Sociedade Educacional de Santa Catarina SOCIESC

Transcrição

1 Mateial ásico de Estudo Disciplina: Geometia nalítica Pofesso: Júlio Césa Tomio Paisagem factal com Mandelbot Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento da condições nas quais eles possam apende. (lbet Einstein) cadêmico(a): Tuma: Segundo Semeste de 008. Instituto Supeio Tup Sociedade Educacional de Santa Cataina SOCIESC

2 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio MENSGEM PR O() CDÊMICO() Com satisfação, apesento este mateial que tem como finalidade da supote ao cuso de Geometia nalítica que se estende duante a pimeia fase de seu cuso supeio, e, conseqüentemente, auilia em futuas aplicações nas disciplinas subseqüentes que necessitaão dos conhecimentos e conceitos aqui tabalhados e desenvolvidos. concepção deste, baseada na epeiência de alguns anos de docência, também objetiva otimia o pocesso de estudo, pincipalmente no ambiente de sala de aula. Esta oba almeja media com ecelência o pocesso de ensino-apendiagem da Geometia nalítica. Paa tanto, contibuições em foma de cítica, sugestões ou coeções seão caloosamente ecebidas. Ficaei imensamente agadecido caso você queia fae pate do pocesso de apimoamento deste mateial. ealiação de um cuso supeio é um fato muito impotante em sua vida pessoal e pofissional. Dedique-se! Faça tudo da melho maneia que pude, pois desta foma você estaá justificando um dos maioes (e também um dos melhoes) investimentos que você já fe em você mesmo. Desejo que a sua vivência no ambiente acadêmico seja a melho possível, e que a passagem po esta nova etapa de sua vida contibua paa o seu engandecimento pofissional e pessoal (e também espiitual), possibilitando uma melhoa significativa na sua qualidade de vida e também na daqueles que convivem póimos de você. Muita gaa, e sucesso! Pofesso Júlio Césa Tomio. REFERÊNCIS ILIOGRÁFICS (Comentadas) Este mateial foi poduido com base na bibliogafia abaio e também com contibuições minhas e de colegas pofessoes. Nomalmente, as Refeências ibliogáficas apaecem nas últimas páginas de um livo. pesento estas efeências aqui, objetivando sempe lembá-lo que a busca po outas fontes de infomação é um fato de gande impotância em qualque estudo que se queia ealia. WINTERLE, Paulo. Vetoes e Geometia nalítica. São Paulo: Makon ooks, 000. Neste livo você encontaá a gande maioia dos conteúdos desenvolvidos na disciplina com uma linguagem bastante objetiva e acessível e também uma gande quantidade de eecícios (esse é o nosso livo teto). VENTURI, Jaci J. Álgeba Vetoial e Geometia nalítica. 7. ed. Cuitiba: Unificado, s.d. Neste livo você encontaá a gande maioia dos conteúdos desenvolvidos na disciplina, poém com uma linguagem difeenciada do anteio. Este livo pode se baiado na intenet na íntega. O endeeço é: Os livos abaio, tanto quanto os anteioes, são ótimas fontes de consulta e também se encontam em nossa biblioteca. STEINRUCH, lfedo. WINTERLE, Paulo. Geometia nalítica.. ed. São Paulo: Makon ooks, 987. LEHMNN, Chales H. Geometia nalítica. 9. ed. São Paulo: Globo, 998. Não tenha medo de cesce lentamente. penas tenha medo de fica paado. (Povébio chinês)

3 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio ÍNDICE GEOMETRI NLÍTIC Sistemas de Coodenadas Sistemas de Coodenadas Retangulaes (ou Catesianas) Sistemas de Coodenadas Unidimensional (R ou E ) Eio Real (ou eio das abscissas) Estudo do Ponto no R Distância ente dois Pontos Sistemas de Coodenadas idimensional Sistema Catesiano Otogonal O Plano R ou E Tópico Especial: isseties dos Quadantes do R Sistemas de Coodenadas Tidimensional Sistema Catesiano Otogonal O Espaço R ou E ÁLGER VETORIL Vetoes... Intodução... Noções ásicas... Vetoes no R... 4 Vetoes no R... 7 Opeações com vetoes na foma algébica... 8 Paalelismo de Vetoes (colineaidade)... Cálculo do Módulo de um Veto... 4 Veto Unitáio... 5 Veso de um Veto... 7 Poduto Escala... 9 Definição lgébica do Poduto Escala... 9 Definição Geomética do Poduto Escala... 9 Ângulo ente dois vetoes... 9 Poduto Vetoial... Definição... Outas plicações do Poduto Vetoial... 4 Poduto Misto... 8 Definição... 8 Intepetação Geomética do Poduto Misto... 8 Ângulos Dietoes e Cosenos Dietoes de um Veto... 4 pêndice... 44

4 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio álgeba é geneosa: fequentemente ela dá mais do que se lhe pediu. (Jean Le Rond d'lembet) SISTEMS DE COORDENDS Um sistema de coodenadas pode se consideado como um dispositivo oganiado paa posiciona e localia com elativa pecisão, pontos, objetos, patículas, pessoas, equipamentos, como um avião numa viagem intecontinental, po eemplo, ente outos. Um simples mapa catogáfico ou um sofisticado GPS (Sistema de Posicionamento Global) são eemplos, ente outos, de aplicações de sistemas de coodenadas. Nosso estudo estaá concentado no sistema de coodenadas catesianas (etangulaes) de duas e tês dimensões, po se o sistema mais difundido. Entetanto, em alguns casos, tona-se melho a utiliação de outos modelos de sistema. Podemos classifica os pincipais sistemas de coodenadas em: Unidimensional: idimensional: Tidimensional: Eio ou Reta Real R Retangula ou Catesiano R Pola Retangula ou Catesiano R Cilíndico Esféico Matematicamente é possível se tabalha com sistemas de coodenadas com mais de dimensões, como po eemplo, o R 4, onde podeíamos considea a 4ª coodenada como sendo o tempo, entetanto sua epesentação gáfica ficaia estita a somente dimensões. Desta foma, podeemos cia um espaço R n, onde as váias coodenadas podem assumi outos valoes de inteesse. SISTEMS DE COORDENDS RETNGULRES (OU CRTESINS) Como nosso estudo estaá baseado pincipalmente no sistema de coodenadas etangulaes, vamos considea algumas situações paa melho eemplifica a utiliação dos sistemas de coodenadas, quanto às dimensões necessáias paa cada caso. Vejamos a segui: ) Posição de um pistão no cilindo de um moto O desenho abaio epesenta de foma bastante simplificada, um pistão num cilindo de um moto de combustão intena. Considee que seja de inteesse a posição deste cilindo duante o funcionamento do moto. Obseve que o sistema tabalha com uma dimensão, ou seja, paa deteminamos a posição eata do pistão, necessitamos de apenas uma coodenada, consideando um efeencial dado. Sistema de Coodenadas Unidimensional Matematicamente, podemos esceve a posição P do pistão com a medida P (). medida é dita coodenada do ponto P, ou ainda, abscissa do ponto P. Refeencial (oigem) 4

5 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio ) Posição de uma bola de sinuca numa mesa O desenho abaio apesenta uma visão supeio de uma mesa de sinuca. Considee que seja de inteesse a posição da bola banca sobe a mesa (de maneia que esta esteja sempe em contato com a supefície de jogo da mesa). Sistema de Coodenadas idimensional Refeencial (oigem) Obseve que o sistema tabalha com duas dimensões, ou seja, paa deteminamos a posição eata da bola, necessitamos de duas coodenadas, consideando um efeencial dado. Matematicamente podemos esceve a posição P da bola com as coodenadas e P (, ). s medidas e são ditas coodenadas do ponto P, ou ainda, é a abscissa do ponto P e é a odenada do ponto P. ) Posição de uma bola de basquete numa quada (em jogo) baio, temos um desenho que epesenta esquematicamente uma quada de basquete. Considee que seja de inteesse a posição da bola em qualque momento do jogo. Sistema de Coodenadas Tidimensional Refeencial (oigem) Obseve que o sistema tabalha com tês dimensões, ou seja, paa deteminamos a posição eata da bola, necessitamos de tês coodenadas, consideando um efeencial dado. Matematicamente podemos esceve a posição P da bola com as coodenadas, e P (,, ). s medidas, e são ditas coodenadas do ponto P, ou ainda, é a abscissa do ponto P, é a odenada do ponto P e é a cota do ponto P. SISTEMS DE COORDENDS UNIDIMENSIONL (R ou E ) Vamos fae um beve estudo sobe este sistema de coodenadas, que na vedade daá oigem aos outos que veemos em seguida (R e R, sendo este último o nosso campo de maio inteesse). Nas odovias podemos obseva no acostamento pequenas placas chamadas de macos quilométicos. Elas deteminam a sua posição na odovia a pati de um efeencial (oigem), o quilômeto eo, que numa odovia fedeal, localia-se na divisa de um estado com o outo. pesa da odovia não se uma linha eta, podemos die que os macos quilométicos coespondem a um sistema de coodenadas unidimensional, pois com uma única infomação quilomética podeemos detemina a posição de um veículo com poblemas mecânicos, po eemplo. Matematicamente, teemos: 5

6 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio Eio Real (ou eio das abscissas) oigem C D E F G π,45965 uc Temos que a abscissa (ou coodenada) do ponto é 4. Podemos esceve então: ( 4). Daí, temos que: 5 7, C ( ), D 8, E ( 4 ), F ( 5 ) e G ( ) 7. Obs.: uc unidade de compimento Estudo do Ponto no R Distância ente dois Pontos: No caso do R, tona-se simples deteminamos a distância ente dois pontos. Veemos intuitivamente atavés de algumas peguntas... a) Qual a distância ente os pontos F e E? Resposta: uc b) Qual a distância ente E e G? Resposta: uc c) Qual a distância ente e F? Resposta: 9 uc, que podemos esceve d(,f) = 9 uc d) Qual a distância ente e D? ntes de esponde esta pegunta, faemos uma genealiação matemática. Veja: d(,) Logo: d(,) = Distância ente dois pontos na eta R, ou compimento do segmento de eta. Obs.: Note que d(,) = d(,). Veja: P Q d(p,q) = P Q ou d(q,p) = Q P d(p,q) = 6 7 d(q,p) = 7 ( 6) = d(p,q) = d(q,p) = d(p,q) = uc d(q,p) = uc Obseve que a distância ente dois pontos quaisque é sempe um valo absoluto, ou seja, positivo. goa, podemos etona a pegunta d, que ficou em abeto, e espondê-la: d) Qual a distância ente e D? 6

7 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio Então temos: d(, D) = D d (, D) = d (, D) = d (, D) = d (, D) = d(, D) 6, 07 uc 5 Obsevação: Segmento de eta Semi-eta (patindo de ) Reta (elemento infinito) Paa efleti: Vedadeiamente, o que mais pae me popociona, não é o sabe mas o estuda; não a posse mas a conquista; não o esta aqui mas o chega além. (Cal F. Gauss) SISTEMS DE COORDENDS IDIMENSIONL Sistema Catesiano Otogonal O Plano R ou E O Sistema Catesiano Otogonal, também conhecido como Plano Catesiano é fomado po dois eios eais, pependiculaes (otogonais) ente si, geando quato egiões denominadas quadantes. O eio também é dito eio das abscissas e o eio também é dito eio das odenadas. intesecção dos eios coodenados detemina um ponto único, denominado oigem (0, 0). Cada ponto neste plano é deteminado po um pa (ou dupla) odenado(a) na foma (, ), sendo que e fomam as coodenadas de um ponto. Façamos então a macação dos pontos: (7, 5) ( 7, 5) C(, 5) D(6, ) º Q. º Q. E(8, 0) F( 5, 0) oigem G(0, 8) H(0, ) O(0, 0) oigem do sistema Obsevações: º Q. 4º Q. Todo ponto petencente ao eio das abscissas teá odenada nula, ou seja, seá da foma: (, 0). Todo ponto petencente ao eio das odenadas teá abscissa nula, ou seja, seá da foma: (0, ). 7

8 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio Tópico Especial: isseties dos Quadantes do R Veja os casos: b, b,4 (4, 4) C(, ) 4 (, ) C D(4, 4) Geneicamente (p, p) 45º 4 4 5º 4 D Geneicamente (p, p) ou ( p, p) Os pontos (, ) do plano, onde =, ou seja, de coodenadas iguais, definem uma eta denominada bisseti dos quadantes ímpaes (º e º quadantes b, ), cuja equação evidentemente é =. Já os pontos (, ) do plano, onde = (ou = ), ou seja, de coodenadas opostas, definem uma eta denominada bisseti dos quadantes paes (º e 4º quadantes b,4 ), cuja equação evidentemente é =. EXERCÍCIOS Sistema Catesiano Otogonal ) Obsevando a peça plana ao lado, detemine as coodenadas dos pontos,, C, D,..., M e N, consideando: E F a) a oigem no ponto ; b) a oigem no cento da peça ( ) D C M G H I N L 0 J ) Calcule o valo de m de modo que o ponto Q(m + 5, 6m) petença à bisseti do º e 4º quadante. RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS ) Veja tabela abaio: ) m = ou m = 5 C D E F G H I J L M N a (0,0) (0,0) (0,40) (0,55) (40,80) (80,80) (80,60) (0,60) (0,0) (00,0) (60,0) (60,0) (5,0) b (-60,-40) (-60,-0) (-40,0) (-40,5) (-0,40) (0,40) (0,0) (60,0) (60,-0) (40,-40) (0,-40) (0,-0) (-5,-40) 8

9 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio SISTEM DE COORDENDS TRIDIMENSIONL Sistema Catesiano Otogonal O Espaço R ou E Consideamos como sendo o espaço catesiano R (ou E ), o conjunto dado po tês eios eais pependiculaes dois a dois, denotados po, e, que se inteceptam em uma oigem (ponto O), com oientação confome abaio: (eio da cotas) O... (eio das odenadas) (eio das abscissas) Os tês planos do R : O, O e O, geam oitos egiões (sub-espaços) chamadas de octantes (ou oitantes) que podem se obsevados na figua acima e a dieita. Os valoes eais contidos nos tês eios estão odenados de foma cescente confome indicação das setas dos espectivos eios. No espaço tidimensional, a cada tena ou tipla odenada de númeos eais (,, ), associamos um único ponto; assim: P P ( P, P, P ) O P P Obsevação: Oigem O (0, 0, 0) Máquinas opeaties, sistemas automatiados e sistemas de obótica utiliam, na sua gande maioia, um sistema de eios catesianos, como no eemplo da fesadoa ao lado: Po questões técnicas, as posições dos eios coodenados podem difei das usadas no estudo científico (na geometia analítica e outas áeas de aplicabilidade da matemática). Na figua vemos os eios de deslocamentos de uma fesadoa. 9

10 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio Paa melho eemplificação, tomemos o paalelepípedo da figua abaio, onde temos P(, 4, ). Com base na figua ao lado, e levando em consideação que um ponto qualque (,, ) está no: F E P D eio quando = 0 e = 0, tem-se (, 0, 0); eio quando = 0 e = 0, tem-se C(0, 4, 0); eio quando = 0 e = 0, tem-se E(0, 0, ); O 4 C plano quando = 0, tem-se (, 4, 0); plano quando = 0, tem-se F(, 0, ); plano quando = 0, tem-se D(0, 4, ). o lado podemos obseva uma epesentação usual de dois pontos (e suas coodenadas) paa um sistema catesiano de uma máquina opeati com CNC (comando numéico computadoiado). Vale obseva que, neste caso, temos os eios, e em posições difeentes daquelas que faão pate de nosso estudo. Este fato não intefee no entendimento da posição dos pontos, pois mesmo assim, a macação e identificação dos pontos são pocessos análogos aos que estudamos aqui. Paa maca um ponto no espaço, como po eemplo, o ponto (,, 4), sugeimos o seguinte pocedimento: º) maca-se o ponto (,, 0) no plano ; º) desloca-se paalelamente ao eio, 4 unidades paa cima (se fosse 4, seiam 4 unidades paa baio) paa se obte então o ponto desejado. figua ao lado ilusta este pocedimento. EXEMPLOS: ) Consideando os pontos P(0,, ) e Q(4,, 7), localie-os no sistema de coodenadas catesianas R e faça a epesentação do segmento PQ. 7 Q ssim sendo, temos a epesentação ao lado: (desenho foa da escala) P 4 Paa efleti: eceita paa a ignoância pepétua é pemanece satisfeito com suas opiniões e contente com seus conhecimentos. (Elbet Hubbad) 0

11 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio ) Constua dois sistemas de coodenadas R e localie os pontos (, 4, ) e (, 5, 4) sepaadamente. EXERCÍCIOS ) Obsevando a figua ao lado, detemine as coodenadas dos pontos,, C, D, E, F e P. 5 C D (,, ) (,, ) E(,, ) C(,, ) F(,, ) D(,, ) P(,, ) O P F 7 E ) Seja a piâmide de base OC e P o seu vétice supeio. Dados O(0, 0, 0), (, 0, 0), (,, 0), C(0,, 0) e P(,, 9), faça a epesentação geomética da piâmide e especifique o fomato da base da piâmide e também sua altua. ) Repesentando os pontos (0,, ), (, 0, 4) e C(4,, 4) num R e ligando-os, temos o tiângulo C. Faça a epesentação gáfica e diga se é possível detemina o tipo de tiângulo em questão, quanto aos seus lados e quanto aos seus ângulos? RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS ) (, 0, 0), (, 0, 5), C(0, 0, 5), D(0, 7, 5), E(0, 7, 0), F(, 7, 0) e P(, 7, 5) ) base da piâmide é quadada tendo lado com uc e altua igual a 9 uc. ) Neste caso, gaficamente não é possível detemina com seguança o tipo de tiângulo (em elação aos lados e aos ângulos), pois a pespectiva aqui utiliada não pemite tal veificação e mesmo utiliando uma escala conveniente, algumas medidas não apaecem na sua vedadeia gandea. Entetanto, algebicamente (ou analiticamente) é possível deteminamos com pecisão absoluta o tipo de tiângulo. s medidas dos lados do tiângulo podem se calculadas atavés da fómula da distância ente dois pontos e no espaço dada po: d = ( ) + ( ) + ( ) e atavés destas medidas conhecidas, utiliando-se do Teoema de Pitágoas, podemos classifica o tiângulo quanto aos seus ângulos. ssim sendo, veemos que o tiângulo C é EQÜILÁTERO, pois = C = C = 7 = 6 uc e desta foma também é CUTÂNGULO, pois tem os seus ângulos intenos iguais a 60 º. Em beve, podeemos calcula com pecisão cada um dos ângulos intenos do tiângulo atavés do conceito de poduto escala. Paa efleti: Eiste um paalelismo fiel ente o pogesso social e a atividade matemática; os países socialmente atasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula. (Jacques Chapellon)

12 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio VETORES Intodução ntes de tatamos popiamente de vetoes, pecisamos identifica aquilo que chamamos de gandeas físicas. Na matemática e em outas ciências ditas eatas, só podemos equaciona e quantifica situações que envolvem gandeas físicas, ou seja, aquelas que, no mínimo, podem se associadas a uma escala de medida conhecida, como a distância ente a sua casa e a padaia mais póima, po eemplo. Essa distância pode se dada em metos, quilômetos, ou ainda, em uma outa escala que possa se conveniente. s gandeas físicas podem se divididas em escalaes ou vetoiais. Veja o esquema abaio: Escalaes a Módulo (númeo + unidade) Gandeas Físicas - Módulo (númeo + unidade) Vetoiais - Dieção - Sentido Eemplos de gandeas físicas escalaes: Distância, tempo, massa, tempeatua. Eemplos de gandeas físicas vetoiais: Velocidade, aceleação, foça, toque (momento). Com o cescimento da tecnologia e da áea industial, tonou-se cescente a necessidade de equaciona situações que envolvessem gandeas vetoiais. Nesse momento, suge o conceito de veto, possibilitando estuda fenômenos ligados a tais situações. VETORES Noções ásicas Conceito: O veto pode se definido de váias maneias: É um ente matemático utiliado paa epesenta gandeas físicas vetoiais. É uma tipla constituída de uma dieção, um sentido e um númeo não negativo (módulo). É o conjunto de todos os segmentos oientados de mesma dieção, de mesmo sentido e de mesmo compimento. Repesentações e Notações: oigem do veto v etemidade do veto v módulo do veto (depende de escala) 0 Paa efleti: vida é um eco. Se você não está gostando do que está ecebendo, obseve o que está emitindo. (Lai Ribeio)

13 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio Um veto nomalmente é epesentado po uma leta minúscula com a indicação de uma flechinha sobe ela. No caso acima temos o veto v que também pode se epesentados pelos pontos que o definem. Então: v = Podemos obseva que: + v = v = Resumindo, temos: v = = v v v 0 v Os vetoes v, v e v são imagens geométicas ou epesentantes de v. Isto que die que os vetoes v, v v têm mesmo módulo, mesma dieção e mesmo sentido, potanto v = v = v = v. Diante do eposto, um veto pode se chamado de veto live, pois se mantivemos seu módulo, dieção e sentido, podemos tansladá-lo de uma posição paa outa sem pede sua efeência. Detalhando, temos: Módulo (intensidade, noma ou compimento): Detemina a magnitude da gandea que esta sendo epesentada pelo veto, ou seja, é um númeo eal não negativo acompanhado de sua unidade. Geometicamente, o módulo é o compimento do veto (segundo uma escala adequada de desenho). v e v módulo do veto (depende de escala) Módulo do veto v : v = = Dieção: É a eta supote de atuação do veto. dieção pode se vetical, hoiontal ou oblíqua. Quando a dieção é oblíqua, nomalmente está associada a um ângulo de efeência. Sentido: Paa cada dieção sempe teemos sentidos. Po eemplo, se a dieção fo vetical, o sentido podeá se paa cima ou paa baio. Eemplos: f v 60º f : módulo : f = 50N dieção : vetical sentido : paa cima v : módulo : v = 6cm / s dieção : 60º com a hoiontal sentido : paa baio

14 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio EXERCÍCIO ) Consideando o losango EFGH inscito no etângulo CD, e sendo O é ponto de inteseção das diagonais deste losango, decida se é vedadeia ou falsa cada uma das afimações abaio: D H C E O F Obsevação: // paalelo pependicula G a) EO = OG f) H E = O C k) O // OC b) F = CH g) C = D l) OH c) DO = HG h) O = D m) EO C d) C O = O i) F // CD n) O HF e) H O = H D j) GF // HG o) O = FE RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS a) V b) F c) V d) V e) F f) F g) V h) V i) V j) F k) V l) V m) V n) F o) V Vetoes no R Considee os pontos O(0, 0), P(4, ), (5, 5), (9, 8), C( 4, 6) e D(0, ) no Sistema Catesiano Otogonal. Desta foma, podemos considea também os vetoes: 8 5 v = OP w, w = e u = CD. Repesentando-os no plano, temos: 4 v P O u D C 6 Lembe-se que um veto tem infinitos epesentantes, sendo estes de mesmo módulo, dieção e sentido. Então podemos afima que v = w = u ou que OP = = CD. Dente estes vetoes, o que melho caacteia-os é o veto v = OP O veto v também é chamado de veto posição ou epesentante natual dos vetoes ou CD, pois é aquele que tem sua oigem coincidindo com a oigem do sistema catesiano otogonal. Tomando um veto qualque definido po dois pontos e, podemos esceve: = =, ) (, ). Daí tem-se que:, ) ( Então, consideando os vetoes mencionados anteiomente, podemos fae: 4 = (. v = OP w = u = CD v = P O w = u = D C v = ( 4, ) (0, 0) w = ( 9, 8) (5, 5) u = ( 0, ) ( 4, 6) v = ( 4 0, 0) w = ( 9 5, 8 5) u = ( 0+ 4, + 6) v = (4, ) w = (4, ) u = (4, ).

15 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio Pode-se obseva que as igualdades v = w = u e OP = = CD vistas anteiomente, confimam-se algebicamente. Fomaliando, podemos die que dados dois vetoes m = (, ) e n = (, ), eles seão iguais [ m = n ] se, e somente se, = e = (Igualdade de vetoes). Isto daá gaantia de que estes vetoes teão mesmo módulo, dieção e sentido. foma v = (, ) é dita epessão analítica do veto v e detemina que o veto no plano é um pa odenado de númeos eais com sua etemidade no ponto (, ) e sua oigem coincidindo com a oigem ( 0,0) do Sistema Catesiano Otogonal. Também se utilia em alguns casos, a seguinte notação paa um veto: v =,. Vesoes de um Sistema de Coodenadas: inda se tatando do Sistema Catesiano Otogonal, convencionou-se que i e j, nesta odem, são os vesoes dos eios catesianos e, tendo estes vesoes, oigem no ponto O (0,0). Desta foma temos: i = (, 0) e j = (0, ) sendo que i = j =. j O i Estes vetoes i e j fomam o que chamamos de base do plano, esta em especial é dita ase Canônica. Isto que die que podemos esceve qualque veto no plano, de foma única, atavés da combinação linea dos vesoes i e j. Obsevação: Qualque conjunto odenado de dois vetoes não paalelos constitui uma base no plano. Na pática, as bases mais utiliadas são as otogonais (otonomais). Escevendo um veto utiliando uma combinação linea: Multiplicando i po 4 e j po, teemos os vetoes que estão epesentados no plano ao lado. 4 i e j, Obseve que, se adicionamos (método do paalelogamo) os vetoes 4 i e j, teemos como esultante o veto v, e po isso, podemos esceve o veto v como combinação linea dos vetoes i e j. Então escevemos: v = (4,) como vimos anteiomente. Genealiando, teemos: v = 4i + j, ou ainda, v = (, ) = i + j cima temos: v = (4, ) = 4 i + j j O v 4 i P Eemplificando e localiando os vetoes posição no R, temos: a = i j = (, ) b = 6i + 5j = ( 6 c =, 5) 7 7 j = 0, b 7/ 5 c d = j 4i = ( 4, ) e = 4i = (4, 0) 6 4 e 4 d a 5

16 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio EXEMPLO: ) Dados os pontos (, 4), (, 7) e C(5, ), epesente no Sistema Catesiano Otogonal abaio: a) o veto ; b) o veto u, que é o veto posição de ; c) o veto u com oigem no ponto C. EXERCÍCIOS ) Repesenta gaficamente o veto e o coespondente veto posição v paa cada um dos casos abaio: a) (, ) e (, 5) b) (, 4) e (4, ) c) (4, 0) e (0, ) d) (, ) e (, 4) ) Qual o ponto inicial do segmento oientado (veto) epesentado pelo veto posição v = (,), sabendo que sua etemidade está no ponto (, ). Repesente gaficamente veto v e o segmento oientado em questão. RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS a) v = (4, ) b) v = (5, ) c) v = ( 4, ) d) v = (0, ) ) (4, ) Paticulaidades dos Vetoes: Veto Nulo (ou eo): Repesentação: 0 ou. Desta foma temos: 0 : módulo : 0 = 0 dieção : não definida sentido : não definido segui, eemplificamos uma situação onde suge o veto nulo. Considee (no esquema ao lado) um ceto bloco ígido sobe uma supefície plana sem atito e que: f = f = N f f Obsevando a situação, podemos esceve o veto esultante R, da aplicação dos vetoes f e f : R = f + f R = 0 Obsevação: as foças f e f se anulam, pois tem mesmo módulo e dieção, mas sentidos contáios. Esquentando o Pocessado! baio, dois pobleminhas paa você utilia toda a sua capacidade de pocessamento... ) Se a metade de XII não é seis, então quanto é? ) O pai do pade é filho de meu pai. O que sou do pade? 6

17 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio Veto Oposto: v cada veto 0 coesponde um veto oposto v, de mesmo módulo e dieção, poém, de sentido contáio. v v Daí, concluímos que: Se o veto oposto de v é o veto v, então o veto oposto de é o veto, que pode se escito. naliticamente, podemos nota que o veto t = (, ) gáfica abaio: é o veto oposto de w = (, ) e vice-vesa. Veja a epesentação Então: t = w ou w = t. Q w É impotante lemba que: t = w, poém t w. 0 t P Vetoes no R s definições e conclusões elativas ao R, da-se-ão de foma análoga ao que vimos até então paa o R. Sendo assim: Veto definido po dois pontos: Um veto definido po dois pontos e seá: = = (,, ) (,, ). Daí tem-se que: = (,, ) Igualdade de vetoes: Dados dois vetoes v = (,, ) e w = (,, ), v = w = e = e =. Isto gaante que os vetoes em questão teão mesmo módulo, dieção e sentido. Vesoes da ase Canônica: Os vesoes que fomaão a base canônica seão: i, j e k. Sendo que: i = j = k = i = (, 0, 0), j = (0,, 0) onde e k = (0, 0, ) k Daí tem-se que: v = (,, ) = i + j + k i j 7

18 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio Eemplificando e localiando os vetoes posição no R, temos: a = i j + k = (,, ) b = i + 6k = (, 0, 6) c = 5j k = 0, 5, d = i j = (,, 0) e = 4k = (0, 0, 4) f = k 5i = ( 5, 0, ) g = j + k + 5i = (5,, ) OPERÇÕES COM VETORES N FORM LGÉRIC Os vetoes podem se opeados em suas fomas geométicas (atavés de suas epesentações em desenho). Poém, se estas opeações foem ealiadas algebicamente (analiticamente), teemos pecisão absoluta dos esultados e maio quantidade de infomações (módulo, dieção e sentido), pincipalmente quando os vetoes se encontam num espaço tidimensional. Vejamos: Dados os vetoes v = (,, ) e w = (,, ) e um númeo n R, define-se: dição de vetoes: v + w = ( +, +, + ) Obs.: v w = v + ( w) = (,, ) Multiplicação de um escala (númeo eal) po um veto: n. v = (n., n., n. ) Obs.: paa situações em que os vetoes se apesentam no R, apenas desconsidea a coodenada. EXEMPLOS: ) Considee o veto w = PQ sendo que P(,, 4) e Q(,, 5). Detemine o veto 4w. 8

19 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio ) Consideando os vetoes u = i j e v = (,, 0), detemine o veto t de modo que: 4(u v) + t = u t. ) Dados os pontos (,, ) e (,, 5) e o veto w = (, 0, 4), detemine o veto: w ( ) Resolução: Inicialmente chamaemos de R o veto solicitado. Então: R = w ( ) Oganiando... R = w + ( ) R = w + + R = w + Substituindo o veto w e os pontos e... R = (,0, 4) + (,,5) (,,) Multiplicando os valoes... = Enfim, temos o veto solicitado: = R (,0, 8) + (,6,0) (4, 4,) R = ( 4,6, ) (4, 4,) R ( 0, 0, 0) 4) Enconta o vétice oposto à, no paalelogamo CD, sabendo que (,, 0), (4,, 0) e C(5, 5, 0). Esquentando o Pocessado! Qual o valo do númeo na seqüência: {, 0,, 6, 7, 8, 9, }? 9

20 Geometia nalítica EXERCÍCIOS ) Dados os vetoes u = (, ) Pofesso Júlio Césa Tomio e v = (, ), detemine o veto t de modo que: t (v u) = (4t u). ) Dados os pontos (, ), (, 5), C(, ) e O(0, 0) detemine os vetoes: a) O b) OC C c) 4C ) Dados os pontos (, 4) e (, ) e o veto v = (, ), calcule os vetoes deteminados po: a) ( ) + v b) ( ) v c) + ( ) d) v ( ) 4) Detemina o veto v, sabendo que: (, 7, ) + v = (6, 0, 4) v. 5) Dados os pontos (,, ) e (,, 5) e o veto v = (,, 4), calcula: a) + v b) ( ) v c) + ( ) d) v ( ) 6) Dados os pontos (, 4, ) e (,, 0), detemina o ponto N petencente ao segmento, tal que N =. 5 7) Dados os pontos (,, ), (,, 4) e C(,, ), detemina o ponto D tal que + CD = 0. Em seguida epesenta os vetoes posição de e CD no R. 8) Sabendo que u 4v = w, detemina a, b e c, sendo u = (,, c), v = (a, b, ) e w = (4,, 0). 9) Dados os vetoes u = (,, ), v = (,,) e w = (, 4,0) ; a) detemina o veto de modo que u v + = 4 + w ; b) enconta os númeos a, a e a tais que au + av + aw = (,, 5). 0) Enconta o vétice oposto a no paalelogamo CD e epesenta este paalelogamo no R. Considee casos: a) (, 0, ), (,, ) e C(,, 5) b) (4, 0, ), (5,, ) e C(,, 5) ) Sendo (, 5, ) e (7,, ) vétices consecutivos de um paalelogamo CD, e M(4,, ) o ponto de intesecção das diagonais, detemina os vétices C e D. RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS ), 5 5 a) ( 4, ) b) (, 5) c) ( 5, 0) a) ( 8, ) b) (6, 8) c) ( 9, ) d) ( 4, 9) 4) v = (,, ) 5a) (5, 7, 9) 5b) (0, 6, ) 5c) (, 7, 9) 5d) (5,, 4) 6 6) N,, 5 7) D(, 6, 8) 7 4 8) a =, b =, c = 4 9a) =,, 4 9b) a =, a =, a = 0a) D(,, 6) 0b) D(,, ) ) C(6,, ) e D(, 9, 7) Multiplicação de um veto po um escala Considee o veto w = (, ) no Sistema Catesiano Otogonal. a) Detemine o veto v de modo que v = w. b) Detemine o veto t de modo que t = w. c) Detemine o veto u de modo que u = w. d) Repesente os vetoes w, v, t e u no R. 0

21 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio Obsevação: tavés do eemplo anteio podemos fomalia o conceito de multiplicação de um veto po um escala. v Quando multiplicamos um númeo eal n po um veto 0, temos um novo veto nv, sendo que: nv = módulo : nv = n. v dieção : a mesma de v se n > 0 nv tem o mesmo sentido de v sentido : se n < 0 nv tem sentido contáio de v EXEMPLOS Veto Resultante ) Considee uma bóia (na oigem) flutuando num lago de águas calmas e que os vetoes t = 40i e v = (0, 0) epesentam duas foças (em N) aplicadas simultaneamente na bóia em questão. Detemine a foça esultante aplicada e epesente esquematicamente a situação no R ao lado. Paa este caso: R = 50 N Obseve que: v + w = w + v (popiedade comutativa da adição) ) Dados os vetoes v = (4, ), w = i + 5 j e t = (, ), detemine o veto R sabendo que R = v + w + t, e faça a epesentação desses no R ao lado. Esquentando o Pocessado! Quais os valoes dos númeos e na seqüência: {,,, 6, 4,, }? Paa efleti: É costume de um tolo, quando ea, queia-se dos outos. (Sócates)

22 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio EXERCÍCIOS Veto Resultante ) Com base na figua abaio, detemine os vetoes pedidos, epessando-os com oigem no ponto. D H C E O G F OC + c) E + F e) EO + G g) C + EH a) CH i) OG HO b) EH + FG d) EH + EF f) OE + OC h) FE + FG j) F + FO + O ) Nos cubos abaio, epesente a soma dos vetoes indicados: a) b) H G H G E F E F D C D C F E ) No heágono egula ao lado, obte o veto esultante de: a) ( ) + (E F) + (F ) epessando-o com oigem no ponto b) (D ) (E ) + (E ) epessando-o com oigem no ponto D c) (C D) + (F ) ( ) epessando-o com oigem no ponto F d) (C ) (C E) + ( C) epessando-o com oigem no ponto C C 4) Veifique se é um paalelogamo o quadiláteo de vétices (não necessaiamente consecutivos): a) (4,, ), (9, 4, ), C(4,, 4) e D(4,, 4) b) (4,, ), (9, 4, ), C(4,, 4) e D(9, 0, 5) 5) Demonste que o segmento cujos etemos são os pontos médios de dois lados de um tiângulo qualque é paalelo ao teceio lado e igual a sua metade. C MN Sugestão: M N Devemos demonsta que: = RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS a) E b) C c) C d) e) O f) D g) H h) D i) O j) C a) (G ) b) (E ) a) D b) D c) FF d) CD 4a) Não é. 4b) É um paalelogamo.

23 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio Paalelismo de Vetoes (colineaidade) Dois ou mais vetoes são paalelos (ou colineaes) ente si, quando seus epesentantes possuíem a mesma dieção. v w v w α α β β v // w mesma dieção mesmo sentido equivesos v // w mesma dieção sentidos contáios contavesos naliticamente: Considee os vetoes v = (,, ) Da epessão v = n. w temos: e w = (,, ). Simbolicamente temos: Se v // w n R / v = n. w (,, ) = n.(,, ) (,, ) = (n., n., n. ) então, de uma outa foma: = = = n Obsevações: 0 // u Quando um veto tive uma das coodenadas nula, um outo veto paalelo a este, também teá a coodenada coespondente nula. Veja o eemplo abaio. EXEMPLOS: ) Veifique se os vetoes u = (, ) e w = 4i 6 j são paalelos, epesentando-os no R abaio. Nota: Obseve que n pode assumi dois valoes. Quando n =, temos neste caso que um veto é o dobo do outo, e, quando n = /, temos que um veto é metade do outo. Os dois valoes, obviamente, identificam a mesma situação. O valo encontado dependeá da seqüência de escolha dos vetoes em questão. ) Dados os vetoes v = (a, 4, 0) e w = ( 8, 6, b + ), detemine-os, sabendo que v // w.

24 Geometia nalítica EXERCÍCIOS Paalelismo de Vetoes ) Quais dos vetoes: u = (4, 6, ), v = ( 6, 9, ), w = (4,, 9) e t = (0, 5, 5) Pofesso Júlio Césa Tomio são paalelos? ) Dado o veto w = (,, 5), detemina a e b de modo que os vetoes u = (,, ) e v = (a, 6, b)+ w sejam paalelos. ) eta que passa pelos pontos (, 5, ) e (,, 0) é paalela à eta deteminada po C(,, ) e D(0, m, n). Detemine o ponto D. Sugestão: paa que as etas sejam paalelas, temos que // CD. 4) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) petence à eta que passa pelos pontos (,, ) e (,, 5), calcule m e n. Sugestão: Pode-se fae P //. RESPOSTS: ) paalelos: u, v e t ) a = 9, b = 5 ) D(0,, 0) 4) m = 5, n = Cálculo do Módulo de um Veto Consideando um veto posição v = (, ) no R abaio: Note que: v = OP P Po Pitágoas, temos: (hip) = (cat) + (cat) v = + 0 v = + Conseqüentemente, paa um veto posição w = (,, ) no R teemos: w = + + Obsevação: lguns matemáticos utiliam uma outa notação paa o módulo (ou noma) de um veto u : u EXEMPLOS: ) Detemine o módulo do veto w = PQ, epesentando o veto posição w no R. Dados: P = (6, 5, 0) e Q = (7, 0, 0) 4

25 Geometia nalítica ) Detemine o valo m do modo que o veto v = mi + 4j k tenha módulo igual a 7. Pofesso Júlio Césa Tomio ) Calcule a distância ente os pontos (, ) e (4, ) e epesente gaficamente a situação. OSERVÇÃO: Paa calcula o módulo de um veto definido po dois pontos (,, ) e,, ) ( no espaço (ou simplesmente calcula a distância ente dois pontos e quaisque) podemos utilia a fómula da distância ente dois pontos: d = ( ) + ( ) + ( ) que paa o caso da sua utiliação no cálculo do módulo de um veto, ficaia: = ( ) + ( ) + ( ) Veto Unitáio Um veto é dito unitáio quando seu módulo fo igual a. Em divesas situações faemos uso desse conceito. Fomaliando, temos: Se w = (,, ) é UNITÁRIO, então podemos esceve w =. Pela fómula do módulo de um veto, temos: w = + + Se é unitáio, então: = + + Simplificando, encontaemos: + + = 5

26 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio EXEMPLOS: ) Veifique se o veto v =,, é unitáio. ) Detemine o valo de p de modo que o veto u = pi j + k seja unitáio. EXERCÍCIOS Módulo de um Veto + Veto Unitáio ) Dados os vetoes u = (, ), v = (,4) e w = ( 8, 6) calcula: a) u b) v c) w d) u + v e) u w f) w u ) Calcula os valoes de a paa que o veto u = (a, ) tenha módulo 4. ) Veifica se são unitáios os seguintes vetoes: u = (,,) e v =,, ) Detemina o valo de n paa que o veto v = n,, seja unitáio ) Seja o veto v = (m + 7)i + (m + )j + 5k. Calcula m paa que v = 8. 6) Calcule a distância do ponto T(, 9) à oigem. 7) Dados os pontos (, m, 4) e (8, m, m), detemina m de modo que = 5. 8) Calcula o peímeto do tiângulo de vétices (0,, ), (, 0, ) e C(,, 0). 9) Enconta um ponto do eio de modo que a sua distância ao ponto (, ) seja igual a 5. 0) Obte um ponto P, do eio das cotas, cuja distância ao ponto T(,, ) seja igual a. ) Dados (, 0, ), (4,, ) e C(,, 0), detemine o valo de m paa que v = 7, sendo que v = m. C + C ) Obte um ponto P, do eio das abscissas, eqüidistante dos pontos (,, ) e (,, ). Faça: P = P. ) Detemine o módulo do veto v = (senθ) i + (cos θ) j.. RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS a) b) 5 c) 0 d) e) f) 4 ) ± ) v é unitáio 4) 6 5 ± 5) { 5, 4} 6) 5 uc 5 7) {, } 8) + 9) (6, 0) ou (, 0) 0) P(0, 0, 0) ou P(0, 0, 4) ) ou ) P(, 0, 0) ) 5

27 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio Veso de um Veto O veso de um veto w 0 é o veto UNITÁRIO que tem a mesma dieção e sentido de w e epesentamos po ves w. Paa encontamos o veso de um veto w, po eemplo, basta aplicamos a fómula: Oganiando, temos: módulo : ves w = ves w : dieção : mesma de w sentido : mesmo de w Vale a pena elembamos os vesoes da base canônica do R. i = (, 0, 0), j = (0,, 0) e k = (0, 0, ) Obseve que: i = j = k =. o lado temos um R mostando os vesoes da base canônica. Obsevação: um veto unitáio coincide com o seu pópio veso. w ves w = w i k j EXEMPLO: ) Dado o veto u = (,4, 5), detemine o seu veso. Em seguida, epesente estes vetoes no R. EXERCÍCIOS Veso de um Veto ) Dados os vetoes u = (, ), v = (, 4) e w = (8, 6), calcula: a) ves v b) ves w c) ves u d) ves u ) Detemina o valo de a paa que u = (a, a, a) seja um veso. ) Dados os pontos (,, ), ( 6,, ) e C(,, ), detemina o veso do veto w, tal que w = C. RESPOSTS: a) 4, b), 5 5 c), d) ) ± ) w =,, EXERCÍCIOS EXTRS pofundamento e plicações ) Dado o veto v = (, ), detemina o veto paalelo a v que tenha: a) sentido contáio ao de v e duas vees o módulo de v ; b) o mesmo sentido de v e módulo ; c) sentido contáio ao de v e módulo 4. Obsevação: Repesente no R o veto v e os vetoes encontados nas questões a, b e c. 7

28 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio ) Detemina o veto de módulo 5, paalelo ao veto v = (,, ). ) Dado o veto = (,, ) v, detemina o veto paalelo a v que tenha: a) sentido contáio ao de v e tês vees o módulo de v ; b) o mesmo sentido de v e módulo 4; c) sentido contáio ao de v e módulo 5. 4) Consideando a peça plana ao lado, detemine a distância ente os fuos: a) e b) e C Obsevação: medidas em mm C 5) Pove que o tiângulo cujos vétices são os pontos (0, 5), (, ) e C(, ) é isósceles, e calcule o seu peímeto. 6) Detemine as distâncias do ponto P(, 4, ) aos eios coodenados, e, epesentando P no R. 7) Utiliando seus conhecimentos sobe vetoes, veifique se os pontos (, 5, 0), (,, ) e C(, 7, ) são colineaes. 8) Pova que os pontos (, ), (, ), C(, 6) e D( 5, ), nesta odem, são vétices de um quadado. RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS 6 a) (, 6) b), c) 4, b),, c) 0 5 5,, ) ±,, ± m a) ( 6,, 9) 4a),70 mm 4b) 5 mm 5) uc 6) 5, 5 e 7 uc 7) É um desafio, não tem a esposta aqui! 8) Idem ao eecício 7. Paa efleti: O confomismo é o caceeio da libedade e o inimigo do cescimento. (Ella Fitgeald) baio, um teto inteessante paa você le e efleti pofundamente... s Tês Peneias Um apa pocuou Sócates e disse-lhe que pecisava conta-lhe algo sobe alguém. Sócates egueu os olhos do livo que estava lendo e peguntou: - O que você vai me conta já passou pelas tês peneias? - Tês peneias? - indagou o apa. - Sim! pimeia peneia é a VERDDE. O que você que me conta dos outos é um fato? Caso tenha ouvido fala, a coisa deve moe aqui mesmo. Suponhamos então que seja vedade, deve então passa pela segunda peneia: a ONDDE. O que você vai conta é uma coisa boa? juda a constui ou destui o caminho, a fama do póimo? Se o que você que conta é vedade e é coisa boa, deveá passa ainda pela teceia peneia: a NECESSIDDE. Convém conta? Resolve alguma coisa? juda a comunidade? Pode melhoa o planeta? emata Sócates: - Se passou pelas tês peneias, conte!! Tanto eu, como você e seu imão, iemos nos beneficia. Caso contáio, esqueça e entee tudo. Seá uma fofoca a menos paa envenena o ambiente e fomenta a discódia ente imãos. Devemos sempe se a estação teminal de qualque comentáio infeli. 8

29 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio PRODUTO ESCLR Definição lgébica do Poduto Escala: Consideando o espaço R e os vetoes u = (,, ) e w = (,, ), chamamos de Poduto Escala de u e w, o númeo eal dado po: Obsevações: u w = O poduto escala também é conhecido como poduto inteno (ou ainda multiplicação intena) e pode se indicado po u w, uo w ou u, w (lê-se: u escala w ). notação u w paa o poduto escala já está em desuso, e a utiliaemos mais adiante paa epesenta o poduto vetoial. Obseve que: u w = w u (popiedade comutativa). Paa o caso de se tabalha somente no plano, ou seja, no R, apenas supime-se a coodenada. Definição Geomética do Poduto Escala: Consideando os vetoes u = (,, ) e w = (,, ) não nulos e θ o ângulo ente eles, então o Poduto Escala de u e w pode se escito po: C u w = u. w.cos θ (com 0 θ 80º). w θ Ângulo ente dois vetoes: u O ângulo ente dois vetoes é definido como sendo o meno ângulo que um veto deve gia ao enconto do outo veto paa que se tonaem colineaes. Desta foma, utiliaemos o ângulo θ com a seguinte vaiação: 0 θ 80º. Da igualdade u w = u. w. cos θ, vista anteiomente, temos: cos θ = u w como sendo a fómula a pati da qual se calcula o ângulo θ ente dois vetoes não nulos. u. w u, Se θ fo o ângulo ente os vetoes u e w ^, então podemos esceve θ = ( w) Nomalmente, encontaemos os ângulos em duas unidades: o gau (º) e o adiano (ad). convesão ente as unidades pode se feita atavés de uma ega de tês simples e dieta: 80º π ad Lembetes: - Uma volta completa possui 60º ou π ad. - s calculadoas científicas tabalham com os ângulos em tês unidades: DEG (gau), RD (adiano) e GRD (gados). segui, tem-se as possíveis situações no estudo do ângulo θ e do poduto escala de dois vetoes não nulos: u u θ w w θ = 0º u e w são paalelos (equivesos) cos 0º = u w > 0 u // w θ = 80º u e w são paalelos (contavesos) cos 80º = u w < 0 u // w 9

30 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio w u θ = 90º (ângulo eto) u e w são pependiculaes ( u w ) cos 90º = 0 u w = 0 w θ 0 < θ < 90º (ângulo agudo) cos θ > 0 u w > 0 u w θ 90º < θ < 80º (ângulo obtuso) cos θ < 0 u w < 0 u Obsevações: Nulidade do poduto escala:, se: u w = 0 i) Um dos vetoes fo nulo; ii) Os dois vetoes foem otogonais (pependiculaes) ente si, ou seja, θ = 90º [Lembe-se que: cos 90º = 0]. pati disso podemos esceve: 0 = 0 u e 0 u = 0 i k k ; e paticulamente: = = = 0. Vale lemba os vesoes (base canônica) dos eios catesianos: i = (, 0, 0), j = (0,, 0) e k = (0, 0, ). 0 é pependicula a qualque outo veto e escevemos: 0 u. Em paticula, o veto nulo ( ) Enfatiando: Paa os vetoes 0 u e w 0 temos que u w = 0 u w (o poduto escala é eo paa vetoes otogonais). j j i EXEMPLOS: ) Dados os vetoes u i + 8k = e w = ( 4,, 5) detemine o valo de w u. ) Moste que, paa qualque que seja o veto u, teemos: a) u u u = u b) 0 = 0 0

31 Geometia nalítica ) Sendo u =, w = e 0º o ângulo ente os vetoes u e w, calcule u w. Pofesso Júlio Césa Tomio 4) Pova que o tiângulo de vétices (,, ), (,, ) e C(,, ) é etângulo em. 5) Calcule o ângulo ente os vetoes v = (,, ) e, sabendo que (,, ) e (4, 0, 4). 6) Detemine um veto otogonal aos vetoes v = (,, 0) e v = (, 0, ).

32 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio EXERCÍCIOS Poduto Escala ) Mosta que os paes de vetoes dados são otogonais: a) v = (,, ) e w = (4, 5, ) b) i e j ) Dados os vetoes u = (,, 0) e w = (0,, 0), calcule o valo de u w pelas definições algébica e geomética. Sugestão: faça uma epesentação no R paa auilia o cálculo de u w atavés da definição geomética. ) Seja o tiângulo de vétices (,, 4), ( 4,, 0) e C(,, ). Detemina o ângulo inteno aos vétices e. 4) Os pontos,, C são vétices de um tiângulo eqüiláteo com lado de 0cm. Calcule o poduto escala ente e C. 5) Veifica se eiste ângulo eto no tiângulo C, sendo (,, ), (,, 5) e C(0, 4, ). 6) Calcula n paa que seja de 0º o ângulo ente os vetoes u = (, n, ) e j. 7) Dados os vetoes a = (,, m), b = (m+, 5, ) e c = (m, 8, m), detemina o valo de m paa que o veto a + b seja otogonal ao veto c a. 8) Detemina os ângulos intenos do tiângulo de vétices (,, ), (, 0, ) e C(,, ). 9) Sabendo que o ângulo ente dois vetoes u = (,, ) e v = (,, m+) é π/, detemina m. 0) Pova que os pontos (5,, 5), (4,, ) e C(,, ) são vétices de um tiângulo etângulo. ) Qual o valo de m paa que os vetoes a = m i + 5j 4k e b = (m + ) i + j + 4k sejam otogonais? ) Detemina o veto w, paalelo ao veto u = (,, ), de modo que w u ) Detemina um veto unitáio otogonal ao veto v = (,, ). = 4. 4) Os lados de um tiângulo etângulo C (eto em Â) medem 5, e. Calcula C + C + C C. 5) Detemina o veto v, sabendo que v = 5, v é otogonal ao eio O, v w = 6 e w j k = +. 6) Detemina o veto v, otogonal ao eio O, que satisfa as condições v v = 0 e v v = 5, sendo v = (,, ) e v = (,, ). 7) Detemine o meno ângulo fomado ente duas diagonais de um mesmo cubo. Sugestão: desenhe um cubo no R. Teste sua atenção e oganiação com o eecício 8! 8) Dados os vetoes u = (, a, a ), v = (a, a, ) e w = (a,, ), detemine a tal que u v = ( u + v ) w. 9) Calcula o módulo dos vetoes u + v e u v, sabendo que u = 4, v = e que o ângulo ente u e v é de 60º. RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS ) Utilie o poduto escala! ) u w = ) ˆ = 45º e  = 90º 4) 50 5)  6) ± 5 7) { 6, } 8)  = ac cos 5 5º, ˆ = ac cos º e Ĉ = ac cos 4 ) ( 6,, 9) ) Um deles é,, 7) po. 70º 8) a = 9) 7 e 7º 9) 4 0) C = 0 ) {, } 0 4) 69 5) (4,, 0) ou ( 4,, 0) 6)(, 4, 0) Paa efleti: em melho aisca coisas gandiosas mesmo epondo-se à deota, do que foma fila com os pobes de espíito, os quais vivem nessa penumba cinenta, e não conhecem nem vitóia, nem deota. (Theodoe Roosevelt)

33 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio PRODUTO VETORIL nteiomente vimos que, a cada pa de vetoes, podemos associa um númeo eal, chamado de poduto escala ente estes dois vetoes. tavés desse poduto escala, conseguimos obte váias infomações sobe vetoes, como po eemplo, ângulos ente dois vetoes e ângulos ente um veto e os eios coodenados. Chegamos até a esolve alguns eecícios de geometia euclidiana faendo uso do mesmo! Pois bem, vamos fala um pouco de um novo poduto ente dois vetoes: o poduto vetoial. Difeentemente do poduto escala, o poduto vetoial ente dois vetoes u e w é um veto! Veja se você entendeu: enquanto o poduto escala é um númeo, o poduto vetoial é um veto; e este veto tem váias caacteísticas impotantes e peculiaes. Vamos então à definição de poduto vetoial. Definição: Consideando o espaço R e os vetoes u = (,, ) e w = (,, ), chamamos de Poduto Vetoial de u e w, o veto u w definido po: u w = i j + k Consideações Impotantes: O poduto vetoial também é conhecido como poduto eteno (ou ainda poduto cuado) e pode se indicado po ou u w (lê-se: u vetoial w ). Paa simplifica o cálculo do poduto vetoial, usaemos: u w = i j k Obseve que: u w = ( w u) (popiedade anti-comutativa). Dieção de u w : é pependicula (otogonal) aos vetoes u e w simultaneamente. u w : u, w e u w nesta odem, Sentido de fomam um tiedo positivo (segue a ega da mão dieita). Módulo de u w : u w = u. w. sen θ (com 0 θ 80º). Note que: u w = w u π u w w u u, ^ θ = ( w) u. w u w Nulidade do poduto vetoial: u w = 0, se: i) Um dos vetoes fo nulo; ii) Os dois vetoes foem paalelos ente si, ou seja, θ = 0º ou θ = 80º. pati disso podemos esceve: u u = 0, u 0 = 0 e 0 u = 0 ; e paticulamente: i i = j j = k k = 0. Em paticula, os vesoes i, j e k i, nesta odem, fomam um tiedo positivo. De uma foma pática, utilia-se o esquema ao lado paa detemina o poduto vetoial de dois desses vesoes, cujo esultado é o veso faltante, de sinal positivo se o sentido fo anti-hoáio e negativo se no sentido hoáio. Veja alguns eemplos: i j = k k i = j k j = i j i = k i k = j Enfatiando: Paa os vetoes 0 u e w 0 temos: u w = 0 u w (o poduto escala é eo paa vetoes otogonais) u w = 0 u // w (o poduto vetoial é o veto nulo paa vetoes paalelos) j + k

34 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio OUTRS PLICÇÕES DO PRODUTO VETORIL Cálculo de Áeas (Paalelogamo e Tiângulo) Seja o paalelogamo CD, definido pelos vetoes u e w. D C w θ h u tavés da geometia plana, sabemos que a áea de um paalelogamo é o poduto de sua base pela altua, ou seja, S CD = base. altua Neste caso temos: base = u e altua = w. sen θ, pois tem-se que: Substituindo em S CD = base. altua, temos: S CD = Ou seja: S CD = u. w u w. sen θ cat. op. sen θ = hip. sen h θ = h = w. sen θ w áea de um paalelogamo deteminado pelos vetoes u e w é numeicamente igual ao módulo do poduto vetoial desses vetoes. Face o eposto acima, facilmente escevemos: C w θ S C = u w u áea de um tiângulo deteminado pelos vetoes u e w é numeicamente igual ao módulo do poduto vetoial desses vetoes, dividido po dois. Toque (Momento de uma foça) O toque é uma gandea física vetoial (epesentado po τ ) e está elacionada com a possibilidade de um copo sofe uma toção ou altea seu movimento de otação. O toque pode se calculado atavés da equação abaio: τ = F onde é a distância do ponto de aplicação da foça F ao eio de otação, ao qual o copo está vinculado. intensidade (módulo) do toque seá calculado atavés da equação: τ =. F. sen θ, onde θ é o ângulo ente e F. 4

35 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio EXEMPLOS: ) Dados os vetoes u = i + j k a) u w e = (, 4, 5) w detemine: b) w u c) u w d) u u ) Consideando os vetoes u = (,, 4) e w = (,, ), detemine um veto que seja: a) otogonal a u e w (simultaneamente); c) otogonal a u e w e que tenha módulo 4; b) otogonal a u e w e unitáio; d) otogonal a u e w e que tenha cota igual a 7. a) Resolução: Um veto otogonal a u e w simultaneamente é o veto u w que chamaemos de t. Então: i j k t = u w = 4 = i j + k ( k 8i j) t = 0 i 0 j + 5k ou t = ( 0, 0, 5) b) Resolução: Um dos vetoes unitáios é o veso de t. Inicialmente calculamos: t = (0) + ( 0) + (5) = 5 Calculando o veso de t t (0, 0, 5) teemos: ves t = = = t,, ves t =,, c) Resolução: Paa que um veto (que chamaemos de v ) seja otogonal a u e w simultaneamente e tenha módulo 4, basta faemos: v = 4. ves t = 4.,, v =,, d) Resolução: Todos os vetoes simultaneamente otogonais a u e w são múltiplos de u w e, potanto, são da foma m.( 0, 0, 5) com m R. Chamando o veto pocuado de p temos: p = m.( 0, 0, 5) = ( 0m, 0m, 5m) Como o veto p deve te cota () igual a 7, faemos: 5 m = 7 m = 7 / 5. Reescevendo o veto p encontaemos: p = m.(0, 0, 5) =.(0, 0, 5) =,, p = ( 4, 4, 7)

36 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio ) Dados os pontos (,, ), (,, 0) e C(4,, ), detemine: a) a áea do tiângulo C b) a altua do tiângulo C elativa ao vétice C. 4) Seja o tiângulo eqüiláteo C de lado 0 cm. Detemine a sua áea utiliando os conceitos de poduto vetoial. Resolução: plicando a fómula do módulo de um poduto vetoial, temos: C =. C. sen θ 60º 0 cm C C = 0.0. sen60º C =00. = 50 Sabemos que a áea de um tiângulo pode se calculada atavés do módulo do poduto vetoial dos vetoes que compõem o tiângulo. ssim temos: S C = C = 50 = 5 4,0 Então, a áea do tiângulo eqüiláteo C é apoimadamente 4,0 cm. Paa efleti: Podemos escolhe o que semea, mas somos obigados a colhe aquilo que plantamos. (Povébio chinês) EXERCÍCIOS Poduto Vetoial =, v = (, 4, ) e w = i + k, detemine: d) ( u v) ( v u ) g) u ( v w) j) ( u v) v ( v v e) u v w ( ) h) u ( v + w) k) ( u v) w ( u w) + ( w u f) ( u v) w i) ( u v) + ( u w) l) u ( v w) ) Se u i j k a) u u b) ) ( ) c) ) Obsevação: lguns dos casos acima podem se esolvidos apenas com uma análise pévia. ) Dados os pontos (,, ), (, 0, ) e C(,, ), detemine o ponto D tal que D = C C. ) Sejam os vetoes u = (,, ), v = (,, ) e w = (, 0, ). a) Utilie o poduto escala paa mosta que os vetoes são, dois a dois, otogonais. b) Utilie o poduto vetoial paa mosta que o poduto vetoial de quaisque dois deles é paalelo ao teceio veto. c) Moste que u ( v w) = 0. 4) Obte um veto otogonal ao plano deteminado pelos pontos (,, ), (,, ) e C(4,, ). 6

37 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio 5) Dados os vetoes u = (,, 0) e v = (,, ), detemina: a) um veto unitáio simultaneamente otogonal a u e v ; b) um veto de módulo 5 simultaneamente otogonal a u e v. 6) Detemina um veto de módulo, otogonal a u = (,, ) e a v = (0,, ). 7) Com base na figua ao lado, calcula: a) D b) C c) DC 0º d) CD e) D C f) D CD D 8) Detemina u v sabendo que u v =, u = e que v é unitáio. 9) Dados os vetoes u = (,, ) e v = (,, ), calcula: a) a áea do paalelogamo deteminado po u e v ; b) a altua do paalelogamo elativa à base definida pelo veto v. C 0) Calcula a áea do paalelogamo definido pelos pontos (4,, ), (5, 0, ), C(,, ) e D(,, ). ) Dois vétices consecutivos de um paalelogamo são os pontos (, 4, 0) e (,, ) e o ponto médio das diagonais é M(,, ). Calcule a áea do efeido paalelogamo. ) Sabendo que u = 6, v = 4 e 0º o ângulo ente u e v, calcula: a) a áea do tiângulo deteminado po u e v ; b) a áea do paalelogamo deteminado po u e ( v ). ) Calcula a áea do tiângulo C e a altua elativa ao lado C. Considee: (4,, ), (, 0, ) e C(,, 0). 4) Enconte um veto otogonal ao plano deteminado pelos pontos P, Q e R, e calcule a áea do tiângulo PQR. Considee: P(,, 0), Q(0,, ) e R(, 0, ). 5) Calcula o valo de m paa que a áea do paalelogamo deteminado po u = (m,, ) e v = (,, ) seja 6. 6) Calcula, sabendo-se que (, 0, 0), (0,, 0) e C(0, 0, ) são vétices de um tiângulo de áea 6. 7) Dados (,, ) e (0,, ), detemine o ponto C do eio O, de modo que a áea do tiângulo C seja,5 ua. 8) Calcula a distância do ponto P(4,, ) à eta que passa pelos pontos (,, ) e (,, ). RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) ( 5, 0, 5) f) (,, ) g) ( 6, 0, ) h) (8,, ) i) (8,, ) j) 0 k) 5 l) 5 ) D( 4,, ) 4) Um deles: C 5 5 5b) ±,, ± 5 m 6) ( 0,, ) ou (,, ) = (,, 0) 5a) ±, m, ± 0 7a) 7b) 7c) 0 7d) 0 7e) 4 7f) 8) 5 ou 5 9a) 0 ua 9b) 0 uc 0) ua ) 74 ua a) 6 ua b) ua ) 7 ua e 5 7 uc 4) t.(, 4, 6) com t R e 5 ua 5) 0 ou 6) 4 ou ) C(0,, 0) ou C(0,, 0) 8) uc Paa efleti: O conhecimento amplia a vida. Conhece é vive uma ealidade que a ignoância impede desfuta. (Pensamento Logosófico) 7

38 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio PRODUTO MISTO Definição: Dados os vetoes u = (,, ), v = (,, ) e w = (,, ), o poduto misto (ou multiplicação mista) destes tês vetoes é o númeo eal epesentado po u ( v w), quanto tomados nessa odem. ( u v w O poduto misto também pode se indicado po,, ) e paa calculá-lo, basta esolvemos o deteminante fomado pelas coodenadas dos tês vetoes em questão. Veja: Sabemos que: v w = i j + k (definição de poduto vetoial) Então: u ( v w) = +... (aplicação de poduto escala) Segue que: u ( v w) = ( u, v, w) = Popiedades do Poduto Misto: ( u v w = Nulidade:,, ) 0, se: Pelo menos um dos vetoes fo nulo; ( u v w ( u, v, w ( u, v, w Se u, v e w foem coplanaes; Se dois deles foem paalelos. Toca de sinal: O poduto misto,, ) muda de sinal ao tocamos a posição de dois vetoes. ( v u w Se hipoteticamente tivemos ) = 0, então,, ) = 0. Então, se num poduto misto ) ocoe: Uma pemutação de vetoes, haveá a toca de sinal do poduto misto. Duas pemutações de vetoes, não haveá alteação no valo do poduto misto. Isto acaeta que: u ( v w) = ( u v) w INTERPRETÇÃO GEOMÉTRIC DO PRODUTO MISTO ( u v w Geometicamente, o poduto misto dado po,, ) é igual, em módulo, ao volume do paalelepípedo de aestas deteminadas pelos vetoes não-coplanaes u, v e w. Ou seja: Volume Paalelepípedo = ( u, v, w) Como eemplo, considee o paalelepípedo composto pelos vetoes: u = (, 0, 0), v = (0, 7, 0) e w = (0, 0, 5). 5 G F Neste caso é fácil de veifica o volume do paalelepípedo geado, pois os vetoes são otogonais ente si e estão sobe os eios coodenados. D E Daí tem-se que o volume V pode se assim calculado: V = (áea da base OC).(altua OG) V = (. 7).5 V = 70 u.v. [Obs.: u.v. unidades de volume] O 7 C 8

39 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio goa, aplicando o poduto misto (em módulo) dos vetoes u, v e w, teemos: 0 0 Volume Paalelepípedo = ( u, v, w) = =.7.5 = Potanto, V = 70 u.v. Decoente do eposto até então, podemos também calcula o volume de um tetaedo geado po tês vetoes não coplanaes. Veja: Sejam os pontos,, C e D não coplanaes. Então os vetoes u =, v = C e também são não coplanaes. ssim sendo, os vetoes em questão deteminam um paalelepípedo (veja figua abaio) cujo volume é: ou ainda: V paalelepípedo = ( u, v, w) V paalelepípedo = (, C, D) w = D Este paalelepípedo, po sua ve, pode se epatido em dois pismas de base tiangula C (veja figua) de mesmo tamanho e assim o volume V pisma de cada um dos pismas seá metade do volume do paalelepípedo, ou seja: Vpisma = V paalelepípedo Po outo lado, atavés da Geometia Espacial, sabemos que um pisma pode se dividido em tês piâmides de mesmo volume. Neste caso, consideando o pisma de base tiangula C, temos que uma das piâmides seá o tetaedo CD. Como o volume da piâmide (que neste caso é um tetaedo) é / do volume do pisma, teemos: Vtetaedo = V pisma V tetaedo = V paelelepípedo Vtetaedo = V 6 paalelepípedo 6 u v w Volume Tetaedo = (,, ) EXEMPLOS: ) Sejam (,, ), (5, 0, ), C(,, ) e D(6,, ) vétices de um tetaedo. Pede-se: a) o seu volume; b) a sua epesentação geomética; c) a sua altua elativa ao vétice D. 9

40 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio ) Veifique se os pontos (,, 4), (, 0, ), C(0,, ) e D(,, ) estão no mesmo plano. Resolução: Os quato pontos dados,, C e D seão coplanaes (estaão no mesmo plano) se os vetoes, C e D também foem coplanaes (veja o esquema abaio). Então devemos te (, C, D) = 0. Inicialmente devemos esceve os vetoes: Esquema = = (,0, ) (,,4) = (,, 6) C = C = ( 0,, ) (,, 4) = (, 0, ) D = D = (,, ) (,,4) = (,, 7) D C Calculando o poduto misto ente os vetoes, temos: π 6 (, C, D) = 0 = 0 6 (0 4 4) = = 7 0 Como (, C, D) = 0, os vetoes em questão são coplanaes. Logo, os pontos dados,, C e D são coplanaes. EXERCÍCIOS Poduto Misto ) Dados os vetoes = (,, ) = (,, a) ( u, v, w) b) ( w, u, v) u, v ) e w = (, 0, ) b) ( w) (v ) ) Sabendo que u ( v w) =, calcule: a) u ( w v) u, detemine: ) Os vetoes i + j + k, i j + k e i + j + 4k são coplanaes? Justifique sua esposta. 40

41 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio 4) Calcule o volume do paalelepípedo constuído sobe os vesoes i, j e k. 5) Detemine os valoes de k paa que os vetoes u = (, k, ), v = (,, k) e = (, 0, ) w sejam coplanaes. 6) Paa que valo de m os pontos (m,, ), (,, ), C ( 5,, ) e (,, ) 7) Um paalelepípedo é deteminado pelos vetoes = (,, 4) e a altua elativa à base definida pelos vetoes u e v. D são coplanaes? u, v = (, 0, ) e w = (,, 5). Calcule o seu volume 8) Calcula o valo de m paa que o volume do paalelepípedo deteminado pelos vetoes v = (0,, ), v = ( 4,, ) e v = (, m, ) seja igual a unidades de volume. 9) Detemine o valo de n em função de m paa que se tenha (, n, ) [(,, ) (0,, )] = 9 m. 0) Repesente gaficamente o tetaedo CD e calcule o seu volume, sendo (,,0), (6, 4,), (, 5,0) D (0,,). ) Dados os pontos (,, ) C e, (, 0,) e C (,, ), detemina o ponto D do eio O paa que o volume do paalelepípedo deteminado po, C e D seja 5 unidades de volume. ) Calcule a distância do ponto (, 5,) D ao plano deteminado pelos pontos (, 0,0), ( 0,, 0) e (0, 0, ) C. RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS a) 9 b) 9 a) b) 6 ) Sim, pois o poduto misto é eo. 4) 0 u.v. 5) {, } 6) m = 4 7) V = 7 u.v. e h = 7/ 0 u.c. 8) {4, 7/4} 9) n = m + 0) 9/ u.v. ) D(0, 0, 0) ou D(0, 0, 5) ) 4/ u.c. Paa efleti: vedadeia viagem de descobeta não está em pocua novas paisagens, mas em adquii novos olhos. (Macel Poust, Em busca do tempo pedido) ÂNGULOS DIRETORES E COSENOS DIRETORES DE UM VETOR Considee o veto v = (,, ) não-nulo, confome a figua abaio. Então: Ângulos dietoes de v são os ângulos α, β e γ que v foma com os vesoes i, j e k, espectivamente. Cosenos dietoes de v são os cosenos de seus ângulos dietoes, isto é, cos α, cos β e cos γ. Nota: Obseve que os ângulos dietoes de um veto, são os ângulos que o veto foma com os semi-eios coodenados positivos. Vale detalha então que: α, β, γ 80º. 0 Paa deteminamos os ângulos dietoes α, β, γ e seus cosenos, utiliaemos a fómula que calcula o ângulo ente dois u w vetoes não-nulos: cos θ =, vista anteiomente quando estudamos o poduto escala de dois vetoes. u. w ssim teemos: 4

42 Geometia nalítica v i (,, ) (, 0, 0) cos α = = = v. i v.() v v j (,, ) (0,, 0) cos β = = = v. j v.() v v k (,, ) (0, 0,) cos γ = = = v. k v.() v cos α = v cos β = v cos γ = v Pofesso Júlio Césa Tomio Obsevação: Note que os cosenos dietoes de v são eatamente as componentes do veso de v : = v ves v v (,, ) = v = v, v, v = (cos α, cos β, cos γ ) Como o veso é sempe um veto UNITÁRIO, decoe imediatamente que: cos α + cos β + cos γ =. EXEMPLOS: v = (. ) Calcule os ângulos dietoes do veto,, 0) ) Os ângulos dietoes de um veto são α, 45 º e 60 º. Detemine o ângulo α. 4

43 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio EXERCÍCIOS Ângulos Dietoes e Cosenos Dietoes de um Veto v = ( ) Calcule os ângulos dietoes do veto 6,, ) ) Os ângulos dietoes de um veto w são 45º, 60º e 0º e w =. Detemine o veto w. ) Os ângulos dietoes de um veto podem se 45º, 60º e 90º? Justifique sua eposta. 4) Os ângulos dietoes de um veto são 0º, β e 60º. Enconte β. 5) Num veto v são conhecidos cos α = / e cos β = / cos [γ é agudo] b) ves v a) γ. Detemine: 6) Detemine um veto unitáio otogonal ao eio O e que fome 60º com o eio O. 7) Detemina o veto t de módulo 5, sabendo que é otogonal ao eio O e ao veto v i k obtuso com o veto i. =, e que foma ângulo RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS RESPOSTS ) α = accos( 6 / 7) º, β = accos( / 7) 07º, γ = accos( / 7) 65º ) w = (,, ) ) Não, pois: cos 45º + cos 60º + cos 90º 4) {45º, 5º} 5a) / 5b) ves v = ( /, /, / ) 6) ( /, /, 0) ou (/, /, 0) 7) t = ( 5, 0, 5) 4

44 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio PÊNDICE Roteio e Obsevações paa Resolução de Poblemas em Matemática (Geometia nalítica) Leia com muita atenção o enunciado (teto) do poblema e veja que pate da Matemática (ou da Geometia) ele envolve. Se possível, faça uma epesentação gáfica (figua) paa ilusta o enunciado. note os dados, veificando se as gandeas envolvidas petencem ao mesmo Sistema de Unidades, tansfomando-as se necessáio. 4 Veifique o que pecisa se calculado ou esolvido (o que o poblema pede como solução). 5 Esceva as elações matemáticas (fómulas) efeentes ao tema envolvido. 6 Relacione os dados e as incógnitas que apaecem nas fómulas escitas, empegando aquelas que são necessáias paa se chega à solução do poblema. 7 Dê qualidade a sua esolução, pocuando esolve o poblema com muita atenção e oganiação. 8 Esceva a solução encontada com a espectiva unidade, caso eista. 9 Veifique se a solução condi com o que foi peguntado no poblema e se o esultado é coeente com situação em questão. Infomações Geais sobe Tiângulos # Ângulos de um tiângulo: Ângulo Reto: ângulo de 90º Ângulo gudo: ângulo meno que 90º (e maio que 0º) 0 < α < 90º Ângulo Obtuso: ângulo maio que 90º (e meno que 80º) 90º < α < 80º Obsevação: soma dos ângulos intenos de um tiângulo é igual a 80º. # Classificação dos tiângulos quanto ao tamanho dos lados Tiângulo Eqüiláteo Os tês lados têm medidas iguais (e tês ângulos iguais de 60º). d(,) = d(,c) = d(c,) Tiângulo Isósceles Dois lados têm a mesma medida (e dois ângulos iguais ou conguentes). d(,) = d(,c) d(,c) Tiângulo Escaleno Todos os tês lados têm medidas difeentes (e tês ângulos difeentes). d(,) d(,c) d(c,) # Classificação dos tiângulos quanto às medidas dos ângulos Tiângulo cutângulo Todos os ângulos intenos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menoes do que 90º. Tiângulo Obtusângulo Um ângulo inteno é obtuso (Â), isto é, possui um ângulo com medida maio do que 90 o. Tiângulo Retângulo Possui um ângulo inteno eto (Â), isto é, com 90 o. 44

45 Geometia nalítica Pofesso Júlio Césa Tomio # Segmentos Notáveis: Mediana de um tiângulo é um segmento de eta que une um vétice ao ponto médio do lado oposto. isseti de um tiângulo é um segmento que une um vétice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vétice em dois ângulos de mesma medida. ltua de um tiângulo é um segmento que une um vétice ao lado oposto (ou ao seu polongamento), fomando com o lado oposto um ângulo eto (90º). Mediati de um segmento de eta é a eta pependicula a esse segmento passando pelo seu ponto médio. Mediana, a bisseti e a altua são conhecidas como cevianas, em homenagem a Tommaso Ceva, matemático italiano (648 76). # Pontos Notáveis: aicento: é o ponto (G) de enconto das tês medianas de um tiângulo. Incento: é o ponto (I) de enconto das tês bisseties de um tiângulo. Otocento: é o ponto (O) de enconto das tês altuas de um tiângulo. Cicuncento: é o ponto (C) de enconto das tês mediaties dos lados de um tiângulo, e é o cento da cicunfeência cicunscita em um tiângulo. # Lados de um Tiângulo Retângulo: Os lados de um tiângulo etângulo ecebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acodo com a posição em elação ao ângulo eto. O lado oposto ao ângulo eto é a hipotenusa. Os lados que fomam o ângulo eto (adjacentes a ele) são os catetos. Temo Cateto Oigem da palava Cathetós: (pependicula) Hipotenusa Hpoteinusa: Hpó (po baio) + teino (eu estendo) Paa padonia o estudo da Tigonometia, adotam-se as seguintes notações: Leta Lado Tiângulo Vétice / Ângulo Medida a Hipotenusa Ângulo eto = 90 b Cateto Ângulo agudo < 90 c Cateto C Ângulo agudo C < 90 Obsevação: Dado um tiângulo qualque, podemos identificá-lo, quanto aos ângulos, sem mesmo conhecê-los. Paa isto, devemos conhece as medidas dos seus lados e então aplicamos o teoema de Pitágoas. ssim: Se a = b + c teemos um tiângulo etângulo (Â = 90º) Se a < b + c teemos um tiângulo acutângulo (Â < 90º) Se a > b + c teemos um tiângulo obtusângulo (Â > 90º) Impotante: Vale lemba que a é a medida da hipotenusa e sempe seá o maio lado de um tiângulo etângulo. Poém, paa os dois últimos casos (cutângulo e Obtusângulo) esta nomenclatua não é válida, todavia o valo de a está associado ao maio lado destes tiângulos. # Relações Tigonométicas paa um Tiângulo Qualque: α Lei dos Cosenos: a = b + c.b.c.cos ˆ c b Lei dos Senos: Cálculo de Áea: a b c = = = R sen ˆ sen ˆ sen Cˆ a.b.sen Cˆ S = β R a γ C 45