MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização

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1 MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 1. Introdução 1.1. VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Objectivo: Garantir um bom comportamento das estruturas em situação corrente de serviço (controlar o nível de fendilhação, limitar a deformação e controlar a vibração). Em condições de serviço, as acções tomam valores reais previstos (não são majoradas); o comportamento dos materiais é simulado através da utilização das propriedades médias (não minoradas) ACÇÕES Para verificação aos estados limites de utilização são utilizadas combinações de acções com diferentes probabilidades de ocorrência: Combinação rara: pequena probabilidade de ocorrência (estado limite de muito curta duração algumas horas no tempo de vida da estrutura) G m + Q k + i ψ 1i Q ik Combinação frequente: probabilidade de ocorrência superior ou igual a 5% do tempo de vida da estrutura (estado limite de curta duração) G m + ψ 1 Q k + i ψ 2i Q ik Combinação quase-permanente: probabilidade de ocorrência superior a 50% do tempo de vida da estrutura (estado limite de longa duração) G m + i ψ 2i Q ik G m valor médio das acções permanentes Q k valor característico da acção variável base Q ik valor característico das restantes acções variáveis MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 104

2 1.3. MATERIAIS Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de utilização (i) Aço σs fyk fyd curva real curva característica curva de cálculo curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos Es E.L. Utilização 0.2% εs fyd Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, σs Es = 200 GPa εs MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 105

3 (ii) Betão σc fck Ec curva real curva característica 0.85 fcd 0.4 fck curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos 2 εc 3.5 εc Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, σc Ec fctm εc Nota: As propriedades mecânicas do betão variam ao longo do tempo devido aos efeitos diferidos (fluência e retracção) Efeitos diferidos no tempo do betão A deformação do betão ao longo do tempo depende de dois efeitos: Fluência (depende da actuação das cargas) Retracção (independente do estado de tensão) MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 106

4 Fluência Definição: Aumento da deformação no tempo sob a acção de um estado de tensão (originada pela variação de volume da pasta de cimento que envolve os inertes). (i) Exemplo: (a) Instante de aplicação da carga (t 0 ) p (b) Tempo t p εc(to) εc(to) εcc(t,to) ε c (t 0 ) = σ c (t 0 ) E c (t 0 ) ε cc (t, t 0 ) = ϕ (t, t 0 ) ε c (t 0 ) onde, ε cc (t,t 0 ) representa a deformação por fluência ϕ (t,t 0 ) representa o coeficiente de fluência (quociente entre o incremento de ε c no intervalo de tempo [t, t 0 ] e o ε c (t 0 )) Para idades de carregamento usuais, ϕ (t, t 0 ) 2 a 4. Em geral, poderá utilizar-se o valor ϕ 2.5. (ii) Determinação da deformação a longo prazo (t ) tendo em consideração o efeito da fluência t = dias ( 27 anos) ε c (t, t 0 ) = ε c (t 0 ) + ε cc (t, t 0 ) = ε c (t 0 ) + ϕ (t, t 0 ) ε c (t 0 ) = σ c (t 0 ) E c (t 0 ) + ϕ (t, t 0 ) σ c (t 0 ) E c (t 0 ) ε c (t, t 0 ) = σ c (t 0 ) E c (t 0 ) (1 + ϕ) = ε c (t 0 ) (1 + ϕ) ε c (t, t 0 ) = σ c E c, com E* E* c = c 1 + ϕ MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 107

5 Para determinar a deformação de uma estrutura, há que calcular em primeiro lugar, a deformação elástica e depois a deformação a longo prazo por efeito da fluência. A fluência do betão depende de: idade do carregamento (t 0 ) período do carregamento [t, t 0 ] humidade relativa do ambiente (> humidade < fluência) temperatura relativa do ambiente (> temperatura > fluência) composição do betão consistência do betão forma da secção (iii) Efeito da fluência na deformação de uma viga δ p δ = f 1 R pelo P.T.V., δ = L M. 1 R dx Como se pode observar na figura seguinte, a fluência do betão provoca um aumento da deformação da zona comprimida e, consequentemente, um aumento da curvatura. εc(to) εcc(t,to) εc(to) (-) (-) d 1 R (t, t 0 ) = ε c (t 0 ) + ε cc (t, t 0 ) + ε s d (+) εs (+) εs Deste modo, a flecha da viga aumenta, devido à deformação originada pela fluência. MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 108

6 Retracção Definição: variação da dimensão de uma peça de betão (diminuição da dimensão) no tempo, independentemente do estado de tensão da peça (na ausência de variações de temperatura e de tensões aplicadas). (i) Exemplo εcs(t,to) to t ε cs (t, t 0 ) a = a m ε = L L L = ε L L= m=-0.04m (uma ponte de 100m diminui 4cm apenas devido ao efeito da retracção). A retracção pode ser tratada como um problema de variação da temperatura com um valor de T equivalente α = 10-5 / C coeficiente de dilatação térmica do betão ε cs = a T equivalente = -20 C a -40 C (ε T = α T = 10-5 / C (-20 a -40 ) = a ) Se a retracção livre for impedida por restrições ao nível da secção ou da estrutura, produzir-se-ão tensões que podem levar à ocorrência de fendilhação. MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 109

7 A retracção do betão depende de: Humidade e temperartura relativa do ambiente Consistência do betão na altura da betonagem Forma da secção (espessura fictícia do elemento) (ii) Efeito da retracção na deformação de uma viga εc d (-) Curvatura: 1 R = ε s - ε c d εs A retracção do betão provoca uma curvatura na peça por efeito da restrição à deformação provocada pela armadura deformação. δ δ = f 1 R pelo P.T.V., δ = L M. 1 R dx MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 110

8 2. Estado Limite de Fendilhação 2.1. MECANISMO DA FENDILHAÇÃO Considere-se a seguinte barra sujeita à tracção. N N As com σ c = N A c σc Ac σ s = ε s E s ; σ c = ε c E c como ε s = ε c σ s σ = E s c E c σ s = E s E c σ c σ s = α σ c, com α = E s E c Todo o esforço passa a ser absorvido pela armadura Se σ c = f ctm fendilhação A tensão no aço aumenta bruscamente Após o aparecimento da primeira fenda, ou seja, em secção fendilhada, N N σ c = f ct f ct A c = A s σ s σ s = A c A s f ct σ s = 1 ρ f ct, com ρ = A s A c (% de armadura) ( σ s aumenta de tensão no aço no instante da fendilhação) σs fyk σ s = α f ct + σ s σs ρmin α fct ρ ρ min - % de armadura mínima para que a armadura não atinja a cedência (não plastifique) no instante da formação da 1ª fenda. MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 111

9 Por efeito da aderência aço/betão, na região adjacente à fenda ocorre uma transferência de tensões do aço para o betão. σc N τm N σ c = N A c = f ct N = f ct A c s Quando as tensões na secção atingem uma distribuição uniforme, poderá ocorrer outra fenda. A distância entre fendas (s) obtém-se através de: N solicitante,serv = N resistente f ct A c = τ m A contacto f ct A c = τ m u s s min = f ct A c τ m u Como ρ = A s A A c = A s c ρ = πφ2 4ρ s min = f ct τ m φ 4ρ e u = πφ A c u = πφ2 4ρ 1 πφ = φ 4ρ Caso se trate de um problema de flexão (e não de tracção pura), a distribuição de tensões na zona traccionada é triangular. M τm s fct Dado que N solicitante = f ct A c 1 2, s min = f ct τ m 1 2 φ 4ρ A transmissão de tensões do aço para o betão através da aderência ocorre apenas numa zona restrita em torno da armadura. d hc,ef A c,ef representa a área efectiva de betão mobilizada por aderência, sendo a altura h c,ef definida através de: h c,ef = min [2.5 (h - d); (h x)/3; h/2] Ac,ef MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 112

10 Poderá definir-se então uma percentagem de armadura (ρ p,ef ) relativa à área de betão efectiva, calculada de acordo com a expressão ρ p,ef = A s A c.ef Deste modo, a distância mínima entre fendas poderá ser calculada através de onde, s min = 0.25 k 1 k 2 φ ρ p,ef k 1 - coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões, e que toma os seguintes valores 0.8 para varões de alta aderência (nervurados ou rugosos) 1.6 para varões lisos k 2 - coeficiente que tem em conta a forma da distribuição de extensões na secção, e que toma os seguintes valores 0.5 para flexão 1.0 para tracção simples No caso de tracção excêntrica, ou para zonas localizadas, devem utilizar-se valores médios de k 2, que podem ser calculados pela expressão: ε2 ε1 M k 2 = ε 1 + ε 2 2 ε 1 k 2 = 1.0 ε 1 = ε 2 (tracção pura) 0.5 ε 2 = 0 Ac,ef Nota: Quando forem utilizados, na mesma secção transversal, varões com diâmetros diferentes, deve ser utilizado na expressão um diâmetro equivalente (φ eq ), dado por φ eq = n 1 φ n 2 φ 2 2 n 1 φ 1 + n 2 φ 2 O Eurocódigo 2 define uma distância máxima entre fendas que pode ser calculada através da seguinte expressão: s r,max = 3.4c k 1 k 2 onde c representa o recobrimento das armaduras. φ ρ p,ef (= 1.7 s rmin c) Conclusões: menor φ menor distância entre fendas maior quantidade de armadura menor distância entre fendas MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 113

11 2.2. ABERTURA DE FENDAS L L0 N N srm σs σc εs;εc εsm εcm εsr εsrm onde, ε sm = L L 0 = L - L 0 L 0 (deformação média da armadura) ε sr extensão relativa entre o aço e o betão ε srm extensão média relativa entre o aço e o betão N s s s N Ac As ε s = L L w = s ε s = w s w - abertura de fendas s - distância entre fendas ε s = σ s E s e σ s = N A s s w s w s Problemas que surgem no cálculo real da abertura de fendas: Determinação da distância entre fendas; Aderência aço/betão que obriga o betão a deformar-se, sendo a deformação relativa entre os dois materiais que interessa para o cálculo da abertura de fendas (w = s ε sr ). MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 114

12 Determinação da extensão média relativa entre o aço e o betão A extensão média relativa entre o aço e o betão pode ser determinada pela seguinte expressão: ε srm = ε sm ε cm (i) Determinação da extensão média do aço Como se pode observar no gráfico seguinte, que representa a extensão média do aço em função do esforço axial, a extensão média do aço é inferior à extensão do aço em estado fendilhado (ε sii ), devido à contribuição do betão entre fendas. N I II N Ncr Contribuição do betão entre fendas εsi εsm εsii εsm Deste modo, ε sm = F s - F c E s A s = σ s A s - k t f ct,ef A c,ef E s A s = σ s E s - k t f ct,ef E s ρ p,ef onde σ s representa tensão no aço calculada com base na secção fendilhada; k t é um factor de integração da distribuição de extensões, e que tem em conta a duração ou a repetição das cargas (k t = 0.6 para acções de curta duração; k t = 0.4 para acções de longa duração); f ct, ef representa o valor médio da tensão resistente do betão à tracção (= f ctm ); ρ p,ef representa a percentagem de armadura relativa à área de betão efectiva A s A c.ef (ii) Determinação da extensão média do betão ε cm = σ c E c = F c E c A c = k t f ct,ef A c E c A c = k t f ct,ef E c MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 115

13 Deste modo, a extensão média relativa entre o aço e o betão pode ser determinada através de ε sm ε cm = σ s E s - k t f ct,ef E s ρ p,ef - k t f ct,ef E c = σ s E s - k t f ct,ef E s ρ p,ef 1 + E s ρ p,ef E c ε sm ε cm = σ s E s - k t f ct,ef E s ρ p,ef (1 + α e ρ p,ef ) com α e = E s E c Determinação do valor característico da largura de fendas O valor característico da abertura de fendas obtém-se através da expressão que a seguir se apresenta w k = s r,max ε srm = s r,max (ε sm - ε cm ) MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 116

14 EXERCÍCIO 11 Considere a estrutura representada na figura seguinte. γ g = γ q = 1.5 sc = 12 kn/m cp = 20 kn/m ψ 1 = 0.6 ; ψ 2 = 0.4 Materiais: C25/30 A400NR Recobrimento:2.5cm Secção do tirante: m 2 a) Verifique o estado limite último de tracção no tirante. b) Calcule a abertura característica de fendas no tirante para uma combinação frequente de acções. MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 117

15 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 11 ALÍNEA A) 1. Determinação dos esforços p=1 kn/m ΣM A = 0 R B = R B = 6.75kN RA RB (reacção no tirante) p sd = 1.5 ( ) = 48 kn/m N sd.tirante = = 324 kn/m (tracção pura) A s = N sd f yd = = 9.31 cm 2 Adoptam-se 8φ12 ALÍNEA B) 1. Cálculo da distância máxima entre fendas S r,max = 3.4c k 1 k 2 φ ρ p,ef (i) Determinação de ρ p,ef ρ p,ef = A s A c.ef = = h d = rec + φ est + φ L 2 = (h d) = = m A c.ef = = m 2 = 0.037m (ii) Cálculo de s r,max S r,max = 3.4c k 1 k 2 φ ρ = p,ef = m (k 1 = 0.8 varões nervurados; k 2 = 1.0 tracção simples) MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 118

16 2. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão ε sm ε cm = σ s E s - k t f ct,ef E s ρ p,ef (1 + α e ρ p,ef ) = = ( ) = N fr = N cp + ψ 1 N sc = 6.75 ( ) = 183.6kN σ s = N fr A s = = MPa k t = 0.4 acções de longa duração α e = E s E c = = Cálculo do valor característico da abertura de fendas w k = s r,max (ε sm - ε cm ) = = m = 0.2 mm MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 119

17 Cálculo de tensões com base na secção fendilhada (flexão) Se M actuante > M cr (= ω f ctm ) para o cálculo de tensões na secção, é necessário considerar a secção fendilhada. Em estado fendilhado (estado II), a LN não passa no CG da secção (a posição da LN poderá ser obtida através do equilíbrio de momentos estáticos entre a zona comprimida e a zona traccionada, ou através de tabelas) Cálculo de tensões através de tabelas c Valores constantes: β = A s2 /A s1 ; d 2 /d d d2 As2 As1 x Ms N σs1 σs2 1) Parâmetros a calcular: α = E s E ; ρ = A sl c b d ; e s = M s N M s Momento actuante na secção em b relação à armadura A s1 2) Em função dos parâmetros αρ e e s /d C s C c 3) Resultados σ s1 = α C s M s b d 2 ; σ s2 = α σ c x (x 0.1d) ; σ c = - C c M s b d 2 ; x = C c (C c + C s ) d Notas: Flexão simples N = 0 e s d = Flexão composta N 0 e s d = M s/n d MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 120

18 EXERCÍCIO 12 Considere a estrutura da figura seguinte (exercício 3): Materiais: C25/30, A S2 Acções: Peso próprio Revestimento=2.0 kn/m 2 Sobrecarga = 3.0 kn/m 2 Coeficientes de majoração: γ G = γ Q = 1.5 S1 Coeficientes de combinação: ψ 1 = 0.4 ; ψ 2 = Secção da viga: m 2 Espessura da laje: 0.15m a) Determine a abertura de fendas na secção S1 para uma combinação frequente de acções. MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 121

19 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Cálculo dos esforços p frequente = cp + ψ 1 sc = = 33.1kN/m pfr S S DMF (+) S1 M fr (-) M S1 fr = pl2 2 = =149kNm 2. Cálculo do momento de fendilhação (M cr ) σ = M ω M cr = ω f ctm = bh2 6 f ctm = = 93.9 knm < M S1 fr f ctm (C25/30) = 2.6MPa Deste modo, para combinação frequente, a secção do apoio está fendilhada 3. Cálculo de tensões em estado II (Tabelas) 5φ16 A s1 = A (5φ16) = 10.05cm 2 A s2 = A (2φ25) = 9.82cm 2 d M ρ = A s bd = = φ β = A s2 A s1 = = d 2 /d 0.05 ; α = 15 Nota: para ter em conta o efeito de fluência toma-se α 15 a 20 (α = E s / E c ) αρ = = (pag.120) C s = C c = 6.03 Posição da LN: x = C c 6.03 C c + C d = s = 0.21m Tensão na armadura: M = M fr σ S = α C s M fr b d 2 = = 202 MPa MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 122

20 4. Cálculo da distância máxima entre fendas S r,max = 3.4c k 1 k 2 φ ρ p,ef (i) Determinação de ρ p,ef ρ p,ef = A s A c.ef = = hc,ef Ac,ef h c,ef = min [2.5 (h - d); (h x)/3; h/2] h d 0.05 m 2.5 (h d) = = m (h x)/3 = ( ) / 3 = 0.21 m h/2 = 0.85 / 2 = 0.43 m A c.ef = = m 2 (ii) Cálculo de s r,max S r,max = 3.4c k 1 k 2 φ ρ p,ef = = m k 1 = 0.8 (varões nervurados) ε1 ε2 k 2 = ε 1 + ε 2 2 ε 1 = ε ε 1 2 ε 1 = ε = ε ε 2 = ε = 0.8 ε 1 5. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão ε sm ε cm = σ s E s - k t = f ct,ef E s ρ p,ef (1 + α e ρ p,ef ) = k t = 0.4 acções de longa duração α e = E s E c = = 6.56 ( ) = Cálculo do valor característico da abertura de fendas w k = s r,max (ε sm - ε cm ) = = m = 0.22 mm MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 123

21 2.3. ARMADURA MÍNIMA Tracção Considere-se o tirante de betão armado representado na figura seguinte, N N fct Para que após a formação da 1ª fenda ocorram outras fendas, e dado que nesse instante todo o esforço normal vai para a armadura, é necessário que a força transmitida por esta para o betão conduza a uma tensão f ct. N cr = A c f ct A c f ct A s f yk A s.min = A c f ct f yk (Critério da não plastificação da armadura) Se A s f yk < A c f ct, não é possível ocorrerem outra fendas, dado que a armadura plastifica e a força transmitida do aço para o betão não é suficiente para atingir f ct Flexão σc (-) M M h b h/2 (+) fct Área de betão traccionada: A ct = b h 2 Força de tracção no betão: F T = 1 2 f ct A ct A s.min = 1 2 A ct f ct f yk MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 124

22 De acordo com o Eurocódigo 2, a expressão para o cálculo da área de armadura mínima toma a seguinte forma: onde, A s.min = k c k A ct f ct.ef σ s A s,min repesenta a área mínima de armadura a colocar na zona traccionada; A ct representa a área de betão traccionada; σ s representa a tensão máxima admissível na armadura imediatamente após a formação da fenda, podendo ser adoptado o valor de f yk. f ct,ef representa o valor médio da resistência do betão à tracção na idade em que se espera que ocorram as primeiras fendas; k é um coeficiente que considera o efeito de tensões auto-equilibradas não uniformes (diminuição da resistência efectiva à tracção devido a estados autoequilibrados de tensões), cujo valor varia com a espessura (ou altura) do elemento, de acordo com o gráfico seguinte: k h [m] k c é um coeficiente que tem em conta quer a natureza da distribuição de tensões na secção, imediatamente antes da fendilhação, quer a alteração do braço da força. Para tracção simples: k c = 1.0 Para flexão simples ou composta: Para secções rectangulares ou almas de secções em caixão ou em T σ c k c = k 1 (h / h*) f 1.0 ct,ef MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 125

23 Para banzos de secções em caixão ou em T k c = 0.9 F cr A ct f ct,ef 0.5 onde, σ c representa a tensão média actuante no betão, na zona da secção em consideração (σ c = N Ed / b h); N Ed representa o valor do esforço normal actuante para a combinação de acções utilizada (compressão com sinal positivo); k 1 é um coeficiente que considera o efeito dos esforços normais na distribuição de tensões: k 1 = 1.5 se o esforço normal for de compressão; k 1 = 2h*/3h se o esforço normal for de tracção; h* = min (h; 1.0 m); F cr representa o valor absoluto da força de tracção no banzo, no instante que antecede a fendilhação, devida ao momento de fendilhação (M cr calculado utilizando o valor de f ct,ef ). Casos particulares (i) Armadura mínima de flexão simples A s.min = k c k A ct f ct.ef σ s = A c = 0.15% A c (valor indicado no REBAP para A400) k = 1.0 (cargas aplicadas) σ c k c = k 1 (h / h*) f = 0.4 (para secções rectangulares sem esforço normal) ct,ef f ct,ef 3 MPa σ s = f yk = 400MPa (A400) MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 126

24 (ii) Armadura de alma (para vigas com h > 1m) σ (-) M h/2 (+) b Na zona da face inferior, a armadura controla a fendilhação. Na alma, se não existir armadura, a fendilhação tende a concentrar-se e a originar fendas de grande abertura. Para controlar estas fendas, há que colocar uma armadura mínima. A s.min = k c k A ct f ct,ef σ s k = 1.0 (cargas aplicadas) k c = 0.5 = bh 2 f ct,ef f yk A armadura calculada, deverá ser extendida a toda a alma, visto que, numa viga contínua a zona traccionada da alma está em baixo na zona do vão, e em cima nos apoios. (iii) Armadura mínima em banzos traccionados σ (-) M ou M (+) A s.min = k c k A ct f ct,ef σ s Act Act Act quase tracção pura k = 1.0 (cargas aplicadas) k c = 0.9 F cr A ct f ct,ef = A ct f ct,ef f yk 0.9 (para banzos, caso se considere, simplificadamente, que o diagrama de tensões ao longo do banzo é constante.) MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 127

25 (iv) Armadura mínima para deformações impostas A s.min = k c k A ct f ct.ef σ s k = 1.0 se h 0.30 m e k = 0.65 se h 0.80m Exemplos: a) Muro de suporte h Problema: fendilhação no muro, pelo facto da sapata (betonada anteriormente) constituir um impedimento ao livre encurtamento do muro por efeito da retracção e temperatura. É necessário adoptar armadura mínima na direcção horizontal: A s.min = k c k A ct f ct,ef σ s = 1.0 k(h) h f ct,ef f yk [cm 2 /m] k = k(h) (deformação imposta) k c = 1.0 (tracção pura) A ct = h 1.0 b) varanda (consola) h Problema: fendilhação na consola, pelo facto da laje interior constituir um impedimento ao livre encurtamento da consola devido a variações de temperatura e retracção. É necessário adoptar armadura mínima na direcção paralela ao apoio : A s.min = k c k A ct f ct,ef σ s = 1.0 k(h) h f ct,ef f yk [cm 2 /m] k = k(h) (deformação imposta) k c = 1.0 (tracção pura) A ct = h 1.0 MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 128

26 EXERCÍCIO 4 Considere a estrutura da figura seguinte: sc cp S2 S Materiais: C20/25, A Acções: pp + revest. = 20.0 kn/m sobrecarga = 40.0 kn/m Coeficientes de majoração: γ G = γ Q = 1.5 c) Para a estrutura já analisada, calcule as armaduras longitudinais mínimas e pormenorize a secção transversal. MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 129

27 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 4 (CONT.) ALÍNEA C) 1. Armadura mínima de flexão k = 1.0 (cargas aplicadas) Act k c = 0.4 (para secções rectangulares ou almas sujeitas a flexão simples) A s.min = k c k A ct f ct.ef σ s = = 3.0 cm 2 (Pelo REBAP, ρ min = 0.15% A s.min = = 2.85cm 2 ) 2. Armadura de alma h/2 Act hc,ef k = 1.0 (cargas aplicadas) k c = 0.5 A s.min = k c k A ct f ct.ef σ s = ( ) = 2.8 cm cm 2 /2 faces = 1.4 cm 2 /face 3. Armadura no banzo k = 1.0 (cargas aplicadas) Act k c = 0.9 (para banzos, considerando que o diagrama de tensões ao longo do banzo é constante) A s.min = = 6.1 cm cm 2 /2 faces = 3.1 cm 2 /face MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 130

28 2.4. LIMITES ADMISSÍVEIS DE FENDILHAÇÃO (NO QUE RESPEITA AO ASPECTO E À DURABILIDADE) Na ausência de requisitos específicos (impermeabilidade, por exemplo), para elementos de betão armado em edifícios o EC2 estabelece os seguintes limites: Classe de exposição Valores recomendados de w max [mm] X0, XC1 0.4 XC2, XC3, XC4 XD1, XD2 XS1, XS2, XS3 0.3 Nota: No caso das classes de exposição X0 e XC1, a abertura de fendas não tem influência na durabilidade, sendo apresentado um limite apenas para garantir um aspecto aceitável do elemento. Caso este não seja aparente, não hé necessidade de respeitar este limite. A abertura de fendas deve ser calculada para a combinação de acções quase-permanentes. De referir que os valores especificados no REBAP para o controlo da fendilhação são inferiores aos do EC2. Classes de exposição segundo o EC2 1. Sem risco de corrosão ou ataque Classe de Exposição X0 Ambiente Para betão simples: todos os ambientes excepto os com gelo, abrasão ou ataque químico Para betão armado: ambiente muito seco 2. Corrosão induzida por carbonatação Classe de Exposição XC1 XC2 XC3 XC4 Ambiente Seco ou permanentemente molhado Húmido (raramente seco) Com humidade moderada Com ciclos de molhagem e secagem MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 131

29 3. Corrosão induzida por cloretos Classe de Exposição Ambiente XD1 XD2 XD3 Com humidade moderada Húmido (raramente seco) Com ciclos de molhagem e secagem 4. Corrosão induzida por cloretos da água do mar Classe de Exposição Ambiente XS1 XS2 XS3 Zonas costeiras marítimas Zonas imersas Zonas de maré (com ciclos de molhagem e secagem) 5. Acção gelo / degelo Classe de Exposição XF1 XF2 XF3 XF4 Ambiente Saturação moderada de água, sem agentes descongelantes Saturação moderada de água, com agentes descongelantes Saturação elevada de água, sem agentes descongelantes Saturação elevada de água, com agentes descongelantes ou água do mar 6. Ataques químicos Classe de Exposição XA1 XA2 XA3 Ambiente Ligeiramente agressivo do ponto de vista químico Moderadamente agressivo do ponto de vista químico Muito agressivo do ponto de vista químico MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 132

30 2.5. CONTROLO DA FENDILHAÇÃO SEM CÁLCULO DIRECTO (EC2) É possível, em geral, limitar as larguras das fendas a valores aceitáveis e evitar uma fendilhação não controlada caso se utilizem pelo menos as quantidades mínimas de armadura e: para fendilhações causadas por deformações impedidas se limitem os diâmetros dos varões a utilizar em função da tensão na armadura no instante após a fendilhação (Tabela 7.2); para fendilhações causadas por cargas aplicadas devem limitar-se ou os diâmetros dos varões (Tabela 7.2) ou o espaçamento entre varões (Tabela 7.3), ambos função da tensão na armadura no instante após a fendilhação. Para cargas aplicadas poderá estimar-se de forma simplificada a tensão nas armaduras considerando σ II s f yd 1.5, uma vez que para o estado limite último se adoptou, para a combinação fundamental de acções, uma tensão f yd. Para deformações impostas a armadura mínima obtém-se considerando σ s = f yk. No entanto, se o diâmetro das armaduras não satisfizer o estabelecido na tabela 7.2, deverá adoptar-se o par (σ s, φ) que respeita o controlo indirecto dessa tabela, e a armadura necessária deverá ser calculada através da expressão de A s,min adoptando esse valor de σ s. MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 133

31 2. Estado Limite de Deformação 2.1. CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO Deformação em fase não fendilhada (Estado I) M p a EII 1/r curvatura: 1 r = M EI I deslocamento: a = L 1 r M dx a = 1 EI I L M M dx (P.T.V.) M diagrama de momentos para uma carga virtual unitária aplicada na direcção de a Deformação em fase fendilhada (estado II) Problemas: Determinação das relações momentos-curvatura Consideração da variação de rigidez ao longo dos elementos Definição das condições de fronteira da estrutura M Estado I p EII Estado II M M cr EIII DMF (+) 1/r Nota: Cada zona da viga tem uma rigidez diferente, consoante o nível de momento actuante. MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 134

32 Por forma a ter em conta a fendilhação da viga, é necessário considerar uma curvatura média para cada zona do elemento. M I M M M Mcr EII EIII II (1/r)I (1/r)m (1/r)II 1/r Conforme se pode observar pelo gráfico momento-curvatura acima, esta curvatura média pode ser calculada através de uma média ponderada entre as curvaturas em estado I e II, considerando para isso um coeficiente de repartição (τ): 1 r = (1 τ) 1 m r + τ 1 I r II L a = 1 r M dx m Ο coeficiente de repartição, para o caso da flexão simples pode ser obtido através de: τ = 1 β 1 β 2 onde, σ sr σ s 2 = 1 β 1 β M cr 2 M 2 para M > M cr β 1 coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões (β 1 = 1.0 para varões de alta aderência; β 1 = 0.5 para varões aderência normal); β 2 coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas (β 2 = 1.0 para uma única carga de curta duração; β 2 = 0.5 para cargas actuando com permanência ou para vários ciclos de cargas); σ sr tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante da actuação das cargas que provocam o início da fendilhação; σ s tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante da actuação do valor da carga para a qula se pretende calcular a flecha. 0 Nota: Se M < M cr τ = 0 1 r m = 1 r I MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 135

33 Cálculo da curvatura em estado I A curvatura em estado não fendilhado pode ser calculada através da expressão onde, 1 r I = k s1 1 r c + k s1 k ϕ1 ϕ 1 r c + 1 r cs1, k s1 coeficiente que entra em linha de conta com a acção das armaduras 1 r c curvatura de base 1 r c = M E c I c k ϕ1 coeficiente que entra em linha de conta com o efeito da fluência ϕ coeficiente de fluência 1 r acção da retracção cs1 1 r = k ε cs cs1 cs1 d Cálculo da curvatura em estado II 1 r = k s2 1 II r + k s2 k ϕ2 ϕ 1 c r + 1 c r, cs2 1 r = k ε cs cs2 cs2 d Método Bilinear (τ constante) i) Cálculo dos parâmetros k s1, k ϕ1, k cs1, ϕ e k s2, k ϕ2, k cs2 ii) Cálculo do coeficiente de repartição τ M = M D M cr τ = 1 β 1 β 2 M cr M D = constante onde M D representa momento na secção determinante. MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 136

34 Secções determinantes (secções de momentos máximos) - Exemplos τ = τ vão τ = τ apoio τ = 2 τ vão + τ apoio 3 τ = τ apoio τ vão + τ apoio 2 4 iii) Cálculo de flechas τ = constante a = a = (1 τ) L 1 0 L 1 r 0 m M dx = L 1 r M dx + τ I r M dx 0 II L 0 (1 - τ) 1 r + τ 1 I r II M dx = a = (1 τ) ai + τ a II com a I = L 0 k s1 (1 + k ϕ1 ϕ) 1 r + k ε cs cs1 c d M dx a II = L 0 k s2 (1 + k ϕ2 ϕ) 1 r + k ε cs cs2 c d M dx Método dos Coeficientes Globais (coeficientes constantes), definidos para a secção determinante coeficientes constantes a I = a I = k s1 (1 + k ϕ1 ϕ) L 1 r 0 c L 0 k s1 (1 + k ϕ1 ϕ) 1 r + k ε cs cs1 c d M dx M dx + k ε cs cs1 d L M dx 0 Desprezando a parcela da retracção, a I = k s1 (1 + k ϕ1 ϕ) a c Da mesma forma, a II = k s2 (1 + k ϕ2 ϕ) a c Deste modo, a expressão do deslocamento vem igual a a = (1 τ) a I + τ a II = (1 τ) k s1 (1 + k ϕ1 ϕ) a c + τ k s2 (1 + k ϕ2 ϕ) a c a = [(1 τ) k s1 (1 + k ϕ1 ϕ) + τ k s2 (1 + k ϕ2 ϕ) ] a c = k a c MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 137

35 Aplicação do Método dos Coeficientes Globais a) Cálculo do deslocamento a c considerando um modelo elástico linear e rigidez de flexão dada pelas secções não armadas e não fissuradas. b) Correcção do deslocamento para ter em conta as armaduras, a fendilhação e a fluência. Deslocamento instantâneo (t = 0): a 0 = k 0 a c (tabelas pág. 97) Deslocamento a longo prazo (t = ): a t = η k t a c (tabelas págs. 98 e 99) a c flecha base (tabelas páginas 154 e 155) k 0 coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras e da fendilhação ( função de d/h, αρ, M cr / M D ) k t coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras, da fendilhação e da fluência ( função de ϕ, d/h, αρ, M cr / M D ) η coeficiente que entra em consideração com a influência da armadura de compressão (função de ρ /ρ, αρ, ϕ) (k 0, k t e η para as secções determinantes cálculo de coeficientes ponderados) MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 138

36 EXERCÍCIO 13 Considere a viga representada na figura seguinte (viga do exercício 2) p φ Materiais: C25/30 A400 NR Calcule a flecha para a combinação frequente de acções (p freq = 20 kn/m) RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Cálculo da flecha elástica a) Pelo P.T.V., pfr DMF [knm] (+) M max = p L2 8 = = 62.5 knm D 1/R R = M EI 1 DMF [knm] M max = P L 4 = 5 4 = 1.25 knm (+) 1.25 a = L 1 r M dx = L MM EI dx = 1 EI = m (tabelas pág. 153) MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 139

37 E = kn/m EI = knm I = 2 12 = m 4 b) Por tabelas (pág. 154) δ = pl4 EI = = m a c = m 2. Cálculo da flecha a longo prazo (método dos coeficientes globais) (Considera-se ϕ = 2.5) α = E s E c = = 6.6 ρ = A s bd αρ = = = M cr = ω f ctm = bh2 6 f ctm = M fr = 62.5kNm > M cr = 45kNm M cr M fr = 0.72 (ϕ = 2.5) k t = 3.75 ρ = A s' bd = 0 ρ /ρ = 0 η = 1 a t = h d 3 η k t a c = = m = 4.8 mm 3. Cálculo da flecha instântanea αρ = M cr M fr = 0.72 a 0 = h d 3 (Acções repetidas) k 0 = 2.3 k 0 a c = = m = 3 mm MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 140

38 2.2. LIMITE DE DEFORMAÇÃO De acordo com o EC 2 (parágrafo 7.4.1) δ máx = L 250 para a combinação de acções quase-permanentes Caso a deformação afecte paredes divisórias, δ máx = L CONTROLO INDIRECTO DA DEFORMAÇÃO ac L p a c = K pl4 EI Para uma secção rectangular: I = bh3 12 a c L = K 12 p b E L h 3 A deformação pode ser controlada de forma indirecta pela esbelteza (L/h) De acordo com o EC2, a deformação pode ser controlada indirectamente caso sejam respeitados os limites de esbelteza indicados na Tabela 7.4N. MÓDULO 3 Verificação da segurança aos estados limites de utilização 141