve um cículo de aio R, obtemos: OB = (R ) cos θ e OD = (R ) sen θ. Denotando t a medida do ângulo de O A paa O P, temos: ÔO P = π t e ÔO P NO P = π θ. Logo, NO P = π + θ + ÔO P = π + θ + (π t) = (θ t) + π. Potanto, no tiângulo-etângulo P NO, temos: O M = sen( NO P ) = sen((θ t) + π ) = cos(θ t) = cos(t θ), O N = cos( NO P ) = cos((θ t) + π ) = sen(θ t) = sen(t θ). Substituindo essas identidades nas elações (13.6) e usando o fato de que t = Rθ, obtemos as seguintes equações paaméticas da hipociclóide: x = (R ) cos θ + cos(( R )θ) y = (R ) sen θ sen(( R )θ), t R Pocue veifica que as mesmas equações paaméticas são obtidas A astóide... Também chamada tetacúspide, cubociclóide ou paaciclo, na liteatua antiga, foi estudada po Johann Benoulli em 1691, apaecendo também em catas de Gottfied Leibniz de A astóide é a hipociclóide obtida quando = R. Suas equações 4 paaméticas são: < x = 3 cos θ + cos(3θ) : y = 3 sen θ sen(3θ) e seu luga geomético é: Figua 13.: Astóide. Hipociclóide degeneada... O segmento que liga (R, 0) com ( R, 0) é também uma hipociclóide. De fato, a hipociclóide, tal que, = R, tem equações paaméticas: < x = cos θ : 199 y = 0 CEDERJ e o seu luga geomético é:

10 quando P está em outas posições com espeito ao cento O. Figua 13.30: = 3 7, R = 3. < x = 1 7 cos θ 3 7 cos(6θ) : y = 1 7 sen θ 3 7 sen(6θ) Figua 13.31: = 3 5, R = 3. < x = 1 5 cos θ 3 5 cos(4θ) : y = 1 5 sen θ 3 5 sen(4θ) Figua 13.3: Deltóide: = 1, R = 3 < x = cos θ cos(θ) : y = sen θ sen(θ) Figua 13.33: = 9 5, R = 3. < x = 6 5 cos θ 9 5 cos( 3 θ) : y = 6 5 sen θ 9 5 sen( 3 θ) Figua 13.34: = 4 11, R = 3. < x = 9 4 cos θ cos( 3 θ) : y = 9 4 sen θ sen( 3 θ) Figua 13.35: = π 5, R = 3. < x = 15 π cos θ π 15 π cos( 5 5 π θ) : y = 15 π sen θ π 15 π sen( 5 5 π θ) Maia Gaëtana Agnesi Milan, Itália Consideada um dos gandes talentos matemáticos do século XVIII, publicou divesos tatados sobe Filosofia. Autodidata, estudou Teologia e Matemática, concentando seus esfoços nos tabalhos de L Hópital e Newton. Com ajuda do monge Ramio Rampielli, apendeu as sutilezas do Cálculo. O seu tabalho mais conhecido foi o tatado Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana que, em dois volumes, não continha pesquisa matemática oiginal, mas CEDERJ sim uma 00detalhada explicação da teoia das cuvas planas mediante exemplos, sendo um deles, a IV. A buxa de Agnesi. Como na históia da Matemática nunca existiam buxas, começamos po esclaece o nome dado a esta cuva. Estudada po Piee de Femat em 1703, sua constução geomética foi detalhada apenas em 171, pelo matemático italianogandi, que dea o nome de vesoia, cujo significado, em latim, é coda que via a vela (vela de baco) e taduzia também o nome paa o italiano em vesiea (que significa via). Em meados do século XVIII, a matemática italiana Maia Agnesi publicou o livo Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, que consistia de muitos exemplos analisando cuidadosamente as popiedades das cuvas planas. Uma das cuvas estudadas no livo foi la vesiea, nomeada coetamente po Agnesi. Posteiomente, o livo de Agnesi foi taduzido paa o inglês po John Colson, po volta de 1760, contendo um gave eo. Em vez de taduzi la vesiea em a cuva, taduziu l avesiea, que significa a buxa. Pio ainda, o eo do inglês Colson foi mantido até nossos dias.

11 MÓDULO 1 - AULA 13 Definição (A buxa de Agnesi) Seja C um cículo de aio tangente a duas etas paalelas s 1 e s. Sejam O e A os pontos de tangência de C com s 1 e s, espectivamente. Do ponto O tacemos uma semi-eta em dieção à eta s. Denotemos R e Q os pontos de inteseção desta semi-eta com o C e s, espectivamente. Tacemos o segmento QD, pependicula a s 1 e a eta s paalela a s 1 passando po R (veja a Figua 13.36). Seja P o ponto de inteseção da eta s com o segmento QD. Os pontos P assim obtidos, taçando todas as semi-etas que patem de O e intesectam C, descevem a cuva denominada buxa de Agnesi. Paa obtemos as equações paaméticas da buxa de Agnesi, admitamos que s 1 seja o eixo OX, s : y =, O seja a oigem do sistema de coodenadas e A = (0, ) (Figua 13.36). De novo, o nosso poblema consiste em detemina as coodenadas dos pontos P = (x, y) da buxa de Agnesi em função de apenas um paâmeto. Figua 13.36: Constução da buxa de Se B é a pojeção de R sobe o eixo OX, então: Agnesi. x = OD e y = RB. (13.7) Denotando t a medida do ângulo DOQ, obtemos: OD = OQ cos t e RB = OR sen t. (13.) Note que os tiângulos ORA (inscito em um semicículo de C) e ODQ são etângulos. No pimeio, ÔRA é o ângulo eto, a medida de ÔAR é t e, potanto, OR = sen t. No tiângulo ODQ, temos QD =. Logo, OQ sen t =, o qual implica: OQ = sen t. Substituindo essas elações em (13.), obtemos: OD = cos t sen t = cotg t e RB = sen t. (13.9) Substituindo as identidades (13.9) nas identidades (13.7), obtemos as equações paaméticas da buxa de Agnesi: 01 CEDERJ

12 x = cotg t y = sen t, t ( π, π ) e taçamos o seu luga geomético: Resumo Figua 13.37: Buxa de Agnesi. Neste apêndice vimos como obte as equações paaméticas de váias cuvas planas, usando elações tigonométicas básicas e obsevando as condições que um ponto deve satisfaze paa petence a uma cuva dada. Execícios 1. Veifique que x = 1 + sect e y = 3 + 3tgt, π < t < π são equações paaméticas de um amo da hipébole (x 1) (y 3) = Veifique que x = t 3 e y = t 6 4t 3, t R são equações paaméticas de uma paábola. Dê a equação catesiana dessa paábola. 3. Veifique que x = cosht+senht e y = cosht senht, t R são equações paaméticas de um amo da hipébole xy = Veifique que x = (cost+sent) e y = 3(cost sent), t R são equações paaméticas de uma elipse. Dê a equação catesiana dessa elipse. 5. Seja a hipébole de equação x y = 1. Dê as equações paaméticas 9 do amo desta hipébole que intesecta o semi-eixo positivo OX. Como são as equações paaméticas desse amo, expessando uma vaiável em função da outa? 6. Dê as equações paaméticas da ciclóide descita pelo ponto P = (0, 0) petencente ao cículo de equação x + (y ) = 4, quando este ola sobe o eixo OX. CEDERJ 0

13 MÓDULO 1 - AULA Dê as equações paaméticas da ciclóide esteita descita pelo ponto P = (0, 3) petencente ao cículo de equação x +(y 5) = 5, quando este ola sobe o eixo OX.. Dê as equações paaméticas da ciclóide laga descita pelo ponto P = (0, 1) petencente ao cículo de equação x + (y 3) = 9, quando este ola sobe o eixo OX. 9. Seja S a ciclóide laga descita pelo ponto P = (0, ) petencente ao cículo de equação x +(y 5) = 5, quando este ola sobe o eixo OX. Veifique que S está contida na faixa do plano ente as etas x = e x = Dê as equações paaméticas da hipociclóide descita pelo ponto P = (6, 0) petencente ao cículo de equação (x 7) + y = 1, quando este ola sobe cículo de equação x + y = Esboce o gáfico de uma hipociclóide em que R = 4 e =. 1. Que tipo de cuva é descita pelos centos do cículo (x 4) + y = 16 quando olamos esta cículo sobe o eixo OY? Dê a equação dessa cuva. 13. Considee o cículo C : x = (y 3) = 9 e a cuva obtida da seguinte foma: da oigem, taçamos uma semi-eta u que intesecta C em um ponto R e intesecta a eta y = 4 num ponto Q. Seja QD a pependicula ao eixo OX. Tace a eta s paalela a OX que passa po R. A eta s intesecta em um ponto P = (x, y). Dê as equações paaméticas dos pontos P, assim obtidos ao taçamos a família das semi-etas com as mesmas popiedades da eta u. 14. O que você pode afima sobe uma epiciclóide ou uma hipociclóide quando a azão ente os aios dos cículos consideados é: a. um númeo acional. b. um númeo iacional. Sugestão paa o Execício 14. Reveja a cuva desenhada na Figua e compae com a cuva da Figua Tente decifa se elas são fechadas ou não. 03 CEDERJ

14 Auto-avaliação Se você esolveu os Execícios de 1 a 4, apendeu a identifica as equações paaméticas de uma cuva dada. Ao esolve os Execícios de 5 a 1, você fixou a foma de obte equações paaméticas de algumas cuvas e a análise da foma da cuva em elação à vaiação do paâmeto. Se esolveu o Execício 13, você apendeu como obte as equações paaméticas de uma cuva a pati das condições dadas. Se você teve dificuldades na esolução de algum execício, pocue oientação! CEDERJ 04

f (x) (1 + (f (x)) 2 ) 3/2. κ(x) = f(x) = log x, f(x) = a cosh x a, a 0 (catenaria), f(x) = sen ax 2,

f (x) (1 + (f (x)) 2 ) 3/2. κ(x) = f(x) = log x, f(x) = a cosh x a, a 0 (catenaria), f(x) = sen ax 2, Univesidade Fedeal do Rio de Janeio INSTITUTO DE MATEMÁTICA Depatamento de Métodos Matemáticos Pimeia Lista de Execícios - Geometia Difeencial 010/0 1. Calcula o veto tangente unitáio, a nomal pincipal

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