Teoria Clássica das Placas Finas 2.1. Capítulo 2

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1 Teoria Clássica das Placas Finas. Capítulo Teoria Clássica das Placas Finas. Introdução As placas são elementos estruturais limitados por duas superfícies planas distanciadas entre si de uma grandeza designada por espessura. No caso da dimensão da espessura ser muito menor que as dimensões das superfícies planas limitantes, as placas são designadas por placas finas. O plano equidistante das superfícies planas eternas é designado por plano médio da placa. No caso das placas finas é possível estabelecer a chamada Teoria Clássica das Placas Finas,,, 4, desenvolvida por Lagrange em 8, para a qual são consideradas válidas as chamadas hipóteses de Kirchhoff. Considere-se o sistema de eios coordenadas O representado na figura., o qual é definido de tal modo que o plano O seja Timoshenko S. and Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells,cGraw-Hill. ansfield, E, The Bending and Stretching of Plates, Pergamon Press. Courbon, Plaques inces Elastiques, Eyrolles - Paris. 4 Ugural, A.C., Stresses in Plates and Shells, cgraw-hill Book Comp., 98.

2 Teoria Clássica das Placas Finas. coincidente com o plano médio da placa antes da deformação e o eio O seja normal ao plano médio da placa. O p e Figura.: Sistema de Eios de Referência. As hipóteses de Kirchhoff que são consideradas válidas para placas finas, com isotropia total e submetidas a acções normais ao plano médio, são: (i) A superfície média da placa é plana e indeformável, ou seja, as deformações no plano O são nulas: ε ε ε 0 para 0. (ii) Os pontos pertencentes à normal ao plano médio da placa antes da deformação permanecem na normal à superfície média flectida. (iii) A tensão na direcção normal ao plano médio, σ é irrelevante quando comparada com as tensões σ e σ pelo que se considera: σ 0.

3 Teoria Clássica das Placas Finas. O tensor das tensões toma neste caso a forma seguinte: σ σ σ σ ij σ σ σ. σ 0 σ como se mostra na figura. num ponto a uma distância do plano médio, para um elemento de dimensões infinitamente pequenas, d d e de altura igual à espessura, sendo σ σ σ 0 para pontos sobre a superfície média da placa, de acordo com a hipótese (i) de Kirchhoff. d o σ σ σ σ σ σ e d Figura.:Estado de Tensão num Ponto Tendo em conta a hipótese (ii) os deslocamentos, u e u, de um ponto P da placa, situado a uma distância do plano médio, podem ser calculados a partir do deslocamento transversal (, ) do ponto contido na normal que passa pelo ponto e situado na superfície média. Entendendo-se por deslocamento transversal o deslocamento sofrido por um ponto do plano médio na direcção normal ao plano médio. Na figura. representa-se, a

4 Teoria Clássica das Placas Finas.4 deformada de um segmento linear sobre a normal à superfície média e o campo de deslocamentos, no plano O, para o ponto P cuja posição é sobre a normal ao plano médio antes de deformado. A consideração da hipótese (ii) implica que as componentes do vector de deslocamentos,pp que se podem designar por{u, u, u } T, sejam: u φ ; u φ ; u (, ).4 Os deslocamentos u e u dependem só da distância do ponto P ao plano médio, e do deslocamento transversal, (, ), da superfície média como resulta das considerações feitas. φ P P φ P φ ; φ φ φ Figura.: Deslocamentos no Ponto P e no Plano O. As deformações no plano O a uma distância do plano médio da placa atendendo às epressões (.4) e (.8) são:

5 Teoria Clássica das Placas Finas.5 ε ; ε ; ε.5 Na superfície média a coordenada 0 e portanto é: ε ε ε 0 o que implica que a superfície média seja uma superfície neutra, uma vez que não sofre qualquer deformação. As deformações nos planos paralelos ao plano O variam linearmente ao longo da espessura da placa o que está de acordo com as hipóteses de Kirchhoff atrás referidas. Note-se que de acordo com o campo de deslocamentos definido, as deformações ε e ε são nulas, esta situação não é totalmente consistente com a realidade, no entanto estas deformações poderão ser calculadas a partir dos esforços unitários, como se verá posteriormente. O campo de deslocamentos resultante da consideração das Hipóteses de Kirchhoff apresenta esta incongruência nas deformações de corte. A Lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos com comportamento linear elástico, estabelece uma relação entre as tensões e deformações no plano O com a forma seguinte: σ σ σ E ε 0 ε ε sendo E o modulo de Young e o coeficiente de Poisson..6 Tendo em conta as equações (.5) e (.6) é possível relacionar as tensões com os deslocamentos transversais do seguinte modo:

6 Teoria Clássica das Placas Finas.6 σ σ σ E E E σ.7 As tensões σ, σ e σ variam linearmente ao longo do eio dos como se representa na figura.4, sendo nulas para 0, como seria de esperar tendo em conta a hipótese de Kirchhoff (i).. Esforços Generalizados e Curvaturas Na análise de placas à fleão, é conveniente considerar os esforços unitários que são: os momentos flectores unitários, e, o momento torsor unitário, e os esforços transversos unitários, T e T. O momento flector unitário é o momento resultante por unidade de comprimento da direcção O, das tensões normais σ ao longo da espessura da placa, ou seja : e / σ d e / De modo semelhante se definem momentos unitários, e ou seja:.8 e / σ d e / e / e σ d e /.9-.0 seguinte modo: Os esforços transversos unitários calculam-se a partir das tensões σ e σ do e / e / σ d e T σ d e / e / T.

7 Teoria Clássica das Placas Finas.7 σ σ σ O Figura.4: Distribuição de tensões ao longo da espessura da placa. Integrando as epressões (.8) a (.0) para os momentos unitários, tendo em conta as equações (.7) que definem as tensões em termos do deslocamento transversal, obtém-se: D D D( ). sendo D E e / ( - ), o modulo de rigidez à fleão da placa. Note-se que a simetria do tensor das tensões σ σ implica que seja:. As segundas derivadas do deslocamento transversal,,, e, é possível demonstrar que são as curvaturas da

8 Teoria Clássica das Placas Finas.8 superfície média flectida, no caso de se admitir que a inclinação da superfície média flectida em qualquer direcção é pequena de tal modo que o seu quadrado é pequeno quando comparado com a unidade. As curvaturas podem ser designadas por χ, χ e χ respectivamente. Portanto as equações (.) podem ser escritas com a forma seguinte: D χ 0 χ χ. em função das curvaturas da superfície média flectida. Os esforços unitários,,,, resultantes das tensões estão representados na figura.5. Os esforços no plano médio são,,, T e T, como se indicou. As tensões σ, σ e σ podem ser calculadas a partir dos momentos tendo em conta as equações (.7) e (.) e são determinadas a partir das seguintes epressões: σ ; ; σ σ e e e Na face superior da placa corresponde a um valor de e /, as tensões σ e σ são tensões de compressão no caso dos momentos flectores serem positivos e têm como 6 valores 6 σ e σ, estes são um dos valores etremos das tensões e e normais ao longo da espessura da placa. χ /

9 Teoria Clássica das Placas Finas.9,θ, θ, θ Figura.5: Representação de omentos.. Equações de equilíbrio. Equação de Lagrange. As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas em termos dos esforços unitários que resultam das tensões actuantes num elemento paralelepipédico da placa de dimensões d, segundo O, d segundo O e sendo segundo O considerada uma dimensão igual à espessura da placa. O estado de tensão no referido elemento tem as componentes que foram representadas anteriormente na figura. às quais correspondem esforços unitários definidos de acordo com as epressões (.8-.). Considere-se um elemento ABCD de dimensões d, d no plano médio do elemento paralelepipédico, os esforços unitários actuantes neste elemento e relevantes para efeitos de equilíbrio estático de esforços estão representados na figura.6.

10 Teoria Clássica das Placas Finas.0 T O T B p (, ) D A C T T Figura.6: Esforços Unitários num Elemento do Plano édio d, d. seguinte modo: Na figura.6 os esforços,, T,,, e T, são definidos do T T T d d d T T T d d d Para se obterem as forças que actuam sobre o elemento de dimensões infinitésimais têm de multiplicar-se os esforços unitários pelo comprimento do lado elemento de área em que actuam. As equações de equilíbrio estático a considerar são três: equilíbrio de momentos em relação aos eios O e O e equilíbrio de forças segundo o eio O.

11 Teoria Clássica das Placas Finas. A equação de equilíbrio de momentos em relação ao eio O é: d d d d d d Td d 0 simplificando esta equação, obtém-se: T.4 De modo análogo se obtém a equação de equilíbrio de momentos em relação ao eio O que é: T.5 Finalmente considerando o equilíbrio de forças na direcção do eio O e admitindo que são irrelevantes os infinitésimos de ordem superior à primeira, obtém-se: T T p(, ).6 onde p(, ) representa a resultante das acções eternas, por unidade de superfície, normais ao plano médio no elemento d d. Substituindo as equações (.4) e (.5) na equação (.6) obtém-se: p(, ).7 que é a equação de equilíbrio num ponto de uma placa rectangular submetida à acção de forças normais ao plano médio. Note-se que os esforços unitários,, são

12 Teoria Clássica das Placas Finas. independentes entre si e que os esforços Transversos unitários T e T dependem dos momentos flectores e torsor unitários. Os esforços unitários, e podem ser calculados a partir dos deslocamentos transversais, recorrendo às epressões (.) e nesse caso a equação de equilíbrio (.7) toma a forma seguinte: p(, ) D Esta equação (.8) é conhecida por Equação de Lagrange e pode escrever-se duma maneira mais concisa do seguinte modo: p (, ) D onde o símbolo designa o Laplaciano, Substituindo nas equações de equilíbrio de momentos (.4) e (.5) as epressões (.) para os momentos unitários, obtém-se para os esforços transversos unitários as epressões seguintes: T D D ( ) e (.0) T D D ( )..9 Sendo conhecida a solução da Equação de Lagrange é possível calcular os esforços unitários a partir das epressões (.) e (.0). A solução da referida equação para o domínio da placa vai depender das condições de contorno..4 Condições de Contorno

13 Teoria Clássica das Placas Finas..4. Reacções de Apoio O deslocamento transversal deve satisfazer a equação de Lagrange e as condições ao limite sobre o contorno da placa. Antes de se considerarem as condições de contorno propriamente ditas devem calcular-se as reacções que têm de ser consideradas na presença e na ausência de ligações ao eterior. Considere-se um elemento infinitésimal de dimensão d no contorno da placa como se representa na figura.7 de tal modo que a direcção normal ao contorno, no elemento infinitésimal considerado, tenha a direcção do eio dos ; os esforços actuantes no elemento são os seguintes: d resultante das tensões σ ; d resultante das tensões σ e T d resultante das tensões σ. Estes esforços vão tender a ser equilibrados por esforços de reacção que são em geral momentos flectores e forças na direcção normal ao plano médio da placa. No caso do apoio não poder desenvolver momentos flectores que equilibrem o momento flector n, o momento normal à faceta, tem de ser considerado igual a zero ou igual ao momento aplicado caso eista. O binário representado na figura.7b, ± ', é capaz de equilibrar o momento torsor d considerado na figura.7a, o qual actua num elemento do contorno de comprimento d, desde que seja: Supondo que a placa está apoiada ao longo do contorno num apoio tal que não possa produzir uma reacção de apoio que seja um momento torsor, este pode ser substituído por uma distribuição de forças ao longo do contorno do tipo representado na figura.7b,, etc..

14 Teoria Clássica das Placas Finas.4 O σ, d σ σ d, d T d d d d T d (a) d T d T (b) d Figura.7: Distribuição das Tensões nos Bordos. Considerando um elemento contínuo ao anteriormente referido, nele actua um momento torsor: d d o qual pode ser equilibrado por um binário de forças do tipo representado na figura.7. As forças e d que actuam segundo o lado comum aos elementos infinitésimais adjacentes, eliminam-se em parte, dando origem a uma força dirigida para cima de grandezas d, no caso do incremento d ser positivo. A consideração dos momentos equilibrados atrás referidos só provoca alterações ao comportamento estático da placa na vizinhança do contorno. Portanto as reacções verticais por unidade de comprimento do contorno não são iguais ao esforço cortante T ou T, mas são iguais à soma destes esforços com a variação dos momentos torsores, ou seja:

15 Teoria Clássica das Placas Finas.5 R T e R T. Estas reacções podem eprimir-se, em função das derivadas de atendendo às epressões (.5) e (.0), do seguinte modo: D ( ) R R D ( ) Nas placas rectangulares o contorno não é contínuo e apresenta arestas; na vizinhança destas arestas há uma variação brusca do momento torsor, como se representa na figura.8.. A-ε A Aε Figura.8 V omento torsor nas Arestas

16 Teoria Clássica das Placas Finas.6 Quando o momento torsor varia bruscamente de direcção num ponto A, como se representa na referida figura, desde um valor " até um valor ", no elemento infinitésimal compreendido entre A - ε e A ε, a força de substituição tem valor seguinte: Aε A d d A Aε A Aε Aε A [ ] [ ] V. Portanto num canto da placa eistirá uma força de substituição dada por (.), se o ângulo for recto é igual a e de sentido contrário, portanto a reacção concentrada a ser considerada no canto é: R v ( )D.4 Esta força de reacção é negativa, dirigida para baio devendo ser transmitida pelo apoio para evitar que a placa levante no canto, é o resultado da eistência da força de levantamento V..4. Condições de Fronteira Propriamente Ditas.4.. Bordo simplesmente apoiado Para as condições de bordo simplesmente apoiado, o movimento segundo o eio dos, está impedido, podendo no entanto rodar livremente. A notação gráfica mais usual para este tipo de apoio em placas é a que se representa nas figuras.9. As condições de contorno simplesmente apoiado são: 0 e n aplicado

17 Teoria Clássica das Placas Finas.7 sendo o deslocamento transversal e n o momento que provoca uma rotação normal no bordo simplesmente apoiado. Em termos analíticos estas condições de contorno para a placa rectangular da figura.9 e para os lados paralelos ao eio dos, AB e CD,são as seguintes na ausência de momentos eteriores aplicados: u 0 e 0.5 e para os lados paralelos ao eio dos, AC e BD, na ausência de momentos eteriores aplicados são: u 0 e 0.6 n t OC D O A B Figura.9: Bordo Simplesmente Apoiado Considerar 0 ao longo de AB e CD, se se tiver em conta que 0 ao longo de AB e CD, é equivalente a considerar que:

18 Teoria Clássica das Placas Finas.8 0 Ao longo do lado AC e BD, considerar que é igual a zero, implica que seja: As condições (.5) e (.6) resumem-se portanto à condição u 0 e às condições (.7) e (.8), no caso das placas de bordos ortogonais paralelos aos eios coordenados Bordo perfeitamente encastrado No bordo perfeitamente encastrado os deslocamentos e as inclinações têm valor nulo e um dos modos de representação do bordo é o que se indica na figura.0. A placa representada nesta figura é considerada rectangular com os lados paralelos aos eios coordenados. As condições de fronteira ao longo dos lados AB e CD, paralelos ao eio dos,são representadas através das seguintes igualdades: 0 e 0 e ao longo dos lados AC e BD traduzem-se do seguinte modo:.9 0 e 0.0 Tendo em conta que a equação de Lagrange é em termos de, as equações anteriores que representam as condições de contorno são um complemento da referida equação.

19 Teoria Clássica das Placas Finas.9 Bordos Encastrados Figura.0 : Placa com Bordos Encastrados.4... Bordo Livre. Se a placa tiver um ou mais lados livres, em todos os pontos do bordo livre devem de ser nulos os momentos flectores ou e as reacções R e R. Estes esforços serão não nulos caso eista algum esforço ou momentos aplicados no bordo, nesse caso serão iguais a uma função de ou conhecida. No caso de bordo livre sem cargas aplicadas e paralelo a um dos eios coordenados, as condições de contorno eprimem-se analiticamente do seguinte modo: R 0 e o para 0 R 0 e 0 para 0. As condições anteriores em termos dos deslocamentos, são para 0: D 0 e ( ) 0.

20 Teoria Clássica das Placas Finas.0 A deformada deve satisfazer simultaneamente a equação de equilíbrio ou seja a equação de Lagrange (.8) e as condições de fronteira (.) e (.)..5. Fleão Pura de Placas Rectangulares.5. Determinação da Equação da Deformada A placa rectangular representada na figura. tem espessura constante, e, e está submetida à acção de momentos uniformemente distribuídos ao longo dos bordos paralelos aos eios dos e dos. Os momentos por unidade de comprimento são respectivamente e. A placa sob a acção dos momentos e, como se representa na figura., fica submetida à fleão nos planos e. O plano médio O, assim como qualquer plano paralelo a este, transforma-se numa superfície de dupla curvatura, após a ocorrência de deformação. C D A B Figura.: Placa Rectangular em Fleão Pura. Para esta solicitação os esforços transversos unitários são nulos em qualquer ponto da placa. Podem considerar-se também momentos torsores aplicados ao longo do contorno da placa como se representa na figura..

21 Teoria Clássica das Placas Finas. C D A B Figura.:Placa Rectangular Submetida à Torção. As tensões σ σ e σ na face superior da placa, para uma placa submetida à acção dos momentos, e, são neste caso constantes e são, em qualquer ponto da placa pertencente à faceta superior que está à compressão, iguais a: σ, σ e σ σ. e e e As curvaturas normais do plano médio em relação aos eios dos e dos e o empenamento são determinadas a partir da Lei de Hooke generalizada.. Essas curvaturas são: D, ( ) D( ) D( ) e.4 Atendendo a que, e são constantes e escolhendo a origem das coordenadas no ponto de coordenadas 0 e 0, no plano médio O, a equação da deformada obtida por integração das equações.4, é:.5 D( ) D( ) D( ) No caso particular de ser 0 e obtêm-se:

22 Teoria Clássica das Placas Finas. ( ).6 D ( ) e a superfície média flectida é neste caso, um paraboloide de revolução, que no caso de ser muito pequeno, se pode considerar uma esfera de raio: D( ) R.7 podendo então dizer-se que a fleão é esférica. A inconsistência destes resultados resultam só da consideração de epressões aproimadas para as curvaturas..5. Determinação das Direcções Principais de Fleão Para determinar o momento flector e o momento torsor, t, por unidade de comprimento numa secção normal ao plano médio, figura., orientada de tal modo que a normal faça um ângulo θ com o sentido positivo do eio dos, basta considerar o equilíbrio de momentos no elemento triangular ABC da placa. As dimensões deste elemento são: BC ds, AB ds senθ e AC ds cosθ. Obtém-se assim a equação vectorial: i j ( i j)cosθ ( i j) senθ.8 t Atendendo a que: i i cosθ j senθ j i senθ j cosθ.9 a equação (.8) é equivalente às equações seguintes:

23 Teoria Clássica das Placas Finas. C t ' ' A B j' O j i' i θ Figura..: Orientação dos Sistemas de Eios cos θ sen θ sen θ cos θ t ( - ) sen θ cos θ - (cos θ - sen θ).40 Eistem duas direcções principais para as quais o momento torsor t é nulo e que são definidas, partindo da equação (.40) fazendo t 0 e tendo em conta que: sen θ cos θ ½ senθ e cos θ - sen θ cos θ Nestas condições a equação (.40) toma a forma: tan gθ.4 Os momentos flectores principais correspondentes são as raízes da equação seguinte: ( ) ( ) 0.4 Os momentos principais são:

24 Teoria Clássica das Placas Finas.4 ±.4 ( ) / No caso do momento torsor aplicado,, ser igual a zero, as direcções principais correspondem aos ângulos θ 0 e θ π/, ou sejam as direcções paralelas aos eios dos e dos considerados são direcções principais. Os momentos flectores principais são neste caso particular e sendo 0. As direcções principais dos momentos correspondem às direcções principais do tensor das curvaturas e portanto às direcções principais de fleão correspondem curvaturas principais da superfície média flectida..6. Trabalho Virtual das Tensões e Energia de Deformação O trabalho virtual das tensões σ ij numa deformação virtual εij tem por epressão: δ T ijdv ( )dv V σijε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε V ou no caso das placas.44 ϖ ϖ ϖ δ T dv e V sendo ϖ o deslocamento virtual e sendo o integral é estendido ao volume da placa,v. No caso da placa estar sujeita a acções eternas normais ao plano médio, as deformações neste caso são devidas ao efeito de fleão, a placa pode ser tratada como um estado plano de tensão. A equação (.44) pode ser modificada, tendo em conta as equações (.5) e (.7) e integrando ao longo da espessura, por forma a obter equação seguinte:

25 Teoria Clássica das Placas Finas.5 ( ) ds D T S δ.45 onde δ, representa o deslocamento virtual. O trabalho virtual das forças eteriores deve igualar o trabalho virtual de deformação, δt, como resulta do chamado Teorema dos Trabalhos Virtuais. O trabalho virtual das forças eteriores é: d d ) p(, T S δ.46 A energia de deformação da placa é: )dv ( dv U V ij V ij ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ.47 Integrando ao longo da espessura, tratando a placa como um estado plano de tensão e tendo em conta as definições (.5) e (.7), obtém-se: ds ) ( D U S.48 A energia potencial total,, é a soma da energia de deformação interna,u, com a energia potencial devida às forças eteriores,t, ou seja: ( ) d d, ) p(, U S.49 inimizando a energia potencial total, δπ 0, obtém-se:

26 Teoria Clássica das Placas Finas.6 S ( δ) ( δ) ( δ) ( δ) ( ) ( δ) D ( ) ds S p p(, ) δ dd 0.50 Aplicando o teorema de Green ao integral de superfície contido nesta epressão e considerando que o contorno é definido por segmentos ortogonais paralelos aos eios coordenados, obtém -se: S ( p) ( ) δ δd d D C D d ( δ) ( ) δ d D ( ) C C D ( ) ( δ) d d D δd C D C C δd D ( ) δd C D ( ) δd 0 C D.5 Tendo em conta as equações (.), a equação (.5) toma a forma: S ( δ) ( δ) d d d C C ( p) δ D D d D ( δ) d ( δ) d D D C C

27 Teoria Clássica das Placas Finas.7 δ d C D δ d C D 0.5 Fazendo uso das equações de equilibro (.4) e (.5) a equação anterior toma a forma: S ( δ) ( δ) d d d ( p) δ d D ( δ) ( δ) d d Tδd Tδd 0 ou ainda:.5 S ( δ) ( δ) d d d ( p) δ d D d δ T δd T 0 donde se infere que por minimização da energia potencial se obtém a equação de Lagrange que resulta de se igualar a zero o integrando do integral estendido à superfície e um conjunto de condições de fronteira que resultam da anulação dos integrandos dos integrais estendidos ao contorno da placa. A teoria das placas referida é suficientemente precisa para fins práticos no caso das placas serem finas. Na vizinhança de esforços transversos concentrados, junto de cantos e de orifícios de diâmetro com uma dimensão da ordem de grandeza da espessura da placa

28 Teoria Clássica das Placas Finas.8 esta teoria mostra-se pouco precisa sendo necessário considerar uma teoria eacta de placas..7. Aplicação da Teoria de Placas Finas a Placas Ortotrópicas O sistema de eios a ser considerado é um sistema de eios Oyz definido por forma a considerar-se o plano Oy coincidente com o plano médio e o eio dos zz normal a esse plano como foi referido na Teoria das Placas Finas. Note-se que:, y e z. O campo de deslocamentos, {u u, v u, w u } e deformações {ε ε, ε yy ε, ε y ε }, considera-se definido de modo análogo ao considerado na Teoria de Fleão de Placas Finas isotrópicas, ou seja: T [ u,v,w] [ z / ; z / y; (,y) ] T [,, ] ε εyy εy [ z / ; z / y ; z / y ] T T As relações tensões - deformações ainda se regem pela Lei de Hooke, no caso de eistir ortotropia do material e no caso de os eios materiais coincidirem com os eios de referência, esta Lei toma a forma: σ E ( ε σ E yy ( εyy σ y G ε y ε ε yy ) ) Love,J. H., The athematical Theory of Elasticity, 97

29 Teoria Clássica das Placas Finas.9 Fazendo uso das epressões das deformações em termos dos deslocamentos, a Lei de Hooke toma a forma: σ E y σ yy E y σ y G y Os esforços unitários de fleão determinam-se a partir das tensões do seguinte modo: dz E z dz y e / e z σ e / e / dz E z y dz e / e yy z σ yy e / e / y e / z σ e / y dz G e e / z y dz Procedendo às integrações envolvidas, obtém-se: yy D D y y onde onde Ee D D ( ) e E ( )

30 Teoria Clássica das Placas Finas.0 D y onde D yy Ge As equações de equilíbrio de esforços são: y T yy y T y y y y T T y p(, y) Eliminando T e T y na ª equação fazendo uso da ª e ª equações, obtém-se a equação de equilíbrio de forças segundo o eio dos zz em termos dos momentos unitários de fleão e torção, ou seja: y y y p(, y) Substituindo nesta equação os momentos flectores em função das curvaturas obtém-se: D y 4 D y D 4 p(, y) onde D D D D D. Está determinada a equação de Lagrange para placas ortotrópicas. As condições de fronteira são definidas de modo análogo às condições de fronteira consideradas no caso das placas isotrópicas.

31 Teoria Clássica das Placas Finas. Problemas Propostos. ostre que as curvaturas se relacionam com os momentos unitários através das seguintes epressões: χ χ χ ( ) ( ) / D / D ( ) / D onde D D( ). ostre que a forma da deformada de uma placa com valores constantes da curvatura é: χ χ χ com um movimento de corpo rígido da forma (A B C). Considere os sistemas de eios representados na figura e mostre que as curvaturas no sistema de eios OXYZ se relacionam com as curvaturas no sistema de eios Oyz do seguinte modo: O φ X φ y Y

32 Teoria Clássica das Placas Finas. χxx χ cos φ χysen φcos φ χ χyy χ sen φ χysen φcos φ χ χ XY yy yy sen cos ( χ χ ) φcosφ χ φ φ) yy sen y (cos sen φ φ Note-se que OZ Oz. Pode fazer uso da epressão da deformada referida na questão. 4. ostre que são invariantes das curvaturas as grandezas: ( χ χ ) χ χyy yy ; χ y ;- χχyyχ y 5. ostre que o momento torsor máimo para uma placa rectangular é: ( ) T ma y y / 6. ostre que: χ χ y χ yy y yy 7. Considere uma placa rectangular sujeita a um estado de fleão pura. Os momentos aplicados são e sendo 0. Determine a energia de deformação da placa em termos do deslocamento transversal. Resposta: U DA y y 8. Considere o sistema de coordenadas oblíquas representado na figura.

33 Teoria Clássica das Placas Finas. a) Deduza a equação de equilíbrio de forças segundo o eio normal ao plano O*y*, tendo em conta que as coordenadas *e y* se relacionam com as coordenadas e y do seguinte modo: * * y cot g φ e y y / sen φ O *, * φ P y* y* y b) Deduza a equação de Lagrange no sistema de eios O*y*. 9. Considere uma placa de espessura variável segundo a direcção do eio dos yy, como se representa na figura, de acordo com uma lei do tipo: απy / a a t onde t representa a espessura e t t0 e α ln πb t 0 a t o b O z, W y t e determine a equação de Lagrange nestas condições.