1 Módulo: Fatoração. 1.1 Exemplos
|
|
- Anna Vidal Belo
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 1 Módulo: Fatoração Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões chamadas fatores. Existem vários casos de fatoração como: Fator comum em evidência: quando os termos apresentam fatores comuns ax + ay a.(x + y) Fatoração por agrupamento: consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum ax + ay + bx + by a.(x + y)+b.(x + y) (x + y).(a + b) Fatoração por diferença de quadrados: consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado a 2 9(a +3).(a 3) Fatoraçãodotrinômioquadradoperfeito: o trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito. Por exemplo os trinômios (a 2 +2ab + b 2 )e(a 2 2ab + b 2 ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a + b) e(a b) ao quadrado respectivamente. Outros casos de fatoração: (a + b) 2 a 2 +2ab + b 2 (a b) 2 a 2 2ab + b Exemplos (a + b) 3 a 3 +3a 2 b +3ab 2 + b 3 (a b) 3 a 3 3a 2 b +3ab 2 b 3 a 3 + b 3 (a + b).(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 (a b).(a 2 + ab + b 2 ) 1) 2a 2 4ab 2a(a 2b) 2) a 2 3a + ba 3b a(a 3) + b(a 3) (a 3)(a + b) 3) a 3 b ab 3 ab(a 2 b 2 )ab(a + b)(a b) 4) a 2 10a +25(a 5) 2 1
2 1.2 Exercícios 1) Fatore os seguintes termos a) 12ba 2 c +24bac 2 12b 2 ac : b) 2b 2 + ab 2 +2c 3 + ac 3 c) 16a 2 1 d) 1 16a 4 e) 25a 2 9 f) 144a 2 1 g) 16a 2 +24ab +9b 2 h) 3a 2 +6a +3 i) 25a 4 100b 2 j) a 2 4ab +4b 2 k) 2a 2 +4a +2 l) ba 3 +2b 2 a 2 + b 3 a 1.3 Gabarito a) 12bac(a +2c b) b) b 2 (2 + a)+c 3 (2 + a) (2+a)(b 2 + c 3 ) c) (4a +1)(4a 1) d) (1 + 4a 2 )(1 4a 2 )(1+4a 2 )(1 + 2a)(1 2a) e) (5a 3)(5a +3) f) (12a 1)(12a +1) g) (4a +3b) 2 h) 3(a 2 +2a +1)3(a +1) 2 i) 25(a 4 4b 2 ) 25(a 2 +2b)(a 2 2b) j) (a 2b) 2 k) ( 2a + 2) 2 2(a +1) 2 l) ba(a 2 +2ba + b 2 )ba(a + b) 2 2 Módulo: Equação da Reta Consideremos um plano e duas retas perpendiculares sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma P 0 (x 0 y 0 ) onde x 0 será aabscissadopontop 0 e y 0 aordenadadopontop 0. Fig2.1 DadosdoispontosP 1 (x 1 y 1 ) e P 2 (x 2 y 2 ) no plano cartesiano existe uma única reta que passa por esses pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois conceitos importantes: ocoeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta. 2
3 Coeficiente angular de uma reta: Dados os pontos P 1 (x 1 y 1 ) e P 2 (x 2 y 2 )comx 1 6 x 2 ocoeficiente angular m da reta que passa por estes pontos é o número real m y 2 y 1 x 2 x 1 Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas. Fig2.2 Coeficiente linear de uma reta: é a ordenada (altura) k do ponto (0k) ondearetacortaoeixodasordenadas. Fig2.3 Dadoocoeficiente angular m eocoeficiente linear k de uma reta então podemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por: y mx + k Equação fundamental da reta: Conhecendo um ponto P 0 (x 0 y 0 ) de umaretaeseucoeficiente angular m obtemos a equação fundamental da reta: y y 0 m(x x 0 ) De fato dado um ponto genérico da Reta P (x y) distintodep 0 : Teremos: Fig2.4 m y y 0 y y 0 m(x x 0 ) x x 0 Equação geral da reta: Todaretanoplanocartesianopodeserescrita pela sua equação geral: ax + by + c 0 com a e b reais e não nulos simultaneamente e o coeficiente angular é dado por m a b eocoeficiente linear é dado por k c b pois multiplicando a equação geral pelo termo 1 b obtém-se: a b x + b b y + c a 0 y b b x c b. 3
4 2.1 Exemplos Retas horizontais e verticais: Seumaretaéverticalelanãopossuicoeficiente linear e coeficiente angular. Assim a reta é indicada apenas por x a a abscissa do ponto onde a reta cortou o eixo OX. Se uma reta é horizontal o seu coeficiente angular é nulo e a equação desta reta é dada por y b ordenadado pontoondeestáretacortaoeixooy. Fig2.5 Retas paralelas e perpendiculares: Se duas retas são paralelas seus coeficientes angulares são iguais.; se duas retas são perpendiculares o produto de seus coeficientes angulares é igual a Exercícios 1)DadosospontosA(1 3) e B(b 2b) encontreb tal que o coeficiente angular da reta que passa por estes pontos tenha valor igual à 1. a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) n.d.a 2) Ache a equação da reta que passa pelo ponto A(00) e possui coeficiente angular 1. a) y + x +10 b) y x +10 c) y + x 0 d) y x 0 e) n.d.a 3)Ache os coeficientes angulares das seguintes retas: 3x 4y +2 e 6x 8y 3: a) b) c) d) e) n.d.a 4) Encontre o ponto de intersecção entre as retas: x + y 2 e x y 4 a) ( 1 3) b) (3 3) c) (3 1) d) ( 1 1) e) n.d.a 4
5 5) A equação da reta que passa pelos pontos A(2 3) e B(1 5) a) y +2x 70 b) -y +2x 70 c) -y 2x +70 d) y 2x +70 e) n.d.a 6) Ache o coeficiente angular de uma reta perpendicular à reta y x 2 +2 a) 2 b) 0 c) 2 d) 1 2 e) n.d.a 7) Sejam as equações das retas r : y 2x +3e s :3x y 2 então: a) r e s são paralelas b) r e s são perpendiculares c) r e s se interceptam na origem d)r e s se interceptam no ponto ( 1 5) e) n.d.a 8) Dada a equação da reta r : x + y 10easafirmações: I) o ponto (1 1) pertence a r II)aretapassanaorigem III) o coeficiente angular de r é -1 IV) r intercepta a reta s : x y 20no ponto ( ) a) apenas I é verdadeira b) apenas III é verdadeira c) apenas III e IV são verdadeira d) apenas I é falsa e) n.d.a 2.3 Gabarito 1) d 2) d 3) a 4) c 5) a ou c 6) c 7) d 8) c 5
6 3 Módulo: Equação da Parábola A equação do segundo grau : y ax 2 + bx + c onde a b e c são constantes reais com a 6 0.Ográfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola. O sinal do coeficiente a indica a concavidade da parábola: se a>0 entãoaconcavidadeestarávoltadaparacimaesea<0 estará voltada para baixo. Fig3.1 A intersecção da parábola com o eixo OY é obtida fazendo-se x 0: x 0 y a b.0+c c portanto o ponto P (0c) é o ponto de intersecção da parábola com o eixo OY. Os eventuais pontos de intersecção da parábola com o eixo OX são obtidos fazendo y 0ouseja: ax 2 + bx + c 0. Para encontrarmos a solução do problema acima devemos completar o trinômio ax 2 + bx + c de modo a fatorá-lo num quadrado perfeito. Inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a e em seguida somamos b 2 aos dois lados da igualdade: fatorando o lado esquerdo obtemos: 4a 2 x 2 +4abx +4ac + b 2 b 2 4a 2 x 2 +4abx + b 2 b 2 4ac (2ax + b) 2 b 2 4ac 2ax + b ± p b 2 4ac x 1 b + b 2 4ac 2a x 2 b b 2 4ac. 2a Os valores de x que resolvem a equação do segundo grau são denominados raízes da equação. O termo b 2 4ac é chamado de (delta) e o número de raízes da equação dependerá do valor de. Se > 0 a equação possui duas raízes reais distintas e a parábola interceptará o eixo OX em dois pontos distintos; se 6
7 0 a equação possui uma única raiz real e a parábola interceptará o eixo OX num único ponto; se < 0 a equação não possui raízes reais e a parábola nãointerceptaráoeixoox: Fig3.2 Relações entre coeficientes e raízes Dado a equação ax 2 + bx + c 0coma 6 0e 0 a soma de suas raízes será: S x 1 + x 2 b + 2a e o produto das raízes será: + b 2a b a P x 1.x 2 ( b + 2a ).( b ) b2 2a 4a 2 b2 (b 2 4ac) 4a 2 c a. Dado os resultados acima podemos obter o seguinte resultado: ax 2 + bx + c x 2 + b a x + c a x2 Sx + P 0 Observação: Se < 0 a equação não possui raízes reais entretanto ela possuirá raízes complexas ou imaginárias. Somente um número positivo pode ter uma raiz quadrada com valor real. No entanto conceitualmente pode-se definir um número i 1 tal que quando elevado ao quadrado é igual a 1. Consequentemente pode-se obter por exemplo 9 p 3 2 ( 1) 3i. Quando < 0 b 2 < 4ac então podemos reescrever b 2 4ac p (4ac b 2 )( 1) 4ac b 2 1( 4ac b 2 )i portanto: 3.1 Exemplos x 1 b +( 4ac b 2 )i 2a x 2 b ( 4ac b 2 )i. 2a a) y 3x 2 7x +2a3b 7 e c 2 b 2 4ac ( 7) > 0 então: x 1 x 2 b ± 2a x ( 7) ± ; x b) y x 2 + x +4a1b1e c 4 7 ±
8 b 2 4ac < 0 então: x 1 x 2 b ± 2a 1 ± ± 15i Exercícios 1) Determine as raízes das seguintes equações: a) x 2 3x +20 b) 2y 2 14y +120 c) -x 2 +7x 10 0 d) y e) x f) 5x 2 10x 0 g) 5+x 2 9 h) 7x 2 3x 4x + x 2 i) z 2 8z ) Determine o valor de k nas equações de modo que: a) x 2 12x + k 0 tenha duas raízes reais e iguais b) 2x 2 6x 3k 0 não tenha raízes reais c) x 2 + kx +40 tenha raízes reais e iguais d) kx 2 2(k +1)x + k 50 tenha duas raízes reais e iguais 3) Determine as raízes das seguintes equações: a) x 2 3x +90 b) x 2 +4x +130 c) 2x 2 + x Gabarito 1) a) 2 e 1 b) 1 e 6 c) 5 e 2 d) -5 e 5 e) 1 2 e 1 2 f) 0 e 2 g) -2 e 2 h) 0 e 7 6 i) 2 e 6 2) a) k 36 b) k< 3 2 c) k ±4 8
9 d) k 1 7 3)a) 3± 27i 2 b) 2 ± 3i c) 1± 63i 4 4 Módulo: Função Dados dos conjuntos numéricos A e B umarelação entre esses conjuntos é dada por meio dos pares ordenados dos números pertencentes a esses conjuntos. Um par ordenado de números reais pode ser representado geometricamente por meio de dois eixos perpendiculares sendo o horizontal chamado eixo das abcissas ou eixo x; e o vertical de eixo das ordenadas ou eixo y. Por exemplo sejam A {1 2 3} e B { } esejaarelaçãodadapor: S {(x y) A B y x +1} neste caso para cada x há um elemento correspondente em B representado por y ouseja: graficamente: S {(1 2) (2 3) (3 4)} Fig.4.1 Dada a relação entre dois conjuntos A e B define-se três novos conjuntos: o domínio o contradomínio e a imagem da relação representados por D(S) C(S) e Im(S) respectivamente. O domínio de S é o conjunto dos elementos x A para os quais existe um y B tal que (x y) S. O contradomínio é o conjunto que contém os elementos relacionados pela relação aos elementos do domínio no exemplo o conjunto B. Uma vez que a relação pode levar a apenas um subconjunto de elementos do contradomínio define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente y assume. A imagem de S é o conjunto dos y B para os quais existe um x A tal que (x y) S. Pela definição D(S) é um subconjunto de A C(S) e Im(S) são subconjuntos de B. No exemplo anterior: D(S) {1 2 3} C(S) { } Im(S) {2 3 4}. Uma relação entre dois conjuntos A e B é chamada de uma função de A em B seesomentese: 9
10 a)todo o elemento x A tem um correspondente y B definido pela relação chamado imagem de x b) para cada elemento x A não podem corresponder dois ou mais elementos de B. Dado o exemplo anterior verifica-se que a relação S é uma função. Neste caso utiliza-se a seguinte notação: f : {1 2 3} {2 3 4} f(x) x +1. Exemplo: seja a função f(x) x 2 sendo o domínio o conjunto A { }. Neste exemplo o conjunto imagem é Im { }. Se A R o conjunto imagem é Im R +. Denomina-se função injetora (ou injetiva) uma função em que cada elementodocontradomínioestáassociadoaapenasumelementododomínioisto é uma relação um para um entre os elementos do domínio e do contradomínio. Isto é quando x 1 6 x 2 no domínio então f(x 1 ) 6 f(x 2 ) no contradomínio. Funções sobrejetora (ou sobrejetiva) é uma função em que todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. Uma função é chamada bijetora (ou bijetiva) se for sobrejetora e injetora istoé setodos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio deformaumparaumeexclusiva. Fig.4.2 Tipos de funções: a) função constante: é toda função do tipo f(x) a 0 emquea 0 éuma constante real. O gráfico desta função é uma reta horizontal passando pelo ponto de ordenada a 0 ; b) função do primeiro grau: uma função é chamada do primeiro grau (ou afim) se f(x) a 0 + a 1 x.ográfico desta função é uma reta; c) função do segundo grau(quadrática): é toda função do tipo f(x) a 0 +a 1 x+a 2 x 2. Ográfico desta função é uma curva plana denominada parábola; d) função polinomial: uma função é chamada polinomial se f(x) a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. Dependendo do valor de n (que especifica a maior potência de x) têm-se várias subclasses de funções polinômias: n 0:f(x) a 0 n 1:f(x) a 0 + a 1 x n 2:f(x) a 0 + a 1 x + a 2 x 2 n 3:f(x) a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 Fig.4.3 e) função módulo: sejaf(x) x então: ½ xsex 0 f(x) x sex<0 10
11 Fig.4.4 f) função racional: é toda função cuja imagem é o quociente de duas funções polinomiais. Exemplos: f(x) 1 x f(x) x +1 x 1 Fig.4.5 g) função potência: étodafunçãodaformaf(x) x n. Exemplos: f(x) x 3 f(x) x 1 1 x f(x) x 1 2 x Fig Exercícios Determine o domínio e a imagem da função dada e esboce o gráfico: 1) f(x) 3x +1 2) f(x) x ) f(x) 3x 2 6 4) f(x) 5 x 2 5) f(x) x +1 6) f(x) x 3 x 1 7) f(x) x 3 8) f(x) 4x2 1 ½2x+1 x 9) f(x) 2 4 se x<3 2x 1 se x Gabarito Aula 11
12 5 Módulo:Logaritmo e Exponencial A potência a n define-se como o produto de fatores iguais: n a n z } { a.a...a Ao número a fator que se repete chama-se base; ao número n chama-se expoente; ao resultado chama-se potência. Exemplo: Propriedades: 1) unicidade: 2) multiplicativa: 3) distributiva 4) outras: z} { a b n m a n b m a n.a m a n+m (a.b) n a n.b n (a m ) n a mn a n 1 a n a n m m a n 1 n 1 0 n 0 a 0 1 em que a última propriedade decorre da seguinte observação: a 0.a n a 0+n a n então a 0 1. A logaritmação é a operação por meio do qual dado um número a eum número 0 <b6 1 se determina um terceiro número n log b a tal que seja a b n. Portanto o logaritmo de um número a na base b existe se a éuma potência de base b. Exemplo: 12
13 log Propriedades: 1) unicidade: a a 0 b b 0 log b a log b 0 a 0 2) outras: log b (a.c) log b a +log b c log b ( a c ) log b a log b c log b (a n ) n log b a log a a 1. Pode-se mudar a base do logaritmo. por exemplo tem-se o logaritmo de a na base b e deseja-se obter o logaritmo numa base c nestecasoutiliza-sea seguinte fórmula: n log b a log c a log c b pois a b n o que implica que log c a log c b n n log c b n log c a log c b. Exemplo: log 4 16 log 2 16 log Existe um importante número real e (atribuído a Euler) que representa a base para os logaritmos naturais e define-se: Exemplo: log e a lna. ln e 1 e 1 e. Considere a função y a x denominada função exponencial onde a base 0 <a6 1definida para todo x real. Observe que nestas condições a x éum número positivo para todo x R onde R é o conjunto dos números reais. Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+ poderemos escrever a função exponencial como segue: f : R R+y a x 0 <a6 1 Esta função é bijetora pois: a) é injetora ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas b) é sobrejetora pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio. Assim sendo a função exponencial é bijetora e portanto é uma função inversível ou seja admite uma função inversa: 13
14 x a y y log a x 0 <a6 1. Portanto a função logarítmica é então: f : R+ R y log a x 0 <a6 1. Aseguirosgráficos das funções exponencial e da logarítmica são apresentados para os casos a>1 e 0 <a<1: Fig5.1 Observe que sendo as funções inversas os seus gráficos são curvas simétricas em relação à reta y x. Observe também que para o caso de a>1 as funções exponencial e logarítmica são crescentes e para o outro caso 0 <a<1 elassão decrescentes. Se a e tem-seafunção logarítmica natural ln x esua inversa é a função exponencial e x. 5.1 Exercícios Para as funções abaixo encontre o domínio a imagem e faça um esboço do gráfico 1) f(x) 2 x 2) f(x) log 2 x 3) f(x) e x 4) f(x) lnx 5.2 Gabarito Aula 6 Modulo:Matriz Chama-se de matriz toda tabela de números dispostos em filas horizontais (ou linhas) e verticais (ou colunas). Se a tabela tiver n linhas e m colunas então a matriz vai ter ordem n m (lê-se n por m). Exemplo de uma matriz 2 3: Indica-se uma matriz por uma letra maiúscula do alfabeto e cada elemento desta matriz é representado por uma letra minúscula e esta possui dois índices: o primeiro indicando a linha e o segundo a coluna à qual pertence o elemento.. 14
15 Dado o exemplo acima pode-se denominar a matriz pela letra A e os seus elementos por: a 11 1a 12 0a 13 4 a 21 3a 22 2a No lugar dos colchetes para a representação da matriz pode-se utilizar os parênteses ou duas barras verticais de cada lado da tabela: µ A Tipos de matrizes: 1) matriz quadrada: uma matriz é chamada de quadrada se o número de linhas é igual ao número de colunas ou seja n m. Neste caso os elementos a ij tais que i j são chamados elementos da diagonal principal 2) matriz nula: uma matriz é chamada matriz nula se todos os elementos são nulos 3) matriz simétrica: uma matriz é chamada simétrica se os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais. Exemplo: ) matriz diagonal: uma matriz quadrada é chamada diagonal se todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. Exemplo: ) matriz identidade: uma matriz identidade de ordem n indicada por I n é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal valem 1 6) matriz transposta: sejaa uma matriz de ordem n m ondea ij éum elemento genérico dela; a transposta de A indicada por A t (A 0 )éamatrizcujo o elemento genérico dela é b ij a ji para todo i e j. Exemplo: A A Igualdade de matrizes: duas matrizes A e B são iguais se e somente se a ij b ij para todo i e j. Exemplo: Operações com matrizes 15
16 1) Adição: dadas duas matrizes A e B de mesma ordem n m asomade A com B éumamatrizc onde cada elemento c ij a ij + b ij.exemplo: Propriedades da Adição: a) Cumutativa: A + B B + A b) Associativa: (A + B)+C A +(B + C) c) Existência do elemento neutro:a + 0 A (0 é a matriz nula) d) Exitência do elemento oposto: A +( A) 0 e) (A + B) t A t + B t. 2) Subtração: dadas duas matrizes A e B de mesma ordem n m a diferença entre A e B é uma matriz C ondecadaelementoc ij a ij b ij. Exemplo: ) Multiplicação de um escalar por matriz: dada uma matriz A eum escalar α o produto α.a é a matriz que se obtém multiplicando-se todos os elementos de A por α exemplo: ) Multiplicação de matrizes: dadas duas matrizes A e B de ordem n p e p m respectivamente com elementos genéricos a ik e b kj chama-se produto AB a matriz de ordem n m cujo o elemento genérico c ij é dado por: c ij a i1.b 1j + a i2.b 2j +...a ip.b pj ou seja o elemento c ij é obtido multiplicando-se a linha i de A pela coluna j de B ordenadamente elemento por elemento. Exemplo: neste caso a multiplicação só está definida se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Propriedades da Multiplicação: a) Associativa: (AB)C A(BC) b) Distributiva pela esquerda:a.(b + C) AB + AC c) Distributiva pela direita: (B + C).A BA + CA d) Se α é um escalar então: (αa).b A.(αB) α.(ab) e) Se A é uma matriz de ordem n m então: I n.a A e A.I m A f) (AB) t B t A t. 16
17 6.1 Exercícios 1) Sejam: A B C e D 1 1 Encontre: a) A + B b) AC c) BC d) CD e) DA f) DB g) A t h) (A + B).C i) (AC) t 2) Ache x y z w tais que: x y z w 3) Seja: A Ache o valor de x para que A A t. 2 x 2 2x Gabarito ) a)a + B b) AC 5 2 c) BC 1 d) CD e) DA f) DB g) A t
18 9 h) (A + B).C 4 i) (AC) t x y 2 3 2) z w 3 4 então: 2x +3y 3x +4y 2z +3w 3z +4w x 1 3) A t x 2 0 equação obtém-se x 1. 3x +4y 0 x 4y 3 2x +3y 1 y 3e x 4 2z +3w 0 z 3w 2 3z +4w 1 w 2 e z 3. 2 x 2 2x 1 0 x 2 2x 1. Resolvendo a 7 Módulo: Determinante Seja A uma matriz quadrada de ordem n: A a 11 a 12.. a 1n a 21 a 22.. a 2n a n1 a n2.. a nn então det A A é um número obtido através de combinações lineares dos coeficientes de A. Se: n 1 A a 11 n 2 A a 11 a 22 a 21 a 12 n 3 A a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 (Regra de Sarrus). Cofator de qualquer elemento de A édefinido como A ij ( 1) i+j M ij onde M ij é o determinante da matriz formada pelos elementos de A excluindo-se a linha i eacolunaj. Teorema de Laplace: Seja A umamatrizdeordemn 2; o determinante de A é igual a soma dos produtos dos elemntos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos cofatores. 18
19 8 Módulo: Sistemas Lineares Um sitema linear é formado por um conjunto de equações lineares por exemplo: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 Na forma matricial temos: a n1 x 1 + a n2 x a nn x n b n Ax b Se b i 0pata todo i então o sistema é chamado homogêneo. Os sistemas lineares podem ter soluções possíveis ou impossíveis (sem solução). Os sistemas com soluções possíveis podem ter soluções determinadas ou indeterminadas. Exemplos: Caso Determinado: Caso Indeterminado: x + y 10 2y 6 Caso Impossível: x y 0 2x 2y 0 x + y 1 x + y 2 Observação: todo sistema homogêneo tem solução Regra de Cramer: Seja o seguinte sistema: ax + by m cx + dy n 19
20 a b Se o determinante da matriz A for diferente de zero a solução c d dos sistema é dada por: m b n d a m c n x ; y. A A 9 Módulo: Matriz Inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n então se A possuir inversa definida como A 1 : A 1 A I n Para se obter a inversa de uma matriz utiliza-se a seguinte regra: A 1 (cofa)t A onde (cofa) t é a transposta da matriz de cofatores de A. 20
Renato Martins Assunção
Análise Numérica Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 1 / 84 Equação linear Sistemas de equações lineares A equação 2x + 3y = 6 é chamada linear
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01]
Leia maisCapítulo 3. Fig Fig. 3.2
Capítulo 3 3.1. Definição No estudo científico e na engenharia muitas vezes precisamos descrever como uma quantidade varia ou depende de outra. O termo função foi primeiramente usado por Leibniz justamente
Leia maisCÁLCULO FUNÇÕES DE UMA E VÁRIAS VARIÁVEIS Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab.
Introdução Função é uma forma de estabelecer uma ligação entre dois conjuntos, sujeita a algumas condições. Antes, porém, será exposta uma forma de correspondência mais geral, chamada relação. Sejam dois
Leia maisMatrizes e sistemas de equações algébricas lineares
Capítulo 1 Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 1 / 37 Definições Equação linear Uma equação (algébrica)
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 05 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
1. Função Afim Uma função f: R R definida por uma expressão do tipo f x = a. x + b com a e b números reais constantes é denominada função afim ou função polinomial do primeiro grau. A função afim está
Leia mais9º Ano do Ensino Fundamental II:
Conteúdos para III Simulado SDP/Outubro/2010 MATEMÁTICA 9º Ano do Ensino Fundamental II: CAPÍTULO I - NOÇÕES ELEMENTARES DE ESTATÍSTICA 1. Organizando os dados 2. Estudando gráficos 3. Estudando médias
Leia maisProfs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1
Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. Conteúdo 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares...2 7.1. Matrizes...2
Leia maisE-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES
E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 SUMÁRIO Apresentação -------------------------------------------------------2 Capítulo 3 ------------------------------------------------------
Leia maisMATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE
MATRIZ FORMAÇÃO E IGUALDADE 1. Seja X = (x ij ) uma matriz quadrada de ordem 2, onde i + j para i = j ;1 - j para i > j e 1 se i < j. A soma dos seus elementos é igual a: a. -1 b. 1 c. 6 d. 7 e. 8 2. Se
Leia maisInterbits SuperPro Web
1 (Ita 018) Uma progressão aritmética (a 1, a,, a n) satisfaz a propriedade: para cada n, a soma da progressão é igual a n 5n Nessas condições, o determinante da matriz a1 a a a4 a5 a 6 a a a 7 8 9 a)
Leia maisAULA 8- ÁLGEBRA MATRICIAL VERSÃO: OUTUBRO DE 2016
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS MATEMÁTICA 01 AULA 8- ÁLGEBRA MATRICIAL VERSÃO: 0.1 - OUTUBRO DE 2016 Professor: Luís Rodrigo E-mail: luis.goncalves@ucp.br
Leia maisGeometria Analítica. Distância entre dois pontos: (d AB ) 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 A( 7, 5 ) P( 5, 2 ) B( 3, 2 ) Q( 3, 4 ) d = 5.
Erivaldo UDESC Geometria Analítica Distância entre dois pontos: (d AB ) 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 A( 7, 5 ) B( 3, 2 ) d 2 = ( 4 ) 2 + ( 3 ) 2 d = 5 P( 5, 2 ) Q( 3, 4 ) d 2 = ( 8 ) 2 + ( 6 ) 2 d =
Leia maisEscola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão
Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão Professora Renata Alcarde Sermarini Notas de aula do professor
Leia maisSão tabelas de elementos dispostos ordenadamente em linhas e colunas.
EMENTA (RESUMO) Matrizes Matrizes, determinantes e suas propriedades, Multiplicação de matrizes, Operações com matrizes, Matrizes inversíveis. Sistemas de Equações Lineares Sistemas equações lineares,
Leia maisCAPÍTULO 1 Operações Fundamentais com Números 1. CAPÍTULO 2 Operações Fundamentais com Expressões Algébricas 12
Sumário CAPÍTULO 1 Operações Fundamentais com Números 1 1.1 Quatro operações 1 1.2 O sistema dos números reais 1 1.3 Representação gráfica de números reais 2 1.4 Propriedades da adição e multiplicação
Leia maisExercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1
setor 0 00508 Aula 39 ETERMINANTES (E ORENS, E 3) A toda matriz quadrada A de ordem n é associado um único número, chamado de determinante de A e denotado, indiferentemente, por det(a) ou por A. ETERMINANTES
Leia maisMétodos Matemáticos II
Sumário Métodos Matemáticos II Nuno Bastos Licenciatura em Tecnologias e Design Multimédia Escola Superior de Tecnologia de Viseu Gabinete 4 nbastos@mat.estv.ipv.pt http://www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/nbastos.
Leia maisÁlgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017
º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Definição de Matrizes. Exemplos. Definição de Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz
Leia maisMatemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, =
Erivaldo UDESC Matemática Básica Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0,353535... = 35 99 2) 2,1343434... = 2134 21 99 0 Decimal (Indo-Arábico): 2107 = 2.10 3 + 1.10 2 + 0.10 1 + 7.10 0 Número de
Leia maisexercícios de álgebra linear 2016
exercícios de álgebra linear 206 maria irene falcão :: maria joana soares Conteúdo Matrizes 2 Sistemas de equações lineares 7 3 Determinantes 3 4 Espaços vetoriais 9 5 Transformações lineares 27 6 Valores
Leia maisPlano Cartesiano. Relação Binária
Plano Cartesiano O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é
Leia maisREVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES
REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 REVISÃO
Leia maisEduardo. Matemática Matrizes
Matemática Matrizes Eduardo Definição Tabela de números dispostos em linhas e colunas. Representação ou Ordem da Matriz Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, dizemos que A tem ordem m por n e escrevemos
Leia maisNa forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3
01 Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b a) a = 3, b, b R b) a = 3 e b = 1 c) a = 3 e b 1 d) a 3 1 0 y = 3x + 1 m = 3 A equação que apresenta uma reta com o mesmo coeficiente angular
Leia maisUniversidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática
Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Valor Absoluto: O valor absoluto de a, representa-se por a e é a distância do número a a
Leia maisFundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: sequências e matrizes 05 e 06/06/14 Sequências Def.: chama-se sequência finita ou n-upla toda aplicação f do
Leia maisFUNÇÕES Parte 2 Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro. Autoria: Prof. Denise Candal
FUNÇÕES Parte 2 Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro Autoria: Prof. Denise Candal Função Quadrática ou do 2 o grau Definição: Toda função do tipo y = ax 2 + bx + c, com {a, b, c} R e a
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2016/17 MIEI+MIEB+MIEMN Slides da 1 a Semana de aulas Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 1 / 47 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática
Leia maisEQUAÇÕES POLINOMIAIS
EQUAÇÕES POLINOMIAIS Prof. Patricia Caldana Denominamos equações polinomiais ou algébricas, as equações da forma: P(x)=0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as
Leia maisNOTAÇÕES. R N C i z. ]a, b[ = {x R : a < x < b} (f g)(x) = f(g(x)) n. = a 0 + a 1 + a a n, sendo n inteiro não negativo.
R N C i z det A d(a, B) d(p, r) AB Â NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números naturais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : determinante
Leia mais. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1
QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,
Leia maisMaterial Didático. Matemática Elementar. Maio Universidade Federal do Pará. Equipe de Matemática: José Benício da Cruz Costa (Coordenação)
Matemática Elementar Material Didático Equipe de Matemática: (PCNA - Maio de 016) José Benício da Cruz Costa (Coordenação) Maio 016 Universidade Federal do Pará Monitores: Daniel de Souza Avelar da Costa
Leia maisCapítulo 1: Fração e Potenciação
1 Capítulo 1: Fração e Potenciação 1.1. Fração Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um número m dessas partes.
Leia maisVetores e Geometria Analítica
Vetores e Geometria Analítica ECT2102 Prof. Ronaldo Carlotto Batista 23 de fevereiro de 2016 AVISO O propósito fundamental destes slides é servir como um guia para as aulas. Portanto eles não devem ser
Leia maisFunções quadráticas. Definição. Função quadrática é toda a função de R em R que pode ser. (ou seja, é toda a função r.v.r. polinomial de grau 2).
FUNÇÃO QUADRÁTICA Funções quadráticas Definição Função quadrática é toda a função de R em R que pode ser definida por uma expressão analítica da forma ax 2 + bx + c, com a, b, c R e a 0 (ou seja, é toda
Leia maisPrograma Anual MATEMÁTICA EXTENSIVO
Programa Anual MATEMÁTICA EXTENSIVO Os conteúdos conceituais de Matemática estão distribuídos em 5 frentes. A) Equações do 1º e 2º graus; Estudo das funções; Polinômios; Números complexos; Equações algébricas.
Leia mais3º. EM Prof a. Valéria Rojas Assunto: Determinante, Área do Triângulo, Equação da reta, Eq. Reduzida da Reta
1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica 1.1 - Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(x a, y a ), B(x b, x c ) e C(x c, y c ). A área S desse triângulo é dada
Leia maisInstituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA 4. Geometria Analítica 4.1. Introdução Geometria Analítica é a parte da Matemática,
Leia maisConjuntos Numéricos. É o conjunto no qual se encontram os elementos de todos os conjuntos estudados.
Conjuntos Numéricos INTRODUÇÃO Conjuntos: São agrupamentos de elementos com algumas características comuns. Ex.: Conjunto de casas, conjunto de alunos, conjunto de números. Alguns termos: Pertinência Igualdade
Leia maisRevisão: Matrizes e Sistemas lineares. Parte 01
Revisão: Matrizes e Sistemas lineares Parte 01 Definição de matrizes; Tipos de matrizes; Operações com matrizes; Propriedades; Exemplos e exercícios. 1 Matrizes Definição: 2 Matrizes 3 Tipos de matrizes
Leia maisMatrizes. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Sudeste de Minas Gerais. Abril de 2014
es Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Sudeste de Minas Gerais Abril de 2014 Matrizes Matrizes Uma matriz A, m n (m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas.
Leia maisA(500, 500) B( 600, 600) C(715, 715) D( 1002, 1002) E(0, 0) F (711, 0) (c) ao terceiro quadrante? (d) ao quarto quadrante?
Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM131 - Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Professora: Monique Rafaella Anunciação de Oliveira Lista de Exercícios 1 1. Dados os pontos:
Leia maisGeometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012
Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Conjuntos Propriedades das operações de adição e multiplicação: Propriedade comutativa: Adição a + b = b + a Multiplicação
Leia maisSumário. 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra
Sumário 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra 2 Conjuntos numéricos 2 Conjuntos 3 Igualdade de conjuntos 4 Subconjunto de um conjunto 4 Complemento de um conjunto 4 Conjunto vazio 4 Conjunto universo 5 Interseção
Leia maisCURSO ALCANCE UFPR Matemática 13/08/2016 Página 1 de 6
CURSO ALCANCE UFPR Matemática 13/08/2016 Página 1 de 6 Introdução à funções Uma função é determinada por dois conjuntos e uma regra de associação entre os elementos destes conjuntos. Os conjuntos são chamados
Leia maisOperações Básicas, Conjuntos, Fatorações, Exponenciação e Logaritmos
Operações Básicas, Conjuntos, Fatorações, Exponenciação e Logaritmos Alexandre Alborghetti Londero Pré UFSC/UFSC Blumenau 1 Operações Básicas Adição e Subtração Operações que reúnem ou excluem objetos
Leia maisLista de Exercícios 05 Álgebra Matricial
Lista de Exercícios 05 Álgebra Matricial - 016.1 1. Determine a quantidade desconhecida em cada uma das expressões: ( ) ( ) ( ) T 0 3 x + y + 3 3 w (a) 3.X = (b) = 6 9 4 0 6 z. Uma rede de postos de combustíveis
Leia mais2. Pré-requisitos do 3. Ciclo. 7. ano PR 7.1. Resolução
7. ano PR 7.1. Dados dois conjuntos A e B fica definida uma função 1ou aplicação2 f de A em B, quando a cada elemento de A se associa um elemento único de B representado por f 1x2. Dada uma função numérica
Leia maisEsboço de Plano de Aula. Conteúdo específico: O uso do software WXMaxima nas equações do 1º Grau.
Esboço de Plano de Aula Bolsista: Rafael de Oliveira. Duração: 120 minutos. Conteúdo: Equações do 1º Grau. Conteúdo específico: O uso do software WXMaxima nas equações do 1º Grau. Objetivo geral: Permitir
Leia maisAvaliação e programa de Álgebra Linear
Avaliação e programa de Álgebra Linear o Teste ( de Março): Sistemas de equações lineares e matrizes. Espaços lineares. o Teste ( de Maio): Matriz de mudança de base. Transformações lineares. o Teste (
Leia maisLAÉRCIO VASCONCELOS O ALGEBRISTA. Volume 1. Rio de Janeiro
LAÉRCIO VASCONCELOS O ALGEBRISTA Volume 1 Rio de Janeiro 2016 O ALGEBRISTA VOLUME 1 Copyright 2016, Laércio Vasconcelos Computação LTDA DIREITOS AUTORAIS Este livro possui registro na Biblioteca Nacional
Leia maisExercícios Operações com frações 1. Determine o valor das seguintes expressões, simplificando sempre que possível:
Exercícios Operações com frações. Determine o valor das seguintes expressões, simplificando sempre que possível: 7 c 6 8 6 d b a 8 : 8 7 0 f 8 7 h g e : 6 8 : 6 7 l k j i n m Equações de º Grau Resolva
Leia maisInversão de Matrizes
Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.2 21 de
Leia maisMAE125 Álgebra Linear /1 Turmas EQN/QIN
MAE25 Álgebra Linear 2 205/ Turmas EQN/QIN Planejamento (última revisão: 0 de junho de 205) Os exercícios correspondentes a cada aula serão cobrados oralmente na semana seguinte à aula e valem nota Todas
Leia maisConceitos Básicos de Matemática. Aula 1. ISCTE - IUL, Mestrados de Continuidade. Diana Aldea Mendes. 12 de Setembro de 2011
Conceitos Básicos de Matemática Aula 1 ISCTE - IUL, Mestrados de Continuidade Diana Aldea Mendes diana.mendes@iscte.pt 12 de Setembro de 2011 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Matemática 12 de Setembro
Leia maisMatrizes. Curso de linguagem matemática Professor Renato Tião
Matrizes Curso de linguagem matemática Professor Renato Tião Uma matriz A m n é uma maneira de apresentar informações numéricas ou algébricas dispostas como numa tabela com m linhas e n colunas cercada
Leia mais1.3 Matrizes inversas ] [ 0 1] = [ ( 1) ( 1) ] = [1 0
1.3 Matrizes inversas Definição: Seja A uma matriz de ordem k n, a matriz B de ordem n k é uma inversa à direita de A, se AB = I. A Matriz C de ordem n k é uma inversa à esquerda de A, se CA = I. Exemplo
Leia maisEscola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral
Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral Taciana Villela Savian Sala 304, pav. Engenharia, ramal 237 tvsavian@usp.br tacianavillela@gmail.com
Leia maisMATEMÁTICA ENSINO MÉDIO. Educação para Jovens e Adultos
ENSINO MÉDIO Educação para Jovens e Adultos ENSINO MÉDIO Educação Para Jovens e Adultos ÍNDICE FUNÇÃO DO 1º GRAU 05 FUNÇÃO QUADRÁTICA 13 INEGUAÇÕES (1º E 2º GRAU) 22 FUNÇÃO EXPONENCIAL 25 INEGUAÇÕES EXPONENCIAIS
Leia maisV MATRIZES E DETERMINANTES
V MATRIZES E DETERMINANTES Por que aprender Matrizes e Deter erminant minantes?... Algumas vezes, para indicar com clareza determinadas situações, é necessário formar um grupo ordenado de números dispostos
Leia maisFunção de 1º Grau. Como construir um Gráfico. Função constante. Matemática Básica I. RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE:
Matemática Básica Como construir um Gráfico Unidade 5. Gráficos de Funções Reais RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: https://ueedgartito.wordpress.com x y = f(x) x y x x 3 y x 4 y 3 y 4 x 5
Leia maisCURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Trigonometria Aula 0: Matrizes e Determinantes Trigonometria Deduzindo da própria palavra, trigonometria é a parte da geometria que estabelece relações métricas e angulares entre
Leia maisTítulo do Livro. Capítulo 5
Capítulo 5 5. Geometria Analítica A Geometria Analítica tornou possível o estudo da Geometria através da Álgebra. Além de proporcionar a interpretação geométrica de diversas equações algébricas. 5.1. Sistema
Leia maisMATEMÁTICA I. Adriane Violante de Carvalho Ramos
MATEMÁTICA I Adriane Violante de Carvalho Ramos Sumário 1. NÚMEROS REAIS... 4 1.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS... 4 1. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS... 4 1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE
Leia maisResolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)
R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a
Leia maisO objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra.
Universidade Federal Fluminense Departamento de Análise GAN0045 Matemática para Economia Professora Ana Maria Luz 00. Unidade Revisão de função de uma variável real O objeto fundamental deste curso são
Leia maisDatas de Avaliações 2016
ROTEIRO DE ESTUDOS MATEMÁTICA (6ºB, 7ºA, 8ºA e 9ºA) SÉRIE 6º ANO B Conteúdo - Sucessor e Antecessor; - Representação de Conjuntos e as relações entre eles: pertinência e inclusão ( ). - Estudo da Geometria:
Leia maisFundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: determinantes e sistemas 13 e 27/06/14 Determinantes Def.: Seja M uma matriz quadrada de elementos reais, de
Leia maisSUMÁRIO. Unidade 1 Matemática Básica
SUMÁRIO Unidade 1 Matemática Básica Capítulo 1 Aritmética Introdução... 12 Expressões numéricas... 12 Frações... 15 Múltiplos e divisores... 18 Potências... 21 Raízes... 22 Capítulo 2 Álgebra Introdução...
Leia maisADA 1º BIMESTRE CICLO I MATEMÁTICA 3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO. (B)y = x + 3 (C)y = 2x + 3 (D)y = 3x - 3 (E)y = 5x + 5 Gabarito: D.
ADA 1º BIMESTRE CICLO I MATEMÁTICA ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO ITEM 1 DA ADA Observe as equações da reta a seguir: I) y = x 1 II) y 4x = III) y 4x + = 0 IV) y + 1 = x V) y + 1 = (x 1 ) Dessas equações, a que
Leia maisCapítulo 2. Retas no plano. 1. Retas verticais e não-verticais. Definição 1
Capítulo 2 Retas no plano O objetivo desta aula é determinar a equação algébrica que representa uma reta no plano. Para isso, vamos analisar separadamente dois tipos de reta: reta vertical e reta não-vertical.
Leia maisNOTAÇÕES. R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos
NOTAÇÕES R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i = 1 z : módulo do número z C Re(z) : parte real do número z C Im(z) : parte imaginária do número z C
Leia maisLISTA 0 - GABARITO. ( n p )ap b n p, n N {0}. (Passo de indução) Suponhamos a fórmula válida para m N e provemo-la para m=1. = a
Curso: MAT 43 - CÁLCULO para CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - FCFUSP Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Período: Primeiro Semestre de 200 LISTA 0 - GABARITO. Binômio de Newton (a+b) n pn p0 ( n p )ap b n p,
Leia maisCapítulo 1. Funções e grácos
Capítulo 1 Funções e grácos Denição 1. Sejam X e Y dois subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Uma função de X em Y ou simplesmente uma função é uma regra, lei ou convenção que associa
Leia mais1 Geometria Analítica Plana
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria
Leia maisNeste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em
Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em tantos detalhes para os concursos desejados. Assim,
Leia maisALGEBRA LINEAR 1 RESUMO E EXERCÍCIOS* P1
ALGEBRA LINEAR 1 RESUMO E EXERCÍCIOS* P1 *Exercícios de provas anteriores escolhidos para você estar preparado para qualquer questão na prova. Resoluções em VETORES Um vetor é uma lista ordenada de números
Leia maisInversão de Matrizes
Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 18 de
Leia mais1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0
Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A
Leia maisEquação Geral do Segundo Grau em R 2
8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução....................... 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados........... 5 8.4 Formas Quadráticas..................
Leia maisNOTAÇÕES. : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
NOTAÇÕES R C : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária i = 1 det M : determinante da matriz M M 1 MN AB : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento
Leia maisMAE125 Álgebra Linear /2 Turmas EQN/QIN
MAE25 Álgebra Linear 2 205/2 Turmas EQN/QIN Planejamento (última revisão: 26 de outubro de 205) Os exercícios correspondentes a cada aula serão cobrados oralmente na aula seguinte e valem nota Todas as
Leia maisMatemática I Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo em Refrigeração e Climatização. y = ax² + bx + c
47 6. Função Quadrática É todo função que pode ser escrita na forma: f: R R y = ax² + bx + c Em que a, b e c são constantes reais e a 0, caso contrário a função seria afim. Já estudamos um tipo de função
Leia maisFormação Continuada Nova Eja. Plano de Ação II INTRODUÇÃO
Nome: Armando dos Anjos Fernandes Formação Continuada Nova Eja Plano de Ação II Regional: Metro VI Tutor: Deivis de Oliveira Alves Este plano de ação contemplará as unidades 29 e 30. Unidade 29 I - Matrizes
Leia maisNotas para o Curso de Algebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009
Notas para o Curso de Álgebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009 2 Sumário 1 Matrizes e Sistemas Lineares 5 11 Matrizes 6 12 Sistemas Lineares 11 121 Eliminação Gaussiana 12 122 Resolução
Leia maisPOLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma:
POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma: n P(x) a a x a x... a x, onde 0 1 n Atenção! o P(0) a 0 o P(1) a a a... a 0 1 n a 0,a 1,a,...,a n :coeficientes
Leia maisTestes e Sebentas. Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes)
Testes e Sebentas Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes) Índice: 1. Matrizes 1.1. Igualdade de matrizes 3 1.2. Transposta de uma matriz 3 1.3. Multiplicação por um escalar 3
Leia maisé encontrado no cruzamento da linha i com a coluna j, ou seja, o primeiro índice se refere à linha e o segundo à coluna.
Ministério da Educação Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal De Santa Catarina Campus São José Professora: ELENIRA OLIVEIRA VILELA COMPONENTE CURRICULAR: ALG ÁLG. LINEAR MATRIZES
Leia mais1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0.
MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 5x 3, onde a = 5 e b = 3 (função afim)
Leia maisMATEMÁTICA I FUNÇÕES. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
MATEMÁTICA I FUNÇÕES Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br Conteúdo Função Variáveis Traçando Gráficos Domínio e Imagem Família de Funções Funções Polinomiais Funções Exponenciais
Leia maisLTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE:
Matemática Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO
Leia maisNotas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
FATEC Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof Dr Ânderson Da Silva Vieira 2017 Sumário Introdução 2 1 Matrizes 3 11 Introdução 3 12 Tipos especiais de Matrizes 3 13 Operações
Leia maisn = S(n) + P(n) 10.a + b = (a+b) + (a.b) 10.a + b a b = a.b n = 10.a + b
Erivaldo ACAFE Matemática Básica Chamaremos de S(n) a soma dos algarismos do número inteiro positivo n, e de P(n) o produto dos algarismos de n. Por exemplo, se n = 47 então S(n) = 11 e P(n) 28. Se n é
Leia maisConceitos de vetores. Decomposição de vetores
Conceitos de vetores. Decomposição de vetores 1. Introdução De forma prática, o conceito de vetor pode ser bem assimilado com auxílio da representação matemática de grandezas físicas. Figura 1.1 Grandezas
Leia maisPROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA
E.E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - 1º ANO Função Polinomial do 1º Grau (FUNÇÃO AFIM) PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA Definição: Toda função do tipo: f(x) = ax + b (x ϵ IR) São funções
Leia maisMinistério da Educação UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Curitiba Professor Gilmar Bornatto
Ministério da Educação UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Curitiba 1. Para fazer uma caixa sem tampa com um único pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de 16 cm de largura por 30 cm
Leia maisa 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn
Matrizes Definição Definição Uma matriz m n é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn Embora a rigor matrizes possam ter quaisquer tipos de elementos,
Leia mais