Universidade Politécnica

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1 Universidade Politécnica A POLITÉCNICA ESCOLA SUPERIOR DE GESTÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA Curso Semestre / Ano Ano Lectivo Tempo Disponível Variante Laboral ou Pós - Laboral Data Licenciatura em Engenharia Civil 8 / N/A Única Betão Pré-esforçado Ficha de exercícios Propostos Laboral e Pós-laboral Dia: 24/07/2009 Hora:19H00 Mês: Agosto SUGESTÃO: 1. Baseando-se no regulamento e na lógica, adopte os parâmetros em falta. 2. Justifique cuidadosamente todas as respostas e apresente os devidos cálculos. 3. Caso seja necessário, para um melhor esclarecimento apresente esquemas ilustrativos 4. Leia com atenção o seguinte enunciado e responda clara, sucinta e coerentemente a cada uma das alíneas/questões: 1. Considerar uma viga simplesmente apoiada com um vão de 10.0m, um 7.0m m 1.5m 0.5m pré-esforço aplicado de 3000kN e cargas externas q=30kn/m. Coeficientes de majoração: γ g =1.5 γ q =1.5; ψ 1 =0.6; ψ 2 =0.4 Determine o diagrama de tensões para a combinação de acções quase permanentes nas seguintes condições: a) A carga de pré-esforço aplicada a 0.20m, conforme representado na figura cima. b) A carga aplicada no centro de gravidade do elemento. 2. Considere a viga pré-esforçada simplesmente apoiada com 15.0 metros de vão pertencente a uma ponte rodoviária sobre um rio navegável. A secção transversal da ponte tem o formato de um T (conforme representada na figura abaixo) para conferir adequada resistência à compressão e largura suficiente para a instalação dos cabos de pré-esforço. APOLITÉCNICA, Ficha de Exercícios Propostos Betão Armado I 1

2 O pré-esforço é realizado em pós-tensão aos 28 dias, a partir de uma das extremidades. Acções e dados a considerar: g 1 = peso próprio da estrutura g 2 = 32 kn/m (mobilizada após a aplicação do pré-esforço) q = 20 kn/m (ψ 0 =0.6, ψ 1 =0.4, ψ 2 =0.2) Material: B40/A400; Armadura de Pré-esforço: f puk =1800MPa; f po,1k =1600Mpa =4mm; k=0.005 rad/m; µ=0.20; I x =0.0315m 4 Ambiente moderadamente agressivo Adopte, perdas iniciais de 10% e perdas diferidas de 14%. a) Considerando uma excentricidade de 0.4m, calcule o valor do préesforço P o e a área das armaduras de pré-esforço a dispor. b) Estabeleça a equação do cabo. c) Determine as armaduras ordinárias de flexão (pelo método de tabelas) e do esforço transverso. d) Desenhe, num pormenor elucidativo todas as armaduras calculadas. 3. A viga representada na figura é de betão armado pré-esforçado (P=3.33MN), e está sujeita a cargas permanente e sobrecarga uniformes ao longo do seu vão no qual se pretende que determine o diagrama de tensões resultante e tire conclusões. Considere: A c =1.25m 2,I=0.153m 4, W a =0.38m 3, W i =0.18m 3, e=0.67m Acção permanente: M g =1.8MNm Acção variável: M q =3.2MNm (ψ 1 =0.5; ψ 2 =0.3) Ambiente moderadamente agressivo; 0.5 combinações de acções quase permanentes. 4. Considere a viga pré-esforçada representada na figura. APOLITÉCNICA, Ficha de Exercícios Propostos Betão Armado I 2

3 Acções: g=17knm q=12knm (ψ 1 = 0.5; ψ 2 = 0.3) a) Determine, para uma força de pré-esforço de 1000 kn o diagrama de tensões nas secção críticas (apoios e meio vão) para a combinação de acções quase permanentes. 5. Considere a viga pré-esforçada representada na figura. Secção transversal da viga Características geométricas: A=0.55m 2 ; I=0.053m 4 Acções: g=15kn/m Q=160kN (ψ 1 = 0.6; ψ 2 = 0.4) Combinação de acções quase permanentes. Determine, para uma força de pré-esforço de 1800 kn o diagrama de tensões a meio vão nas seguintes condições: a) Admitindo o cabo de pré-esforço localizado a uma excentricidade, e=0.35m. b) Admitindo o cabo de pré-esforço localizado no centro geométrico da peça. c) Dimensione o valor da força de pré-esforço necessária para verificar a descompressão na secção do meio vão para a combinação quase permanente de acções. APOLITÉCNICA, Ficha de Exercícios Propostos Betão Armado I 3

4 6. Considere a viga pré-esforçada representada na figura. Acções: g 1 =17kNm (acção mobilizada na aplicação do pré-esforço), g=35knm (acção permanente total) q=12knm (ψ 1 =0.5; ψ 2 =0.3); Materiais: B30/Aço A400NR; Aço de alta resistência A1670/1860; ambiente moderadamente agressivo a) Dimensione o valor da força de pré-esforço (P o e P ) necessária para verificar os Estados limites de utilização na secção do meio vão e nos apoios. Admita perdas iniciais de 7,5% e diferidas de 10%. 7. Considere a viga pré-esforçada de secção transversal representada na figura, simplesmente apoiada e vão de 20.00m Acções: g=62knm (acção permanente total) q=52knm (ψ o =0.6;ψ 1 =0.4; ψ 2 =0.2); Materiais: Betão B45 Aço: A400NR; Aço de alta resistência A1860/1650; ambiente moderadamente agressivo b) Dimensione o valor da força de pré-esforço (P o e P ) necessária para verificar os Estados limites de utilização. Admita perdas iniciais de 10% e diferidas de 12.5%. c) Determinar a equação do cabo equivalente. d) Calcular a armadura de pré-esforço. APOLITÉCNICA, Ficha de Exercícios Propostos Betão Armado I 4

5 8. A figura representa uma viga simplesmente apoiada de secção transversal rectangular (A c =0.4x1.2m 2 ), solicitada pelas seguintes acções: Carga permanente mobilizada na fase de esticamento e inclui o peso próprio: g k =30kN/m Cargas permanentes adicionais (actuantes em simultâneo): G k =140 kn Cargas variáveis (actuantes em simultâneo): Q k =170kN (ψ 0 =0.6, ψ 1 =0.5, ψ 2 =0.2) O pré-esforço é realizado em pós-tensão aos 28 dias, a partir de uma das extremidades. Dados a considerar: G Q G Q Betão B30 e Aço A500 Armadura de Pré-esforço: f puk =1860MPa, f po,1k =1650MPa Perdas iniciais de 7.5% e diferidas de 6.0m 6.0m 6.0m 10% Ambiente moderadamente agressivo Recobrimento: c = 3.0 cm transv =10mm, long =25mm a) Qual o traçado mais adequado para o cabo? b) Admitindo e=0.45m, dimensione o valor de pré-esforço (P o e P ) necessários para a verificar a descompressão e compressão máxima no betão. c) Determine a equação exacta do cabo de pré-esforço. d) Calcule a área das armaduras de pré-esforço necessária e escolha o cabo a utilizar na viga. 9. A estrutura representada na figura constitui um dos elementos de suporte de uma pala de um estádio de futebol. A viga é de betão armado pré-esforçado e está sujeita a uma carga permanente uniforme g e a uma sobrecarga concentrada Q localizada na extremidade da consola. APOLITÉCNICA, Ficha de Exercícios Propostos Betão Armado I 5

6 Considere: B30/ A500NR f PUK =1860 MPa; f P0.1K =1860 MPa g=40kn/m (incluindo peso próprio); Q = 400kN (ψ 0 = 0.7; ψ 1 = 0.5; ψ 2 = 0.2) Ambiente muito agressivo a) Dimensione o valor de pré-esforço (P o e P ) necessários para a verificar os Estados limites de utilização. Admita perdas iniciais de 12.5% e diferidas de 10%. b) Determine o traçado bem como a equação exacta do cabo. Faça uma representação gráfica. c) Calcule as armaduras de pré-esforço a dispor na estrutura. d) Verifique a segurança em relação ao estado limite Último de resistência à flexão e pormenorize a estrutura. Adopte armadura transversal composta por estribos de 2R 8//15cm. 10. A figura representa a estrutura da cobertura do cais de uma estação ferroviária. A viga pré-esforçada ABC apoia-se num pilar, estando ligada na extremidade A ao tirante AD e prolongado-se na consola BC com 8.5m de vão. Está sujeita a uma acção permanente g k =20kN/m (inclui o peso próprio) e à acção do vento w k =8kN/m (ψ 0 =0.4, ψ 1 =0.2, ψ 2 =0). O cabo de pré-esforço, de traçado rectilíneo paralelo à face superior da viga, é esticado na extremidade A aos 14 dias de idade do betão. Na secção B admite-se um valor de 15% para as perdas imediatas e de 10% para as perdas diferidas. Dados a considerar: B35/A400, Armadura de pré- esforço: f puk =1860 MPa, f p0.1k =1670 MPa, cordões 0.6, A p/cordão =1.5cm 2 ) APOLITÉCNICA, Ficha de Exercícios Propostos Betão Armado I 6

7 a) Determine o valor do pré-esforço a tempo final P por forma a cumprir-se o estado limite de descompressão na secção B para a combinação frequente de acções. b) Verifique se no instante de aplicação do pré-esforço é ultrapassada na secção B a resistência média do betão à tracção f ctm,14=2.5mpa, considerando que nesta fase só é mobilizada uma carga uniformemente distribuída g 1 = 6kN/m (inclui peso próprio). c) Verifique a segurança em relação ao estado limite último de resistência à flexão na secção B, dimensionando se necessário armadura ordinária. d) Discuta se o tirante AD deve ser realizado com um varão de aço corrente (armadura passiva) ou com um varão de pré-esforço (armadura activa), justificando qualitativamente as vantagens e inconvenientes de cada uma das soluções. 11. A viga pré-esforçada representada na figura está solicitada pelas seguintes acções: carga permanente mobilizada na fase de esticamento (já inclui o peso próprio): g k =30 kn/m carga permanente adicional (concentrada) G k =140kN sobrecarga (concentrada) Q k =170kN (ψ 1 =0.5, ψ 2 =0.2) O pré-esforço é realizado em pós-tensão com um cabo que apresenta um traçado linear nas zonas de extremidade da viga e parabólico na zona central (ver figura). O cabo é esticado aos 28 dias, a partir da extremidade A. APOLITÉCNICA, Ficha de Exercícios Propostos Betão Armado I 7

8 Dados: B40, A400; ε cs = ; φ (,28) =1.8 Pré-esforço: f puk =1860MPa; f p0.1k =1620MPa; μ=0.15; k=0.010rad/m; Δs=2.5mm perdas por relaxação = 6%; A p,1 cordão = 140mm 2 a) Quantifique o número de cordões a utilizar, sabendo que Ap,1 cordão = 140mm 2. b) Adoptando o valor de P 0 da alínea a) quantifique as perdas imediatas de tensão no cabo de pré-esforço nas secções A, B, C, D e E. c) Determine as perdas diferidas de tensão no cabo de pré-esforço na secção de meio vão da viga. 12. A ponte representada na Figura 1 tem três vãos em betão armado pré-esforçado, sendo o vão central simplesmente apoiado em consolas. As estruturas dos vãos laterais são constituídas por uma viga apoiada num pilar articulado na base e num apoio móvel situado no encontro da ponte, como representado na Figura 2. O tabuleiro da ponte é constituído por vigas como se mostra na Figura 3, com dois cabos de pré-esforço de 7 cordões cada e o traçado longitudinal indicado na Figura 2. APOLITÉCNICA, Ficha de Exercícios Propostos Betão Armado I 8

9 Considere: Materiais: B30, A500NR cordões de 0.6 ; A P =140mm 2 /cordão; f Pk =1860MPa; E P =190GPa: P m =2230kN g=20kn/m e G=150kN (inc. p.p.) γ G =1.35; q=20kn/m e Q=150kN γ Q =1.50 ψ 1 =0.5 ψ 2 =0.4 a) Dimensione a armadura ordinária necessária para garantir a segurança ao estado limite de resistência à flexão na secção B. b) Dimensione as armaduras transversais e verifique a segurança ao esforço transverso. 13. A viga representada na figura é de betão armado pré-esforçado, e está sujeita a uma carga permanente uniforme g e a uma sobrecarga constituída por duas cargas concentradas Q localizadas a terços do vão. Considere: B30; A c =1.20m 2 I x =0.210m 4 A500NR f =1860 MPa Ø pt bainha = 107mm A p = 140mm2 /cordão g=30kn/m (incluindo peso próprio) γ g =1.35 Q=600kN, γ q =1.50 ψ 1 =0.6 ψ 2 =0.3 a) Considere que o pré-esforço é constituído por dois cabos de 19 cordões cada. Determine o valor do pré-esforço, na secção do meio vão, após as perdas instantâneas. b) Verifique a segurança em relação ao estado limite de resistência à flexão na secção de meio vão. APOLITÉCNICA, Ficha de Exercícios Propostos Betão Armado I 9

10 14. Para vencer um vão de 45.0m foi concebida uma viga em caixão de betão armado pré-esforçado com secção transversal, tal como representado na figura. A viga está sujeita a uma carga permanente uniforme g e a uma sobrecarga uniforme q, sendo o pré-esforço constituído por quatro cabos de 19 cordões de 0.6 cada, cujos traçados se indicam na figura. Considere: B30 A c = 4.55m 2 I = x 3.726m4 A500NR f =1860 MPa Ø pk bainha = 107mm A p = 150mm2 /cordão P =160kN/cordão g = 130kN/m (incluindo peso próprio) γ = 1.35 g q = 50kN/m γ = 1.50 ψ q 1 = 0.6 ψ 2= 0.3 a) Verifique a segurança da viga em relação ao estado limite de resistência ao esforço transverso junto a um apoio. b) Determine a armadura longitudinal a meio vão necessária para verificar a segurança em relação ao estado limite de resistência à flexão (utilize um método exacto ). c) Pormenorize a secção de meio vão, efectuando todas as verificações necessárias à completa definição das armaduras ordinárias. 15. A figura representa uma viga em consola pré-esforçada (póstensão) através de um cabo linear. Para além do peso próprio da viga em B actua o seguinte par de forças: (i) permanente G k = 50 kn; (ii) variável Q k = 100 kn (Ψ 1 =0.6, Ψ 2 =0.2). APOLITÉCNICA, Ficha de Exercícios Propostos Betão Armado I 10

11 Materiais: B30; Aço de pré-esforço: f puk =1860MPa, f p0.1k =1670MPa, cordões de 0.5 (0.99cm 2 /cordão); A500. a) Determine o valor de P por forma a que na combinação frequente de acções não seja ultrapassado o estado limite de descompressão na secção A. b) Determine as tensões que a tempo infinito se desenvolverão no betão para a combinação quase permanente de acções. c) Dimensione o cabo de pré-esforço recorrendo a cordões de 0.5, supondo que o esticamento é efectuado em B e que entre B e A ocorrem 10% de perdas imediatas e 12% de perdas diferidas. d) Verifique a segurança relativamente ao estado limite último de flexão em A, dimensionando se necessário armadura longitudinal ordinária de aço A500. APOLITÉCNICA, Ficha de Exercícios Propostos Betão Armado I 11