MONÓMIOS E POLINÓMIOS

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1 MONÓMIOS E POLINÓMIOS

2 POLINÓMIOS 1 6 a y 4y 3 Eemplos de várias epressões algébricas. Uma epressão algébrica é constituída por um ou mais termos.

3 No polinómio, às parcelas,, e y 4y 3 chamam-se termos ou monómios. y 4y 3 Um polinómio é uma soma algébrica de pelo menos dois monómios.. Eemplos: y 4y y 4y 7y Binómio, porque é constituído por dois monómios. Trinómios cada epressão é constituído por 3 monómios

4 MONÓMIOS Curiosidade: Monómio é uma palavra de origem grega, derivada de monos, que significa único. Monómio significa único termo. Um monómio é uma epressão que pode ser constituída por um número ou por um produto de números em que alguns podem ser representados por letras. Eemplos: M 3 -y 3 y 4 6 NOTA y 1 1 y y Nota: Num monómio não aparecem adições nem subtrações.

5 Constituição de um monómio Eemplo: -7 y 3 Neste monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente (-7) e uma parte literal (y 3 ). Eercício: Completa a tabela seguinte: Monómio Coeficiente Parte literal 10 z 6 5yz 89yz 1 10 z 1 6 yz 5 89 yz

6 Como escrever corretamente um monómio? Eemplo I a A área do maior retângulo da figura ao lado pode ser dada pela epressão: a mas deve escrever-se: a Eemplo II Observa a figura: Qual a sua área? 7 = 14

7 O produto de dois monómios é outro monómio cujo coeficiente é o produto dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes literais. Convencionou-se que para escrever um produto de vários fatores (um monómio) escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética. Por eemplo: Monómio 5 y Escrita correta 5y 5ba3 p ab 15ab 3q 6 pq 3a b 3 6a b

8 6 6a 6a 3 6a 6a 3 b 5 6a b Grau de um monómio grau 0 grau 1 grau grau 3 grau 4 grau 7 Então, como se determina o grau de um monómio? O grau de um monómio é igual à soma dos epoentes das letras que nele figuram (à soma dos epoentes da parte literal).

9 Eercício: Completa a tabela: Monómios Grau 3 7y 3 y y

10 Considera o seguinte polinómio: Monómios semelhantes este polinómio é constituído por 4 monómios, 7, 4 e 9. 4 Os monómios 7 e 4 são semelhantes. Mais eemplos: 4y e 19y 4y e 56y 887y z Dizem-se monómios semelhantes. Conseguirás chegar à definição? e 4y z Monómios semelhantes - são monómios que têm a mesma parte literal Os monómios e não são semelhantes porque não têm a mesma parte literal.

11 Monómios simétricos - são monómios com a mesma parte literal e coeficientes simétricos. 19y e 19y Grau de um polinómio Consideremos o polinómios e o respetivo grau O grau deste polinómio é Grau Grau 3 Definição: Chama-se grau de um polinómio é o maior dos graus dos monómios que o constituem.

12 OPERAÇÕES COM POLINÓMIOS

13 Eemplos: 1. O polinómio Polinómio reduzido porque não tem termos semelhantes. Transforma num polinómio reduzido os seguintes polinómios: 6y 3 y 5 7y 3 y 3y y 9 4y y y y 5 7y y 3y 10 Simplificar um polinómio é reduzir os termos semelhantes 3 13y y 5y 15

14 Produto de um monómio por um polinómio

15 Para multiplicar um monómio por um polinómio, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, isto é, multiplica-se o monómio por cada um dos termos do polinómio

16 Multiplicação de polinómios

17 8 1.ª processo:.ª processo: Polinómio reduzido Para multiplicar polinómios, multiplica-se cada termo de um, por todos os termos do outro, obtendo-se assim um novo polinómio.

18 y , y y y Eercício: Transforma num polinómio reduzido: Se tivermos dois polínómios de graus e 4 então a multiplicação desses polínómios dará um polinómio de grau 6

19 OBSERVAÇÃO: Polinómio de grau Polinómio de grau 4 Polinómio de grau 6 A multiplicação de um polinómio de grau por um polinómio de grau 4 é um polinómio de grau 6. grau PQ grau P grau Q 1 y 6

20 CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO

21 Quadrado de um binómio Entre todos os produtos de polinómios há dois casos que têm um interesse particular, não só pela sua aplicação a muitas situações, como pela sua ligação à geometria. Um polinómio com dois termos, ou seja, com dois monómios, também se pode chamar BINÓMIO Se é um binómio, então representa o quadrado de um binómio.

22 Já vimos que então: 5 pode ser visto como o produto de polinómios, Temos dois termos semelhantes, logo é possível simplificar.

23 GEOMETRICAMENTE 5 Este quadrado de um binómio pode ser visto como a área de um quadrado de lado Decompondo a figura a área é igual à soma das áreas de cada uma das figuras A

24 a b a a b a b b a b a b a b a ab ab b a ab b

25 Eemplos: 3 3 y SERÁS CAPAZ DE DESCOBRIR UMA REGRA QUE TE PERMITA PASSAR DIRETAMENTE DA 1.ª EXPRESSÃO PARA A ÚLTIMA!!!

26 Quadrado de um binómio a b a b a b a ab ab b a ab b ab a ab b a é o 1.º termo do binómio b é o.º termo do binómio Quadrado do 1.º termo Dobro do 1.º termo pelo.º termo Quadrado do.º termo

27 Eemplos Quadrado de binómio: ( + 6) = = (5 + 3) = (3) = (y + ) = y + y + () = y + 4y + 4 (7a + 3b) = (7a) + 7a 3b + (3b) = 49a + 4ab + 9b

28 Eemplos Quadrado de um binómio (a - 5b) = a - a 5b + (5b) = a - 10ab + 5b

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30 Diferença de quadrados

31 De um modo geral, a b a b a ab ab b a b Quadrado do 1.º termo Quadrado do.º termo a b a b a b É importante ler a igualdade nos dois sentidos.

32 GEOMETRICAMENTE Observa a figura. Assim: a b a b a b Repara que a figura é um heágono que se obteve retirando ao quadrado de lado a, um outro quadrado, mais pequeno, de lado b. Sendo assim, a sua área é dada por. a b Por outro lado, tal como se pode observar nas figuras anteriores, decompondo o heágono e reagrupando as partes, chegamos à conclusão que a área da figura também pode ser dada por a b a b.

33 Repara que: Cada epressão dada é um produto de dois binómios, que só diferem num sinal. Têm um termo em comum e o outro é simétrico. O sinal, -, da diferença fica associado ao quadrado do termo que tem sinal diferente. A epressão que se obteve em cada caso é uma diferença de quadrados y y y y y y Observa :

34 Diferença de quadrados Mais Eemplos 9 = 3 = ( + 3)( 3) 16 4a 4 a 4 a 4 a 1 y 1 y 1 y 1 y

35 As igualdades a b a ab b a ba b a b são casos particulares da multiplicação de polinómios. Chamam-se por isso, CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO.

36 Resumo Quadrado de um binómio: + + a b a b a b a ab b Diferença de Quadrados: a b a b a b 36

37 Eercício 1 Escreve um polinómio equivalente a: 7 4 Resolução: a a a 4a

38 Eercício Desenvolve e reduz os termos semelhantes 3 3 3

39 Consolidação dos conhecimentos Eercícios da página 53 e 55 TPC- terminar os eercícios não realizados na aula

40 Decomposição de um polinómio em fatores

41 DECOMPOSIÇÃO EM FACTORES Recordar A+B é uma soma A e B são parcelas A B é um produto A e B são os fatores Fatorizar um polinómio é escrevê-lo sob a forma de um produto de dois ou mais fatores. Para decompor um polinómio em fatores, aplicando a propriedade distributiva, procuram-se os fatores comuns e colocam-se em evidência.

42 Factoriza a seguinte epressão: (4+5y) 4+5y = Factor comum Epressão obtida suprimindo o factor comum Se multiplicares o factor comum pela epressão dada, terás de obter a epressão inicial. Caso contrário, a epressão está mal factorizada. = 4+5y Colocámos em evidência o factor.

43 Para decompor um polinómio em fatores é necessário: Identificar o fator comum Pôr em evidência esse fator.

44 Mais eemplos: y 10 y y 3 5 y y y y 3b 6b 3bb 3b 3b b y y y

45 5 7y 15 7y Ponho o em evidência mas e depois!!!

46 Os casos notáveis e a decomposição em factores a b b Diferença de quadrados a b a m 1m1m c 5 5 c c 3 3

47 QUADRADO DE UM BINÓMIO 44 9a 4a 49 3a

48 LEI DO ANULAMENTO DO PRODUTO

49 Reparem que: Lei do anulamento do produto Nota: O símbolo lê-se ou. Um produto é nulo se e só se (sse) pelo menos um dos seus factores é nulo. Assim, se o produto de dois (ou mais) fatores é zero, então, pelo menos um dos fatores é zero. Ou seja, A B 0 A 0 B 0 Esta propriedade é conhecida pela LEI DO ANULAMENTO DO PODUTO.

50 A lei do anulamento do produto permite resolver equações de grau superior ao primeiro. Mas, será possível aplicar a lei do anulamento do produto na resolução de qualquer equação?! Atenção, para aplicar a lei do anulamento do produto na resolução de equações, é necessário que: Um dos membros esteja fatorizado (produto de fatores); E que o outro membro seja zero. ( 4)( 7) 0

51 Eemplos: ( 4)( 7) 0 ( 4) 0 ( 7) Conseguirás descobrir mentalmente as soluções? S 7 4 7,4 Ao aplicar esta lei, obtemos uma disjunção de duas condições, a que corresponde a reunião de dois conjuntos-solução.

52 ( 74)( ) ( 74)( )

53 Para aplicar a lei do anulamento do produto, é necessário fatorizar o 1.º membro da equação S.={0, }

54 S.={-1/} -0,5 é raiz dupla

55 ) ( Resolve, por dois processos diferentes, as equações seguintes. ou Algumas equações também podem ser resolvidas utilizando a noção de raiz quadrada.

56 0 0 Equação impossível

57 Problema: Observa as figuras Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo Um voluntário?! R.: 4 por 9