O teorema central do limite de distribuições probabilísticas

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1 O teorema central do limite de distribuições probabilísticas Há um teorema de central importância sobre o limite de distribuições probabilísticas: é o chamado teorema central do limite. Esse teorema é realmente curioso, pois estabelece que se variáveis reais aleatórias i, com i, 2,,, forem identicamente distribuídas na reta real, com densidade de probabilidade dada por p i, para cada i, 2,,, e se a densidade p for arbitrária, mas tal que todos os valores médios das potências de i sejam nitos, então a densidade de probabilidade para a variável soma, X i, i no limite em que for muito grande, será gaussiana! :shock: Isso mesmo: independentemente da distribuição p! :shock: Como eemplo análogo do caso discreto, pensemos em uma série de lançamentos de um dado. Cada lançamento pode resultar em uma de seis possíveis faces, com a probabilidade de ocorrência igual a um seto. Assim, a ocorrência de cada um dos números de face de a 6 é igualmente provável em cada lançamento. Depois de lançamentos idênticos e independentes, podemos perguntar qual a média do número de face. Por eemplo, em três lançamentos, obtemos os números de face:, 2 5 e 3 4 e a média é dada por X Podemos repetir esses três lançamentos muitas e muitas vezes e estimar a distribuição de probabilidades de que um valor X ocorra para a média dos valores de face. Essa distribuição, para três lançamentos, não é gaussiana. Mas se zermos esse mesmo eperimento com o número de lançamentos cada vez maior, a distribuição de ocorrência de X será gaussiana, segundo o teorema central do limite. A seguir, segue uma prova do teorema. :cool: Seja P X a densidade de probabilidade de que a variável X, denida pela soma das variáveis aleatórias i, X i, i assuma um valor entre X e X + dx. Seja Q K a transformada de Fourier de P X : Q K dx P X ep ikx.

2 A eponencial pode ser escrita como uma série innita: ep ikx X n. n0 Logo, Q K n0 dx P X X n n0 X n, onde denotamos o valor esperado de X n por X n : X n dx P X X n. Para 2, por eemplo, temos a probabilidade p d de que a variável estocástica assuma um valor entre e + d. Analogamente, temos a probabilidade p 2 d 2 de que a variável estocástica 2 assuma um valor entre 2 e 2 + d 2. De todos os valores independentes que e 2 possam assumir, qual a probabilidade de que assumam valores tais que + 2 /2 tenha um valor entre X e X + dx? A resposta para essa questão é simples: escrevemos 2 2X e, para cada valor de X e a probabilidade é p p 2 d d 2. Como agora queremos que as variáveis independentes sejam X e, utilizamos a relação d d 2 X d dx 0 2 d dx 2d dx 2 2 X e a probabilidade procurada pode ser escrita como P X dx 2 p p 2X d dx, já que qualquer valor de poderá ocorrer e ainda assim termos o mesmo valor para X. Portanto, a densidade de probabilidade é dada por P X 2 que também pode ser epressa como P X 2 p p 2X d, p p 2 δ 2 2X d d 2, 2

3 onde δ é a chamada "função delta de Dirac". Se utilizarmos as propriedades: e δ ay a δ y δ y δ y, obteremos P X p p 2 δ X + 2 d d 2. 2 Para > 2, podemos facilmente generalizar a fórmula acima: P X p p 2 p δ X Usando esse resultado na epressão do valor esperado de X n encontramos i d d 2 d. X n dx P X X n dx X n p p δ d d p p X dx X n δ i d d X i, X n n d d p p i. Utilizando essa igualdade na equação Q K n0 dx P X X n fornece Q K n0 ˆ n + d d p p i n d d p p i. n0 3

4 Reconhecemos a série innita acima como uma eponencial: n ik i ep i. n0 Logo, Q K d d p p ep ik d p ep ik dp ep. ik d p ep i ik Como estamos supondo que é muito grande, podemos utilizar a epansão: ik ep + i K 2 2 K 2 + e, portanto, ik dp ep 2 K dp + i K 2 dp + i K dp 2 dp 2 +, 2 K 2 + ik dp ep + i K 2 2 K 2 +, onde dp, e 2 dp dp 2. 4

5 Com isso, a equação Q K ik dp ep pode ser escrita como Q K ep + i K 2 ln 2 K i K 2 Para muito grande, podemos epandir o logaritmo: ln + i K K K 2 + }. i K 2 i K 2 2 K K ln + i K 2 K 2 + i K 2 K i K 2 + onde reconhecemos a variância de, ou seja, i K 2 K i K 2 K var +, 2 var 2 2. Então, Q K ep i K 2 ep ik 2 2 K var + } K 2 var +. Essa é a trasformada de Fourier da densidade de probabilidade P X que procuramos. Podemos inverter a equação Q K dx P X ep ikx 5

6 e obter dk Q K ep ikx dk dy P Y dy P Y ep iky ep ikx dk ep ik Y X. Como dk ep ik Y X 2πδ Y X, concluímos que podemos obter P X a partir de Q K : Então, da equação segue que P X 2π 2π 2π P X 2π Q K ep dk Q K ep ikx. ik 2 K 2 var + dk ep ik X 2 dk ep ik X 2 K 2 var + K 2 var dk ep var K 2 + 2i K X 2 var e, completanto o quadrado no argumento da eponencial no integrando, vem: P X } 2 2π ep var i X 2 var ˆ + dk ep var K 2 + 2i K } 2 i X X +, 2 var var P X 2π ep 2 } X 2 ˆ + dk ep var 2 var } K + } 2 i X. var Como dk ep 2 var K + } 2 i X var 2π var, 6

7 escrevemos P X 2πvar ep } X 2. 2var O valor esperado de X é dado por X n n, já que as variáveis n são todas independentes e identicamente distribuídas. A variância de X é dada por var X X 2 X 2 var X 2 m m m n 2, m n 2. Mas, como as variáveis m são todas independentes e identicamente distribuídas, temos: m n δ mn 2 + δ mn 2, onde δ mn é a função de dois inteiros, m e n, chamada "delta de Kronecker". Assim, var X 2 2 var X ou seja, m m δ mn 2 + δ mn m m δ mn m δ mn 2 2, , m var X var. 7

8 Podemos, então, escrever a densidade de probabilidade para a variável X, quando é muito grande, como uma gaussiana: P X 2πvar X ep Acho isso fantástico! :grin: Você não acha? :cool: } X X 2. 2var X 8