7 RESISTÊNCIA AO ESFORÇO O TRANSVERSO PROGRAMA

Transcrição

1 7 RESISTÊNCIA AO ESFORÇO O TRANSERSO ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I PROGRAMA 1.Introdução ao betão armado 2.Bases de Projecto e Acções 3.Propriedades dos materiais: betão e aço 4.Durabilidade 5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão 6.Estado limite último de resistência à flexão simples 7.Estado limite último de resistência ao esforço o transverso 8.Disposições construtivas relativas a vigas 9.Estados limite de fendilhação 10.Estados limite de deformação 11.Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada 12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural 13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes 14.Estado limite último de resistência à torção Lúcio Março06 1

2 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA AO ESFORÇO O TRANSERSO 1. Comportamento elástico de vigas sujeitas a esforço transverso 2. Mecanismo de resistência ao esforço transverso em vigas de betão armado 3. Situações particulares 7.1. COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE IGAS SUJEITAS A ESFORÇO TRANSERSO Considere-se uma viga constituída por um material elástico-linear. A-A σ(m) A + h - A b M + τ 2x45º + - σ=-τ Lúcio Março06 2 -τ σ=τ τ() τ máx = τ σ=-τ τ τ σ=τ 3 2 τ bh σ=τ σ=-τ

3 7.2. MECANISMO DE RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSERSO EM IGAS DE BETÃO ARMADO No betão armado a resistência à tracção é baixa (σ máx = τ = f ct ), surgindo fendas de tracção perpendiculares à direcção das tensões de tracção. Fendas verticais de flexão Fendas inclinadas de esf. transv. σ=-τ σ=τ σ=τ σ=-τ Fendas inclinadas de esf. transv. Fendas verticais de flexão Lúcio Março06 3

4 Dente de betão x F 1 F 3 F c F 1 resultante das tensões de corte na zona comprimida F 2 efeito de ferrolho nas armaduras longitudinais x τ F sw F 2 F s F 3 componente vertical da força de atrito entre faces da fenda provocado pela intrincamento entre os inertes F sw força de tracção nas armaduras transversais Lúcio Março06 4

5 Ponto de aplicação da carga concentrada Fenda inclinada de esf. transv. Efeito de Apoio ferrolho Lúcio Março06 5

6 x F 1 F 1 resultante das tensões de corte na zona comprimida F sw F 2 F 3 F 2 efeito de ferrolho nas armaduras longitudinais F 3 componente vertical da força de atrito entre faces da fenda F sw força de tracção nas armaduras transversais A resistência ao esforço transverso será a soma destas componentes: R = F 1 + F 2 + F 3 + F sw e depende dos seguintes factores: 1. Resistência do betão (no efeito de ferrolho F 2 ; no valor de x; na ligação dos inertes na zona da fenda F 3 ); 2. Quantidade de armadura longitudinal As (no efeito de ferrolho F 2 ; no valor de x; na abertura da fenda F 3 ); 3. Dimensão relativa dos inertes (efeito de escala) F 3 ; 4. Quantidade de armadura transversal (na abertura da fenda F 3 ; na resistência da armadura transversal F sw ). Lúcio Março06 6

7 CAMPOS DE TENSÃO Campos de tensão de compressão no betão Tracção nas armaduras 1. Através de campos de tensão de compressão no betão as forças aplicadas são transferidas para a parte inferior da viga. 2. As armaduras transversais, por tracção, transferem estas forças novamente para o topo da viga. O mecanismo repete-se de forma a conduzir as cargas até aos apoios. 3. Escoras e tirantes horizontais equilibram as componentes horizontais dos campos de tensão de compressão inclinados no betão. Lúcio Março06 7

8 RESULTANTES DOS CAMPOS DE TENSÃO Escoras de compressão no betão Tirantes que representam a tracção nas armaduras O problema simplifica-se se dividirmos a carga uniforme em parcelas iguais e a substituirmos pelas respectivas resultantes. Podemos então considerar as resultantes dos campos de tensão inclinados no betão e as resultantes das forças nas armaduras transversais e longitudinais. Ficamos, assim, com uma estrutura treliçada, fácil de calcular, em que: as barras comprimidas - escoras constituem a resultante das tensões de compressão no betão, e as barras traccionadas tirantes representam as armaduras, no caso das armaduras longitudinais, ou a resultante das forças nas armaduras distribuídas, no caso das armaduras transversais. Lúcio Março06 8

9 RESULTANTES DOS CAMPOS DE TENSÃO z cotg θ z cotg θ z cotg θ z cotg θ z cotg θ p p z cotg θ z θ z cos θ z cotg θ Escoras Tirantes z p z cotg θ θ 1 F sw A z cotg θ z cotg θ 2 z cos θ θ z cotg θ 2 F c F cw cotgθ F s B F = 0 = F cw senθ M A = 0 M (z cotgθ)/2 = F c z M B = 0 M + (z cotgθ)/2 = F s z M Ed Ed (x = z cotgθ) F cw = / senθ F c = M / z cotgθ /2 F s = M / z + cotgθ /2 Por equilíbrio do nó A: F = 0 F sw = Lúcio Março06 9

10 z F sw z cos θ F c F cw F cw = / senθ F c = M / z cotgθ /2 F s = M / z + cotgθ /2 F sw = F cw θ 1 θ z cotg θ F s F cw = σ cw b w z cos θ z cos θ b w s z cotg θ A sw = σ cw b w z cos θ sen θ = σcw bw z cotgθ + tgθ F sw = A sw σ sw (z cotgθ / s) A sw = σsw z cotgθ s Lúcio Março06 10 b w - espessura da alma A sw - secção transversal total da armadura de um estribo s espaçamento entre estribos

11 Rd,s ERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA Ed (x = d) Rd,s A sw = fywd z cotgθ s - valor de cálculo do esforço transverso equilibrado pela resistência da armadura transversal. NOTA: O esforço transverso actuante é calculado a x = d do apoio e não a x = z cotgθ, como seria de esperar do modelo anterior, por causa da variabilidade da distribuição das acções. O modelo anterior só é válido para acções uniformemente distribuídas, e essa condição pode não se verificar. Frequentemente, por simplificação, considera-se Ed (x=0). Ed (x = 0) Rd,max Rd,max = α cw ν1 fcd bw z cotgθ + tgθ F s,rd M Ed / z Ed cotgθ - valor de cálculo do esforço transverso resistente máximo, correspondente à resistência à compressão das escoras de betão. NOTA: Neste caso, o esforço transverso actuante é calculado a x = 0, isto é, no apoio, onde a escora tem uma inclinação maior (cotgθ 1 = 0.5 cotgθ), σ cw = b w z(cotgθ 1 + tgθ 1 ) é menor mas o esforço transverso é maior que a x = z cotgθ. - incremento de tracção na armadura longitudinal devido ao esforço transverso Lúcio Março06 11

12 RESISTÊNCIA DAS ARMADURAS Rd,s A sw = fywd z cotgθ s 1.0 cotg θ limites admissíveis para o ângulo de inclinação das 45º θ 21.8º escoras de betão com o eixo do elemento. A sw - secção transversal total da armadura de um estribo s espaçamento entre estribos f ywd = f yd h d A sw A sw s b w Lúcio Março06 12

13 RESISTÊNCIA DAS ESCORAS COMPRIMIDAS h d Rd,max = α cw 1.0 cotg θ 2.5 b b w ν1 fcd bw z cotgθ + tgθ A sw h f h d f ν = ck α cw = 1.0 para estruturas não pré-esforçados b w com f ck em MPa b w - menor espessura na altura útil d da alma da secção (onde se encontram as escoras inclinadas) Lúcio Março06 13 A sw ÁREA MÁXIMA DE ARMADURA TRANSERSAL para θ=45º A sw,max s b w f ywd Rd,max cw = 0.5 α ν f cotgθ + tgθ cw 1 cd ν 1 - coeficiente de redução da resistência do betão em compressão, tendo em conta que o betão na alma da viga está fendilhado. Rd,s = α ν 1 f cd b w z A sw = fywd z cotgθ s

14 ARMADURAS TRANSERSAIS INCLINADAS (estribos ou varões inclinados) Ed A sw = z ( cotgθ + cot gα) Rd,s = fywd z (cotgθ + cot gα) sen s ν1 fcd bw z(cotgθ + cotgα) Ed(x = 0) = Rd,max = αcw 2 1+ cotg θ ( x ) α A sw s A utilização de varões inclinados deve ser usada como solução extrema, e sempre em conjunto com estribos (pelo menos 50% da armadura transversal) com ramos junto às superfícies da alma como forma de melhor controlar a abertura das eventuais fendas de esforço transverso. ÁREA MÁXIMA DE ARMADURA TRANSERSAL INCLINADA para θ=45º A sw,max s b w f ywd = 0.5 αcwν senα Lúcio Março f cd α 45º α 90º

15 FORÇA DE TRACÇÃO ADICIONAL NA ARMADURA LONGITUDINAL F s =M Ed / z Ed cotgθ Δ F s = 0.5 Ed cotgθ Parcela devida à flexão Parcela devida ao esf. transv. ou M Ed = F s z = M Ed + Δ M Ed com Δ M Ed = (0.5 Ed cotgθ) z como = dm/dx Então: Ed = Δ M Ed / Δx Ed = (0.5 Ed cotgθ) z / Δx Isto é, com Δx = a l, a l = 0.5 z cotgθ O efeito do esforço transverso na armadura longitudinal pode ser obtido por da translação do diagrama de momentos da distância a l. M' x al M M ΔM sendo M Ed (x) = M Ed (x+a l ) al al M' Lúcio Março06 15

16 PARA ARMADURAS TRANSERSAIS INCLINADAS: Δ F s = 0.5 Ed (cotg θ - cotgα) Δ M Ed = (0.5 Ed (cotgθ cotgα) z a l = 0.5 z (cotg θ cotgα) ARMADURA LONGITUDINAL NOS APOIOS SIMPLES Nos apoios simples M Ed = 0, logo, as armaduras longitudinais devem ser dimensionadas apenas para o efeito do esf. transverso: Para armaduras verticais: Δ F s = 0.5 Ed (x=0) cotg θ Para armaduras inclinadas: Δ F s = 0.5 Ed (x=0) (cotg θ - cotgα) al al M M' x M' Lúcio Março06 16 al M ΔM

17 ARMADURA MÍNIMA DE ESFORÇO TRANSERSO Taxa de armadura de esf. transverso: Taxa mínima de armadura de esf. transverso: ρ w,min = ρ w = 0.08 f A sw s b senα yk f ck w Para armaduras verticais: (A sw /s) min 0.1% b w Lúcio Março06 17

18 Ed + p d - DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE ESFORÇO TRANSERSO p d 1. Armadura mínima na zona central: 0.08 fck l ρw,min = fyk a (A sw /s) min = ρ w,min b w d Rd,s,min Rd,s,min Rd,s,min (A sw /s) min a (Asw /s)apoios θ = 30º e z 0.9 d A sw = fyd z cotgθ s min a = Rd,s,min /p d 2. Dimensionamento da armadura junto aos apoios: 3. erificação da compressão nas escoras junto aos apoios: Ed (x A s = sw 0) apoios Rd,max f yd Ed ( x = d) z cotgθ ν1 fcd bw z = cotgθ + tgθ f ν = ck Lúcio Março06 18

19 DETERMINAÇÃO DE θ PARA OPTIMIZAR A ARMADURA TRANSERSAL Taxa de armadura de esf. transverso: Ed Rd,max = α cw ν1 fcd bw z cotgθ + tgθ Ed α cw ν 1 f cd b w z ( 0.5 sen2θ) θ 0.5 sen -1 α cw 2 ν f 1 Ed cd b w z Com os limites da EN cotg θ º θ 21.8º Note-se que à menor quantidade de armadura transversal (menor θ) corresponde um maior a l = 0.5 z cotgθ, e portanto uma maior translação do diagrama de momentos flectores e, consequentemente, maior comprimento da armadura longitudinal. Lúcio Março06 19

20 6.3. SITUAÇÕES PARTICULARES IGAS DE ALTURA ARIÁEL BANZO COMPRIMIDO INCLINADO α θ F c F cw F s Ed M Ed F = 0 = F cw senθ + F c senα F cw = ( ccd ) / senθ ccd = F c senα - é a componente vertical da força de compressão no banzo inclinado. α ângulo do banzo comprimido com a horizontal. Lúcio Março06 20

21 Outro exemplo de banzo comprimido inclinado: BANZO TRACCIONADO INCLINADO θ F c F cw M Ed F = 0 = F cw senθ + F s senα F cw = ( td ) / senθ td = F s senα - é a componente vertical da força de tracção no banzo inclinado. α ângulo banzo traccionado com a α Ed F horizontal. Lúcio Março06 s 21

22 IGAS DE ALTURA ARIÁEL Ed (x = d) - ccd - td Rd,s Ed (x = 0) - ccd - td Rd,max ACÇÕES APLICADAS JUNTO AOS APOIOS CARGAS CONCENTRADAS A a 2d DO APOIO d a v - é o vão de corte, e define-se como a distância entre a carga e a face do apoio em apoios rígidos, ou o eixo do apoio em apoios flexíveis. a v (1-β) F β F + (1-β) F Lúcio Março06 22 β F

23 CARGAS CONCENTRADAS A a 2d DO APOIO a v (1-β) F 0.75 a v β F d + (1-β) F β F Para efeitos de cálculo da armadura transversal, esforço transverso devido à carga concentrada pode ser multiplicado por β = a v / 2d Para a v <0.5ddeve ser tomado a v =0.5d. β Ed Rd,s = A sw f yd sen α Onde A sw é a armadura transversal entre a carga e o apoio e α é o ângulo desta com o eixo da peça. Esta armadura deve ser colocada numa largura de 0.75 a v, centrada em a v. Para a verificação da escora comprimida, deve ser considerado o valor total de Ed, com Rd,max dado por: Ed Rd,max = 0.5 b w d ν 1 f cd Lúcio Março06 23

24 ARMADURA DE SUSPENSÃO ACÇÕES NA FACE INFERIOR DA IGA p p F sw Z cotg θ F sw = Ed + 2p d z cotgθ A sw /s f yd z cotgθ APOIOS INDIRECTOS h 1 /2 h 1 /2 h 1 /3 h 1 F sw /2 F sw /2 h 2 h 1 /3 h 1 /3 h 1 /3 h 1 h 1 /2 h 1 /2 h 2 /2 h 2 /3 h 2 F sw A sw Lúcio Março06 24 f yd

25 ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMA Resistência ao esforço transverso dos banzos 2 ΔF = ΔM / z F sf = ΔF / cotgθ f Escoras Tirantes (A sf /s f ) f yd cotgθ f (ΔF / Δx) 2ΔF θ f F cf ΔF Δx é uma distância no sentido longitudinal da peça, na qual se distribui a armadura A sf. Fcf = ΔF / cosθf h f F sf ΔF ν 1 f cd h f Δx senθ f ΔF / cosθ f ν 1 f cd h f senθ f cosθ f (ΔF / Δx) 1.0 cotg θ f 2.0 para banzos comprimidos 1.0 cotg θ f 1.25 para banzos traccionados Δx é, no máximo, metade da distância entre as secções de momento nulo e de momento máximo ou, no caso de cargas pontuais, a distância entre cargas pontuais. Lúcio Março06 25

26 (A sf /s f ) f yd cotgθ f (ΔF / Δx) ν 1 f cd h f senθ f cosθ f (ΔF / Δx) p d Ed M Ed + l + - No caso de acções uniformemente distribuídas, ΔF/Δx pode ser estimado da seguinte forma: Sendo Ed = ΔM Ed /Δx donde: então 2ΔF = Ed Δx/ z ΔF/Δx = 0.5 Ed / z e 2 ΔF = ΔM Ed / z (A sf /s f ) f yd z cotgθ f 0.5 Ed ν 1 f cd h f z senθ f cosθ f 0.5 Ed Assim, se se considerar θ f = θ: a área de armadura de ligação banzo-alma é metade da área da armadura de esforço transverso da alma - A sf /s f 0.5 A sw /s, e a resistência à compressão do betão está automaticamente verificada se a espessura do banzo for pelo menos metade da espessura da alma - h f 0.5 b w Se ΔF / Δx h f 0.4 fctd não é necessária armadura de ligação banzo-alma. IGAS EM L: No caso de vigas com banzo apenas para um dos lados da alma (L), as expressões anteriores tomam a forma: (A sf /s f ) f yd z cotgθ f Ed ν 1 f cd h f z senθ f cosθ f Ed Lúcio Março06 26

27 Designação alfa ALFABETO GREGO Maiúsculas Minúsculas Representações frequentes das minúsculas Α α Ângulo; relação; coeficiente de expansão térmica; coeficiente de homogeneização beta Β β Ângulo; relação; coeficiente gama Γ γ Coeficiente ; coeficiente parcial delta Δ δ Incremento épsilon Ε ε Extensão zeta Ζ ζ Coeficiente eta Η η Coeficiente teta Θ θ Ângulo Iota Ι ι Kapa Κ κ lambda Λ λ Coeficiente; coeficiente de esbelteza miú Μ μ Coeficiente de atrito; momento flector reduzido niú Ν ν Coeficiente de Poisson; coeficiente de redução da resistência; esforço normal reduzido csi Ξ ξ Coeficiente ómicron Ο ο pi Π π Constante, razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência ró Ρ ρ Massa volúmica; taxa de armadura sigma Σ σ Tensão tau Τ τ Tensão tangencial ipsilon Υ υ fi Φ φ Diâmetro de um varão de secção circular ϑ ϕ Coeficiente de fluência chi Χ χ psi Ψ ψ Coeficientes definindo valores representativos Lúcio omegamarço06 Ω ω Percentagem mecânica de armadura 27

28 ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I PROGRAMA 1. Introdução ao betão armado 2. Bases de Projecto e Acções 3. Propriedades dos materiais: betão e aço 4. Durabilidade 5. Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão 6. Estado limite último de resistência à flexão simples 7. Estado limite último de resistência ao esforço transverso 8. Disposições construtivas relativas a vigas 9. Estados limite de fendilhação 10.Estados limite de deformação 11.Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada 12. Estados limite últimos devido a deformação estrutural 13. Disposições construtivas relativas a pilares e paredes 14. Estado limite último de resistência à torção Lúcio Março06 28