Sumário e Objectivos. Placas e Cascas 5ªAula. Março

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1 Sumário e Ojectivos Sumário: Métodos de Solução itos Eactos. Método de Ritz. Método de Galerkin. Método de Kantorovich. Ojectivos da Aula: Apreensão de Alguns Métodos de Solução da Equação eactos e Aproimados. Uso do Maple para a Solução de Prolemas de Placas elaminados.

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3 Métodos itos Eactos Os métodos de solução da equação de Lagrange ditos eactos, são métodos que se aseiam no uso de séries para efeitos de otenção da solução e são eactos no sentido que um conjunto infinito de equações algéricas não - lineares pode ser truncado a fim de oter um certo grau de precisão na solução. As soluções referidas anteriormente, isto é, a solução de Navier e a solução de Levy são soluções deste tipo. As soluções ditas eactas são otidas por consideração de séries duplas de Fourier, por séries duplas generalizadas de Fourier ou por cominação dos dois tipos de séries. As séries são escolhidas de tal modo que as condições de fronteira sejam satisfeitas. 3

4 Métodos itos Eactos Uso de séries duplas de funções Ortogonais f Funções Ortogonais são tais que f mn X m Y m, f X Y mn m n m n a d c a f 0 X m X n d X n para para m m n n, X m Yn d d Eemplos de Funções Ortogonais são por eemplo as funções próprias de vigas com as mesmas condições de Fronteira que as placas 4

5 Método de Ritz a 5

6 Método de Ritz Energia Potencial S ω ω pω ω + ν ds Esta epressão tem uma forma mais simplificada para o caso das placas rectangulares encastradas ao longo do contorno cujas condições de fronteira são: ω ω 0 para ± a ω ω 0 para ± ω 6

7 7 Método de Ritz ds S ω ω ω A parcela Conhecida por Curvatura de Gauss, no caso da placa encastrada no contorno é nula e nesse caso a energia potencial toma a forma ds S Π πω ω

8 Método de Ritz Admitindo que o campo de deslocamentos transversais se pode escrever do seguinte modo: a i ω n i i i,, Sendo constantes desconhecidas e Ni funções de forma que verificam as condições de fronteira. a N 3 As constantes desconhecidas são otidas por forma a minimizar a energia potencial Π a i 0 8

9 Método de Ritz No caso da placa encastrada, considerando uma função de forma ω C a [ ] A energia potencial toma a forma Π a a { } C 6 a + 6 a a p C d 9

10 Método de Ritz Por minimização da Energia Potencial otém-se C a 4 + p 4a A solução aproimada da equação de Lagrange é ω 7 a p + 4a + a

11 Método de Ritz Solução TaeladaTimoshenko Solução de Ritz 0.07 pa4 / 0.00 p a4 / A solução de Ritz pode ser melhorada por consideração das funções de forma seguintes: N a N N a a 3

12 Método de Galerkin Considere-se a equação ou sistema de equações lineares com a forma L u f onde L é um operador linear; u é uma variável desconhecida ou conjunto de variáveis; f é um vector conhecido. Uma solução aproimada da equação pode ser escrita com a forma n u i E funções de forma que satisfazem as condições de Fronteira a i Φ i

13 Método de Galerkin As constantes são determinadas impondo a condição a i L u f Φ dv 0 V i No caso de se tratar da equação de Lagrange a p d d a ϖ Φ i Com 0 ϖ n i a Φ i i 3

14 Método de Kantorovich No Método de Kantorovich considera-se uma aproimação para a deformada do tipo φ y ωϕ φ y Sendo, por eemplo uma função conhecida de y que satisfaça as condições de fronteira segundo y No caso da placa encastrada sujeita a uma carga uniformemente distriuída pode considerar-se φ y y 4

15 Método de Kantorovich Retomando a formulação de Galerkin pode considerar-se a a p ddy 0 ω φ i Ou p ω φ i ydy 0 p y ω dy 0 5

16 Método de Kantorovich Sustituindo ω pela epressão O integral anterior toma a forma ω ϕ φ y ou p ϕ y y dy dy 4 d ϕ d ϕ p ϕ + y + y 4 y d d 6

17 Método de Kantorovich Integrando e Simplificando otém-se 4 4d ϕ d ϕ 63 p ϕ d d 6 Cuja solução se otém pelo método da equação característica procurando uma solução do tipo e λ sendo λ a solução da equação 6 λ λ 7

18 Método de Kantorovich A solução da equação anterior é A solução Geral da equação λ ±.975 ±.43i 63 p 4 4d d ϕ d d 6 É a soma da solução complementar com a solução particular da equação ϕ ϕ 8

19 Método de Kantorovich A solução complementar é λ λ λ3 λ4 ϕ c Ce Ce Ce Ce A solução particular é p p ϕ 4 9