COLÉGIO OBJETIVO JÚNIOR

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1 COLÉGIO OBJETIVO JÚNIOR NOME: N. o : DATA: / /015 FOLHETO DE MATEMÁTICA (V.C. E R.V.) 8. o ANO Este folheto é um roteiro para você recuperar o conteúdo trabalhado em 015. Como ele vai servir de base para você estudar para as provas de V.C. e R.V., conserve-o, pois precisará dele para revisar a matéria, caso fique de R.V. Resolva também os eercícios complementares dos folhetos de V.C. e R.V. Operações com polinômios A) Adição e subtração: Basta adicionarmos ou subtrairmos as operações indicadas com os termos semelhantes. Eemplo: Efetue as operações abaio: Dados: A = 3a + b 5c B = a + b c Conserva-se a base e subtraem-se os epoentes. Eemplo: Efetue as divisões abaio: 5 3 a) : = b) 45a b : ( 5ab) = 9a b 4 3 c) (10a 6a ) : (a ) = 5a 3a Eercício 1. Da dos os po li nô mi os, re sol va o que se pede: A = B = C = + 4 D = a) A + B a) A + B = 3a + b 5c + a + b c = 4a + 3b 6c b) A B = 3a + b 5c (a + b c) = 3a + b 5c a b + c = a + b 4c b) C B B) Multiplicação: Lembre-se de aplicar a propriedade das potências de bases iguais e multiplicar os coeficientes. Conserva-se a base e somam-se os epoentes. Eemplo: Efetue as multiplicações abaio: 3 5 a). = b) ( 6a bc ). ( 5abc) = + 30a b c 3 c) ( 5). ( + 3) = d) (4 + ). ( 5) = = C) Divisão: Aplicar a propriedade das potências e fazer a divisão com os coeficientes. c) A. D A partir do conhecimento da área de algumas figuras, estudaremos produtos notáveis, lembrando sempre que, se usarmos o cálculo da área para quadrados e retângulos, teremos alguns produtos notáveis conhecidos, como: quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos, produto da soma pela diferença de dois termos, quadrado da soma de três termos e cubo da soma de dois termos, bastando apenas observar um quadrado, formado basicamente por Q 1, Q, R 1 e R ou Q 1, Q, Q 3, R 1, R e R 3. Folheto de Matemática (V.C. e R.V.) 8. o ano 1

2 Produtos notáveis 1 Quadrado da soma de dois termos: 4 Quadrado da soma de três termos: z Q 1 R z R 1 ( + ) = ( + ). ( + ) = = = + + Quadrado da diferença de dois termos: Q ( + + z) = ( + + z). ( + + z) = = + + z + + z + + z + z + z = = + + z + + z + z Eercícios. Baseado nos eemplos, calcule a área da figura ha - churada e escreva a epressão algébrica: a) ( ) = ( ). ( ) = + = = + 3 Produto da soma pela diferença de dois termos: b) ( + ). ( ) = + = = Folheto de Matemática (V.C. e R.V.) 8. o ano

3 c) f) z z d) 3. Ago ra que você fez o eer cí cio an te ri or pela área das figuras, vamos apenas treinar o cálculo algébrico, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação ou montando a figura: a) ( + ) b) ( ) e) 1 c) ( + ). ( ) 1 d) ( + + ) Folheto de Matemática (V.C. e R.V.) 8. o ano 3

4 Fatoração de epressões algébricas Fatorar significa transformar uma soma algébrica em um produto. 1º caso Fator comum em evidência Fatorar um número significa decompô-lo em fatores. Fatorar uma epressão algébrica significa descobrir que valores da parte literal e da parte numérica aparecem em comum em todos os termos da epressão a ser fatorada. E.: Parte numérica: Qual é o m.d.c. (máimo divisor comum) entre 5 e 15? Resposta: 5 Parte literal: Qual é a letra que aparece em comum em todos os termos da epressão e qual é seu menor epoente? Resposta: Portanto, o fator comum será: 5 Escrevemos: 5 Agora, dividiremos cada parte da epressão por 5, assim: 5 : 5 = 5 15 : 5 = 3 Eercício 5. (5 + 3) É a forma fatorada de Fa to re uti li zan do o fa tor co mum: a) b) z Em seguida, multiplicamos o valor das raízes por e o resultado deve ser o termo do meio. Se isso for verificado, ( + ) é a forma fatorada de + +. Eercício 5. Fa to re os tri nô mi os qua dra dos per fe i tos: a) b) º caso Diferença de dois quadrados Você se lembra de que ( + ) ( ) = 4? Pois é, ( + ) ( ) é a forma fatorada de 4. Mas como faremos isso? Etraindo a raiz quadrada das pontas: 4 4 Portanto, ( + ) ( ) é a forma fatorada de 4. Eercício 6. Fa to re as di fe ren ças de dois qua dra dos: a) º caso Trinômio quadrado perfeito Você se lembra do produto notável ( + )? ( + ). ( ) = + + Se quisermos fatorar a epressão + +, ela deve ficar igual a ( + ) ; mas como fazemos isso? Etraímos a raiz quadrada das etremidades: + + b) Folheto de Matemática (V.C. e R.V.) 8. o ano 4

5 4º caso Trinômio do º grau + (a + b). + a. b = ( + a). ( + b) Eemplo: 3 8. Fa to re por agru pa men to: a) = 3 b) = = ( + 3) ( + 1) = S P = (3+1) (3.1) Eercício 7. Fa to re os tri nô mi os do º grau: a) = Utilização da fatoração para simplificar epressões algébricas OBS.: Fatore antes de simplificar Eemplo: 3 ( 9) = ( 3) ( + 3) ( 3) = Eercício d) + 6 = 9. Sim pli fi que as e pres sões al gé bri cas aba i o (fa to re pri me i ro): a + b a) a b c) 4 5 = b) + 5º caso Agrupamento Observe: = ( + ) + ( + ) = ( + ). ( + ) = Folheto de Matemática (V.C. e R.V.) 8. o ano 5

6 c) 3a + 3 a + a + 1 b) + 3 ; c) 9 ; 1 Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) O m.m.c. é o produto dos fatores comuns e não comuns elevados aos maiores epoentes. Eemplo: m.m.c. entre 9 e 6 d) 5z ; 15 z m.m.c. =. 3.. = 18 Para determinar o m.m.c. de polinômios, precisamos primeiro fatorá-los. 9; Fatorando, teremos: 9 = ( 3) ( + 3) = ( + 3) m.m.c. = ( 3)( + 3) Eercício 10. Encon tre o m.m.c. en tre as e pres sões aba i o: a) 3 ; 9; Equações fracionárias A equação do 1º grau que tem variável no denominador é chamada de equação fracionária. Resolução de equações fracionárias em R Pro ce da da se guin te for ma: a) Determine a condição de eistência. b) Ache o m.m.c. c) Resolva normalmente. d) Ve ri fi que se o va lor da in cóg ni ta en con tra do é ade qua do. e) Escre va o con jun to-so lu ção. Eemplo: 7-3( + ) = + + C.E. 7 = = = 8 = S = {} Folheto de Matemática (V.C. e R.V.) 8. o ano 6

7 Eercício 11. Resolva as equações fracionárias: 5 a) = + b) = 1 Eercício 1. Resolva os sistemas algébrica e graficamente, e clas si fi que-os: + = 3 a) = 5 + = 15 = Resolução de sistemas de equações Você pode escolher o método que preferir: adição ou substituição. Um sistema pode ser: Sistema possível e determinado Retas concorrentes S = {(, )} Sistema possível e indeterminado Retas coincidentes S = R Sistema impossível Retas paralelas S = Eemplos: Resolva e classifique o sistema: 3 + = 1 pelo método da adição temos: 3 = = 1 (.3) = 3 3 = 5 (.) 4 6 = 10 + Método da substituição: = 1 = = 13 = 1 + = 8 b) = + = 8 = = = 1 V = {(1, 1)} S.P.D. Folheto de Matemática (V.C. e R.V.) 8. o ano 7

8 Ângulos formados entre duas retas paralelas e uma transversal ^ f g^ c^ b^ ^ e ^ h t a^ d^ r s r//s b) t 4 ^ 30º ^ + 10º r r//s s A) Ângulos correspondentes: são congruentes. â ê b f c g d h B) Ângulos colaterais: são suplementares. internos: d + ê = 180º c + f = 180º eternos: a + h = 180º b + g = 180º C) Ângulos alternos: são congruentes. internos: c ê d f eternos: â g b h c) ^ 4^ ^a ^ b t r r//s s Eercício 13. Nas fi gu ras aba i o, des cu bra a me di da e de cada ân - gulo, sendo r//s. a) ^ + 15º r 15º s d) ^ + 15º ^a ^ b 4 ^ 75º r s t r//s t Folheto de Matemática (V.C. e R.V.) 8. o ano 8

9 Ângulos opostos pelo vértice Dois ângulos são o.p.v. quando os lados de um são semirretas opostas ao lado do outro. Os ângulos o.p.v. são congruentes (têm a mesma medida). Identifique os pares de ângulos o.p.v. A Eercícios 14. Cal cu le e : F ^ E B 45º ^ D C A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º. 90º 15. Cal cu le,, w e z : ^ 60º 40º 50º 130º ^ ^z 90º + 40º + 50º = 180º A soma das medidas dos ângulos eternos de um triângulo qualquer é igual a 360º. w^ 90º 150º 150º + 90º + 10º = 360º Num triângulo qualquer, a medida de cada ângulo eterno é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele. 70º 60º 60º + 70º = 130º 10º 130º Equação e inequação Equação igualdade Inequação desigualdade Resolução: 1) Passe da lin gua gem co mum para a lin gua gem matemática. ) Resolva a equação ou inequação. 3) Determine a solução. Eemplo: O dobro da soma de um número natural com dois é igual a vinte. Que número é esse? ( + ) = 0 U = N + 4 = 0 S = {8} = 0 4 = 16 = 16 = 8 Resposta: O número é 8. Folheto de Matemática (V.C. e R.V.) 8. o ano 9

10 Eemplo: O dobro da soma de um número natural com dois é menor ou igual a vinte. Quais são esses números? ( + ) 0 U = N S = { N / 8} Eercício 17. Cal cu le o nú me ro de di a go na is de um: a) hep tá go no regular 16 8 Resposta: Os números são 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Eercício 16. Re sol va os pro ble mas que en vol vem equa ções e ine qua ções no U = N, Z e Q. a) 1 so ma do com o do bro de um nú me ro é ma i or ou igual a de zes se is. b) ico sá go no regular b) O do bro da di fe ren ça en tre um nú me ro e 1 é ma i or que a di fe ren ça en tre esse nú me ro e dois. c) Tiran do 7 anos da me ta de da ida de de Cló vis, ob te - mos a ida de de Cláu dia, que tem 13 anos. Qual é a idade de Clóvis? Soma dos ângulos internos de um polígono Si = (n ). 180º Eemplo: Qual a soma dos ângulos internos de um polígono de 1 lados? Si = (1 ). 180º Si = º Si = 1800º Eercício 18. Cal cu le a soma dos ân gu los in ter nos de um: a) eneágono regular Número de diagonais de um polígono d = n (n 3) Eemplo: Quantas diagonais possui um polígono de 1 lados? 1 ( 1 3) d = 6 d = 1. 9 d = 54 b) pentágono regular Folheto de Matemática (V.C. e R.V.) 8. o ano 10