MATEMÁTICA I. Adriane Violante de Carvalho Ramos

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1 MATEMÁTICA I Adriane Violante de Carvalho Ramos

2 Sumário 1. NÚMEROS REAIS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS SIMPLIFICAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS POTENCIAÇÃO: TEORIA DOS CONJUNTOS DEFINIÇÃO CONJUNTOS VAZIO E UNITÁRIO SUBCONJUNTO COMPLEMENTAR OPERAÇÕES TEORIA DOS INTERVALOS OPERAÇÕES RELAÇÕES E FUNÇÕES PAR ORDENADO PRODUTO CARTESIANO DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO DOMÍNIO E IMAGEM FUNÇÃO DO 1º GRAU DEFINIÇÃO CASOS PARTICULARES GRÁFICO RAIZ OU ZERO ESTUDO DO SINAL INEQUAÇÕES APLICAÇÕES FUNÇÃO DO º GRAU DEFINIÇÃO RAIZ OU ZERO GRÁFICO VÉRTICE DA PARÁBOLA ESTUDO DO SINAL INEQUAÇÕES... 0

3 6.7 APLICAÇÕES MATRIZES DEFINIÇÃO TERMO GERAL TIPOS DE MATRIZES IGUALDADE DE MATRIZES ADIÇÃO DE MATRIZES SUBTRAÇÃO DE MATRIZES MULTIPLICAÇÃO DE UM Nº REAL POR UMA MATRIZ MATRIZ TRANSPOSTA MATRIZ SIMÉTRICA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES EQUAÇÕES MATRICIAIS SISTEMAS LINEARES APLICAÇÕES: MATRIZ INVERSA APLICAÇÕES: DETERMINAÇÃO DA LEI DE FORMAÇÃO DETERMNANTES DETERMINANTE DE ORDEM DETERMINANTE DE ORDEM ANEXO A: OPERAÇÕES ALGÉBRICAS ANEXO B: PRODUTOS NOTÁVEIS... 5 ANEXO C: FATORAÇÃO ANEXO D: INEQUAÇÃO PRODUTO E QUOCIENTE BIBLIOGRAFIA... 58

4 1. NÚMEROS REAIS O objetivo desse capítulo é fazer uma breve revisão do cálculo com números inteiros e fracionários. 1.1 Adição e Subtração de números inteiros + 5 = = 5 = 9 8 = 7 9 = Sinais iguais Sinais diferentes = + 7 = 8 = 8 + = 8 = RESULTADO Somar os números e repetir o sinal Diminuir os números e colocar o sinal do maior 1. Multiplicação e Divisão de números inteiros. = ( ). 5 =. ( 7) = ( 10). ( 4) = Sinais iguais Sinais diferentes Eercício 1: Calcule: a) 8 + = b) = c) 10 = d) = e) 5 4 = f) 10 = g) = h) = i) = j) = k) 18 = l) = 1º) Multiplicação e divisão na ordem que aparecem º) Adição e subtração na ordem que aparecem 8 4 = ( 10) 5 = ( 16) ( 4) = 18 ( 5) = RESULTADO Sinal sempre positivo Sinal sempre negativo m) ( 1). = n) 4. ( 5) = o) ( 17). ( 4) = p) 100 ( 5) = q) ( 0) ( 4) = r) 84 ( 1) = s) ( 10) 0 = t) 4 16 = u) (18. 6) ( 5) = v) (7. 5 5)= w) = 1º) parênteses º) colchetes º) chaves 4

5 1. Adição e subtração de números fracionários 1.4 Simplificação de números fracionários Eercício : Simplifique: a) b) c) 1.5 Multiplicação de números fracionários 5

6 1.6 Divisão de números fracionários Eercício : Calcule: a) i) b) c) d) e) f) j) k) l) m) 14 = n) g) o) h) p) q) r) 6

7 1.7 Potenciação: = = 5 = (-) = (-) = 8 0 = = - = Epoente par Epoente ímpar RESULTADO Sempre positivo Mantém o sinal Todo número elevado a zero é igual a 1.. TEORIA DOS CONJUNTOS.1 Definição Conjunto é qualquer coleção de objetos. 1) Conjunto dos estados da Região Sul: ) Conjunto dos números naturais ímpares: Chamamos cada objeto de um conjunto de elemento. Quando um elemento a pertence a um conjunto A, escrevemos: Caso contrário: ) Paraná S Rio de Janeiro S 4) 16 I 7 I 7

8 Eercício 1: Escreva cada conjunto abaio: a) A = {números naturais pares maiores do que 5} b) B = {números naturais entre e 8} c) C = {letras da palavra conjunto} d) D = {números primos} Eercício : Utilizando os conjuntos do eercício 1, classifique em V ou F: a) 18 A b) B c) j C d) 9 D e) 4 A f) m C g) 7 D h) 6 B. Conjuntos Vazio e Unitário Conjunto Vazio é o conjunto que não possui elementos. 1) A = {números naturais ímpares menores do que 1} ) B = {estados da região sudeste que começa com a letra p} Conjunto Unitário é o conjunto que possui apenas 1 elemento. ) C = {números primos pares} 4) D = {consoantes da palavra céu}. Subconjunto Dados dois conjunto A e B, dizemos que B é subconjunto de A se todos os seus elementos também são elementos de A. 1) A = {0, 1,,, 4, 5} B = {1, 4, 5} Nesse caso: 8

9 ) A = {0, 1,,, 4, 5} B = {,,6} Nesse caso: Também podemos dizer que: Eercício : Sejam A = {1,, 5, 7, 9, 11}, B = {, 4, 6, 8, 10, 1}, C = {1,, 5}, D = {, 8, 1} e E ={ 1, 1}. Complete com o símbolo adequado: a) C A b) D B c) E B d) B A e) A C f) B D g) C h) B B i) {1, 4} A j) B {, 4, 6, 8, 10} k) {1} E l) D.4 Complementar Sejam A e B dois conjuntos, com B A. Chamamos de complementar de B em relação a A ao conjunto formado pelos elementos de A que não estão em B. Notação: Eemplo: Sejam A = {0, 1,,, 4, 5}, B = {1,, } e C = {0, 1, 6}. = = Eercício 4: Sejam: A = {/ é natural menor do que 8} B = {/ é natural ímpar menor do ou igual a 7} C = {/ é natural entre e 5} Calcule: a) = b) = c) =.5 Operações A) União Sejam A e B, dizemos que a união entre A e B é o conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B. Notação: A B 9

10 Eemplo: A = {1,,, 4, 5} B = {, 4, 6, 8} A B = B) Interseção Sejam A e B, dizemos que a interseção entre A e B é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e a B. Notação: A B Eemplo: A = {1,,, 4, 5} B = {, 4, 6, 8} A B = C) Diferença Sejam A e B, dizemos que a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos de A que não estão em B. Notação: A B Eemplo: A = {1,,, 4, 5} B = {, 4, 6, 8} A B = B A = A B B A Eercício 5: Sejam A = {0, 1,, 4, 6, 7}, B = {1,, 5} e C = {, 4, 6}. Determine: a) A B = i) A C = b) A C = j) C A = c) B C = k) B C = d) A B = l) C B = e) A C = m) = f) B C = n) = g) A B = o) = h) B A = Eercício 6: Sejam A = {/ é natural ímpar menor do que 10} B = {/ é natural par entre e 11} C = {/ é natural menor do que 5}. Determine: a) A B = b) A C = c) B C = d) A B = e) A C = f) B C = g) (A B) C = h) (A C) B = i) (A B) C = 10

11 Eercício 7: Sejam A = {7, 8, 9} e B = {8, 9, 10, 11}. Determine: a) A B = b) A B = c) A B = d) B A = e) = f), onde U = {/ é natural menor do que 1} Eercício 8: Numa pesquisa: 90 jovens disseram gostar de música, 70 gostam de esportes, 5 de ambos e 40 não gostam de nenhum dos dois. Quantos jovens foram entrevistados? Eercício 9: Em uma pesquisa com 50 pessoas perguntou-se o esporte que elas gostam: gostam de futebol 18 gostam de basquete 14 gostam de vôlei 10 gostam de futebol e basquete 9 gostam de futebol e vôlei 8 gostam de basquete e vôlei 5 gostam dos três a) Quantas pessoas não gostam de nenhum esporte? b) Quantas gostam apenas de futebol? c) Quantas não gostam de basquete nem de vôlei? Eercício 10: Numa entrevista questionou-se o jornal lido por cada entrevistado: lêem os jornais A, B e C 0 lêem os jornais A e B 40 lêem os jornais B e C 5 lêem os jornais A e C 50 lêem o jornal A 6 lêem o jornal B 54 lêem o jornal C 7 não lêem nenhum jornal a) Quantas pessoas foram entrevistadas? b) Quantas lêem apenas o jornal B? c) Quantas não lêem nem A nem B? 11

12 . TEORIA DOS INTERVALOS Os subconjuntos dos números reais determinados por desigualdades são chamados de intervalos. Considere a,b com a<b, temos: A) Intervalo aberto (a,b) { / a < < b} B) Intervalo fechado [a,b] { / a b} C) Intervalo fechado à esquerda e aberto a direita [a,b) { / a < b} D) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita (a,b] { / a < b} Eercício 1: Represente graficamente: a) [1, ) b) (-, 0) c) (-1, 4] d) [0, 1] 1

13 Eercício : Represente em intervalos: a) 5 b) c) d) E) Semi-reta esquerda fechada (-, a] { / a} F) Semi-reta esquerda aberta (-, a) { / < a} G) Semi-reta direita fechada [a,+ ) { / a} H) Semi-reta direita aberta (a,+ ) { / > a} Eercício : Represente graficamente: a) [-1, ] b) (0, + ) c) (4, 5,) d) (-, -1] e) { / - 0} f) { / > 1/4} 1

14 Eercício 4: Represente em intervalos e conjuntos: a) - b) c) d) Operações 1) A = { / -1 1} B = [0, 5) ) A = [, 5] B= (, 6] ) A = (-, 1) B = [-, 0] 14

15 4) A = { / 4} B= { / 0 < 5} 5) A = [0, ] B = [-, -1] Eercício 5: Sejam A = [1, ], B = (0, 6] e C = [-1, 4). Determine: a) A B b) A B c) A C d) A C e) B C f) B C Eercício 6: Sejam A = [0, ) e B = (0, 5]. Determine: a) A B b) A B Eercício 7: Sejam A = [1, 4] e B = (7, 9). Determine: a) A B b) A B 4. RELAÇÕES E FUNÇÕES 4.1 Par Ordenado Se a,b, então (a, b) é um par ordenado. Todo par ordenado é representado no plano cartesiano como um ponto. (a, b) (b, a) 15

16 Eercício 1: Marque cada ponto no plano cartesiano: M = (, ) N = (, ) P = (-1, 4) Q = (-, -1) R = (, -) S = (4, 0) T = (-, 0) U = (0, 1) V = (0, -) O = (0, 0) Eercício: Determine cada par ordenado: 5 4 E y C 1 A 0 F G -1 H - D - I -4 B Produto Cartesiano Sejam dois conjuntos A e B. Chamamos de produto cartesiano de A por B ao conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b) onde a A e b B. Notação: AB Eemplo: A = {1,, 5} B = {4, 5} AB = BA = AB BA #(AB) = #(A). #(B) Eercício : Sejam A = {-1, 1} e B = {1,, }. Determine: a) AB = b) BA = 16

17 Eercício 4: Sejam A = {0, 1} e B = {-1, 0}. Determine: a) AB = b) A = Eercício 5: Sabendo que: #(AB) = 6 #(A) = (-1, ) AB (0, ) AB Determine o conjunto B. 4. Definição de Função Podemos entender os produtos cartesiano AB como relações de A em B. Quando a relação associa a cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que é uma função de A em B. a) A B b) A B ) A B 1 17

18 4) A B Eercício 6: Sejam A = {1,, } e B = {1,,, 4, 5, 9}. Determine se cada relação é uma função. a) R 5 = {(, y) AB/ y = +1} b) R 6 = {(, y) AB/ y > +} c) R 7 = {(, y) AB/ y = } d) R 8 = {(, y) AB/ y = } 4.4 Domínio e Imagem Considere A e B e seja f uma lei que associa cada elemento elemento y B, temos então uma função f de A em B: f : A B A a um único Eemplo: Sejam A = {,, 4} e B = {, 4, 5, 6, 8, 10}. Considere f : A = +. A B 4 B definida por f() Chamamos de: Domínio (D(f)) ao conjunto A Contradomínio (Cd(f)) ao conjunto B Imagem (Im(f)) ao subconjunto de B cujos elementos são os associados dos elementos de A 18

19 Eercício7: Sejam A = {0, 1,, }, B = {-, -1, 0, 1,, } e f() = 1. Determine: a) D(f) e) f() b) Cd(f) f) tal que f() = 0 c) Im(f) g) tal que f() = d) f(0) Eercício 8: Seja g() =. Calcule: a) g(-4) b) g(0) c) g(/) d) g(1) e) g(-1/) Eercício 9: Seja f() = + Calcule: a) f(1) b) f(-) c) f(0) Eercício 10: Sendo f() = 4, calcule tal que: a) f() = 0 b) f() = 1 c) f() = 5 5. FUNÇÃO DO 1º GRAU 5.1 Definição Chamamos de função do 1º grau a toda função do tipo: com a,b e a 0. 1) f() = + 1 ) f() = + 4 ) f() = 7 4) f() = 8 5) f() = 6) f() = + 1 f() = a + b 19

20 a b coeficiente angular coeficiente linear 5. Casos Particulares A) Função Linear Nesse caso, b = 0. 1) f() = ) f() = 5 ) f() = B) Função Identidade Nesse caso, a = 1 e b =0, ou seja, f() =. C) Função Constante Essa função não é função do 1º grau, porém precisamos citá-la e esse é um ótimo momento. É do tipo: f() = b. 1) f() = ) f() = 7/ ) f() = 5. Gráfico O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. 1) f() = + 1 0

21 ) f() = + a > 0 função crescente / a < 0 função decrescente \ Eercício 1: Construa o gráfico: a) f() = 6 b) f() = 1 c) f() = d) f() = 5 O gráfico de uma função linear passa pela origem. O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eio. 5.4 Raiz ou Zero Chamamos de raiz da função o valor de que a anula, ou seja, tal que f() = 0. 1) f() = + 1 ) f() = + 1

22 Eercício : Ache a raiz: a) f() = 6 b) f() = c) f() = 1 d) f() = O gráfico da função do 1º grau corta: Eio : no valor da raiz Eio y: no valor de b Eercício : Para cada função abaio, determine: i. Coeficiente angular ii. Coeficiente linear iii. iv. Raiz Gráfico a) f() = + 4 b) f() = c) f() = Estudo do Sinal Note que o gráfico de uma função do 1º grau um pedaço da reta está acima do eio (f() > 0) e o outro pedaço está abaio (f() < 0). Observe ainda que o valor que delimita esses pedaços é a raiz da função (f() = 0) 1) f() = + 9 f() > 0 f() = 0 f() < 0 ) f() = + 1 f() > 0 f() = 0 f() < 0

23 Para à direita da raiz, a função tem o mesmo sinal de a. Para à esquerda da raiz, a função tem o sinal contrário ao de a. Eercício 4: Faça o estudo do sinal de: a) f() = 5 b) f() = 5.6 Inequações Podemos resolver inequações do 1º grau através do estudo do sinal. 1) 5 > 0 ) Eercício 5: Resolva: a) 8 > 0 b) Aplicações Eercício 6: Certa locadora de automóveis cobra R$5,00 por dia mais R$0,55 por quilômetro rodado. a) Epresse o custo para alugar um carro por um dia em função do número de quilômetros rodados e desenhe o gráfico relacionado. b) Quanto custa alugar o carro por um dia para uma viagem de 50 quilômetros? c) Quantos quilômetros o carro rodou se o preço do aluguel por um dia foi R$7,00?

24 Eercício 7: Um industrial compra R$0.000,00 em equipamentos que sofrem uma depreciação linear, a qual reduz seu valor a R$1.000,00 após 10 anos. a) Epresse o valor dos equipamentos em função do tempo e desenhe o gráfico relacionado. b) Determine o valor dos equipamentos após 4 anos. Eercício 8: A temperatura em graus Fahrenheit é uma função da temperatura em graus Celsius. a) Use o fato de que 0 C = F e 100 C = 1 F para escrever uma equação para essa função. b) Converta 15 C para Fahrenheit. c) Converta 68 F para Celsius. 6. FUNÇÃO DO º GRAU 6.1 Definição Chamamos de função do º grau a toda função do tipo: onde a,b,c e a 0. 1) f() = ) f() = + 9 ) f() = ) f() = 7 5) f() = 6) f() = 7) f() = f() = a + b + c, 6. Raiz ou Zero O valor de que anula a função, ou seja, tal que f() = 0. Equação do º grau: a + b + c = 0 4

25 Para resolver uma equação do º grau devemos utilizar a fórmula de Báskara: = b 4.a.c 1) = 0 ) = 0 ) 5 + = 0 > 0 raízes reais diferentes = 0 raízes reais iguais ou 1 raiz real < 0 não possui raízes reais Eercício 1: Ache as raízes de cada função: a) f() = 15 b) f() = + 5 c) f() = 1 d) f() = e) f() = f) f() =

26 6. Gráfico O gráfico de uma função do º grau é uma parábola. 1) f() = ) f() = + 6 a > 0 a < 0 O gráfico da função do º grau corta: Eio : no valor das raízes Eio y: no valor de c > 0 a parábola corta o eio em pontos = 0 a parábola toca o eio em 1 ponto < 0 a parábola não toca o eio Eercício : Construa o gráfico: a) f() = 9 b) f() = c) f() = d) f() = + 6

27 6.4 Vértice da Parábola O bico da parábola é chamado de vértice. Podemos encontrar seu valor através da fórmula: O vértice determine o valor mínimo ou máimo da função: a > 0 a < 0 valor mínimo valor máimo 1) f() = ) f() = + Eercício : Em cada função determine seu vértice e diga se é ponto de mínimo ou de máimo. a) f() = b) f() = + 18 c) f() = + 16 d) f() = Estudo do Sinal Uma função do º grau pode ser positiva ou negativa para um determinado valor de. Temos casos para estudarmos o sinal de uma função quadrática conforme o valor de. 7

28 1º Caso: > 0 Nesse caso o gráfico da função intercepta o eio dos em pontos distintos. 1) f() = ) f() = + 4 Assim concluímos que no caso > 0, temos: Para fora das raízes, a função tem o mesmo sinal de a. Para entre as raízes, a função tem o sinal contrário ao de a. º Caso: = 0 Nesse caso há apenas um ponto de interceptação entre o gráfico da função e o eio dos. ) f() =

29 4) f() = 4 4 Assim concluímos que no caso = 0, temos: Para todo real, com raiz, a função tem o mesmo sinal de a. º Caso: < 0 Nesse caso o gráfico da função não intercepta o eio dos. 5) f() = + 9 6) f() = 5 10 Assim concluímos que no caso = 0, temos: Para todo real, a função tem o mesmo sinal de a. Eercício 4: Faça o estudo do sinal: a) f() = b) f() = + 7 c) f() = + 9 d) f() =

30 6.6 Inequações 1) ) + 4 < 0 Eercício5: Resolva: a) + 4 < 0 b) > 0 c) Aplicações Eercício 6: Um fabricante pode produzir gravadores por um custo de R$40,00 a unidade. Estima-se que se os gravadores forem vendidos por reais a unidade, os consumidores comprarão (10 ) gravadores por mês. a) Epresse o lucro mensal do fabricante em função do preço. b) Faça um gráfico. c) Estime o preço ótimo de venda. Eercício 7: Uma livraria pode obter um atlas de uma editora por um preço de R$10,00 o eemplar e estima que se vender o atlas por reais o eemplar, aproimadamente 0.( ) eemplares serão vendidos por mês. a) Epresse o lucro mensal com a venda do atlas. b) Faça um gráfico. c) Estime o preço ótimo de venda. d) Determine o lucro máimo. Eercício 8: Um objeto é arremeçado verticalmente para cima a partir do solo. Sua altura, em metros, t segundos mais tarde, é dada por: H(t) = 4,9t + 49t. a) Faça um gráfico. b) Determine o instante que o objeto se chocará co o solo. c) Determine a altura máima atingida pelo objeto. 0

31 7. MATRIZES Estamos acostumados a trabalhar com tabelas onde reunimos informações dispostas em linhas e colunas. Eemplo: Em uma editora, as vendas de livros de Matemática, Física e Química, no último trimestre, foram assim contabilizadas: Mês 1 Mês Mês Matemática Física Química Na Matemática damos o nome de matrizes a essas tabelas. 7.1 Definição Denomina-se matriz mn a uma tabela numérica formada por m linhas e n colunas. Dizemos que a matriz possui ordem mn. 1) ) ) 4) 1

32 7. Termo Geral Observe a matriz abaio: O elemento 1 está na 1ª linha e 1ª coluna então dizemos: O elemento 4 está na ª linha e ª coluna, então dizemos: a 1 = a = a 1 = Genericamente: Ou ainda, A = (a ij) mn onde i é aposição em relação a linha e j é aposição em relação a coluna. 1) Escreva a matriz A = (a ij) tal que a ij = i j + 4. ) B = (b ij) tal que b ij = i + j. ) X = ( ij) tal que

33 4) Y= (y ij) tal que Eercício 1: Escreva a matriz A = (a ij) 4 tal que a ij = i j. Eercício : Escreva a matriz B = (b ij) 4 tal que b ij = i j. Eercício : Escreva a matriz C = (c ij) 1 tal que c ij =. Eercício 4: Escreva a matriz D = (d ij) tal que d ij = 7. Tipos de Matrizes A) Matriz Linha Possui apenas 1 linha. 1) ) B) Matriz Coluna Possui apenas 1 coluna. 1) ) C) Matriz Quadrada Possui o número de linhas igual ao número de colunas. Nesse caso, dizemos que a ordem da matriz é n. 1) )

34 Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal da matriz como sendo os elementos onde i = j. 1) ) A outra diagonal é chamada de diagonal secundária. 1) ) D) Matriz Triangular É a matriz quadrada cujos elementos acima ou abaio da diagonal principal são zeros. 1) ) E) Matriz Diagonal É a matriz quadrada cujos elementos são zeros, eceto os elementos da diagonal principal. 1) ) 4

35 F) Matriz Identidade É a matriz diagonal cujos elementos não nulos dão todos 1. 1) ) G) Matriz Nula É a matriz cujos elementos são todos nulos. 1) ) Eercício 5: Escreva a matriz quadrada A de ordem tal que a ij = 4i j +. Eercício 6: Seja a matriz. Se é o produto dos elementos da diagonal principal e y o produto dos elementos da diagonal secundária, calcule y. Eercício 7: Escreva a matriz triangular superior B cujos elementos não nulos são dados por b ij = i + 4j. 7.4 Igualdade de Matrizes Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem, temos que A = B se s seus elementos correspondentes são iguais. Dizemos que dois elementos são correspondentes se ocupam a mesma posição em relação à linha e à coluna. 1) 5

36 ) ) Sabendo que, determine e y. Eercício 8: Se, calcule m e n. Eercício 9: Calcule as incógnitas: a) b) c) d) 7.5 Adição de Matrizes Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem mn, dizemos que C = A + B, com C de ordem mn, se cada elemento c ij é obtido pela adição a ij + b ij. 1) ) ) Eercício 10: Sejam a) B + C b) A + B c) A + B + C. Calcule: 6

37 Eercício 11: Determine as incógnitas: a) b) c) Matriz Oposta ( A) Matriz oposta de uma matriz A é a matriz cujos elementos são os opostos dos elementos de A. 1) ) 7.6 Subtração de Matrizes Sejam A e B duas matrizes mn, definimos A B = A + (-B). 1) ) 7.7 Multiplicação de um nº real por uma Matriz Seja A uma matriz mn e k um número real, então ka é uma matriz mn cujos elementos são obtidos pela multiplicação de k por cada elemento de A. 1) ) ) 7

38 4) Eercício 1: Sejam e. Calcule: a) A b) B c) A + B d) A + B e) A + 4B f) 7.8 Matriz Transposta Seja A matriz mn. Definimos a matriz transpostas de A como a matriz nm cujas linhas são as colunas de A. 1) ) Eercício 1: Sejam e. Calcule: a) A T + B b) A T Eercício 14: Sejam e. Calcule: a) A + B b) A + B T 8

39 7.9 Matriz Simétrica Observe: Temos que: A T = Vemos que A = A T, nesse caso dizemos que A é simétrica. Eemplo: Calcule a, b e c para que a matriz A seja simétrica: 7.10 Multiplicação de Matrizes Sejam A, matriz mn, e B, matriz np, definimos C = A.B, cuja ordem é mp, como a matriz cujos elementos c ij são obtidos pela multiplicação ordenada da linha i de A pela coluna j de B. 1) ) ) 9

40 Eercício 15: Sejam e. Calcule se possível: a) A.B b) A.C c) B.C d) C.B e) (A)(B) 7.11 Equações Matriciais Sejam e. Ache X tal que: 1) X + A = B ) X + A = B ) Eercício 16: Ache X tal que X A + B = 0 com e. Eercício 17: Seja X tal que 5X A = X. Se, calcule X. 40

41 Eercício 18: Sejam e. Calcule X tal que: 8. SISTEMAS LINEARES Chamamos de sistemas lineares do tipo ao conjunto de equações com incógnitas. Eistem vários métodos de resolução, porém aqui veremos apenas o método da adição. Esse método consiste em somar as duas equações para que uma das incógnitas desapareça, caso isso não ocorra inicialmente, podemos multiplicar as equações por números reais. 1) ) ) 4) 41

42 5) 6) 7) 8) 4

43 9) 10) 8.1 Aplicações: Matriz Inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que X é a inversa de A se A.X = I n Notação: A -1 1) ) 4

44 ) Eercício1: Ache a inversa: a) b) 8. Aplicações: Determinação da lei de formação Já sabemos traçar o gráfico de uma função do 1º grau dada a lei de formação. Mas e o contrário, como determinar a lei de formação através de um gráfico? Como já sabemos que toda função do 1º grau tem como gráfico uma reta e que a lei de formação tem a forma: y = a + b, se tivermos dois pontos pelos quais essa reta passa, podemos formar um sistema de equações nas variáveis a e b. Esses dois pontos serão determinados pelo gráfico. 1) Determine a lei de formação da função do 1º grau cujo gráfico é: 44

45 Devemos tomar dois pontos por onde a reta passa. Por eemplo,, 1 e 1, 4. Substituindo esses pontos na lei geral y = a + b, temos: b 1 b 4 Resolvendo esse sistema encontramos como solução: a = 1 e b =. Assim a lei de formação dessa função é: y = +. Determine a equação da reta que passa pelos pontos 0, 1 e,. Substituindo esses dois pontos na lei geral teremos o seguinte sistema: b 1 a b 1 Cuja solução é: a = e b =1. Assim a equação dessa reta é: 1 y = DETERMNANTES Toda matriz quadrada te um número associado a ela, chamado de determinante. 9.1 Determinante de Ordem Seja. Definimos: 1) 45

46 ) ) 4) 9. Determinante de Ordem Seja. Definimos: Regra de Sarrus Para obter o determinante de uma matriz de ordem podemos utilizar o seguinte procedimento: 1) 46

47 ) ) Ache : Eercício 1: Calcule. Eercício : Resolva Eercício : Calcule. Eercício 4: Sejam e. Calcule tal que deta = detb. Eercício 5: Ache tal que, 47

48 ANEXO A: Operações Algébricas Epressões Algébricas Chamamos de termo algébrico aos produtos do tipo: ; 5ab; -1yz; - Todo termo é formado por um coeficiente e uma parte literal: Termo Algébrico Coeficiente Parte Literal 5ab 5 ab -1yz -1 yz - -1 Dizemos que todo número real é um termo algébrico sem parte literal. Assim definimos epressão algébrica como a reunião de um ou mais termos algébricos. 1) é uma epressão algébrica de um só termo ) é uma epressão algébrica de dois termos ) + + é uma epressão algébrica de três termos Valor Numérico das Epressões Algébricas Toda epressão algébrica equivale a um número, quando substituímos sua parte literal por valores conhecidos. O número obtido chama-se de valor numérico (VN) da epressão. 1) ab, para a = e b = -, tem VN =..(-) = -18 a b.( ) 6 ), para a = e b = -, tem VN = a a b 5. ( 1) 10 1 ), para a = e b = -1, tem VN = 11 a b ( 1) 1 a b ), para a = 1 e b = 1, tem VN = como não há a b divisão por zero, dizemos que a epressão não tem valor numérico para a = 1 e b = 1. 48

49 Monômios e Polinômios Monômio é toda epressão algébrica de um só termo. 1) a ) -5a 1 ) a b Identifica-se o grau de um monômio pela soma dos epoentes das variáveis de sua parte literal. 1) é de grau ) - y é de grau ) a b é de grau 5 Polinômio é toda epressão algébrica com mais de um termo. 1) ) 5 + y + y ) a + a+ 1 O grau do polinômio é igual ao maior grau entre todos os seus monômios. 1) a + a + 1 é de grau ) + 1 é polinômio de grau ) y + y y + é polinômio de grau 5 Operações com Monômios Termos Semelhantes Termos semelhantes são aqueles que têm a mesma parte literal. 1) 4 e - são termos semelhantes ) -5a e a são termos semelhantes ) -5 y e 6y não são termos semelhantes 49

50 Adição e Subtração de Monômios Só podemos adicionar ou subtrair monômios semelhantes. 1) a + 5a = (+5)a = 8a ) = (5+8) = 1 ) -5 + = - 4) -a 4a = -7a 5) abc + 7abc = 6abc Multiplicação de Monômios Para se obter o produto de monômios, basta aplicar a lei: a m.a n = a m+ n 1) ab. (-5ab ) =.(-5).a 1+1.b + = -15a b 5 ) -4 y. (-y) = (-4).(-). +1.y +1 = 8 4 y 4 ) 7y. y = 14 y 4 Divisão de Monômios Numa divisão de monômios, o quociente é obtido pela lei: a m a n = a m n 1) 15a (-5a ) = 15 (-5).a = -ª ) 14 4 y y = 7 y ) a 5a = 1 a 5 Potenciação de Monômios Devemos recordar as seguintes propriedades: (a.b) p = a p.b p (a m ) n = a m.n 1) (a b ) =.(a ).b.( ) = 8a 6 b 9 ) (- y ) = 4 y z 6 ) (- 4 y) = -7 1 y Operações com Polinômios Adição Somamos apenas os termos semelhantes. 1) ( ) + ( -5 +5) = = ) (5 y + y 4) + (- y + y + 7y) = 5 y y + y + y 4 + 7y = = y + y 4 + 7y ) ( + ) + (6 + 4) + (- + 5) = = =

51 51 Processo prático: os termos semelhantes são colocados um debaio do outro. 1) ) y y y y y y y 7 4 7y 4 5 ) Subtração Procedemos como na adição, apenas tomando cuidado com os sinais. 1) ( ) ( + 8-1) = = = ) (-4y + ) (y + 5) = -4y y = -7y + - ) ( ) ( ) = = = = Processo prático: 1) ) y y y )

52 Multiplicação 1º Caso: Multiplicação de Monômio por Polinômio 1) ().( + + 5) = = ) (-a).(9a 5a 6a) = -7a + 15a + 18a ) (8 ).(-5 ) = º Caso: Multiplicação de dois Polinômios 1) (+5).(6+) = = = = ) (4 + 5 y y ).( y + y ) = =8 5 y y y + 15 y 4 y 6 y 4= = 8 5 y y 6 y 4 ) ( + 1).( 1) = = = Divisão 1º Caso: Divisão de Polinômio por Monômio 1) ( ) (4) = = 4 + ) (10 y 0 y y 4 ) (y) = 5 y 10y - 1 y ) ( ) (-6 ) = º Caso: Divisão de Polinômio por Monômio 1) ( 7 + ) ( - )

53 ) ( ) ( + 1) ) ( ) ( + + ) ANEXO B: Produtos Notáveis Há algumas multiplicações muito freqüentes na álgebra conhecidas pelo nome de produtos notáveis. Para cada um desses produtos costumamos deduzir uma regra geral. Eistem vários casos de produtos notáveis: 1. Quadrado da Soma (a+ b) = a +.a.b + b 1) ( + a) = +..a + a = 4 + 4a + a ) ( + y) = + 4y + 4y ) (y + ) = 4y + 1y + 9. Quadrado da Diferença (a b) = a.a.b + b 1) ( ) =.. + = ) (a 1) = 9a 6a + 1 ) (y ) = 4y 1y + 9 5

54 . Produto da Soma pela Diferença (a + b)(a b) = a b 1) (m + 5)(m 5) = m 5 = m 5 ) (ab c )(ab + c ) = a b 4 c 6 ) ( + 4)( 4) = Produto da forma ( + p)( + q) ( + p)( + q) = + (p +q) + pq 1) ( + )( + 5) = + ( + 5) +.5 = ) ( + 4)( 6) = 4 ) ( )( 7) = Cubo da Soma (a + b) = a +.a.b +.a.b + b 1) (a + ) = a +.a. +.a. + = a + 4a + 1a + 8 ) ( + 1) = ) (m + n) = m 6 + m 4 n + m n + n 6. Cubo da Diferença (a + b) = a -.a.b +.a.b - b 1) (a - ) = a -.a. +.a. - = a - 4a + 1a - 8 ) ( - 1) = ) (m - n) = m 6 - m 4 n + m n - n ANEXO C: Fatoração Fatorar é transformar uma epressão algébrica no produto de dois ou mais fatores mais simples. Eistem vários casos de fatoração: 1. Fator Comum Utilizado quando os membros da epressão algébrica possuírem fatores comuns. 1) a + b = (a + b) ) + 8 = ( + 4) ) 6y = ( y) 4) 10a 5 = 5(a 1) 5) 1a z + 4az 1a z = 1az( + z a) 54

55 . Agrupamento Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum de uma maneira especial. a ay 1) a é o fator comum b by b é o fator comum a( y) b( y) ( y)(a b) ) + a = ( ) + a( ) = ( )( + a) ) b + ab + c + ac = b ( + a) + c ( + a) = ( + a)(b + c ). Diferença de Quadrados Consiste em transformar a diferença de dois quadrados no produto da soma pela diferença das raízes quadradas de cada termo. 1) 9 = ( + )( ) ) 16 1 = (4 + 1)(4 1) ) 9a 5b = (a + 5b)(a 5b) 4. Trinômio Quadrado Perfeito Um trinômio é quadrado perfeito se ele é igual ao quadrado de um binômio. Por eemplo: ( + ) = Logo é um trinômio quadrado perfeito. O que queremos agora é determinar se um trinômio é quadrado perfeito e então escrevê-lo na sua forma fatorada ( 5) ) = ( + 1) ) 16 4y + 9y = (4 y) ) = ( + 1) Observação 1:

56 5. Trinômio da Soma e Produto das Raízes Quando estivermos trabalhando com um trinômio que não seja quadrado perfeito da forma: + b + c. Consiste em encontrar suas raízes e escrevê-lo na forma ( 1)( ) onde 1 e são as raízes. Lembre que a soma das raízes é dada por b/a e o produto das raízes é dado por c/a. 1) = ( )( 8) soma 10 produto ) 5 4 = ( + )( 8) soma 5 produto -4 ) = ( )( ) 4) = ( + )( + 6) 5) 1 = ( 4)( + ) 1 8 Observação : Devemos sempre fatorar por completo cada epressão algébrica, isto é, em alguns casos devemos aplicar mais de um caso de fatoração. 1) = ( + + 1) = ( + 1) ) 4 81 = ( + 9)( 9) = ( + 9)( + )( ) ) 50 = ( 5) = (+5)(-5) 4) a b + a y b y = (a b ) + y(a b ) = (a b )( + y) = = (a + b)(a b)( + y) ANEXO D: Inequação Produto e Quociente Vamos resolver inequações onde temos o produto ou o quociente entre duas ou mais funções do 1º grau. Para isso faremos o estudo do sinal de cada função. 56

57 1) Resolva a inequação (+1)(4 ) < 0. Temos f() = + 1 e g() = 4 e queremos determinar para que valores de temos o produto das duas funções negativo. Para encontrar a solução fazemos inicialmente o estudo do sinal da cada uma das funções: Sinal da f: Sinal da g: Estudamos o sinal do produto fazendo uma tabela: 1 4 f g f. g Assim a solução da inequação é: 1 S = ; ou 4 1 ) Determine de modo que 0. Sinal de f() = 1 Sinal de g() = + 57

58 1 - f g f. g Assim a solução é: 1 S = ; ou = - é raiz da função g() e assim anula o denominador, portanto deve ser ecluído da solução da inequação. BIBLIOGRAFIA BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Curso de Matemática. Ed. Moderna. FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limites, derivação e integração. Makron. DANTE, L. R. Matemática: conteto e aplicações. Volumes 1 e. Ed. Ática. BUCCHI, P. Matemática. Ed. Moderna. WEBER, J. E. Matemática para economia e administração. Harbra. 58