Elementos de Cálculo 1 - Notas de Aulas I Sistemas Lineares, Matrizes e Determinantes Prof Carlos Alberto S Soares

Transcrição

1 Elementos de Cálculo 1 - Notas de Aulas I Sistemas Lineares, Matrizes e Determinantes Prof Carlos Alberto S Soares 1 Introdução Neste capitulo, estaremos interessados em estudar os sistemas de equações lineares ou, simplesmente, os sistemas lineares Iniciemos recordando soluções de sistemas lineares bem simples mas que nos darão uma ideia do que contece no caso geral 11 Sistemas Lineares de uma Equação e uma Incógnita Com certeza, os sistemas mais simples são aqueles de uma única equação e uma única incógnita Vejamos Exemplo 1 Resolver o sistema 3x = 2 Note que, quando um sistema é formada por uma única equação, nem mesmo usamos a notação com as chaves, muitas vezes nos referimos, simplesmente, a resolver a equação e não um sistema Neste exemplo, é claro que o sistema, ou a equação, possui solução única, qual seja, x = 2/3 e, portanto, temos S = {2/3} Observe que sempre teremos o conjunto solução, ainda que este conunto seja Exemplo 2 Resolver o sistema 0x = 0 Solução 3 É claro que qualquer número real é solução desta equação e, portanto, temos S = R Exemplo 4 Resoler o sistema 0x = 3 1

2 Solução 5 É óbvio que este sistema não possui solução e, daí, S = No caso geral, isto é, um sistema do tipo ax = b, a, b R teremos S = {b/a}, solução única se, a 0 S = R, infinitas soluções se, a = b = 0 S =, nenhuma solução se, a = 0 e b 0 12 Sistemas Lineares de duas Incógnitas e uma Equação Vejamos alguns exemplos de sistemas do tipo Exemplo 6 Resolver o sistema 2x + 3y = 1 ax + by = c Solução 7 Isolando y, poderíamos também optar por isolar x, teremos, e, portanto, teremos y = 1 2x 3 S = {(x, 1 2x, x R} 3 Note que, como o sistema é de duas incógnitas, cada solução se existir será dada por um par ordenado (x, y Neste caso, o sistema possui infinitas soluções, isto é, para cada x escolhido, obtemos y = 1 2x tal que (x, y seja solução da equação 3 Exemplo 8 Resoler o sistema 0x + 0y = 1 Solução 9 É claro que não temos solução para este sistema e, portanto, teremos S = No caso geral, para um sistema de uma equação e duas incógnitas do tipo teremos ax + by = c Se a 0 o conjunto solução será S = {( c by, y; y R} (infinitas soluções a Se b 0 o conjunto solução será S = {(x, c ax ; x R} (infinitas soluções b Se a = b = c = 0, teremos que qualquer par (x, y é solução, isto é, S = R 2 (infinitas soluções Se a = b = 0 e c 0, teremos S = ( nenhuma solução 2

3 13 Sistemas de duas Equações e duas Incógnitas Vejamos agora, sistemas de duas equações e duas incógnitas ou sistemas 2 2, sistemas estes já trabalhados em cursos anteriores Exemplo 10 Resolver o sistema { 3x + y = 5 x + 2y = 5 Comumente, temos dois métodos para resolver tais sistemas, quais sejam, substituição e eliminação Usando substituição, teremos, isolando y na primeira equação e substituindo na segunda y = 5 3x x + 2(5 3x = 5 x x = 5 5x = 5 x = 1 y = 2 Logo, o conjunto solução será S = {(1, 2}( Solução única O método de eliminação consiste em eliminar uma equação Por exemplo, multiplicando a segunda equação por 3, obtemos o sistema { 3x + y = 5 3x 6y = 15 Note que este sistema é equivalente ao sistema inicial, isto é, ambos possuem o mesmo conjunto solução Somando as duas equações deste sistema, obtemos Vejmos um segundo exemplo (1 5y = 10 y = 2 x = 1 Exemplo 11 Resolver o sistema { 3x + y = 5 x y = 5 3 Usando substituição, tal como fizemos no exemplo anterior, teremos y = 5 3x x (5 3x = 5 3x + 5 3x = 5 5 = 5 3 Logo x pode ser qualquer valor, desde que y = 5 3x e, portanto, o conjunto solução será S = {(x, 5 3x; x R} (infinitas soluções Abordemos, ainda, um terceiro exemplo Exemplo 12 Resolver o sistema { 3x + y = 5 x + 1y 3 = 4 3 Novamente, usando substituição, teremos, y = 5 3x x + 1(5 3x = 4 3x + 5 3x = 4 5 = 4 Logo, não existe valor de x 3 3 que satisfaça o sistema e, portanto, teremos S = 3

4 Por razões que se tornarão óbvias mais tarde, introduziremos uma outra forma de escrever o sistema (1, qual seja, a notação matricial Ao longo do nosso curso, quase sempre, estaremos escrevendo o sistema (1 na forma ( ( x y = Tratemos, agora, o caso geral de um sistema 2 2, isto é, um sistema de 2 equações e 2 variáveis Para tanto, consideremos o sistema { ax + by = c ex + fy = d ( 5 5 onde supomos a, b, c, d, e, f números reais fixados com a 0 Em notação matricial, teríamos ( a b e f ( x y = ( c d Usando substituição e, como estamos supondo a 0, teremos x = c by a e( c by a teremos, o que nos leva a e, daí, + fy = d ec eby + afy = ad (af eby = ad ec Supondo af eb 0, x = c b( ad ec af eb a = y = ad ec af eb, caf ceb bad + bec a(af eb = cf bd af eb Note que tanto y quanto x possuem para ( denominadores o número af eb, número este que a b será denominado determinante da matriz e indicado por e f ( a b det ou e f a b e f Note que, desta forma, teremos, ( a c ad ec = det e d ( c b e cf bd = det d f Doravante, um sistema de duas equações e duas incógnitas, sistema 2 2, no caso geral, será sempre escrito na forma { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 (2 onde a 11, a 12, a 21, a 22 são números reais fixos e x 1, x 2 são as incógnitas Em notação matricial teremos ( ( ( a11 a 12 x1 b1 = a 21 a 22 x 2 b 2 4

5 ( a11 a A matriz 12 a 21 a 22 será dita matriz principal, ou matriz dos coeficientes e a matriz ( a11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 será dita matriz ampliada do sistema A matriz principal é uma matriz 2 2, duas linhas e duas colunas A matriz ampliada é uma matriz 2 3, duas linhas e três colunas Usando a notação de matrizes e supondo o determinante da matriz principal não nulo, a solução do sistema (2 será dada por b 1 a 12 b 2 a 22 x = a 11 a 12 a 21 a 22 e y = a 11 b 1 a 21 b 2 a 11 a 12 a 21 a 22 Nosso objetivo, a seguir, será desenvolver os conceitos acima para sistemas lineares gerais Exemplo 13 Escrever cada sistema abaixo na notação matricial e resolvê-lo usando determinantes { { 3x + y = 8 3x + 5y = 0 (a (b x + y = 15 7x + 6y = 20 Solução 14 Em sala! Observação 15 Observamos que, tal como nos exemplos acima, um sistema linear sempre terá: ou (a Solução única, quando será dito possível e determinado ou, simplesmesnte, determinado (b Infinitas soluções, quando será dito possível e indeterminado ou, simplesmente, indeterminado ou (c Nenhuma solução, quando será dito impossível Discutir um sistema linear significa classificá-lo quanto a determinado, indeterminado ou impossível sem, necessariamente, determinar seu conjunto solução Exemplo 16 Discutir o sistema { ax = 3 3x = a 5

6 Solução 17 Em sala! Exemplo 18 Usando determinantes, resolva o sistema { 3x + 2y = 5 7x y = 3 Solução 19 Em sala! Exemplo 20 Discutir o sistema Solução 21 Em sala! { x my = 7 mx + y = 3 Exemplo 22 Usando substituição, resolva o sistema 2x + 3y z = 1 x + 2y z = 4 2x y + z = 3 Solução 23 Em sala! 14 Exercícios 1 Use determinantes para resolver os sistemas: { { x + y = 6 2x + y = 5 (a (b 3x + 4y = 22 3x + 2y = 9 { 3x + 4y = 16 (c 2x + 3y = 11 2 Para qual valor de m o sistema { (m 1x + 4y = 2m (m + 1x 2y = 1 + 3m possui solução única? Qual a solução para este valor de m? 3 Usando substituição, resolva o sistema x y + z = 3 3x 9y + 5z = 6 x 3y + 3z = 13 4 Exibir um exemplo, justificando, de um sistema 2 2 indeterminado 5 Exibir um exemplo, justificando, de um sistema 2 2 impossível 6

7 2 Matrizes 21 Apresentação 211 Conceito e exemplos No que se segue, o termo matriz mxn estará representando um arranjo retangular de m linhas horizontais e n colunas verticais do tipo a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn onde a ij são números reais para i = 1, 2,, m e j = 1, 2,, n Frequentemente, escreveremos A = (a ij, onde a ij indica o elemento da matriz A situado na i-ésima linha e j-ésima coluna Salientamos que as linhas de uma matriz serão orientadas da esquerda para direita(primeira, segunda e asssim sucessivamente e as colunas de cima para baixo Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, ela será dita uma matriz de ordem m n(m por n e indicaremos, neste caso, A m n Exemplo 24 Escrever a matriz A 3 3 = (a ij onde a ij = i 2 j 2 Solução 25 Em sala! Observação 26 1 Uma matriz A será dita quadrada de ordem n, se possui n linhas e n colunas sendo indicada por A n Neste caso, a diagonal principal de A é formada pelos números a 11, a 22,, a nn Já a diagonal secundária será formada pelos números a 1n, a 2(n 1 a 3(n 2,, a n1 2 Uma matriz será dita dita matriz nula se todos seus elementos são iguais a zero A matriz nula de ordem m n será indicada por 0 m n Já a matriz quadrada nula de ordem n será indicada por 0 n 3 Chamaremos matriz identidade de ordem n a matriz quadrada I n = (a ij tal que { 1, i = j a ij = 0 i j, isto é, os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os elementos fora dela são nulos 4 Matrizes 1 n ou n 1 serão chamadas matrizes linha e matrizes coluna de ordem n, respectivamente 5 Duas matrizes A e B de ordem m n serão ditas iguais se a ij = b ij 1 i m, 1 j n 7

8 Exemplo 27 (a Escrever a matriz nula de ordem 3 2 (b Escrever a matriz identidade de ordem 4 Solução 28 Em sala! Definição 29 Uma matriz quadrada A = (a ij tal que todos os elementos da diagonal principal são iguais a um número c e todos os elementos fora desta são iguais a zero é dita uma matriz escalar, isto é, A = (a ij é uma matriz escalar a ij = 0 se i j e a ij = c se i = j 212 Exercícios 1 Escreva a matriz A 3 3 = (a ij tal que a ij = i Escreva a matriz A 4 4 = (a ij tal que a ij = i + j, se i < j 1, se i = j 0, se i > j 3 Quais as possíveis ordens de uma matriz com 6 elementos? 4 Exiba um exemplo de uma matriz escalar de ordem 5 5 Determine x, y, a, b se ( x + y a + b x y a b = ( Operações com Matrizes 221 Soma e Multiplicação por Escalar a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Definição 30 Sejam as matrizes A = e B = a m1 a m2 a mn Definimos a soma A + B como a matriz C dada por a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 b 22 a 2n + b 2n C =, a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn isto é, a soma de duas matrizes é obtida somando os elementos correspondentes 8

9 Se λ é um número real definiremos, ainda, o produto de λ por A ou A por λ, como sendo a matriz λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n D = λa = Aλ =, λa m1 λa m2 λa mn isto é, o produto de um número por uma matriz é obtido multiplicando todos seus elementos por este número Definimos, ainda, A B = A + ( B e, consequentemente, A λb = A + ( λb = A + λ( B Exemplo 31 (a Determine uma matriz X tal que X = Solução 32 Em sala! Observação 33 É simples verificar que a soma de matrizes e o produto de matrizes por um número real verificam as seguintes propriedades: 1 A + B = B + A 2 (A + B + C = A + (B + C 3 A matriz nula 0( a ij = 0 i, j é tal que A + 0 = 0 + A = A 4 Dada uma matriz A existe a matriz A tal que A + ( A = 0 5 λ(a + B = λa + λb 6 (λ 1 + λ 2 A = λ 1 A + λ 2 A 7 (λ 1 λ 2 A = λ 1 (λ 2 A 8 1A = A Exemplo 34 Resolver o sistema matricial, isto é, determine matrizes X, Y tais que ( 2 3 3X + 4Y = ( X 6Y = 2 1 Solução 35 Em sala! Definição 36 Dada uma matriz A = (a ij, chamamos transposta de A a matriz A T = A = (a ji, isto é, as linhas de A T são as colunas de A e vice-versa 9

10 Exemplo 37 (a Determine a matriz A tal que ( A T = (b Sendo A = ( 1/ e B = ( 1 3, determine: 5 7 b1 (A + B T b2 A T + B T Solução 38 Em sala! Observação 39 É simples ver que 1 (A + B T = A T + B T 2 (λa T = λa T 3 (A T T = A 222 Exercícios 1 Sejam A = (a a 12, a 22, a 23 (b b 11, b 31 (c c 13, c 31, c 33 ( , B = Se ( a + 2b 2a b 2c + d c 2d determine a, b, c e d Sendo A = e B = (a A + B (bb A e C = = ( , determine: Determine : 4 Determine os números reais x, y sabendo-se que ( ( x 2 x 0 x + y y y 0 = I 2 10

11 5 Considerando as matrizes A = (a Determine A 6B 2C (b Resolva a equação matricial , B = (X + A = 3(X + (2X + B + C 2 e C = Determine matrizes X e Y tais que ( 1 2 X + Y = 3 4 e X Y = ( Considerando as matrizes I 3 e 0 3 as matrizes identidade e nula de ordem 3, respectivamente, determine matrizes X e Y tais que { X + 2Y = I3 8 Considerando as matrizes A = ( X Y = 0 3 e B = , determine, se possível: (a (2A T (b (A B T (c (3B T 2A T (d (3A T 5B T T (e ( A T e (A T 9 Existem números reais λ 1, λ 2 tais que ( = λ 1 ( λ 2 ( ? Justif ique! 223 Multiplicação de Matrizes Definição 40 Considere A = ( a 11 a 12 a 1n e B = de ordem n, repectivamente Definimos o produto AB como a matriz quadrada D = AB de ordem 1 dada por b 11 b 21 b n1 matrizes linha e coluna D = AB = (a 11 b 11 + a 12 b a 1n b n1 Exemplo 41 Sendo A = ( e B = (a AB (bb T A T 11 1/3 0 2, determine:

12 Solução 42 Em sala! No caso geral, temos a definição: Definição 43 Sejam as matrizes A m p = B p n = matriz b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b p1 b p2 b pn D de ordem m n dada por a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a m1 a m2 a mp = L 1 L 2 L m e = ( C 1 C 2 C n Definimos o produto AB como a D = AB = L 1 C 1 L 1 C 2 L 1 C n L 2 C 1 L 2 C 2 L 2 C n L m C 1 L m C 2 L m C n, isto é, D = (d ij, onde d ij = L i C j = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj Note que o produto de matrizes só é possível se o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda! Ao multiplicarmos uma matriz de ordem m p por outra de ordem p n obtemos uma matriz de ordem m n Exemplo 44 Em sala Não nos preocuparemos em demonstrar, mas é possível verificar que, podendo efetuar as operações, as seguintes propriedades são verdadeiras: 1 (ABC = A(BC 2 A(B + C = AB + AC e (B + CA = BA + CA 3 (AB t = B t A t 4 A n n I n = I n A n n = A n n 5 A m p 0 p n = 0 m n Observação ( 45 1 ( Note que nem sempre AB = BA! Verifique para as matrizes A = e B =

13 2 Se o produto de duas matrizes é a matriz nula, ( não podemos comcluir ( que uma delas é a matriz nula Verifique para as matrizes A = e B = Para produto de matrizes não vale a lei do cancelamento, isto é, da igualdade AB = AC não podemos comchuir que B = C Verifique que AB = AC, sendo A = 1 1 0, B = e C = Sendo A uma matriz n n e p um número natural, definimos, A 0 = I n e A p = AA A(p vezes 5 Diremos que duas matrizes A e B comutam se AB = BA 6 Se p(x = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 é um polinômio com coeficientes reais e A é uma matriz quadrada, definimos, p(a = a n A n + a n 1 A n a 1 A + a 0 I onde I é a matriz identidade da mesma ordem de A Exemplo 46 Sendo f(x = 3x e A = Solução 47 Em sala! ( , determine f(a 224 Exercícios 1 Resolva a equação matricial ( 1 1 3X + = 2 1 ( ( ( Determine x R tal que 3 Se as matrizes ( x 14x 7x x 4x 2x = I 3 ( a b e comutam, qual a relação entre a, b, c e d? Justifique! c d 4 Verifique que = = = I 3 13

14 5 Sendo A = , verifique que A 2 4A 5I = 0 6 Considere as matrizes A = e B = Seja Γ o conjunto de todas as matrizs que podem ser escritas na forma (a Verifique que A 2 = A (b Verifique que B 2 = B (c Calcule AB e BA αa + βb, com α, β R (d Mostre que se duas matrizes M 1 e M 2 estão em Γ, então M 1 M 2 está em Γ ( Sendo A =, determine uma matriz B com elementos distintos tal que AB = 0 8 Sejam A = ( e B = ( Verifique que AB BA 9 (a Mostre que se A possui uma linha nula, então AB possui uma linha nula (b Mostre que se B possui uma caluna nula, então AB possui uma coluna nula 10 Mostre que o poduto de duas marizes diagonais é uma matriz diagonal 11 Mostre que o produto de duas matrizes escalares é uma matriz escalar 12 Seja uma matriz A m n Mostre que se AA T = 0, então A = 0 13 Determine duas matrizes A 2 2 distintas tais que A 2 = 0 mas A 0 14 Considere as matrizes A = , B = ( Existe uma matriz C tal que CA = B? Justifique! 14

15 23 Matriz Inversa Dada uma matriz quadrada A de ordem n, em muitas situações, será importante decidir se existe uma matriz quadrada B de ordem n tal que Temos, então, a definição AB = BA = I n Definição 48 Uma matriz quadrada A n será dita invertível, ou não singular, se existe uma matriz B n tal que A n B n = B n A n = I n Uma matriz B satisfazendo AB = BA = I será dita uma inversa para A Se não existe uma matriz B tal que AB = BA = I, a matriz A será dita não invertível ou singular Exemplo 49 Sendo A = ( ( 1 3/2, verifique que B = 1 1 é uma inversa para A Solução 50 Em sala! Exemplo 51 Determine uma inversa, se possível, para a matriz A = Solução 52 Em sala! Exemplo 53 Determine uma inversa, se possível, para a matriz A = Solução 54 Em sala! ( ( Nas próximas seções desenvolveremos alguns métodos mais eficazes para se obter a inversa de uma matriz Observação 55 1 É possível mostrar que se duas matrizes quadradas A, B de mesma ordem são tais que AB = I, então BA = I Logo, se queremos determinar uma inversa para uma matriz A basta buscar uma matriz B de mesma ordem tal que AB = I e, se tal matriz existir, já será verdade que BA = I 2 Temos que se uma matriz A possui uma inversa esta é única e, portanto, se uma matriz A é invertível sua inversa será denotada por A 1 Bem entendido, dada uma matriz A invertível, A 1 é a única matriz tal que AA 1 = A 1 A = I 15

16 3 Não é dificíl verificar que o produto de duas matrizes invertíveis A e B é ainda uma matriz invertível e (AB 1 = B 1 A 1 Atente para a inversão na ordem da multiplicação É simples ver também que, sendo A uma matriz invertível, a matriz A é invertível e temos ( A 1 = (A 1 4 Salietamos que a soma de duas matrizes invertíveis não é necessariamente uma matriz invertível! 5 É sempre bom ter em mente as seguintes propriedades: (a (A 1 1 = A (b (A T 1 = (A 1 T Exemplo 56 Determine, se existir, A 1 sendo A = Solução 57 Em sala! ( Exemplo 58 Sendo A = ( e B = ( , resolva a equação matricial AX = B isto é, determine uma matriz X tal que AX = B Solução 59 Em sala! 231 Exercícios 1 A matriz A = ( é singular? Justifique! 2 Para cada matriz abaixo, determine sua inversa, se existir ( (a (b (c Se A 1 = ( , determine A 4 Mostre que toda matriz quadrada que possui uma linha ou coluna nula é singular 16

17 5 Se D = , determine D 1 6 Resolva a equação AX = B, sendo ( 2 3 A = e B = Sendo A = ( Determine A se A 1 =, verifique que A 1 = 1 9 A ( ( Para cada matriz abaixo, determine A 1, se existir (aa = (ba = (ca = Considere matrizes P, Q satisfazendo P 1 + Q 1 = 1 Mostre que P + Q = P Q ( Determine todas as matrizes que comutam com a matriz A = Dizemos que duas matrizes quadradas de mesma ordem não nulas são divisores de zero se AB = 0 Mostre que as matrizes A = e B = são divisores de zero 13 Resolva o sistema matricial ( ( ( 1 2 X ( 2 3 X ( 3 2 Y = 7 0 ( 2 1 Y = Operaçoes Elementares sobre Linhas e Matrizes Linha Reduzidas a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Definição 60 Dada uma matriz A =, aplicar uma operação elementar sobre as linhas de A significa a m1 a m2 a mn simplesmente: 17

18 1 Permutarmos duas linhas de A ou 2 Multiplicarmos uma linha de A por um número diferente de 0 ou 3 Substituirmos uma linha de A pela soma desta mesma linha com uma segunda linha multiplicada por um número real diferente de zero Ao aplicarmos qualquer uma dessas operações sobre a matriz A, obteremos uma segunda matriz B e diremos que B foi obtida de A através da aplicação de uma operação elementar Definição 61 Duas matrizes A e B serão ditas linha equivalentes se B pode ser obtida de A através da aplicação de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A Exemplo 62 Determine 3 matrizes distintas que sejam linha equivalentes à matriz A = Solução 63 Em sala! Definição 64 Uma matriz A será dita linha reduzida a forma em escada, ou que está na forma canônica linha reduzida, se: 1 O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é igual a 1 2 Toda linha nula ocorre abaixo das linhas não nulas 3 Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de uma certa linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero 4 Sendo as linhas 1, 2,, p as linhas não nulas de A e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna k i, i = 1, 2,, p, então k 1 < k 2 < < k p Uma matriz onde (2 e (4 acima estão satisfeitas é dita uma matriz escalonada ou que está na forma escalonada Vejamos alguns exemplos Exemplo 65 Dentre as matrizes abaixo, quais estão na forma escalonada? Quais estão na forma canôninca linha reduzida? (a (b (c Solução 66 Em sala! Observação 67 Sendo A uma matriz, é possível mostrar que existe uma única matriz linha reduzida a forma em escada que seja linha equivalente a A mas, geralmente, existem várias matrizes escalonadas linha equivalentes a A Reduzir uma matriz A à forma escada reduzida por linhas ou à forma linha reduzida em escada significa, simplesmente, encontrar a matriz linha reduzida a forma escada que seja linha equivalente a A 18

19 Devemos agora responder à seguinte pergunta: Pergunta 68 Dada uma matriz A, como podemos obter a matriz linha reduzida a forma escada linha equivalente a A? Os exemplos abaixo não deixarão dúvidas quanto à resposta a esta pergunta Exemplo 69 As matrizes A = ( e B = ( são linha equivalentes? Justifique! Solução 70 Em sala! Exemplo 71 Determine uma matriz que esteja na forma canônica linha reduzida que seja linha equivalente à matriz A = Solução 72 Em sala! Exemplo 73 Determine uma matriz que esteja na forma canônica linha reduzida que seja linha equivalente à matriz A = Solução 74 Em sala! Exemplo 75 As matrizes A = são linha equivalentes? Justifique! e B = Solução 76 Em sala! Exemplo 77 As matrizes A = Justifique! e B = são linha equivalentes? O teorema abaixo deixa claro a relação entre matriz linha reduzida e matriz inversa 19

20 Teorema 78 Uma matriz quadrada A será invertível se, e somente se, é linha equivalente à matriz identidade Além disso, se após aplicarmos um número finito de operaçoes elementares sobre A obtemos a matriz identidade então, partindo da identidade, e aplicando as mesmas operações elementares, obteremos A 1 Exemplo 79 A matriz A = ( é invertível? Justifique! Solução 80 Em sala! Exemplo 81 Determine, se existir, a inversa da matriz A = Solução 82 Em sala! Exemplo 83 Determine, se existir, a inversa da matriz A = Solução 84 Em sala! Definição 85 (Posto ou Característica de uma Matriz Seja A uma matriz Chamaremos posto ou característica de A, indicado por p(a, o número de linhas não nulas de qualquer matriz escalonada linha equivalente a A Salientamos que a definição acima só tem sentido pois é possível mostrar que, dada uma matriz A, qualquer matriz escalonada linha equivalente a A possui o mesmo número de linhas não nulas! Exemplo 86 Determine o posto da matriz A = Solução 87 Em sala! Exemplo 88 Qual o posto da matriz A = Solução 89 Em sala! ( ? Justifique!

21 ( Exemplo 90 Qual o posto da matriz A = Solução 91 Em sala! Exemplo 92 Determine a característica da matriz A = Solução 93 Em sala!? Justifique! Exemplo 94 Discuta, segundo os valores de a, a caracteristica da matriz A = 1 a 2 1 a 2 4 Solução 95 Em sala! 25 Exercícios 1 Determine a inversa das matrizes (aa = (bb = Quais matrizes abaixo estão na forma escalonada? Quais estão na forma linha reduzida? Justifique! (a (b (c Reduza a matriz B à sua forma canônica reduzida por linha B = Reduza a matriz A à sua forma canônica reduzida por linha A =

22 5 Reduza A á forma escalonada e, a seguir, à forma canônica reduzida por linha (aa = (ba = Reduza A á forma escalonadae, a seguir, à forma canônica reduzida por linha (aa = (ba = Descreva todas as matrizes 2 2 possíveis que estejam na forma canôninca reduzida por linhas 8 Seja A uma matriz quadrada escalonada reduzida por linhas Mostre que se A I, a matriz identidade, então A possui uma linha nula 9 Determine a para que o posto da matriz seja igual a 2 A = 10 Determine as características das matrizes: ( (a (b Determine as características das matrizes: (a (b Determine as características das matrizes: (a (b a Discuta, segundo os valores de a, a característica da matriz A = 1 a 1 a

23 14 Discuta, segundo os valores de k, a característica da matriz A = k 3 15 Discuta, segundo os valores de k, a característica da matriz A = k k Discuta, segundo os valores de m, n, a característica da matriz 1 2 m 2 A = n 17 Determine α para que a característica da matriz α seja igual a 2 18 Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo: ( (a (b (c Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo: ( (a (b (c Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo: (a (b (c Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo: (a (b (c

24 3 Sistemas Lineares Utilizaremos, agora, os conceitos desenvolvidos anteriormente para a solução de sistemas lineares Definição 96 Chamaremos sistema linear a n incógnitas e m equações qualquer conjunto de equações lineares do tipo a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (1 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m onde a ij e b i são números reais para i = 1, 2,, m e j = 1, 2,, n Se b 1 = b 2 = = b m = 0 o sistema (1 será dito um sistema homogêneo Resolver um sistema do tipo (1 significa, simplesmente, determinar as ênuplas do tipo (x 1, x 2,, x n que satisfazem simultaneamente todas as equações Lembramos que associado ao sistema (1, temos a matriz ampliada e a matriz dos coeficientes, isto é, respectivamente, a 11 a 12 a 1n b 1 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n b 2 e a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn b m a m1 a m2 a mn É simples observar que um sistema linear será tanto mais simples de resolver, quanto maior for o número de zeros na sua matriz ampliada Nosso objetivo então será, dado um sistema linear S e, consequentemente, sua matriz ampliada, obter um sistema S cuja matriz ampliada seja mais simples e tenha o mesmo conjunto solução de S Isso pode ser feito, facilmente, utilizando operações elementares sobre as linhas de uma matriz e tendo em mente a observação abaixo Observação 97 Se um sistema S possui para matriz ampliada uma matriz A e um segundo sistema R possui para matriz ampliada uma matriz B, que pode ser obtida através da aplicação de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A, então eles possuem o mesmo conjunto solução Logo, se dois sistemas S e R possuem as matrizes ampliadas A e B, respectivamente, e estas são linha equivalentes, então eles possuem o mesmo conjunto solução Finalmente, temos um roteiro para resolver um sistema linear, qual seja: 1 Escrevemos sua matriz ampliada A; 2 Encontramos uma matriz escalonada, ou mesmo a matriz linha reduzida a forma em escada B, que seja linha equivalente a A; 3 Encontramos o conjunto solução do sistema cuja matriz B é a matriz ampliada e este será o conjunto solução do sistema original 24

25 Exemplo 98 Resolver o sistema x + 2y + 3z = 9 2x y + z = 8 3x z = 3 Solução 99 Em sala! Exemplo 100 Resolver o sistema homogêneo x + 2y + 3z = 0 x + 3y + 2z = 0 2x + y 2z = 0 Solução 101 Em sala! Observação 102 Lembramos que um sistema linear será dito: 1 possível e determinado, se possui uma única solução; 2 possível e indeterminado, se seu conjunto solução é infinito; 3 impossível, se não admite solução Enfatizamos que essas são as únicas possibilidades possíveis para um sistema linear! Exemplo 103 Discutir e resolver o sistema x + y z = 1 2x + 3y + az = 3 x + ay + 3z = 2 Solução 104 Em sala! Exemplo 105 Discutir, em função de a, o sistema { x + y = 3 x + (a 2 8y = a Solução 106 Em sala! O próximo teorema nos revela a importância do conceito de posto de uma matriz na classificação de um sistema Antes de enunciá-lo, lembramos que o posto de uma matriz é sempre menor ou igual que seu número de colunas Teorema 107 Seja S um sistema linear de m equações e n incógnitas Sejam, ainda, B a matriz dos coeficientes e A a matriz ampliada de S Então: (i S não terá solução se p(a < p(b (ii S terá solução única se p(a = p(b = n (iii S terá infinitas soluções se p(a = p(b < n 25

26 Exemplo 108 Classifique os sistemas abaixo quanto ao número de soluções { x y + z = 3 x + 2y + z + t = 1 (a (b 3x 9y + 5z = 6 x + 3y z + 2t = 2 x 3y + 3z = 13 Solução 109 Em sala! Observação 110 Em se tratando de sistemas lineares homogêneos temos algumas particularidades, quais sejam: (i Um sistema homogêneo sempre possui pelo menos uma solução, qual seja, x 1 = x 2 = = x n = 0 (ii Um sistema homogêneo no qual o número de equações é menor que o número de incógnitas é indeterminado, isto é, possui infinitas soluções(consequência do teorema anterior (iii Se as ênuplas (x 1, x 2,, x n e (y 1, y 2,, y n são soluçoes de um sistema homogêneo S, então qualquer ênupla do tipo é também solução de S (λx 1 + µy 1, λx 2 + µy 2,, λx n + µy n, λ µ R 31 Exercícios 1 Resolver o sistema x y z w = 2 Dar um exemplo de um sistema de duas equções e duas incógnitas que não admita solução Resolver o sistema cuja matriz ampliada é Resolver o sistema: x 1 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 2 x 1 + 7x 2 5x 3 x 4 = 3 5 Determine k, para que o sistema abaixo admita solução 4x + 3y = 2 5x 4y = 0 2x y = k

27 6 Discutir e resolver os sistemas, que podem estar dados por sua matriz ampliada: x 3y = 2 x 1 + x 2 + x 3 = { (a 2x + y = 3 (b 2x 1 + x 2 + x 3 = 5 (c 5 a 5 b ax + y = b (d x + ay = b 3x 2y = a 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = a Resolva os sistemas: x + y + 2z + 3w = 13 (a x 2y + z + w = 8 3x + y + z w = 1 x + y + z = 1 (b x + y 2z = 3 2x + y + z = 2 2x + y + z 2w = 1 3x 2y + z 6w = 2 (c x + y z w = 1 6x + z 9w = 2 5x y + 2z 8w = 3 x + 2y + 3z w = 0 (d 2x + y z + w = 3 x y + w = 2 8 Discutir o sistema x + y z = 2 x + 2y + z = 3 x + y + (a 2 5z = a 9 Discutir o sistema x + y + z = 2 x + 2y + z = 3 x + y + (a 2 5z = a 10 Resolva os sistemas cujas matrizes ampliadas são dadas abaixo: (a (b Resolva os sitemas cujas matrizes ampliadas são dadas abaixo: (a (b

28 4 Determinantes 41 Determinantes de ordem 2 e 3 Na introdução, utilizamos a solução de um sistema 2 2 para apresentar o conceito de determinantes de uma matriz quadrada de ordem 2 Introduzimos, agora, o mesmo conceito, via matriz inversa Vejamos ( a b Seja a matriz A = onde a 0 Para determinarmos sua inversa, iremos c d ( ( ( a b 1 b/a 1 b/a levá-la à forma escada e, daí, teremos: = ( c d c d 0 d cb/a 1 b/a Logo é simples observar que a matriz A é inversível se, e somente se, 0 (ad bc/a ( a b ad bc 0 Chamaremos o número ad bc determinante da matriz c d Utilizaremos o determinante de uma matriz 2 2 para definir o determinante de uma matriz 3 3 e, posteriormente, através do determinante de uma matriz n n calcularemos o determinante de uma matriz (n + 1 (n + 1 Definição 111 Sejam A uma matriz quadrada de ordem 3 e a ij um elemento de A O determinante da matriz quadrada de ordem 2, obtida de A suprimindo-se sua i-ésima linha e sua j-ésima coluna chama-se menor do elemento a ij e indica-se M ij Exemplo 112 Seja a matriz A = Solução 113 EM SALA DE AULA! Determine M 11 e M 23 Definição 114 Sejam A uma matriz quadrada de ordem 3 e a ij um elemento de A Chamamos cofator de a ij o número dado por { A ij = ( 1 i+j Mij se i + j é par M ij = se i + j é ímpar Exemplo 115 Seja a matriz A = M ij Determine A 22, A 21 e A 33 Definição 116 Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 Chamaremos determinante de A, o número dado pela soma dos produtos dos elementos da primeira linha de A pelos respectivos cofatores 28

29 Exemplo 117 Determine o determinante da matriz A = Solução 118 Em sala! No caso de uma matriz de ordem 3, podemos usar o seguinte método prático para calcular seu determinante Exemplo 119 Calcule o determinante da matriz A = Solução 120 EM SALA DE AULA! a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a Determinante de uma matriz de ordem n Queremos associar a qualquer matriz quadrada de ordem n um número ao qual chamaremos determinante Isso será feito, facilmente, conhecendo o determinante de uma matriz de ordem n 1, isto é, conhecido o determinante de matrizes (n 1 (n 1 determinaremos o determinante de uma matriz n n Vejamos tal procedimento Definição 121 Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e a ij um elemento de A O determinante da matriz quadrada de ordem n 1, obtida de A suprimindo-se sua i-ésima linha e sua j-ésima coluna chama-se menor do elemento a ij e indica-se M ij Exemplo 122 Seja a matriz A = Solução 123 EM SALA DE AULA! Determine M 11, M 23 e M 44 Definição 124 Sejam A uma matriz quadrada de ordem n 2 e a ij um elemento de A Chamamos cofator de a ij o número dado por { A ij = ( 1 i+j Mij se i + j é par M ij = se i + j é ímpar Exemplo 125 Seja a matriz A = M ij Determine A 22, A 21 e A 33

30 Solução 126 Em sala! Definição 127 Seja A uma matriz quadrada de ordem n Chamaremos determinante de A, o número dado pela soma dos produtos dos elementos da primeira linha de A pelos respectivos cofatores Notacão 128 O determinante de uma matriz quadrada A = indicado por det A ou temos, a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a m2 a nn ou, ainda, A A = a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n Exemplo 129 Calcule o determinante da matriz A = Solução 130 EM SALA DE AULA! a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a m2 a nn será Logo, da definição anterior, Observação 131 Não nos ocuparemos, neste curso, com a teoria de determinantes, desenvolveremos somente o necessário para estudar alguns tópicos adiante Com esse objetivo, mencionamos as seguintes propriedades que podem ser úteis para o cálculo de alguns determinantes 1 ( Teorema de Laplace Se A é uma matriz quadrada, então seu determinante será dado pela soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores De outra forma, não precisamos usar, necessariamente, a primeira linha, podemos escolher qualquer linha ou coluna! 2 Se todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos, det A=0 3 deta=deta t 4 Se multiplicarmos uma linha ou coluna por um certo número, o determinante ficará multiplicado por este número Portanto, se A é uma matriz de ordem n, teremos det(ka=k n (deta, x R 5 Uma vez trocada a posição de duas linhas ou duas colunas, o determinante troca de sinal 6 Se A possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, então deta=0 Em particular, se A possui duas linhas ou duas colunas iguais, então deta=0 30

31 7 det(ab=(deta(detb 8 Se substituimos uma certa linha pela soma dela mais um número multiplicado por outra linha, o determinante não se altera O mesmo vale para colunas! Exemplo 132 Em sala 43 Obtenção da Matriz Inversa via Determinantes Definição 133 Dada uma matriz A, chamaremos matriz dos cofatores de A, indicada por A, a matriz obtida substituindo-se em A cada elemento pelo respectivo cofator Exemplo 134 Determine a matriz dos cofatores da matriz A = Solução 135 EM SALA DE AULA! Definição 136 Dada uma matriz A, chamaremos adjunta de A, indicada por A, a transposta da matriz dos cofatores de A, isto é, A = (A t Exemplo 137 Determine A sendo A a matriz do exemplo anterior O teorema abaixo, caracteriza a matriz inversa via determinante Como temos feito, não nos ocuparemos em demonstrá-lo Teorema 138 Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, deta 0 Neste caso, teremos, A 1 = 1 deta A Exemplo 139 Use a adjunta para determinar a inversa da matriz A = Solução 140 EM SALA DE AULA! ( O teorema acima nos leva ao próximo resultado que pode ser verificado facilmente Corolário 141 Duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem são invertíveis se, e somente se, AB é uma matriz invertível 31

32 Observação 142 No caso de uma matriz de ordem 2, o método acima é o mais simples para se determinar a inversa de uma dada matriz No caso de matrizes de maior ordem, reduzí-la à forma escada é, geralmente, mais simples Vejamos o caso de ordem 2 ( a11 a Suponhamos A = 12, então; Logo, 44 A Regra de Cramer a 21 a 22 ( ( a22 a A = 21 A a22 a = 12 a 12 a 11 a 21 a 11 A 1 = a 22 det A a 21 det A Apresentaremos, agora, a chamada regra de Cramer para solução de um sistema linear de n equações e n incógnitas a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 Seja o sistema com respectiva matriz dos a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n coeficientes dada por A = Seja A j a matriz que se obtém substituindo a n1 a n2 a nn em A a coluna j pela coluna dos termos independentes Então, temos o seguinte teorema Teorema 143 (Regra de Cramer Se deta 0 o sistema acima possuirá solução única Neste caso, a solução será dada por a 12 det A a 11 det A x j = deta j, j = 1, 2,, n deta Exemplo 144 Resolver, utilizando a regra de Cramer, o sistema Solução 145 EM SALA DE AULA! 2x 1 + 3x 2 x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 4 2x 1 x 2 + x 3 = 3 45 Exercícios 1 Dado o sistema x + ay + 2z = 0 x + ay + 3z = 0 2x + y + az = 0, determine os valores de a tal que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero valores de a 32 Resolva o sistema para esses

33 ( Dadas as matrizes A = 1 0 (a deta + detb (b det(a + B Calcule det Sendo A = e B = ( , determine A 1, calcule: 5 Mostre que se A ou B é uma matriz não invertível, então AB também não o é Dada a matriz A = 0 2 1, calcule: (a A (b deta (c A 1 7 Dizemos que duas matrizes A e B são semelhantes se existe uma matriz P tal que B = P 1 AP Mostre que deta = detb se A e B são semelhantes Mostre que det a b c = (a b(b c(c a a 2 b 2 c 2 9 Resolva o sistema, usando a Regra de Cramer: x 2y + z = 1 2x + y = 3 y 5z = 4 10 Mostre que se A é invertível, então deta 1 = 1 deta 11 Verdadeiro ou falso? Justifique! Se deta = 1, então A 1 = A 12 Verdadeiro ou falso? Justifique! Toda matriz diagonal é invertível 13 Mostre que se a, b, c são não nulos, o sistema: (b + cx + (c ay + (b az = 0 (c bx + (c + ay + (a bz = 0 (b cx + (a cy + (a + bz = 0 admite somente a solução nula 33

34 ( ( a11 a 14 Sejam as marizes A = 12 b11 b e B = 12 a 21 a 22 b 21 b 22 mostre que a 11 b 12 a 21 b 22 + b 11 a 12 b 21 a Mostre que se as matrizes ( a b 0 c e b β ( α β 0 γ a c α γ = 0 Se det(a + B = deta + detb, = 0 comutam, então 16 Sejam A e B matrizes de ordem 2 1 e 1 2, respectivamente Mostre que a matriz AB é singular 34