Aula 4. Leandro Farina Janeiro de 2007 / Petrópolis

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Maria de Lourdes Arruda Igrejas
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1 Aula 4 Leandro Farina (farina@mat.ufrgs.br) Janeiro de 2007 / Petrópolis

2 Linhas Gerais 1 2

3 Linhas Gerais 1 2

4 O Minicurso Capítulos. 1 em Água Hipóteses da água Equações, condições de contorno,... Primeiras soluções: lineares, senoidais, energia, classificação em relação à profundidade, velocidade de grupo Equação de Declividade Suave (Mild-Slope equation)

5 O Minicurso Capítulos. 1 em Água Hipóteses da água Equações, condições de contorno,... Primeiras soluções: lineares, senoidais, energia, classificação em relação à profundidade, velocidade de grupo Equação de Declividade Suave (Mild-Slope equation) 2 Difração e Radiação Green: Indentidades, integrais Forças, massa adicional Integrais hipersingulares <-> corpos finos Offshore, Petróleo

6 O Minicurso 3 Movimentos Transientes e Não-Linearidade transientes Tsunamis Stokes, Schrödinger, Lagrange & Hamilton Conservação de energia Zakharov

7 O Minicurso 3 Movimentos Transientes e Não-Linearidade transientes Tsunamis Stokes, Schrödinger, Lagrange & Hamilton Conservação de energia Zakharov 4 Superposição infinita de ondas Estatísticas, espectro e a sétima onda Ventos Previsão de ondas

8 Linhas Gerais 1 2

9 Superposição de. NX η(x, t) = Re{a ne i(k n x ωnt) }, n=1

10 Superposição de. NX η(x, t) = Re{a ne i(k n x ωnt) }, n=1 Escrevendo k n = (k n cos θ n, k n sen θ n ), podemos escrever N η(x, y, t) = Re{a n e ikn(x cos θn+y sen θn)+iωnt }, n=1

11 Superposição de. NX η(x, t) = Re{a ne i(k n x ωnt) }, n=1 Escrevendo k n = (k n cos θ n, k n sen θ n ), podemos escrever N η(x, y, t) = Re{a n e ikn(x cos θn+y sen θn)+iωnt }, n=1 Ou ainda, η(x, t) = Re 2π 0 0 a(ω, θ) e ik(ω)(x cos θ+ysenθ)+iωt dω dθ

12 Superposição de. NX η(x, t) = Re{a ne i(k n x ωnt) }, n=1 Escrevendo k n = (k n cos θ n, k n sen θ n ), podemos escrever N η(x, y, t) = Re{a n e ikn(x cos θn+y sen θn)+iωnt }, n=1 Ou ainda, η(x, t) = Re 2π 0 0 a(ω, θ) e ik(ω)(x cos θ+ysenθ)+iωt dω dθ a(ω, θ) é o espectro de amplitude

13 Visualizando. Pierson et. al.

14 Descrição Estatística Função de Probabilidade Conjunta. Probabilidade de que as elevações η 1,η 2,...,η n estejam em D é dada por Pr[ (η 1,η 2,...,η n ) D ] = P(y 1, y 2,...,y n ) dy 1 dy 2...dy n. D

15 Descrição Estatística Função de Probabilidade Conjunta. Probabilidade de que as elevações η 1,η 2,...,η n estejam em D é dada por Pr[ (η 1,η 2,...,η n ) D ] = P(y 1, y 2,...,y n ) dy 1 dy 2...dy n. Definindo os momentos M j de P por D M j = y j P(y) dy,

16 Descrição Estatística Função de Probabilidade Conjunta. Probabilidade de que as elevações η 1,η 2,...,η n estejam em D é dada por Pr[ (η 1,η 2,...,η n ) D ] = P(y 1, y 2,...,y n ) dy 1 dy 2...dy n. Definindo os momentos M j de P por D M j = y j P(y) dy, o valor esperado, que pode ser visto como uma média ponderada, de η é dado por M 1 /M 0. Ou seja, já que M 0 = 1. η = yp(y) dy,

17 Descrição Estatística Variância. A covariância da elevação da superfície livre é cov[(x i, t j ),(x i, t j )] = y i y j P(y i, y j ) dy i dy j = η(x i, t i )η(x j, t j )

18 Descrição Estatística Variância. A covariância da elevação da superfície livre é cov[(x i, t j ),(x i, t j )] = y i y j P(y i, y j ) dy i dy j = η(x i, t i )η(x j, t j ) e a variância var[(x, t)] é dada por var[(x, t)] = cov[(x, t),(x, t)].

19 Descrição Estatística Variância. A covariância da elevação da superfície livre é cov[(x i, t j ),(x i, t j )] = y i y j P(y i, y j ) dy i dy j = η(x i, t i )η(x j, t j ) e a variância var[(x, t)] é dada por var[(x, t)] = cov[(x, t),(x, t)]. Portanto, temos a seguinte relação. var[(x, t)] = cov[(x, t),(x, t)] = y 2 P(y) dy = η 2 (x, t) = M 2.

20 Espectro de. Casos particulares são covariância da elevação instantânea da superfície livre cov[r] = cov[r, 0] = η(x 0, t 0 )η(x 0 + r, t 0 )

21 Espectro de. Casos particulares são covariância da elevação instantânea da superfície livre cov[r] = cov[r, 0] = η(x 0, t 0 )η(x 0 + r, t 0 ) e a covariância para um ponto fixo, em função do tempo, cov[t] = cov[0, t] = η(x 0, t 0 )η(x 0, t 0 + t).

22 Espectro de. Casos particulares são covariância da elevação instantânea da superfície livre cov[r] = cov[r, 0] = η(x 0, t 0 )η(x 0 + r, t 0 ) e a covariância para um ponto fixo, em função do tempo, cov[t] = cov[0, t] = η(x 0, t 0 )η(x 0, t 0 + t). O espectro de ondas é a transformada de Fourier da covariância F(k,σ) = 1 (2π) 3 cov[r, t]e i(k r σt) drdt, Ω

23 Espectro de. Casos particulares são covariância da elevação instantânea da superfície livre cov[r] = cov[r, 0] = η(x 0, t 0 )η(x 0 + r, t 0 ) e a covariância para um ponto fixo, em função do tempo, cov[t] = cov[0, t] = η(x 0, t 0 )η(x 0, t 0 + t). O espectro de ondas é a transformada de Fourier da covariância F(k,σ) = 1 (2π) 3 cov[r, t]e i(k r σt) drdt, Ω A transformada inversa nos fornece cov[r, t] = F(k,σ)e i(k r σt) dkdσ. (1)

24 Espectro de. Casos particulares são covariância da elevação instantânea da superfície livre cov[r] = cov[r, 0] = η(x 0, t 0 )η(x 0 + r, t 0 ) e a covariância para um ponto fixo, em função do tempo, cov[t] = cov[0, t] = η(x 0, t 0 )η(x 0, t 0 + t). O espectro de ondas é a transformada de Fourier da covariância F(k,σ) = 1 (2π) 3 cov[r, t]e i(k r σt) drdt, Ω A transformada inversa nos fornece cov[r, t] = F(k,σ)e i(k r σt) dkdσ. (1) Em particular, η 2 = F(k,σ) dkdσ.

25 Espectro como Densidade de Energia. Lembrando que Ē = ρgη2, temos Ē = ρg F(k,σ) dkdσ

26 Espectro como Densidade de Energia. Lembrando que Ē = ρgη2, temos Ē = ρg F(k,σ) dkdσ Espectro bidirecional onde η 2 = = 2π 0 0 2π 0 0 F(k,θ) kdk dθ F(ω, θ) dω dθ, F(ω, θ) = 2ω3 F(k,θ), (2) g2

27 Espectro como Densidade de Energia. Lembrando que Ē = ρgη2, temos Ē = ρg F(k,σ) dkdσ Espectro bidirecional onde η 2 = = 2π 0 0 2π O espectro da frequência é dado por 0 0 F(k,θ) kdk dθ F(ω, θ) dω dθ, F(ω, θ) = 2ω3 F(k,θ), (2) g2 ˆF(ω) = 2π 0 F(ω, θ) dθ.

28 Altura de Onda. Banda Estreita. Relação entre espectro de ondas e espectro de amplitude η 2 = 1 2π da(ω, θ) da (ω,θ ) = F(ω, θ) dωdθ

29 Altura de Onda. Banda Estreita. Relação entre espectro de ondas e espectro de amplitude η 2 = 1 2π da(ω, θ) da (ω,θ ) = F(ω, θ) dωdθ. 2 Para uma função densidade de probabilidade f, Pr[H 1 H H 2 ] = 0 H2 H 1 0 f(s) ds.

30 Altura de Onda. Banda Estreita. Relação entre espectro de ondas e espectro de amplitude η 2 = 1 2π da(ω, θ) da (ω,θ ) = F(ω, θ) dωdθ. 2 Para uma função densidade de probabilidade f, Pr[H 1 H H 2 ] = 0 H2 H 1 0 f(s) ds. Assumindo que a ocorrência da altura de ondas é uma processo de banda estreita, f(s) = 2s 2 R e s /R, 0 s <, onde R é um parâmetro que pode ser relacionado com o espectro de ondas por R = 8m 0. (3) Esta é distribuição de probabilidade de Rayleigh.

31 Altura Significativa de. H s : Média das alturas do terço das ondas mais altas.

32 Altura Significativa de. H s : Média das alturas do terço das ondas mais altas. Pr[H s 1/3 ] = s 1/3 2s 2 R e s /R ds = 1 3.

33 Altura Significativa de. H s : Média das alturas do terço das ondas mais altas. Integrando, obtemos Pr[H s 1/3 ] = s 1/3 s 1/3 = ln 3 R. 2s 2 R e s /R ds = 1 3.

34 Altura Significativa de. H s : Média das alturas do terço das ondas mais altas. Integrando, obtemos Pr[H s 1/3 ] = s 1/3 s 1/3 = ln 3 R. 2s 2 R e s /R ds = 1 3. Assim, a altura significativa de ondas é s 1/3 sf(s) ds H s = s 1/3 f(s) ds s 1/3 e s2 1/3 /R + [ ( )] 2 πr 1 Φ R s 1/3 = 1 3,

35 Altura Significativa de. H s : Média das alturas do terço das ondas mais altas. Integrando, obtemos Pr[H s 1/3 ] = s 1/3 s 1/3 = ln 3 R. 2s 2 R e s /R ds = 1 3. Assim, a altura significativa de ondas é s 1/3 sf(s) ds H s = s 1/3 f(s) ds s 1/3 e s2 1/3 /R + [ ( )] 2 πr 1 Φ R s 1/3 ou seja, = 1 3, H s = 4 m 0 = 4 F(ω, θ) dωdθ.

36 Clima de. (Altura significativa.) Dezembro, Janeiro, Fevereiro. Verão HS, Inverno HN.

37 Clima de. (Altura significativa.) Março, Abril, Maio. Outono HS, Primavera HN.

38 Clima de. (Altura significativa.) Junho, Julho, Agosto. Inverno HS, Verão HN.

39 Clima de. (Altura significativa.) Setembro, Outubro, Novembro. Primavera HS, Outono HN.

40 A Sétima Onda.

41 A Sétima Onda.

42 A Sétima Onda. Um Cálculo Interessante. Pr[H > H s ] = H s 2 s 8m 0 = e H = e 2 f(s) ds = e s 2 8m 0 H s =

43 Outros Parâmetros Estatísticos. A altura média de ondas é ( ) 2s H = s 2 R e s /R π ds = R = 2π m0. 2 0

44 Outros Parâmetros Estatísticos. A altura média de ondas é ( ) 2s H = s 2 R e s /R π ds = R = 2π m Portanto, a razão entre a altura significativa e a altura média é H s H = 4 2π = 8/π 1, 60

45 Outros Parâmetros Estatísticos. A altura média de ondas é ( ) 2s H = s 2 R e s /R π ds = R = 2π m Portanto, a razão entre a altura significativa e a altura média é H s H = 4 2π = 8/π 1, 60 A frequência e período médios são ω = m 1 /m 0 e T = 2π/ ω,

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