RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

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1 DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL LICECITUR EM EEHRI CIVIL RESISTÊCI DE MTERIIS (04/05) ECURVDUR - EC3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.5 m k/m F F B C D E 5km C 30 k/m 0 k D 600 k.0 m 3k 4 m B T +0 C F.0 m 80 k F.0 m E m m m 5.0 m k k k 0.9 m F H 0.9 m k k B C D k k k.4 m.4 m.4 m.4 m E

2 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL EUCIDO Exame 0/Set/0 F F.5 m k/m B C D E 5km 3k 4 m F m m 0.6 eixo aricêntrico dos 3 perfis Considere o pilar D com a secção transversal representada na figura e realiado em aço S 75 (módulo de elasticidade E 0 Pa). (direcção perpendicular ao plano da estrutura) a) Determine qual a direcção que condu à maior eseltea do pilar. ) Determine qual o máximo esforço axial K (valor não majorado) que poderá ser instalado na arra, compatível com a verificação da segurança à encurvadura pelo EC3. 5 cm 5 cm Secção transversal otas: dmita que todo o elemento BCDE está travado na direcção perpendicular ao plano da estrutura, impossiilitando-lhe qualquer movimento de translação nessa direcção. dmita que a secção transversal não é da classe 4. Considere um factor de segurança de,5. versão /5

3 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL Área Dimensões Posição do centro de gravidade Momentos de inércia t v Perfil cm h t u cm v cm I u cm 4 I v cm 4 u v h u L30x65x0 8, ,45 4,65 30,5 54, u v t Perfil Área cm h Dimensões t w t f I u cm 4 Momentos de inércia I v cm 4 u tw v tf u h IPE , , 0, ,8 v tf línea a RESOLUÇÃO Os centros de gravidade das 3 peças que constituem a secção transversal estão so o eixo, logo o centro de gravidade da secção transversal tamém tem que estar so o eixo. O eixo a é eixo de simetria, logo o centro de gravidade da secção transversal tamém tem que estar so o eixo a. Conclui-se então que o centro de gravidade da secção transversal está posicionado na intersecção do eixo a com o eixo. O eixo a e o eixo são eixos principais centrais de inércia, pois o eixo é de simetria I a 0,7 603,8 + 30,5 8,63 4,65 78,64 cm4 + + I , 8464,4 cm4 + I > I a eixo eixo a eixo (maior inércia) eixo (menor inércia) (Eurocódigo 3) versão /5

4 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL direcção perpendicular ao plano da estrutura a a direcção do plano da estrutura Área 53,8 + x 8,63 9,07 cm Direcção do plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Y (eixo de maior inércia EC3) L cr L 8 m 800 cm I 8464,4 cm ,4 i I 9,64 cm 9,07 L 800 cr 8,98 i 9,64 Lcr L Direcção perpendicular ao plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Z (eixo de menor inércia EC3) L cr 0,7 L 0,7 x 4,8 m 80 cm I 78,64 cm 4 78,64 i I 9,07 4,89 cm L cr 80 i 4,89 57,5 Lcr 0,7 L COCLUSÃO: maior eseltea é otida quando se fa o estudo na direcção da estrutura, ou seja, quando se fa o estudo da encurvadura em relação ao eixo (eixo de maior inércia segundo o EC3 - ver figura acima). versão 3/5

5 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL línea encurvadura em relação ao eixo vai ser condicionante porque a eseltea em relação ao eixo é superior à eseltea em relação ao eixo. Direcção do plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Y (eixo de maior inércia EC3) 8,98 E π f π , ,98 86,85 0,956 Curva de encurvadura curva de encurvadura a adoptar no dimensionamento de um dado elemento metálico, depende da geometria das secções transversais, do processo de farico e do plano de encurvadura condicionante. o presente exercício temos uma associação de um perfil laminado I e cantoneiras de aas desiguais. Vamos admitir que os perfis estão solidariados através de ligações soldadas. Às cantoneiras corresponde uma curva de encurvadura. o perfil I corresponde uma curva a para a encurvadura em relação ao eixo - e uma curva para a encurvadura em relação ao eixo -. Para perfis I ou H soldados as curvas a adoptar serão (eixo de flexão -) ou c (eixo de flexão -). Estaremos pelo lado da segurança se adoptarmos a curva c no estudo da encurvadura em relação a qualquer dos eixos. Curva c α 0,49 Φ [ + α ( 0,) + ] 0,5 + 0,49( 0,956 0,) [ + 0,956 ],4 0,5 χ Φ + Φ-,4 +,4-0,956 0,566,Rd χ f γ M 0,566 9, ,5 k,rd 47,5 k,5 K K 47,5,5 K 945 k O máximo esforço axial que poderá ser instalado na arra, compatível com a verificação da segurança à encurvadura pelo EC3 será K 945 k (valor não majorado). versão 4/5

6 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL Considere a estrutura representada na figura. EUCIDO Exame - 4/Fev/0 O elemento BCD apresenta uma rigide à flexão muito elevada. secção transversal do pilar DE está representada na taela anexa e é constituída pela seguinte associação de perfis metálicos: um perfil tuular quadrado com 80 de lado e 5 de espessura e dois perfis UP80 dispostos como está esquematiado na taela aaixo. 30 k/m 0 k C D 600 k.0 m B T +0 C F.0 m 80 k.0 m E 3.0 m 5.0 m CRCTERÍSTICS DO PILR DE Perfil tuular 80x80 (esp. 5) + UP80 ou Material: aço S75 opção a opção dmitindo que na direcção normal ao plano da estrutura o comprimento crítico de encurvadura da arra DE é 70% do comprimento real da arra (Lcr 0,70 L) e que a secção transversal não é de Classe 4, posicione a secção da forma mais conveniente (opção a ou opção da taela), justificando a sua resposta. Calcule o máximo esforço axial (valor não majorado) que poderá actuar na arra DE, compatível com a verificação da segurança pelo Eurocódigo 3. versão 5/5

7 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL Perfil tuular B x B Espessura e Massa M Kg/m Área cm Momento de inércia Ix I cm 4 Raio de giração i x i cm Y 80 x 80 3, 7,6 9,7 95 3,3 3,6 8,5 0,9 05 3, B X X e 4,0 9,4,0 4 3,09 5,0,6 4,7 37 3,05 6,3 4, 8, 6,99 Y B 8,0 7,5,4 89,9 Perfil UP Massa M Kg/m Área cm Dimensões h Características referidas ao eixo x-x Mom. de inércia Ix cm 4 Raio de giração ix cm Características referidas ao eixo - Mom. de inércia I cm 4 Raio de giração i cm Posição do centro de gravidade 80 8,64, ,0 9,4,33,45 x cm X x Y Y X h RESOLUÇÃO I cm4 a + [ 9,4 +,0 ( 4 +,45) ] I 37 89,55 cm4 + I > I a eixo eixo (maior inércia) (EC3) eixo a eixo (menor inércia) Área 4,7 + x,0 36,70 cm a Encurvadura no plano da estrutura L cr L 4 m 400 cm Encurvadura no plano perpendicular à estrutura L cr 0,7 L 0,7 x 4,8 m 80 cm Como se pretende minimiar a eseltea, a maior inércia deverá ser associada ao maior comprimento de encurvadura, pelo que, no presente exercício, a maior inércia deverá ser associada ao estudo da encurvadura no plano da estrutura. encurvadura no plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Y encurvadura no plano perpendicular à estrutura encurvadura em relação ao eixo Z versão 6/5

8 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL plano perpendicular à estrutura plano da estrutura COCLUSÃO: O posicionamento da estrutura corresponderá à opção a (ver figura acima). Encurvadura no plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Y L cr 400 cm I 89,55 cm4 89,55 i I 4,753 cm 36,70 L 400 cr 84,6 i 4,753 Encurvadura no plano perpendicular à estrutura encurvadura em relação ao eixo Z L cr 80 cm I 349 cm4 349 i I 3,084 cm 36,70 L 80 cr 90,79 i 3,084 encurvadura em relação ao eixo Z vai ser condicionante porque a eseltea em relação ao eixo Z é superior à eseltea em relação ao eixo Y. Encurvadura no plano perpendicular à estrutura encurvadura em relação ao eixo Z 90,79 E π f π , ,79 86,85,046 versão 7/5

9 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL Curva de encurvadura curva de encurvadura a adoptar no dimensionamento de um dado elemento metálico, depende da geometria das secções transversais, do processo de farico e do plano de encurvadura condicionante. o presente exercício temos uma associação de um perfil tuular e dois perfis UP. o perfil tuular corresponde uma curva de encurvadura a. os perfis UP corresponde uma curva de encurvadura c. Para a associação de perfis vamos considerar a situação mais gravosa, ou seja, vamos considerar uma curva de encurvadura c. Curva c α 0,49 Φ [ + α ( 0,) + ] 0,5 + 0,49(,046 0,) [ +,046 ],54 0,5 χ Φ + Φ-,54 +,54-,046 0,54,Rd χ f γ M 0,54 36, ,75 k,rd 58,75 k,5 K K 58,75,5 K 345,8 k O máximo esforço axial que poderá ser instalado na arra, compatível com a verificação da segurança à encurvadura pelo EC3 será K 345,8 k (valor não majorado). versão 8/5

10 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício 3 DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL EUCIDO Considere a asna de uma coertura representada na figura, realiada com perfis de aço S35. Para além dos apoios, os nós C e estão contraventados no plano perpendicular ao da asna. k k corte k 0.9 m F H 0.9 m k k B C D k k k corte E CORTE.4 m.4 m.4 m.4 m a) Pretende-se realiar a corda inferior e a corda superior da asna com o mesmo perfil IPE, conforme representado no corte. Dimensione esse perfil IPE recorrendo ao EC3. ) Os montantes a as diagonais da asna serão realiados com perfil tuular rectangular 90x50x5, cujas extremidades serão soldadas aos perfis IPE superior e inferior (ver corte). Verifique o dimensionamento de todos os elementos de alma segundo o EC3. OTS: s forças representadas na figura correspondem às acções de cálculo. Considere que as secções transversais dos elementos metálicos utiliados não são da Classe 4. s cordas oferecem restrição adequada às extremidades de todos os elementos de alma. RESOLUÇÃO estrutura da asna é isostática pelo que, os esforços a actuar nas arras poderão ser facilmente calculados através do Método de Equilírio dos ós ou através do Método de Ritter (Método das secções). Seguidamente listam-se os esforços de compressão e tracção a actuar em todas as arras da estrutura. CORD IFERIOR Barras L (comprimento real) (esforço de cálculo) B, BC, CD, DE,40 m 40 k (tracção) versão 9/5

11 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício 3 DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL CORD SUPERIOR Barras L (comprimento real) (esforço de cálculo) F, HE,563 m 448,56 k (compressão) F, H,563 m 9,04 k (compressão) MOTTES Barras L (comprimento real) (esforço de cálculo) BF, DH 0,90 m 5 k (tracção) C,80 m 0 k (tracção) DIOIS Barras L (comprimento real) (esforço de cálculo) CF, CH,563 m 49,5 k (compressão) línea ) DIMESIOMETO DE ELEMETOS À TRCÇÃO f. γm0 t,rd em que: t,rd γm0 f Corda inferior: 40 k (tracção) 40 7, m 7,87 cm IPE IPE60 35 DIMESIOMETO DE ELEMETOS À COMPRESSÃO Corda superior:, máx 448,56 k (compressão) 448,56 ª HIPÓTESE: χ 0,8 3, m 3,86 cm IPE 80 0,8 f 0, versão 0/5

12 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício 3 DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL plano da estrutura plano perpendicular à estrutura IPE 80 i i 3,95 cm 7,4 cm,05 cm Encurvadura no plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Z L cr 0,9 L 0,9,563 m,307 m 30,7 cm L cr 30,7,54 i,05 Encurvadura para fora do plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Y L distância entre nós contraventados no plano perpendicular à estrutura L cr L 5,6 m 5,6 cm L cr 5,6 69,08 i 7,4 encurvadura em relação ao eixo Z vai ser condicionante porque a eseltea em relação ao eixo Z é superior à eseltea em relação ao eixo Y. Encurvadura no plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Z,54 E π f π ,93 35,54 93,93,98 versão /5

13 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício 3 DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL h 80,98 >, 9 Curva de encurvadura tf 8 40 curva α 0,34 encurvadura em relação ao eixo Z-Z Φ [ + α ( 0,) + ] 0,5 + 0,34 (,98 0,) [ +,98 ],387 0,5 χ Φ + Φ-,387 +,387 -,98 0,479,Rd χ f γ M 0,479 3, ,6 k 448,56 k >>, Rd 69,6 k ão verifica ª HIPÓTESE: IPE 0 i i 33,37 cm 9, cm,48 cm Encurvadura no plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Z L 30,7 L 0,9 L 30,7 cm cr cr 93,0 i,48 Encurvadura para fora do plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Y L L i 5,6 9, cr cr L 5,6 cm 56,7 encurvadura em relação ao eixo Z vai ser condicionante porque a eseltea em relação ao eixo Z é superior à eseltea em relação ao eixo Y. Encurvadura no plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Z 93,0 E π f π , ,0 93,93 0,990 versão /5

14 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício 3 DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL h 0 >, 0 Curva de encurvadura tf 9, 40 curva α 0,34 encurvadura em relação ao eixo Z-Z Φ [ + α ( 0,) + ] 0,5 + 0,34 ( 0,990 0,) [ + 0,990 ],4 0,5 χ Φ + Φ-,4 +,4-0,990 0,604,Rd χ f γ M 0,604 33, ,6 k 448,56 k <, Rd 473,6 k Verifica Conclusão: O perfil a adoptar para a realiação da corda superior (arras F, F, H e HE) e da corda inferior (arras B, BC, CD e DE) será o IPE0. línea ) Elementos de alma: Perfil tuular 90x50x5 i i,7 cm 3,6 cm,97 cm plano da estrutura plano perpendicular à estrutura versão 3/5

15 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício 3 DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL VERIFICÇÃO D SEURÇ DE ELEMETOS À TRCÇÃO t,rd em que: t,rd f γ M0 Máximo esforço de tracção (arra C): 0 k (tracção) t,rd f γ M0, ,45 k 0 k t, Rd 98,45k Verifica VERIFICÇÃO D SEURÇ DE ELEMETOS À COMPRESSÃO Máximo esforço de compressão (diagonais CF e CH): 49,5 k (compressão) Encurvadura no plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Z L cr 0,9 L 0,9,563 m,307 m 30,7 cm L cr 30,7 7, i,97 Encurvadura para fora do plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Y L cr L,563 m 56,3 cm L cr 56,3 8, i 3,6 encurvadura em relação ao eixo Z vai ser condicionante porque a eseltea em relação ao eixo Z é superior à eseltea em relação ao eixo Y. Encurvadura no plano da estrutura encurvadura em relação ao eixo Z 7, E π f π , , 93,93,47 versão 4/5

16 RESISTÊCI DE MTERIIS (04-05) ECURVDUR Exercício 3 DEPRTMETO DE EEHRI CIVIL Curva de encurvadura: Perfil tuular acaado a quente curva a α 0, Φ [ + α ( 0,) + ] 0,5 + 0,(,47 0,) [ +,47 ],387 0,5 χ Φ + Φ-,387 +,387 -,47 0,504,Rd χ f γ M 0,504, ,6 k 49,5 k, Rd 49,6 k Verifica Conclusão: Todos os elementos de alma verificam a segurança segundo o EC3. versão 5/5