Sumário. CAPÍTULO 1 Vetores, 1. CAPÍTULO 2 Retas e Planos, 31. CAPÍTULO 3 Cônicas e Quádricas, 63. CAPÍTULO 4 Espaços Euclidianos, 87.

Transcrição

1 Sumáio Pefácio à quata edição, ix CAPÍTULO 1 Vetoes, Peliminaes, Vetoes, Adição de Vetoes, Poduto po Escalaes, Dependência e Independência Lineaes, O Poduto Inteno, Bases Otonomais, O Poduto Vetoial, O Poduto Misto, 24 CAPÍTULO 2 Retas e Planos, Coodenadas Catesianas, Equações do Plano, Ângulo ente dois Planos, Equações de uma Reta, Ângulo ente duas Retas, Distância de um Ponto a um Plano, Distância de um Ponto a uma Reta, Distância ente duas Retas, Inteseção de Planos Rega de Came, 57 CAPÍTULO 3 Cônicas e Quádicas, Cônicas, Supefícies Quádicas, Mudanças de Coodenadas, A Equação Geal do Segundo Gau, 80 CAPÍTULO 4 Espaços Euclidianos, Os Espaços Euclidianos R n, Poduto Inteno, A Noma de um Veto, 93 vii

2 viii VETORES E MATRIZES 4.4 Retas e Hipeplanos, Subespaços, Dependência e Independência Lineaes, Bases Otonomais, 103 CAPÍTULO 5 Matizes e Sistemas de Equações Lineaes, Copos, Os Espaços K n, Matizes, Poduto de Matizes, Sistemas de Equações Lineaes, Opeações Elementaes, Matizes Escalonadas, Sistemas Não-Homogêneos, Matizes Elementaes, Matizes Invetíveis, 142 CAPÍTULO 6 Funções Lineaes, Funções, Funções Lineaes, Matiz de uma Função Linea, Mudança de Base, O Teoema do Posto e da Nulidade, Autovaloes e Autovetoes, O Teoema Espectal, Diagonalização de Fomas Quadáticas, Uma Intodução à Álgeba Linea, 175 CAPÍTULO 7 Noções de Álgeba Linea Computacional, Intodução ao Maple, Vetoes e Opeações, Retas e Planos, Cônicas e Quádicas, Espaços Euclidianos, Matizes e Sistemas de Equações Lineaes, Funções Lineaes, 248 CAPÍTULO 8 Execícios Suplementaes, 265 Sugestões, Respostas e Soluções de Execícios, 273 Bibliogafia, 287

3 Pefácio à Quata Edição A pimeia vesão deste livo foi publicada como monogafia pelo Instituto de Matemática Pua e Aplicada do CNPq (IMPA) em A pimeia edição foi publicada pela editoa Ao Livo Técnico S.A. em 1972, com duas eimpessões em A segunda edição apaeceu em 1975 po Livos Técnicos e Científicos Editoa S.A., com eimpessões em 1976 e 1977, seguindo-se da teceia edição em Um total de mais de 50 mil exemplaes foi impesso, atestando a boa aceitação que o livo teve. À medida que meu envolvimento em pesquisa em matemática cescia, descuidei-me em pepaa uma quata edição de Vetoes e Matizes. Isso esclaece o lapso de anos ocoido ente a teceia edição e esta quata edição que tenho o paze de lança. A idéia de publica esta edição é esultado dos muitos pedidos ecebidos de colegas e do encoajamento e convocação que ecebi do pofesso Nelson Matins Gacia que em colaboação com o pofesso Dohety Andade contibuíam também com um capítulo sobe álgeba linea computacional. Ambos são pofessoes associados no Depatamento de Matemática da Univesidade Estadual de Maingá (UEM), no Paaná. Como pofesso do Depatamento de Matemática da PUC-RIO, coodenei no peíodo de 1973 a 1978 um convênio ente a PUC-RIO e a UEM, objetivando capacita o copo docente desta instituição paa o ensino e a pesquisa em matemática. Hoje vejo que esse convênio foi um sucesso: além de te popiciado a fomação de váios mestes e doutoes, tem contibuído paa o ensino da matemática no Basil. Vetoes e Matizes é uma intodução à álgeba linea. Isso é alcançado po meio do estudo da álgeba vetoial, da geometia analítica, das matizes, dos sistemas de equações lineaes e das funções lineaes. Em vedade, este livo é futo da expeiência obtida ministando cusos de intodução à álgeba linea na PUC-RIO. O Capítulo 1 intoduz os vetoes como classes de equivalência de segmentos oientados do espaço e estuda as opeações sobe os vetoes; algumas popiedades das figuas planas são demonstadas po meio do cálculo vetoial. O Capítulo 2 utiliza os vetoes no estudo das etas e planos do espaço. As cônicas e quádicas são estudadas no Capítulo 3. No Capítulo 4 intoduzimos os espaços euclidianos, os quais são utilizados no Capítulo 5, nos estudos das matizes e sistemas de equações lineaes, e no Capítulo 6, no estudo das funções lineaes. ix

4 x VETORES E MATRIZES Os execícios complementam uma pate essencial ao texto. Eles vaiam desde simples veificação de apendizagem, até alguns mais difíceis, cujo objetivo é desenvolve a iniciativa dos estudantes. Alguns execícios estendem o texto, apesentando esultados impotantes cujo conhecimento é, às vezes, exigido nas seções seguintes. Duante as váias edições incopoei, após análise detalhada, muitas sugestões que ecebi de colegas e estudantes que utilizaam o livo em cusos de geometia analítica e intodução à álgeba linea. A eles minha gatidão po teem contibuído paa o apefeiçoamento do texto. Rio de Janeio Nathan Moeia dos Santos

5 1 Vetoes 1.1 Peliminaes Vamos começa ecodando as noções da geometia do espaço que seão utilizadas paa defini veto. Outos fatos geométicos seão mencionados quando houve necessidade. Espeamos que o leito esteja azoavelmente familiaizado com os conceitos básicos da geometia elementa. Ponto, eta e plano são conceitos pimitivos. As elações ente esses conceitos são estabelecidas pelos axiomas da geometia elementa. Recodemos alguns axiomas que nos inteessam de peto: 1. Tês pontos quaisque, não situados em uma mesma eta, deteminam um plano. 2. Se dois pontos de uma eta petencem a um plano, essa eta está contida no plano. 3. Se dois planos têm um ponto em comum, eles possuem pelo menos uma eta em comum passando po esse ponto. 4. Existem pelo menos quato pontos que não petencem a um mesmo plano. Duas etas são paalelas quando estão situadas em um mesmo plano e não se inteceptam. A elação de paalelismo é tansitiva, isto é, se as etas 1 e 2, bem como as etas 2 e 3, são paalelas, então 1 e 3 também são. Se uma eta não tem ponto em comum com um plano π, diemos que é paalela ao plano π. Caso contáio, ou a eta está contida em π ou intecepta π exatamente em um ponto. Se intecepta π em um ponto p e, além disso, qualque eta do plano π que passe po p é pependicula à eta, diemos que a eta é pependicula ao plano π. Demonsta-se que se p é um ponto de um plano π, então existe uma única eta pependicula a π passando po p. 1

6 2 VETORES E MATRIZES 1.2 Vetoes Dois pontos distintos A e B do espaço deteminam uma eta. O segmento de eta ente A e B é a pate da eta compeendida ente esses dois pontos. Podemos oienta esse segmento consideando um dos pontos como oigem e o outo como extemidade. Figua 1.1 O segmento oientado com oigem A e extemidade B seá indicado po AB. Os pontos seão, também, consideados como segmentos oientados (nulos). Assim, o ponto A pode se identificado com o segmento oientado AA (oigem A e extemidade A). Sejam AB e A B segmentos oientados. Definição 1.1 Diemos que o segmento oientado AB é eqüipolente ao segmento oientado A B se uma das tês afimações a segui fo veificada: 1. A = B e A = B. 2. AB e A B estão situados sobe uma mesma eta e é possível desliza A B sobe essa eta de maneia que A coincida com A e B coincida com B. 3. A figua obtida ligando-se os pontos A a B, B a B, B a A e A a A é um paalelogamo (veja a Figua 1.1). Obseve que dois pontos (quando consideados como segmentos oientados) são sempe eqüipolentes. O leito pode mosta facilmente que a elação de eqüipolência satisfaz às seguintes popiedades: e 1 e 2 e 3 Reflexividade: Todo segmento oientado do espaço é eqüipolente a si mesmo. Simetia: Se o segmento oientado AB é eqüipolente ao segmento oientado A B, então A B é eqüipolente a AB. Tansitividade: Se o segmento oientado AB é eqüipolente ao segmento oientado A B e se A B é eqüipolente ao segmento oientado A B, então AB é eqüipolente a A B.

7 Capítulo 1 VETORES 3 Em vitude das tês popiedades mencionadas, é usual dize-se que a eqüipolência é uma elação de equivalência. Definição 1.2 O veto deteminado po um segmento oientado AB é o conjunto de todos os segmentos oientados do espaço que são eqüipolentes ao segmento oientado AB. u uu O veto deteminado po AB u seá uu indicado po AB ; o segmento oientado AB é um epesentante do veto AB u uu. É conveniente epesenta tanto o segmento oientado AB como o veto AB po uma seta com oigem em A e extemidade em B. O leito deve, entetanto, não se esquece u uu de que isso é um abuso de notação: o segmento oientado AB e o veto AB são objetos matemáticos distintos, u uu pois AB é um segmento oientado (isto é, um conjunto de pontos), enquanto AB é um conjunto de segmentos oientados. Obseve que os segmentos oientados AB e CD epesentam o mesmo veto se, e somente se, esses segmentos são eqüipolentes. Potanto, um mesmo veto pode se epesentado po uma infinidade de segmentos oientados distintos. Na vedade, se AB é um segmento oientado e P, um ponto qualque do espaço, o leito pode ve facilmente que existe um, e somente um, segmento oientado PQ, com u uu oigem em P, tal que PQ é eqüipolente a AB. Segue-se, assim, que o veto AB tem exatamente um epesentante em cada ponto do espaço. Os vetoes seão gealmente u uu indicados po letas minúsculas com setas em cima. Po exemplo, o veto AB pode se indicado po a. Os númeos eais seão indicados po letas minúsculas (sem setas em cima). 1.3 Adição de Vetoes Sejam a e b dois vetoes. Vamos defini o veto soma desses vetoes, que indicaemos po a+ b. A definição é motivada pela composição de foças em mecânica. Escolhamos um epesentante qualque AB, paa o veto a. Figua 1.2

8 4 VETORES E MATRIZES Já sabemos que existe um único segmento oientado com oigem em B epesentando o veto b. Seja BC esse segmento. Definimos o veto a+ b como o veto epesentado pelo segmento oientado AC (veja a Figua 1.2). É necessáio veifica que a adição anteio está bem-definida, mostando que o veto a é único, qualque que seja a escolha dos epesentantes dos vetoes e b + b a. Paa mosta isso, escolhamos novos epesentantes A B e B C paa os vetoes a e b, espectivamente. Figua 1.3 Como os segmentos oientados AC e A C são eqüipolentes (veja a uuu uuuuu Figua 1.3), esulta AC = A C. Figua 1.4 Aadição de vetoes é comutativa, isto é, se a e b são vetoes quaisque, uuu uuu então uuu a+ bu uu = b+ a. De fato, u uu obsevando uuu uuu a Figua uuu uuu 1.4 vemos uuu que a= AB= DC e b= BC= AD; além disso, AB + DC = AC e AD + DC = AC, onde a+ b= b+ a.

9 Capítulo 1 VETORES 5 A adição de vetoes é associativa, isto é, se a, b e c são vetoes quaisque, então a+ ( b+ c)= ( a+ b)+ c. A demonstação dessa popiedade pode se feita facilmente, obsevado-se a Figua 1.5. a+ ( b+ c)= ( a+ b)+ c. Figua 1.5 Concodamos em considea um ponto A qualque do espaço como um segmento oientado AA, com oigem A e extemidade A (segmento nulo). Assim, po definição, todos os segmentos nulos do espaço são eqüipolentes ente si, potanto o conjunto de todos os segmentos nulos do espaço é um veto, que seá chamado veto nulo e indicaemos po 0. Se a é um veto qualque, então 0 + a= a. A cada veto a associaemos da seguinte foma um veto a, denominado simético de a: se a= AB, então, a= BA. Como AB, temos uuu uuu u uu uuu uuu que ; analogamente,. O veto a + BA = AA a + ( a ) = 0 a+ a= 0, definido anteiomente, é o único veto que satisfaz à igualdade. Com efeito, suponha que b a+ ( a) = 0 seja um veto tal que a+ b=0; então somando a a ambos os membos da igualdade dada, obtemos a+ ( a+ b) = a+ 0.

10 6 VETORES E MATRIZES E, pela associatividade da adição de vetoes, temos ou seja, onde ( a+ a) + b= a+ 0, 0+ b= a+ 0, b= a. Exemplo uu uu uu 1.1 Qual é a condição necessáia e suficiente paa que os vetoes a 1, a 2,..., a n possam se epesentados pelos lados AA 1 2, AA 2 3,..., AA n 1 de um polígono de n lados? u uuuuuuu Pondo ai = AiAi+1 paa i= 12,,..., n, pocuamos a condição necessáia e suficiente paa que An+ 1. Se, então uuuuu uuuuuu uuuuuuuu uuuuu uu uu = A1 An+ 1 uu = A1 AA AA uu2 3uu AA uu n n+ 1 = AA 1 1, ou seja, a. Recipocamente, se, então uuuuu uuuuuu 1 + a a uuuuuuuu n = 0 uuuuuuu uu uu uu AA AA AA n n+ 1 = AA 1 n+ 1 = 0 a1 + a a n = 0 e, potanto, A 1 = A n + 1. Logo, a 1, a 2,..., a n, podem se epesentados pelos lados de um polígono de n lados se, e uu uu uu somente se, a 1 + a a n = 0. Figua Poduto po Escalaes O temo escala é tadicionalmente uu usado com o significado de númeo eal. Sejam x um númeo eal e a 1 um veto. Utilizaemos nossos conhecimentos de geometia paa defini o veto xa, poduto do veto a pelo escala x.

11 Capítulo 1 VETORES 7 Tomemos um epesentante AB do veto. Se ou, fazemos, po definição, xa a. Se e, o veto xa x = 0 a = 0 = 0 x 0 a 0 é definido como o veto que tem como epesentante o segmento AC cujo compimento é x vezes o compimento de AB; situa-se sobe a eta que contém AB, e é tal que, se x > 0, então C e B estão de um mesmo lado de A e, se x < 0, então A está ente C e B (veja a Figua 1.7). O leito pode veifica facilmente as seguintes popiedades: ( x+ y) a= xa+ ya xa ( + b) = xa+ xb xya ( ) = ( xya ). Figua 1.7 As igualdades anteioes são válidas quaisque que sejam os escalaes x, y e os vetoes a, b. É clao, também, que 1a= a e ( 1) a= a. Obseve que 0a = 0 e x0= 0 são, na vedade, conseqüências das popiedades da adição de vetoes e da multiplicação de vetoes po escalaes. Realmente: 0a= 1+ ( 1) a 1a ( 1) a a ( a) 0 [ ] = + = + = e x0 = x a + a xa x 1a xa xa 0 ( ) = + ( ) = + ( ) =. A segui, daemos um esumo das popiedades da adição de vetoes e da multiplicação de vetoes po escalaes. 1. ( a+ b) + c= a+ ( b+ c) 5. xa ( + b) = xa+ xb a= a+ 0= a 6. ( x+ y) a= xa+ ya 3. a+ ( 1) a= 0 7. ( xy) a = x( ya) 4. a+ b= b+ a 8. 1a= a

12 8 VETORES E MATRIZES Exemplo 1.2 Em um quadiláteo qualque (não necessaiamente convexo), ABCD, os pontos médios E, F, G e H dos lados são os vétices de um paalelogamo. Figua 1.8 De fato, obsevando a figua, vemos que uuu 1 uuu uuu 1 uuu HG = DA + AC + CD uuu uuu uuu 1 u = ( DA + AC + CD) AC uu pelo Exemplo 1.1, uuu uuu uuu DA + AC + CD =0, potanto uuu 1 uuu HG = AC 2 1 u uu 1 uuu = AB + BC 2 2 u uu uu = EB + BF u u = EF.

13 Capítulo 1 VETORES 9 Além disso, uuu uuu uuu uu HE = HG + GF + FE uuu uu uuu = ( HG EF) + GF u uu = GF. Assim, o quadiláteo EFGH é um paalelogamo. 1.5 Dependência e Independência Lineaes Sejam a e b vetoes dados. Fixe um ponto qualque, P, do espaço. Sejam PA e PB epesentantes de a e b, espectivamente. Figua 1.9 Podemos, então, enconta uma das seguintes situações: Caso 1 PA e PB situados sobe uma mesma eta ; isso acontece se, e somente se, existe um númeo eal x tal que ou. Diemos, então, que os vetoes e b a= xb b= xa a são lineamente dependentes ou colineaes (veja a Figua 1.9). Caso 2 PA e PB não situados sobe uma mesma eta. Desse modo, PA e PB deteminam um plano π. Diemos, então, que os vetoes a e b são lineamente independentes.

14 10 VETORES E MATRIZES Sejam x e y escalaes quaisque. Uma expessão da foma chama-se uma combinação linea dos vetoes e b. Se e b xa+ yb a a são lineamente dependentes e não simultaneamente nulos, então eles geam uma eta, isto é, todos os vetoes da foma xa+ yb podem se epesentados sobe uma mesma eta. Recipocamente, se Cuuué um ponto qualque de, então existem escalaes x e y tais que uuu xa + yb = PC ; po exemplo, se a 0, então existe um escala x tal que xa uuu= PC (a igo, existe uma infinidade de escalaes x e y tais que xa+ ). Se a e b yb = PC são lineamente independentes, então, todos os vetoes da foma xa+ yb podem se epesentados sobe um mesmo plano π. Figua 1.10 De modo ecípoco, se u uuc é uuuu um ponto uuu qualque uuuu do plano uuuπ, então a Figua 1.10 nos mosta que, onde e. Vemos, assim, que todo veto v PC = PA + PB PA = xa PB = yb que possua epesentante no plano π pode se escito como uma combinação linea dos vetoes e ; e que toda combinação linea dos vetoes a e b a b pode se epesentada sobe o plano π. Po essa azão, se os vetoes a e b são lineamente independentes, diemos que eles geam um plano. Se um veto v se esceve como uma combinação linea, diemos que os vetoes e são componentes do veto na dieção dos vetoes e b xa yb v xa+ yb a, espectivamente. Os escalaes x e ysão as coodenadas de em temos dos vetoes e. Obseve que, se e são lineamente independentes, cada veto v b v a a b que possua epesentante em π se esceve de maneia única como uma combinação linea dos vetoes e. Sejam a, b a b e c vetoes não simultaneamente nulos. Então, pode ocoe um dos dois casos a segui: Caso 1 Os vetoes a, b e c são lineamente dependentes, isto é, i) ou a, b, c possuem epesentantes em uma mesma eta (nesse caso, diemos que esses vetoes são colineaes);

15 ii) ou a, b, c Capítulo 1 VETORES 11 possuem epesentantes em um mesmo plano; nesse caso, diemos que eles são coplanaes (obseve que a colineaidade de tês vetoes é um caso paticula da coplanaidade, isto é, o item (i) é um caso paticula do item (ii)). Caso 2 Os vetoes a, b e c são lineamente independentes ou não-coplanaes, isto é, não possuem epesentantes em um mesmo plano. Sejam x, y e z escalaes quaisque. Uma expessão da foma chama-se uma combinação linea dos vetoes, e. É fácil ve que, se, b b xa+ yb + zc a c a e c são vetoes colineaes, não todos nulos, então eles geam uma eta, isto é, todos os vetoes da foma xa+ yb + zc possuem epesentantes em uma mesma eta; ecipocamente, se é uma eta sobe a qual existem epesentantes PA, PB e PC paa os vetoes a, b e c, espectivamente, e D é um ponto uuu qualque de, então existe uma infinidade de escala- es x, y e z, tais que PD = xa + yb + zc. É igualmente fácil ve que, se a, b e c são vetoes coplanaes, mas não-colineaes, todos os vetoes da foma xa+ yb + zc possuem epesentantes sobe um mesmo plano. Recípoca, se π é um plano que contém os epesentantes PA, PB e PC de a, b e c, espectivamente, e D é um ponto uuu qualque de π, então existe uma infinidade de escalaes x, y e z, tais que PD = xa + yb + zc. Po essa azão, diemos que tês vetoes coplanaes, mas não-colineaes, geam um plano. Do exposto anteiomente, concluímos que tês vetoes lineamente dependentes, não simultaneamente nulos, ou geam uma eta ou um plano. Mostaemos agoa que, se, e são lineamente independentes, eles geam o espaço, isto é, se v a b c é um veto qualque, então existe um (único) teno odenado ( xyz,, ) de escalaes, tais que v= xa+ yb+ zc. Paa isso, escolhamos os epesentantes PA, PB, PC e PM paa os vetoes a, b, c e v, espectivamente, com oigem no ponto P (veja a Figua 1.11). Figua 1.11

16 12 VETORES E MATRIZES Po M, tacemos a paalela a PC. Seja M o ponto de enconto dessa paalela com o plano deteminado pelos segmentos PA e PB. O ponto M existe, pois, caso contáio, PCestaia no plano deteminado po PA e PB, o que uuuu contaia uuuu uuuuuu a hipótese uuuude uque uuu a, b e cuuuu são não-coplanaes. uuu Vemos, assim, que PM = PM uuuu + M M = PM + PC, onde PC = zpc, paa algum escala z. Além disso, PM está u no uuu plano uuu deteminado uuu po PA e PB e, potanto, existem escalaes x e y, tais que PM = xpa + ypb. Logo,. Chamaemos os vetoes, e componentes do veto na dieção dos vetoes, b xa yb v zc = xa+ yb+ zc v a e ; os númeos x, y e z são as coodenadas de em temos dos vetoes, b c v a e c. Um conjunto de tês vetoes lineamente independentes denomina-se uma base paa o espaço dos vetoes. A base que consiste nos vetoes a, b e c, nessa odem, seá indicada po. Se escolhemos uma base { abc,, }, a cada veto v { abc,, } coesponde um único teno odenado ( xyz,, ) de escalaes, a sabe, as coodenadas de em temos dessa base. De foma ecípoca, a cada teno odenado ( v xyz,, ) de númeos eais coesponde o veto v= xa+ yb+ zc. Execícios 1. Sejam P, A e B pontos do espaço. Seja C o ponto no segmento AB AC m u uu tal que =. Esceva o veto PC como combinação linea dos CB vetoes PA u uu n e PB u uu. 2. Demonste que as diagonais de um paalelogamo se cotam no meio. 3. Demonste que a elação de eqüipolência é eflexiva, simética e tansitiva. u uu uuu 4. Sejam AB e CD segmentos oientados. Demonste que AB = CD se, e somente se, AB e CD são eqüipolentes. 5. a) Seja ABC um tiângulo qualque com medianas AD, BE e CF. Demonste que uuu uuu uuu AD + BE + CF =0. b) Seja ABC um tiângulo qualque. Moste que existe um tiângulo com lados paalelos às medianas de ABC e com os compimentos destas. 6. Demonste que os vetoes a, b e c são lineamente independentes se, e somente se, a equação xa+ yb + zc =0 só possui a solução nula x= y= z=0. 7. Considee a equação xa+ yb+ zc= xa+ yb+ zc