MÉTODOS NUMÉRICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL

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1 FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Secção de Estruturas do DECivil MÉTODOS NUMÉRICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL 18 de Janeiro de ª Chamada PARTE TEÓRICA 1a) Diga como podem ser obtidas as funções de forma relativas a um elemento de treliça de n nós; b) Descreva a formulação isoparamétrica do elemento de 3 nós; c) Sabendo que uma barra bi-articulada se encontra sujeita à actuação de forças axiais distribuídas segundo uma lei polinomial de 2º grau, a que tipo de elemento finito recorreria para proceder à sua análise? Justifique. d) Refira sucintamente quais os principais requisitos para a convergência da solução numa análise pelo MEF. 2a)Quais as hipóteses subjacentes ao desenvolvimento de formulações de elementos finitos de viga assentes nas teorias de Euler-Bernoulli e de Timoshenko? b) Em que consiste a integração reduzida? Apresente um exemplo em que a sua utilização seja vantajosa 3a) Dê exemplos de casos práticos em que se revele de utilidade o recurso à análise através do MEF, recorrendo a elementos finitos de tensão plana, de deformação plana, axissimétricos e tridimensionais; b) Caracterize e diga em que se distinguem os elementos rectangulares Lagrangianos e de Serendipity para análise de problemas planos; c) Explique o papel desempenhado pela matriz Jacobiano no contexto das formulações isoparamétricas. d) Apresente de forma sistemática os passos fundamentais de desenvolvimento de um programa de cálculo automático para análise de estruturas através do MEF.

2 Métodos Numéricos de Análise Estrutural 5º ano - 1º Semestre 1999/01/18 Parte prática Sem consulta SECÇÃO DE ESTRUTURAS Duração: 2h Considere a laje circular com 20.0 m de diâmetro que se encontra representada na Figura 1a. A laje está sujeita à acção do peso próprio e da sobrecarga indicada que se encontra distribuída numa área circular centrada, com 6.0 m de diâmetro. As condições de apoio consistem num encastramento em todo o contorno exterior. A análise do comportamento da laje vai ser efectuada recorrendo a elementos finitos isoparamétricos de 4 nós. a) Supondo que este problema vai ser estudado com elementos de laje, esboce uma malha de elementos finitos que tire partido de simplificações de simetria e indique quais os graus de liberdade que são impedidos de se deslocar. Supondo agora o estudo da laje como um problema axissimétrico, faça uma b) breve descrição dos graus de liberdade e condições fronteira que têm de ser considerados. Utilize nesta alínea a malha de elementos finitos que se encontra na Figura 1b e complete-a sem alterar os elementos finitos que já se encontram definidos. 3.0 m 2.0 m Completar a malha na folha anexa 10.0 m Figura 1a Figura 1b

3 2 - Considere o elemento finito unidimensional representado na Figura 2. Calcule o elemento k 13 da respectiva matriz de rigidez, recorrendo a uma transformação da variável e à quadratura de Gauss. Compare e comente a solução obtida com 2 e com 3 pontos de Gauss m 8.0 m x E = MPa Área = 0.2 m 2 (x = 0) (x = 6) (x = 14) Figura Na Figura 3 encontra-se representado um elemento finito de 4 nós que foi utilizado na análise de um estado plano de tensão. Suponha que da resolução do sistema de equações resultaram os seguintes deslocamentos (metros): Nó 1: (0.00, 0.04) Nó 2: (0.02, 0.09) Nó 3: (0.00, -0.03) Nó 4: (0.01, 0.05) Calcule a componente σ 1 da tensão no ponto P = ( x 1, x 2 ) = (1.4, 3.2). x 2 2.0m 2.0m 4 3 P x 1 E = MPa ν = Figura 3

4 4 - Considere o elemento de viga representado na Figura 4. Utilizando a formulação de Euler-Bernoulli e efectuando uma integração com 2 pontos de Gauss, calcule o elemento k 14 da respectiva matriz de rigidez. Aço (E = MPa) a 1 a 2 a 3 a m m 0.20 m 10.0 m 0.20 m Figura 4 Formulário: 2 Pontos de Gauss: W 1 =W 2 =1; P 1 = 1 3 ; P 2 =1 3 3 Pontos de Gauss: W 1 =W 3 =5/9; W 2 =8/9; P 1 = 3 5 ; P 2 =0; P 3 = 3 5 Estado plano de tensão: D = ~ E Eν 1 ν 1 ν Eν E 1 ν 1 ν E 2( 1+ ν) Viga (Euler-Bernoulli): B = 6 L s 1 L + 3 L s 6 L s 1 L + 3 L s ~ 2 2 T K = B E I B dx ~ ~ ~ L

5 Nome: