ESTRUTURAS DE BETÃO II

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1 ESTRUTURAS DE BETÃO II FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS Coordenação: António Costa Ano Lectivo 2013/2014

2 Introdução Estas folhas de apoio às aulas têm como objectivo facilitar o seu acompanhamento e correspondem, em geral, à sequência e organização da exposição incluindo, ainda, a resolução de problemas. São apontamentos de síntese que não dispensam a consulta de restantes apontamentos da disciplina e da bibliografia proposta, onde deve ser realçado o recente livro sobre Estruturas de Betão da autoria do Prof. Júlio Appleton. Estes apontamentos resultaram da experiência de ensino e de textos anteriores da disciplina para os quais contribuíram os docentes que têm vindo a leccionar o Betão Estrutural, sob a orientação do Prof. Júlio Appleton, que foi, nesta escola, nos últimos 30 anos e até ao ano lectivo 2010/2011, o responsável por esta área da engenharia de estruturas. Durante o ano lectivo 2003/2004 o Prof. Júlio Appleton com a Engª Carla Marchão, organizaram a 1ª versão destas folhas de apoio às aulas. A estas foram sendo introduzidas várias contribuições, mais directamente, dos Profs. José Camara, António Costa, João Almeida, e Sérgio Cruz. Deve-se realçar que o essencial do ensino do betão estrutural é a transmissão do conhecimento sobre as características do comportamento estrutural e fundamentação dos modelos de cálculo, aspectos que se repercutem depois, naturalmente, nas prescrições normativas, com algumas variações. Ao longo destes últimos anos têm sido referidas na disciplina, em geral, as normas europeias (Eurocódigos), já aprovadas na versão definitiva (EN) tendo algumas sido já implementadas como normas portuguesas. Refira-se que, no entanto, não houve ainda uma implementação formal a nível legislativo, sendo possível utilizar, no âmbito profissional, em alternativa, a regulamentação nacional (REBAP Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) ou a regulamentação europeia (Eurocódigo 2 Projecto de Estruturas de Betão). IST, Fevereiro de 2014

3 ÍNDICE 1. ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS INTRODUÇÃO... 1 VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO Pré-esforço por pré-tensão Pré-esforço por pós-tensão COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO Armaduras de pré-esforço Ancoragens de pré-esforço Bainhas de pré-esforço Sistemas de Injecção EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO Razão da utilização de aços de alta resistência para aplicação do pré-esforço Comparação entre o comportamento em serviço e capacidade resistente de estruturas de betão armado e de betão pré-esforçado PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO Pré-dimensionamento da secção Traçado do cabo Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço Pré-dimensionamento da força de pré-esforço útil VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO. DEFINIÇÃO DOS CABOS Força máxima de tensionamento Perdas de pré-esforço Definição dos cabos CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS Equação da parábola Determinação do ponto de inflexão entre dois troços parabólicos Determinação do ponto de concordância troço parabólico troço recto CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO Acções exercidas sobre o cabo (situação em que se aplica a tensão nos cabos simultaneamente nas duas extremidades) Acções exercidas sobre o betão Determinação das cargas equivalentes VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS Estado limite último de flexão Estado limite último de esforço transverso PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO... 41

4 Perdas por Atrito Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos) Perdas por deformação instantânea do betão Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço Perdas por retracção do betão Perdas por fluência do betão Perdas por relaxação da armadura VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS Verificação da segurança ao esmagamento do betão Determinação das Armaduras de Reforço na Zona das Ancoragens PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS COM SECÇÃO VARIÁVEL Consideração do efeito do pré-esforço EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS INTRODUÇÃO AO DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO CLASSIFICAÇÃO DE LAJES Tipo de Apoio Constituição Modo de flexão dominante Modo de fabrico PRÉ-DIMENSIONAMENTO VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA Estados Limites Últimos Estados Limites de Utilização Deformação DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS Recobrimento das armaduras Distâncias entre armaduras Quantidades mínima e máxima de armadura Posicionamento das armaduras MEDIÇÕES E ORÇAMENTOS LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA DIRECÇÃO Definição Pré-dimensionamento Pormenorização de armaduras LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES Métodos de Análise e Dimensionamento Método das bandas PRÉ-DIMENSIONAMENTO PORMENORIZAÇÃO DE ARMADURAS Disposição de armaduras

5 Exemplos da disposição das armaduras principais e de distribuição DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS EM LAJES ARMADURAS DE CANTO SISTEMAS DE PAINÉIS CONTÍNUOS DE LAJES COMPATIBILIZAÇÃO DE ESFORÇOS NOS APOIOS DE CONTINUIDADE ALTERNÂNCIA DE SOBRECARGAS COMPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DOS MODELOS ELÁSTICO E PLÁSTICO ABERTURAS EM LAJES DISCUSSÃO DO MODELO DE CÁLCULO DE LAJES COM GEOMETRIAS DIVERSAS PORMENORIZAÇÃO COM MALHAS ELECTROSSOLDADAS Representação gráfica das malhas Exemplo de aplicação de malhas electrossoldadas LAJES FUNGIFORMES Vantagens da utilização de lajes fungiformes Problemas resultantes da utilização de lajes fungiformes Tipos de lajes fungiformes Principais características do comportamento para acções verticais Análise qualitativa do cálculo de esforços numa laje fungiforme Concepção e pré-dimensionamento de lajes fungiformes Modelos de análise de lajes fungiformes Método dos Pórticos Equivalentes (EC2 - Anexo I) Modelo de grelha Modelos de elementos finitos de laje ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO Mecanismos de rotura de punçoamento Mecanismos de resistência ao punçoamento Verificação da segurança ao punçoamento Cálculo do esforço de corte solicitante Perímetro básico de controlo Resistência ao punçoamento de lajes sem armadura específica de punçoamento Verificação ao punçoamento em lajes com capiteis Armaduras de punçoamento Valor de cálculo do máximo esforço de corte Punçoamento excêntrico DIMENSIONAMENTO DE ZONAS DE DESCONTINUIDADE TIPOS DE FUNDAÇÕES Fundações directas (sapatas) Sapatas ligadas por um lintel de fundação Dimensionamento de maciços de encabeçamento de estacas

6 1. ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS 1.1. INTRODUÇÃO O pré-esforço é uma tecnologia que permite introduzir numa estrutura um estado de tensão e deformação por meio de cabos de aço de alta resistência que possibilita o controlo do seu comportamento no que se refere à fendilhação e à deformação. Como é sabido o menor desempenho das estruturas de betão no que se refere ao comportamento em serviço resulta, em grande parte, da fraca resistência do betão à tracção. Portanto se, em serviço, as tensões de tracção no betão forem controladas a nível reduzido o desempenho das estruturas melhorará substancialmente. Os efeitos do pré-esforço podem ser entendidos recorrendo aos exemplos a seguir apresentados que traduzem o comportamento de vigas submetidas à acção de cargas no vão. A actuação das cargas gera na viga um estado de tensão indicado na figura. Na zona inferior as tensões de tracção originam a fendilhação do betão e a consequente perda de rigidez da viga e aumento das flechas. compressão tracção Este comportamento pode ser melhorado se for introduzida uma força de compressão que vai originar uma redução das tensões de tracção e consequentemente uma menor fendilhação e perda de rigidez da viga. Essa força de compressão pode ser conseguida por meio de um cabo de aço tensionado que transmite a força de tensionamento ao betão nas extremidades da viga. A figura seguinte ilustra o efeito da força de compressão introduzida no betão por cabo de pré-esforço colocado segundo o eixo da viga. O estado de tensão associado a esta força de compressão é, portanto, uniforme. 1

7 P P P compressão tracção efeito do pré-esforço O cabo de aço pode ter diferentes posicionamentos na secção da viga e diferente geometria os quais têm consequências ao nível do comportamento da viga conforme ilustrado na figura seguinte onde se representam as tensões na secção de meio vão devidas ao pré-esforço P e à carga actuante q. esforço axial centrado esforço axial com excentricidade esforço axial e transversal No primeiro caso, em que o cabo está centrado na secção, o pré-esforço necessário para anular a tensão de tracção provocada pela carga q é elevado, conduzindo a um estado de tensão resultante com elevadas tensões de compressão na fibra superior. No segundo caso, com um cabo recto localizado junto à face inferior da viga, o estado de tensão introduzido pelo pré-esforço é mais eficiente para contrariar as tensões provocadas pela carga q e as tensões resultantes são mais baixas. Neste caso importa salientar que o pré-esforço introduz um estado de deformação contrário ao da carga q pelo que se consegue controlar melhor a deformação da viga. 2

8 No terceiro caso a forma do cabo faz com que para além do esforço axial do pré-esforço seja introduzida na viga uma carga distribuída com sentido contrário ao da carga exterior q. Com este traçado, para além dos efeitos referidos no caso anterior, existe também o efeito de contrariar o esforço transverso provocado pela carga q. Refira-se que esta carga distribuída no vão (carga equivalente ao pré-esforço no vão) gera efeitos, iguais mas de sinal contrário, ao de um carregamento uniforme. Por exemplo, se esta carga equivalente for igual às aplicadas a deformação da viga é nula. A definição do valor do pré-esforço a introduzir na estrutura depende do objectivo que se pretende atingir: controlo da fendilhação, controlo da deformação ou ambos. Em geral, pretende-se que em serviço o nível das tensões de tracção na secção seja nulo ou muito reduzido. Este nível de tensões é também condicionado por questões de durabilidade pois os aços de alta resistência, por estarem fortemente tensionados, são muito sensíveis à corrosão pelo que se deve evitar a formação de fendas ou, caso estas venham a ocorrer, a sua abertura deve ser muito reduzida. Importa ainda referir que a utilização e a exploração total dos aços de alta resistência na capacidade resistente dos elementos estruturais só é viável se for introduzida uma extensão inicial na armadura. Caso contrário não só a tensão resistente da armadura dificilmente seria atingida por destruição prematura da aderência, como o comportamento em serviço não seria aceitável devido à elevada abertura de fendas induzida pelas muito altas extensões na armadura. VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO Vencer vãos maiores Maiores esbeltezas para vãos equivalentes Diminuição do peso próprio Melhoria do comportamento em serviço Utilização racional dos betões e aços de alta resistência 1.2. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO Pré-esforço por pré-tensão As armaduras são tensionadas antes da colocação do betão; A transferência de força é realizada por aderência; É realizado em fábrica (tensão aplicada contra cofragens ou contra maciços de amarração). 3

9 Neste sistema de pré-esforço os cabos são rectos Pré-esforço por pós-tensão As armaduras são tensionadas depois do betão ter adquirido a resistência necessária; A transferência de força é realizada quer nas extremidades, através de dispositivos mecânicos de fixação das armaduras (ancoragens), quer ao longo das armaduras. Nos sistemas de pós-tensão o cabo de pré-esforço pode ter uma geometria curva a qual é mais adequada para vigas contínuas. Nos sistemas de pós-tensão aderentes as bainhas dos cabos são injectadas com calda de cimento. 4

10 Calda de cimento Bainha Fios ou cordões Secção A-A Cabo de pré - esforço 1.3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO Armaduras de pré-esforço As armaduras de pré-esforço são constituídas por aço de alta resistência, e podem ter as seguintes formas: fios Diâmetros usuais: 3 mm, 4 mm, 5 mm e 6 mm cordões (compostos por 7 fios) Designação Secção Diâmetro nominal [mm] [cm 2 ] N S varões Diâmetros usuais: 25 mm a 36 mm (podem ser lisos ou roscados) Os cordões são compostos por fios, sendo os mais correntes os cordões de 7 fios obtidos por 6 fios enrolados em torno de um fio central recto. Na figura seguinte apresentam-se diagramas tensão-deformação de fios, cordões e varões de pré-esforço e comparam-se com os diagramas de varões de aço corrente. Verifica-se que a resistência dos aços de pré-esforço é significativamente superior à dos aços correntes. Esta elevada resistência é conseguida à custa de um maior teor em carbono, de processos de tratamento térmico e, também, no caso dos fios, por um processo de trefilagem. 5

11 A composição do aço e o processo de fabrico dos fios de pré-esforço penalizam a sua capacidade de deformação constatando-se que a sua ductilidade é significativamente inferior à dos varões de aço laminados a quente. 7 7 varão de pré-esforço 32 mm Uma vez que os aços de resistência mais elevada não apresentam patamar de cedência, a tensão de cedência é caracterizada pelo valor característico da tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,1%, f p0,1k. 6

12 No quadro seguinte apresentam-se algumas características de aços de alta resistência correntemente utilizados em armaduras de pré-esforço: f p0,1k [Mpa] f pk [Mpa] E p [Gpa] fios e cordões varões O diagrama idealizado e de cálculo para os aços de pré-esforço é o definido na figura seguinte. Os aços de pré-esforço devem garantir um valor mínimo da extensão à força máxima uk de 3,5%. A norma pren define as propriedades e requisitos dos aços de pré-esforço. A designação dos aços de pré-esforço segundo esta norma é a seguinte: Y f pk Exemplo: Y 1860 aço de pré-esforço com valor nominal da tensão de rotura à tracção igual a 1860 MPa Em Portugal os requisitos relativos às características das armaduras de pré-esforço são definidos nas Especificações LNEC: E452 (fios); E453 (cordões); E459 (varões). Cabo de pré-esforço: conjunto de cordões (agrupados no interior de uma bainha) Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas de pré-esforço (número de cordões que preenchem na totalidade uma ancoragem). 7

13 Ancoragens de pré-esforço Activas Permitem o tensionamento Passivas Ficam embebidas no betão De continuidade (acoplamentos) Parte passiva, parte activa Bainhas de pré-esforço Metálicas Plásticas 8

14 Sistemas de Injecção Materiais rígidos (ex: calda de cimento) Materiais flexíveis (ex: graxas ou ceras) cera bainha plástica cordão 1.4. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO O pré-esforço é, por definição, uma deformação imposta. Deste modo, a sua aplicação em estruturas isostáticas não introduz esforços adicionais. Embora o pré-esforço não introduza esforços em estruturas isostáticas surgem tensões nas secções dos elementos: tensões no betão e nas armaduras e tensões no cabo de pré-esforço. Essas tensões são autoequilibradas e, portanto, têm resultante nula. O mesmo não se passa nas estruturas hiperestáticas, situação em que as deformações estão restringidas. Nestes casos surgem esforços associados ao pré-esforço resultantes das forças que se desenvolvem nos apoio e que restringem a livre deformação do elemento. Para ilustrar o efeito do pré-esforço considere-se a seguinte viga pré-esforçada: pp 9

15 Apresentam-se em seguida os diagramas de extensões na secção transversal indicada (secção de vão onde o cabo de pré-esforço tem excentricidade máxima), para as seguintes situações: A acção do pré-esforço isolado B acção das cargas mobilizadas na aplicação do pré-esforço (peso próprio) C situação após a aplicação do pré-esforço A B C Mpp = - e P0 - + P0 + + P0 diagramas de extensões Como se verifica, o estado de deformação induzido pelo pré-esforço é contrário ao estado de deformação provocado pelo peso próprio. Partindo de uma situação em que a viga está apoiada numa cofragem, a aplicação do pré-esforço irá originar uma deformação para cima da viga (diagrama A). Nessa altura é mobilizado o peso próprio da viga (diagrama B). O diagrama de deformação final C resulta da sobreposição dos diagramas A e B. O estado de tensão numa viga pré-esforçada é caracterizado pelos diagramas da figura seguinte em que P é o pré-esforço aplicado e M é o momento das cargas exteriores. P / A P x e (+) M (-) e P M (-) + (-) + (+) diagramas de tensões As tensões actuantes nas fibras inferior e superior são: inf = - P A - P e w inf + M w inf sup = - P A + P e w sup - M w sup 10

16 Razão da utilização de aços de alta resistência para aplicação do pré-esforço Considere o tirante de betão pré-esforçado, cuja secção transversal se apresenta. Materiais:C25/30 ( = 2.5) 0.50 A400NR 0.50 A1600/1800 Para os dois tipos de aço indicados e admitindo que se pretende aplicar uma força de pré-esforço P 0 = 3000 kn, calcule a área de aço necessária, bem como a força que ficará instalada a longo prazo, considerando o efeito da fluência do betão. 1. Determinação da área de aço necessária P 0 ' = 0.75 f pk A s A s = P 0 ' 0.75 f pk Armadura ordinária: A s = Armadura de alta resistência: A s = = 100 cm = 22.2 cm 2 2. Cálculo da perda de tensão nas armaduras, por efeito da fluência do betão (i) Cálculo do encurtamento instantâneo do betão devida à aplicação do pré-esforço c (t 0 ) = P A c = = kn/m2 = 12 MPa c (t 0 ) = c E c = = 0.39 (ii) Determinação do encurtamento devido à fluência c (t,t 0 ) = cc (t,t 0 ) = c (t 0 ) = = (iii) Perda de tensão nas armaduras s = c (t,t 0 ) E s = = 195 MPa 3. Cálculo da força de pré-esforço a longo prazo Armadura ordinária: P = s A s = = 1950 kn P =1050 kn Armadura de alta resistência:p = = kn P = 2567 kn 11

17 Comparação entre o comportamento em serviço e capacidade resistente de estruturas de betão armado e de betão pré-esforçado Considere o tirante de betão, cuja secção transversal está representada na figura, e os seguintes casos: Caso 1 tirante de betão armado (armadura ordinária) Caso 2 tirante de betão pré-esforçado (aço de alta resistência e P = 500 kn) Caso 3 tirante de betão pré-esforçado (aço de alta resistência e P = 1000 kn) Materiais:C25/ A400NR 0.40 A1600/1800 Para um esforço normal de dimensionamento N sd = 1395 kn, calcule a área de armadura necessária para verificar o estado limite último de tracção. Para cada solução calcule o esforço normal de fendilhação do tirante (N cr ). Caso 1 (i) Determinação da área de armadura necessária A s = N sd f yd = = 40 cm 2 (ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (N cr ) N cr = A h f ctm = (A c + A s ) f ctm = = kn Caso 2 (i) Determinação da área de armadura necessária A p = N sd f pyd = / = 10 cm 2 (ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (N cr ) N cr A h - P A c = f ctm N cr = A h f ctm + P A h A c N cr = = kn Caso 3 12

18 (i) Determinação da área de armadura necessária A p = N sd f pyd = / = 10 cm 2 (ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (N cr ). N cr = = kn Conclusão: A capacidade resistente do tirante é igual nos três casos. No que se refere à fendilhação, verifica-se um melhor comportamento dos tirantes pré-esforçados relativamente ao tirante de betão armado, e em particular no caso 3 em que a força de pré-esforço é maior. Os aços de pré-esforço por apresentarem elevada resistência permitem também uma pormenorização de armaduras mais compacta o que pode influenciar a geometria dos elementos como ilustrado na figura seguinte. Vigas em betão pré-esforçado e em betão armado com igual resistência à flexão Nas figuras seguintes compara-se o comportamento de uma viga de betão armado e de uma viga de betão pré-esforçado sujeita à flexão com a mesma capacidade última. 13

19 Diagrama momento-curvatura Diagrama carga deslocamento 14

20 Tensões no betão e nas armaduras 1.5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO Pré-dimensionamento da secção A altura de uma viga pré-esforçada pode ser estimada a partir da relação h L 15 a 20 Refira-se que esta estimativa é da ordem de 1.5 a 2 vezes superior ao corrente para uma viga de betão armado, devido ao melhor controlo das deformações e facilidade de pormenorização de armaduras, como atrás já referido Traçado do cabo A escolha do traçado dos cabos deve ser feita com base no diagrama de esforços das cargas permanentes. Em geral o cabo de pré-esforço deve estar situado na zona traccionada das secções ao longo da viga Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço 1.5 Øbainha 1.5 Øbainha 0.35L a 0.5L L 0.05L a 0.15L 15

21 Traçados simples: troços rectos ou troços parabólicos (2º grau) Aproveitar a excentricidade máxima nas zonas de maiores momentos (ver nota) Sempre que possível, nas extremidades, os cabos deverão situar-se dentro do núcleo central da secção O traçado do cabo (ou resultante dos cabos) deverá cruzar o centro de gravidade da secção numa secção próxima da de momentos nulos das cargas permanentes (mas só de uma forma qualitativa) Devem respeitar-se as restrições de ordem prática da construção e os limites correspondentes às dimensões das ancoragens e resistência do betão, necessários para resistir às forças de ancoragem Notas: i) A excentricidade máxima dos cabos depende do recobrimento a adoptar para as bainhas dos cabos de pré-esforço, deve ter em consideração que em vigas, o recobrimento mínimo das bainhas é : c min = min ( bainha ; 8 cm); ii) o ponto de inflexão do traçado está sobre a recta que une os pontos de excentricidade máxima; iii) O raio de curvatura dos cabos deve ser superior ao raio mínimo que, simplificadamente pode ser obtido pela expressão R min [m]= 3 P u representa a força última em MN). (onde P u Pré-dimensionamento da força de pré-esforço útil O valor da força útil de pré-esforço pode ser estimado através dos seguintes critérios: Critério do balanceamento das cargas ou, de uma forma mais rigorosa, Critério da limitação da deformação q eq (0.8 a 0.9) q cqp pe = (0.8 a 0.9) cqp, tal que no final total = (1 + ) ( cqp pe ) admissível com admissível L 500 a L 1000 (dependente da utilização da obra) Critério da limitação da fendilhação EC2 parágrafo 7.3.1(5): Estados Limites de Fendilhação a considerar 16

22 Classe de exposição Tabela 7.1N Valores recomendados para w máx (mm) Elementos de betão armado ou préesforçado (p.e. não aderente) Comb. quase-permanente de acções Elementos de betão pré-esforçado (p.e. aderente) Combinação frequente de acções X0, XC XC2, XC3, XC4 0.3 XD1, XD2, Descompressão XS1, XS2, XS3 (1) Deverá também verificar-se a descompressão para a combinação quase-permanente de acções 0.2 (1) A segurança em relação ao estado limite de descompressão considera-se satisfeita se, nas secções do elemento, a totalidade dos cabos de pré-esforço se situar no interior da zona comprimida e a uma distância de, pelo menos, m ou 0.10 m relativamente à zona traccionada, para estruturas de edifícios ou pontes, respectivamente. Na prática, será preferível assegurar que nas secções do elemento não existem tracções ao nível da fibra extrema que ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por efeito dos esforços actuantes, com exclusão do pré-esforço VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO. DEFINIÇÃO DOS CABOS Força máxima de tensionamento De acordo com o EC2, a força máxima a aplicar num cabo de pré-esforço é dada pela seguinte expressão P máx = A p p,máx onde, p,máx = min (0.8 f pk ; 0.9 f p0,1k ) e representa a tensão máxima a aplicar aos cordões na altura da aplicação do pré-esforço. Após a transmissão da força para a ancoragem as tensões admissíveis são as seguintes: p,máx = min (0.75 f pk ; 0.85 f p0,1k ) Perdas de pré-esforço Perdas instantâneas (8% 15%) Pós-tensão Perdas por atrito Perdas por reentrada de cabos Perdas por deformação instantânea do betão 17

23 Pré-tensão Relaxação da armadura até à betonagem Escorregamento nas zonas de amarração Deformação instantânea do betão Perdas diferidas (12% 15%) Perdas por retracção do betão Perdas por fluência do betão Perdas por relaxação da armadura 8% 15% P 0 (força de tensionamento) 12% 15% P 0 P P 0 força de pré-esforço após perdas imediatas P força de pré-esforço útil ou a tempo infinito Definição dos cabos Realizado o pré-dimensionamento da força útil de pré-esforço é possível estimar os cabos a adoptar assumindo valores correntes das perdas de pré-esforço. Este cálculo tem interesse, por exemplo, para aferir se as dimensões adoptadas para as secções são suficientes para conduzir a uma pormenorização adequada das armaduras de pré-esforço. Supondo que para um determinado traçado de cabo se assumia na secção condicionante para as perdas diferidas um valor de 14% e para as perdas imediatas um valor de 10%, o valor da força de tensionamento dos cabos seria o seguinte: P 0 = P 0.86 P 0 = P Considerando que os cabos eram tensionados a 75% da força de rotura, a área de armadura de pré-esforço necessária e o número de cordões seria: P 0 ' = 0.75 F pk A p = P 0 ' nº de cordões = A p A cordão Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas de pré-esforço. 18

24 EXERCÍCIO PE1 Considere a viga indicada na figura seguinte. Parábola Parábola Parábola Parábola A B C D Recta e1 = 0.15 e2 = 0.38 e3 e4 = e5 e6 = Secção Transversal da Viga: 1.50 Propriedades geométricas da secção: A = 0.61 m 2 I = m Materiais:C30/37 A400NR A1670/1860 (baixa relaxação) Considere que a viga se encontra submetida às seguintes acções: Q q pp + rcp - Cargas permanentes ( g = 1.35): pp = kn/m; rcp = kn/m - sobrecargas ( q = 1.5; 1 = 0.6; 2 = 0.4): q = 20 kn/m e Q = 100 kn Nota: q e Q actuam em simultâneo a) Determine o diagrama de tensões na secção B para a combinação de acções quase permanentes e para uma força de pré-esforço de 1000 kn. 19

25 b) Qual o valor de P que seria necessário para garantir a descompressão para a combinação quase permanentes de acções, nas secções B e C? c) Qual o valor de P que seria necessário para garantir a condição c < f ctk para combinação frequente de acções nas secções B e C? d) Determine as equações que definem o traçado do cabo representado na figura. e) Represente as cargas equivalentes do pré-esforço para uma força de pré-esforço de 1000 kn. f) Qual o valor de P que seria necessário para contrariar 80% de deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes? g) Defina que tipo de cabo adopta e qual a força de puxe. Admita: P = 0.86 P 0 e P 0 = 0.90 P 0. Admita que os cabos são tensionados a 0.75 f pk. h) Calcule a área de armadura ordinária longitudinal de modo a garantir a segurança em relação ao estado limite último de flexão. i) Calcule a área de armadura transversal. j) Calcule o valor das perdas instantâneas (atrito, reentrada de cunhas e deformação instantânea do betão) e o alongamento previsto dos cabos. l) Calcule as perdas diferidas (fluência e retracção do betão, e relaxação das armaduras). m) Verifique a segurança na zona das ancoragens. 20

26 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 ALÍNEA A) 1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanentes p cqp = cp + 2 sc = = 38 kn/m Q cpq = 2 Q = = 40 kn Qcqp pcqp R1 R2 DEV [kn] (+) (+) (-) 40.0 DMF [knm] 8.00 (-) (+) M C = 0 R = 0 R 1 = kn R 2 = 38 (20 + 5) = kn 2. Cálculo das tensões na secção B (i) Características geométricas da secção B 1.50 A = 0.61 m G 0.38 I = m 2 w inf = w sup = I v = inf 0.53 I v = sup 0.37 = m 3 = m 3 21

27 (ii) Diagramas de tensões na secção B devidas à cqp e ao pré-esforço P / A P x e (+) Mcqp (-) M cqp (-) + + P (-) (+) inf = - P A - P e w inf + M cqp = w inf = 10.2MPa sup = - P A + P e w sup - M cqp w = sup = - 9.9MPa ALÍNEA B) 1. Secção B P / A P x e MB (+) (-) MB (-) + + P (-) (+) inf < 0 - P A - P e w P > kn 2. Secção C + M B w < 0 - P P < 0 P / A P x e MC P (-) (+) MC (-) + + (+) (-) sup < 0 - P A - P e w + M C w < 0 - P P < 0 P > kn P > kn 22

28 ALÍNEA C) 1. Determinação dos esforços para a combinação de acções frequente p fr = cp + 1 sc = = 42 kn/m Q fr = 1 Q = = 60 kn Qfr pfr R1 R2 DMF [knm] 8.00 (-) (+) M B = 0 R = 0 R 1 = kn R 2 = 42 (20 + 5) = kn 2. Secção B inf < f ctk - P A - P e w + M B w < f ctk - P P < P > kn 3. Secção C sup < f ctk - P A - P e w + M C w < f ctk - P P < P > kn P > kn 23

29 1.7. CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS Equação da parábola Equação geral da parábola: y = ax 2 + bx + c (para determinar os parâmetros a, b e c é necessário conhecer 3 pontos) x1 x3 x2 y1 y2 y3 Caso se utilize um referencial local: 1) x y = ax 2 + c (y (0) = 0 b = 0) y 2) y y = ax 2 (y (0) = 0 b = 0 e y (0) = 0 c = 0) x Determinação do parâmetro a L/2 L/2 tg = 2f L/2 = 4f L f i) y (L/2) = 2a L/2 = tg a = 4f L 2 ou f ii) y (L/2) = f a L 2 2 = f a = 4f L 2 Determinação da curvatura da parábola 1 R = y" (x) = 2a = 8f L 2 24

30 Determinação do ponto de inflexão entre dois troços parabólicos f2 e2 e1 f1 L1 L2 O ponto de inflexão do traçado encontra-se na linha que une os extremos. Deste modo, f 1 L 1 = e 1 + e 2 L 1 + L 2 f 1 = L 1 L 1 + L 2 (e 1 + e 2 ) e f 2 = (e 2 + e 1 ) f Determinação do ponto de concordância troço parabólico troço recto f e L1 L2 tg = e - f L 1 = e + f L 2 (e f) L 2 = (e + f) L 1 e L 2 f L 2 = e L 1 + f L 1 f L 1 + f L 2 = e L 2 e L 1 f (L 1 + L 2 ) = e (L 2 L 1 ) f = e (L 2 - L 1 ) L 1 + L CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO A acção do pré-esforço pode ser simulada através de cargas cargas equivalentes de pré-esforço Acções exercidas sobre o cabo (situação em que se aplica a tensão nos cabos simultaneamente nas duas extremidades) Forças nas ancoragens; Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas, exercidas pelo betão Acções exercidas sobre o betão 25

31 Forças nas ancoragens; Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas iguais e directamente opostas às que o betão exerce sobre o cabo Determinação das cargas equivalentes Zona das ancoragens P tg P e P P e Nota: tg sen e cos Traçado parabólico Considere-se o seguinte troço infinitesimal de cabo de pré-esforço, e as acções que o betão exerce sobre este, d R ds = R d d ds = 1 R P d 2 + (P + dp) d 2 = q* ds P d/2 q* ds P+dP P d = q* ds q* = P d ds P ou q* = R ds Notas: - ângulo muito pequeno sen d 2 d 2 tg d 2 e cos d 2 1; - consideram-se desprezáveis as componentes horizontais das forças de desvio. Para um cabo com o traçado parabólico ilustrado, 26

32 L/2 L/2 tg = d 2 = 2 f L/2 = 4 f L d = 8 f L (1) f ds L (2) f A partir de (1) e (2), obtém-se d ds = 8 f L 2 q* = 8 f P L Traçado poligonal f Q* tg = f L 1 L1 Q* = P tg = P f L 1 Q* q* s q* = Q* / s Nas figuras seguintes apresentam-se as cargas e os esforços equivalentes para dois traçados de cabo diferentes. 27

33 Cabo com traçado parabólico Esforços equivalentes Cabo com traçado rectilíneo O pré-esforço introduz no elemento um conjunto de esforços em cada secção designados por esforços isostáticos definidos da seguinte forma: 28

34 P tg G e x P P e P y N = - P M = - P e V = - P tg Ilustra-se seguidamente um exemplo interessante que mostra as potencialidades do préesforço e o modo como o engenheiro pode explorar essas potencialidades para controlar o comportamento estrutural. No exemplo mostra-se uma forma de anular a flexão, esforço transverso e torção induzidos por uma carga exterior na extremidade de uma consola com as forças equivalentes ao pré-esforço. P.tg = Q A resultante dos esforços é apenas o esforço axial com valor igual a 2P 29

35 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONTINUAÇÃO) ALÍNEA D) Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3 Parábola 4 Recta e1 = 0.15 e2 = 0.38 e4 = e6 = (i) Parábola 1 y = ax x y 0.23 y(8) = 0.23 a 8 2 = 0.23 a = y(x) = x 2 (ii) Parábola 2 1. Determinação das coordenadas do ponto de inflexão x = 0.6 x x = Determinação da equação da parábola 0.4 y 8.00 y = ax 2 y (8) = 0.4 a = x y (x) = x 2 (iii) Parábola 3 x 4.00 y 0.2 y = ax 2 y (4) = 0.2 a = y (x) = x 2 30

36 (iv) Parábola 4 e troço recto 0.12 y x x y 1. Determinação das coordenadas do ponto de concordância y (1) = tg = 2 f f f 1.0 tg = f 5 2 f = f 5 10 f = f f = m 2. Determinação das equações da parábola e do troço recto Parábola 4: y (1) = y (x) = x 2 Troço recto: y = mx + b = x y (x) = x ALÍNEA E) 1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas (considerando P = 1000 kn) q = 8 f P L 2 Parábola f (m) L (m) q (kn/m) Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo Extremidade Esquerda tg = y (8) = = P tg = 57.5 kn P e = = knm Extremidade Direita tg = y (1) = P tg = 26.7 kn P e = = knm 31

37 1000 kn knm 57.5 kn 7.2 kn/m kn/m kn/m 26.6 kn/m knm 1000 kn 26.7 kn Repare-se que o somatório das cargas verticais é nulo F eq = ALÍNEA F) 1. Determinação da flecha elástica na viga para a combinação de acções quasepermanentes Através de tabelas de flechas elásticas de vigas contínuas, a deformação a meio vão do tramo apoiado é dada por: = 1 EI 5pL L2 16 ( M 1 + M ) 2 onde M 1 e M 2 representam os momentos flectores nas extremidades do tramo e entram na expressão com o sinal de acordo com a convenção da resistência de materiais. Deste modo, = ( ) = m 2. Determinação da flecha elástica na viga para o efeito do pré-esforço A flecha elástica para o efeito de pré-esforço pode ser obtida considerando a actuação das cargas equivalentes ao pré-esforço na viga. Deste modo, para P = 1000 kn (cargas equivalentes calculadas na alínea anterior), obteve-se a seguinte deformada: = m 3. Determinação da força útil de pré-esforço necessária para contrariar 80% da deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes pe = 0.8 cqp = = m P = /0.010 = 2900 kn 32

38 1.9. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS Estado limite último de flexão Pré-esforço do lado da resistência Pelo método do diagrama rectangular simplificado, M sd = g M g + q M q x LN 0.8x 0.85fcd Fc F c = 0.85 f cd 0.8 x b b Ap As Msd Fs Fp F p = A p f pd = A p f p0,1k 1.15 F s = A s f yd Através das equações de equilíbrio, (i) Equilíbrio de momentos ( M As = M sd x =...) Forças exteriores: M sd Forças interiores: M As = F c (d s 0.4x) - F p (d s - d p ) (ii) Equilíbrio de forças ( F = 0 F c = F p + F s A s =...) Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) f pd = p = P A p Pré-esforço do lado da acção Pelo método do diagrama rectangular simplificado, M sd = g M g + q M q + M pe x LN 0.8x 0.85fcd Fc F c = 0.85 f cd 0.8 x b e b Ap As P Msd Fs Fp F p = A p (f pd - p ) = A p f pd - P F s = A s f yd A p 33

39 Através das equações de equilíbrio, (i) Equilíbrio de momentos (M As ) Forças exteriores: M As = M sd + P (d s - h/2) Forças interiores: M As = F c (d s - 0.4x) - F p (d s - d p ) M sd + P (d s - h/2) = F c (d s - 0.4x) - F p (d s - d p ) x =... (ii) Equilíbrio de forças ( F = P F c = F p + F s + P A s =...) Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) (f pd - p ) = 0 F p = 0 Determinada a posição da linha neutra (x), é necessário definir o diagrama de extensões na rotura e verificar se as tensões nas armaduras ordinárias e de pré-esforço são as de cálculo. x LN c 0.8x 0.85fcd Fc Msd Ap p p0 Fp b As s Fs p = p + p0, com p0 = P A p E p Se algum cabo não atingir a tensão de cálculo f pd, será necessário adoptar um método iterativo (método geral) c c (c) x LN M N Ap p p0 p (p0 + p) b As s s (s) Por exemplo, determina-se x tal que N 0. Então M = M Rd. 34

40 Estado limite último de esforço transverso O efeito do pré-esforço na resistência ao esforço transverso da viga é traduzido pela componente vertical da força do cabo conforme esquematizado na figura seguinte. Em geral, considera-se o pré-esforço do lado da acção. A verificação da segurança é realizada de acordo com o seguinte formato. V Rd V Sd - P tg (i) Cálculo da armadura transversal: A sw s = V Sd - P tg z cotg f yd (ii) Verificação da tensão de compressão: c = V sd - P tg z b w sen cos f ck 250 f cd (iii) Consideração do efeito do esforço transverso nas armaduras longitudinais (no apoio A s f yd (V sd - P tg ) cotg 1 ) Notas: Para elementos comprimidos (caso de elementos pré-esforçados) 22 a 26; Caso o somatório do diâmetro das bainhas de pré-esforço existentes num determinado nível seja superior a 1/8 da largura da secção a esse nível, deve considerar-se a largura a esse nível reduzida de metade da soma dos diâmetros das bainhas. Bainhas metálicas injectadas: b w,nom = b w 0.5 Ø Bainhas não injectadas, bainhas plásticas injectadas e armaduras não aderentes: b w,nom = b w 1.2 Ø Estes requisitos resultam do efeito do cabo na redução da resistência à compressão da alma. A figura seguinte ilustra o esmagamento da alma de uma viga ao longo do cabo de pré-esforço por acção do esforço transverso. 35

41 36

42 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.) ALÍNEA G) P = kn (valor resultante da verificação da descompressão) P 0 = P 0.86 = = kn P 0 = P = = kn P 0 ' = 0.75 F pk A p = P 0 ' = 26.6 cm 2 nº de cordões = A p A = 26.6 cordão 1.4 = 19 cordões 2 cabos de 10 cordões de 0.6" P 0 = = 3906 kn ALÍNEA H) p sd = 1.35 ( ) = 70.5 kn/m Q sd = = 150 kn A C 5.00 R1 R2 M C = 0 - R = 0 R 1 = kn M B = knm Secção B 1. Cálculo da armadura de flexão pelo método do diagrama rectangular Hipótese: LN no banzo da secção 1.50 LN 0.8x 0.85fcd Fc Msd Fp Fs F p = A p f p0,1k 1.15 = = kn 37

43 F s = A s f yd = A s F c = x = 20400x (i) Equilíbrio de momentos ( M As = M sd ) F c ( x) - F p 0.10 = M sd 20400x ( x) = x = 0.20 m F c = = 4080 kn (ii) Equilíbrio de forças ( F = 0) F c F p F s = A s = 0 A s = 0.4 cm 2 (iii) Verificação da hipótese de cedência das armaduras LN c 0.20 p p0 s Hipótese: c = 3.5 Determinação da extensão ao nível das armaduras ordinárias s = s = 11.4 Determinação da extensão ao nível das armaduras de pré-esforço p = p = 9.6 p0 = P A p E = 3050 p = 5.6 p = p0 + p = 15.2 > pyd = f pyd E p = 1670 / = Cálculo da armadura pelas tabelas de flexão simples (método aproximado) Hipótese: d eq d p = 0.75 m = M sd b d 2 f = cd = = ; A s,tot = cm 2 A s = A s,tot A sp, eq = = 0.4 cm 2 38

44 d eq = 0.75 m ALÍNEA I) DEV [kn] (+) (+) 150 (-) DEVp [kn] (-) (+) (-) DEVtotal [kn] (+) (+) (-) Notas: - O diagrama de esforço transverso devido ao pré-esforço foi obtido considerando P = kn; - Para a verificação da segurança ao esforço transverso utiliza-se DEV total Apoio A = 25 z cotg = cotg 25 = 1.64m V sd (z cotg ) = = kn Considerando dois cabos de 10 cordões cujas bainhas têm 80 mm de diâmetro cada, bainha b alma 8 = = m b w = / 2 = 0.26 m 1. Cálculo da armadura transversal A sw s = V sd z cotg f yd = = 6.6 cm 2 /m 39

45 2. Verificação da tensão de compressão nas bielas inclinadas c = V sd z b w sen cos = sen 25cos 25 = 4946 kn/m2 4.9 MPa f ck 250 f cd = = kn/m 2 = 10.6MPa 3. Cálculo da armadura longitudinal no apoio de extremidade A s f yd = V cotg 1 A s = V sd cotg 1 f yd = cotg = 17.6 cm 2 cotg 1 = b 2 + z 2 cotg z = 0.5 b z cotg b = 0.4 cotg 1 = 0.5 x 0.4/(0.9x0.85) x 2 =1.333 ( 1 = 37º) 40

46 1.10. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO Perdas por Atrito d P q* ds P+dP d/2 q* ds = P d ds (F a = N) q* ds = P d Por equilíbrio de forças horizontais, P - P - dp P d = 0 dp = P d dp P = d P 0 1 P 0' P dp = - d Log P0 - Log P 0 ' = - Log P 0 0 P 0 ' = P 0 P 0 ' = e - P 0 = P 0 e - Para uma secção genérica à distância x da extremidade de tensionamento, P 0 (x) = P 0 e -(+kx) onde, representa o coeficiente de atrito (usualmente toma valores entre 0.18 e 0.20); representa a soma dos ângulos de desvio; k representa o desvio angular parasita (valor máximo 0.01 m -1 ; geralmente a 0.005m -1 ), que tem em consideração eventuais desvios no posicionamento dos cabos de pré-esforço. Esta expressão também pode aparecer com a forma, -( + k x) P 0 (x) = P 0 e (neste caso k = k e representa o coeficiente de atrito em recta) 41

47 Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos) P P P0' P0(x) L x L comprimento de reentrada das cunhas ( 6mm) comprimento até onde se faz sentir as perdas por reentrada das cunhas Admitindo que o diagrama de perdas por atrito é aproximadamente linear (cabo com curvatura aproximadamente constante), L = dx = 0 E p 0 dx = 1 E p A P dx A diagrama = L E p A p p 0 P 2 = L E p A p (1) Como P 2 = p P = 2 p (2) onde p representa a perda de pré-esforço por atrito, por metro (declive do diagrama) Substituindo (2) em (1) obtém-se, 2 p 2 = L E p A p = L E p A p p Casos particulares (i) Cabo sem perdas por atrito, (em pré-esforço exterior, p.ex.) P P P0' L Ep Ap P L = L E p A p P = L E p A p L L x L comprimento do cabo 42

48 (ii) Se > L (verifica-se em cabos muito curtos, sendo nesse caso a perda de pré-esforço mais condicionante) P P P0' L Ep Ap p L PL pll=le p A p P = L L E p A p + pl L x L comprimento do cabo Perdas por deformação instantânea do betão A perda de força de pré-esforço média por deformação instantânea (ou elástica) do betão, em cada cabo, pode ser calculada através da seguinte expressão: onde, P el = A p E p j c (t) E cm (t) E cm (t) representa o módulo de elasticidade do betão à data da aplicação do préesforço; j = (n-1) / 2n, onde n representa o nº de cabos de pré-esforço idênticos, tensionados sucessivamente, existentes na mesma secção transversal; c (t) representa a variação de tensão no betão, ao nível do centro de gravidade dos cabos de pré-esforço, devida ao efeito do pré-esforço (após perdas por atrito e reentrada das cunhas) e de outras acções permanentes actuantes Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço L = 0 L dz = 0 L P A p E dz = 1 p A p E p L P dz 0 Papós atrito [kn] P0' Papós at. (L) L P 0' + P após atrito (L) 2 A p E p L L x [m] Este valor permite um controlo eficaz, em obra, da tensão instalada nos cabos. 43

49 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.) ALÍNEA J) 1. Cálculo das perdas por atrito - ( + kx) P 0 (x) = P 0 e (Adopta-se = 0.20 e k = 0.004/m) Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3 Par. 4 Recta e1 = 0.15 e2 = 0.38 e3 = e4 = e5 = e6 = Cálculo dos ângulos de desvio (i) Parábola 1 y (8) = = (ii) Parábola 2 y (8) = = 0.1 (iii) Parábola 3 y (4) = = 0.1 (iv) Parábola 4 y (1) = = x Secção (m) (rad) P após atrito (kn) % perdas

50 2. Cálculo das perdas por reentrada das cunhas (i) Determinação do comprimento de reentrada das cunhas () 1ª Iteração Força de pré-esforço ao longo do cabo, após perdas por atrito x = 8.0m p = = 8.66 kn/m = L E p A p p = = 19.4 m 2ª Iteração x = 20.0m p = = kn/m (admitindo que a perda por atrito é aproximadamente linear) = = m (ii) Determinação das perdas por reentrada das cunhas P = 2p = = kn x x = = x = kn x = 0.8 kn 45

51 x Secção (m) P após atrito P reentrada P após reentrada (kn) (kn) (kn) % perdas Cálculo das perdas por deformação instantânea do betão Admitindo que o pré-esforço é aplicado aos 28 dias, E cm (t = 28) = 33 GPa ; E p = 195 GPa P el = A p E p Secção 2 j c (t) E cm (t) = A p E p n - 1 2n c(t) E cm (t) M pp M pp = 656 knm M pe = P e = = knm Mpp v I (-) P / A Mpe v I (+) + (-) + (+) (-) c = M pp v I - P A - M pe v I = = MPa P el = =46.3 kn P 0 (secção 2) = = kn % perdas 8.2% 4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos L = 1 A p E p L P dx = 0.172m 46

52 Perdas por retracção do betão = E p cs P A p = E p cs P = E p A p cs cs extensão de retracção do betão ( ) Perdas por fluência do betão c = c c E cm = E p c P A p = E p c c E cm P = A p E p c c E cm c tensão ao nível do cabo de pré-esforço, devido às cargas permanentes e ao efeito do pré-esforço (considerando a força de pré-esforço após perdas imediatas) Perdas por relaxação da armadura Em armaduras de alta resistência, as perdas a longo prazo devidas à relaxação são da ordem de: Aços de relaxação normal P < 15% Aços de baixa relaxação P < 6% Aços de muito baixa relaxação P = 2 a 4% Segundo o EC2 e para efeitos da caracterização da relaxação, as armaduras de alta resistência agrupam-se em três classes: Classe 1: aço em fio ou cordão, com relaxação normal ( 1000 = 8%) Classe 2: aço em fio ou cordão, com baixa relaxação ( 1000 = 2.5%) Classe 3: aço em barra ( 1000 = 4%) O parâmetro 1000 representa a perda por relaxação às 1000 horas, de um provete tensionado a 70% da rotura e mantido a uma temperatura constante de 20C. A perda de tensão por relaxação pode ser calculada através das seguintes expressões, consoante a classe da armadura: (i) Classe 1: pr = e 6.7 t 1000 (ii) Classe 2: pr = e 9.1 t 1000 (iii) Classe 3: pr = e 8 t (1-) 0.75 (1-) 0.75 (1-) pi 10-5 pi 10-5 pi

53 onde, pi representa a tensão instalada nas armaduras de pré-esforço após perdas imediatas; t representa o tempo, em horas, para o qual se pretende calcular as perdas de préesforço por relaxação (poderá considerar-se t = horas 57 anos); = pi / f pk 48

54 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.) ALÍNEA L) 1. Perdas por retracção do betão Considerando cs = , P = E p A p cs = = kn 2. Perdas por fluência do betão Secção 2 Considerando c = 2.5 P = A p E p c c E cm = = kn Cálculo de c = Mcp M cp = 1290 knm M pe = = knm c = M cp v I - P A - M pe v I = = MPa 3. Perdas por relaxação das armaduras Secção 2 Para aço em fio ou cordão com baixa relaxação, 1000 = 2.5%. pr = e 9.1 t (1-) pi 10-5 = = e (1-0.69) = 38.2MPa pi = = MPa = pi f pk = = 0.69 P pr = = kn P p,r+s+c = = kn P secção 2 = = 3050 kn % perdas diferidas 14.9% 49

55 1.11. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS Nas zonas de vizinhança da actuação de cargas concentradas não são válidas as hipóteses da resistência de materiais para peças lineares: a força concentrada é transmitida ao betão sob a forma de tensões elevadas distribuídas na superfície da placa de distribuição da carga, existindo uma zona de regularização entre a secção de aplicação da carga e aquela em que as tensões se distribuem linearmente. Nesta zona, devido à trajectória das tensões principais de compressão, surgem forças de tracção nas direcções transversais. Trajectórias das tensões Tracção Compressão Deste modo, a verificação da segurança nas zonas das ancoragens consiste em limitar as tensões de compressão localizadas no betão e dimensionar armaduras para absorção das forças de tracção que surgem devido à acção da carga concentrada Verificação da segurança ao esmagamento do betão Imediatamente sob a zona de aplicação da carga concentrada surgem tensões de compressão na direcção transversal. Este facto permite aumentar o valor das tensões admissíveis a considerar na verificação da pressão local no betão, desde que o mesmo esteja correctamente confinado. De acordo com o EC2 (parágrafo 6.7), o valor resistente da força concentrada, aplicada com uma distribuição uniforme numa determinada área A c0, pode ser determinado através da expressão: F Rdu = A c0 f cd A c1 A c0 3.0 f cd A c0 50

56 onde, A c0 representa a área sobre a qual se exerce directamente a força (área da placa de ancoragem); A c1 representa a maior área homotética a A c0, contida no contorno da peça, com o mesmo centro de gravidade de A c0 e cuja dimensão dos lados não pode exceder em três vezes a dimensão dos lados correspondentes de A c0. No caso da existência de várias forças concentradas, as áreas correspondentes às várias forças não se devem sobrepor. Dado que, em geral, a aplicação do pré-esforço é efectuada antes do betão atingir a idade de 28 dias, o valor de f cd deve ser substituído por f ck,j / c, representando f ck,j o valor característico da tensão de rotura à compressão aos j dias Determinação das Armaduras de Reforço na Zona das Ancoragens De acordo com o parágrafo do EC2, a avaliação das forças de tracção que surgem devido à aplicação de forças concentradas deve ser efectuada recorrendo a modelos de escoras e tirantes. A armadura necessária deverá ser dimensionada considerando uma tensão máxima de 300 MPa. Esta medida destina-se a garantir o controlo da fendilhação, e tem em conta a dificuldade de garantir uma boa amarração Modelos de escoras e tirantes Os modelos de escoras e tirantes ( strut-and-tie models ) identificam os campos de tensões principais que equilibram as acções exteriores, correspondendo as escoras aos campos de tensões de compressão e os tirantes aos de tracção. 51

57 Estes modelos aplicam-se na análise e dimensionamento de zonas de descontinuidade, como é o caso das zonas de ancoragem de cabos pós-tensionados (zonas de aplicação de cargas localizadas). Para a sua elaboração torna-se necessário conhecer o comportamento elástico da zona estrutural em análise, por forma a escolher o sistema que corresponde à menor energia de deformação, ou seja, o sistema onde existem mais escoras que tirantes, sendo assim necessária menor quantidade de armadura. Há também que entrar em linha de conta com o facto de que, por as armaduras resistirem aos esforços de tracção e, consequentemente a sua orientação corresponder à dos tirantes, esta deverá ser a mais conveniente do ponto de vista construtivo. Trajectórias das das tensões tensões Tracção Tracção Compressão Modelo Tirantes Tirantes Escoras Compressão Caso de uma só ancoragem Através do modelo de escoras e tirantes que se apresenta em seguida, é possível obter o valor da força de tracção. P/2 a 0 P/2 P/2 P/2 a 1 De acordo com o Eurocódigo 2, a força de tracção para a qual as armaduras devem ser dimensionadas, é dada pela expressão: F t1sd = 0.25 F sd 1 - a 0 a 1 (com F sd = 1.35 P 0 ) onde, a 1 = 2b, sendo b a dimensão, segundo a direcção considerada, da menor distância entre o eixo da ancoragem e a face exterior do betão; a 0 representa a dimensão segundo a direcção considerada, da placa da ancoragem. 52

58 Disposição das armaduras As armaduras devem, em cada direcção, ficar contidas num prisma de aresta a 1 e ser repartidas em profundidade entre as cotas 0.1a 1 e a 1, tendo em consideração que a resultante se situa à cota 0.4a 1 e devem ser convenientemente amarradas de forma a garantir o seu funcionamento eficiente ao longo do comprimento a 1. F a1 b a0 0.1a1 a1 A cada nível, as armaduras devem distribuir-se numa largura igual à dimensão correspondente da maior área delimitada por um contorno fictício contido no contorno da peça, com o mesmo centro de gravidade da placa da ancoragem, na direcção normal à direcção considerada. No caso da ancoragem se encontrar fora do núcleo central da secção (ancoragem excêntrica), além das armaduras já indicadas, deve dispor-se uma armadura junto à superfície do elemento, destinada a absorver na direcção em causa uma força de tracção, como em baixo se ilustra Ft = Fc2 a e P Fc2 Fc1 = P O valor da força de tracção pode ser obtido através da expressão: F t0sd = F sd e a (com F sd = 1.35 P 0 ) Caso de várias ancoragens Ancoragens muito próximas Um grupo de ancoragens muito próximas pode ser tratado considerando uma só ancoragem equivalente, sendo válidos os princípios indicados no ponto anterior. Deve no 53

59 entanto verificar-se a segurança para a actuação de cada força, isoladamente. As áreas de influência a considerar são as seguintes: F área de influência para uma ancoragem individual F F Ancoragens muito afastadas área de influência do grupo de ancoragens No caso de duas forças concentradas afastadas entre si de uma distância superior à distância entre os centros de gravidade das zonas correspondentes do diagrama de tensões normais, surgem forças de tracção junto à face de aplicação das cargas, como se indica: P P P P P P 54

60 Deste modo, além das armaduras necessárias para cada ancoragem individual, deve dispor-se uma armadura junto à face do elemento, na direcção em causa, destinada a absorver uma força de tracção igual a 0.2P. É de notar que desde que existam vários cabos, estes não são pré-esforçados simultaneamente, variando os esforços locais ao longo das operações de pré-esforço. O plano de tensionamento deve ser escolhido por forma a evitar esforços momentâneos exagerados, devendo a armadura ser dimensionada tendo em conta que podem existir estados provisórios mais desfavoráveis do que o que surge no sistema final Aspectos particulares em estruturas pré-esforçadas Ancoragens interiores No caso de uma ancoragem interior, além das tensões transversais atrás mencionadas, surgem tracções longitudinais atrás da ancoragem como resultado da deformação local do betão. A resultante das tensões de tracção depende da relação entre a dimensão da zona carregada e a largura da difusão dos efeitos localizados. Considerando uma análise elástica que assuma igual rigidez do betão atrás e à frente da ancoragem, a força de tracção deveria ser, pelo menos, igual a P/2. Contudo, a experiência mostra que a força de tracção longitudinal pode ser considerada igual a P/4 pois, devido à fendilhação, a rigidez do betão atrás da ancoragem diminui, diminuindo também a tensão instalada. Devem pois dispor-se armaduras longitudinais centradas na placa da ancoragem com um comprimento aproximadamente igual ao dobro da altura da secção. 55

61 CORTE LONGITUDINAL CORTE TRANSVERSAL Forças de desvio Sempre que um cabo de pré-esforço muda de direcção, são introduzidas forças radiais no betão quando o cabo é tensionado. Estas forças radiais actuam no plano de curvatura e têm uma intensidade igual ao quociente entre a força de pré-esforço e o raio de curvatura. Embora estas forças sejam na generalidade das situações muito úteis, podem no entanto causar diversos problemas, nomeadamente a rotura local do betão. Nos casos em que os cabos estejam junto à face das peças e a sua curvatura provoque forças de desvio dirigidas para o exterior é necessário dimensionar armadura transversal para a absorção destas forças, devendo ser disposta em toda a zona em que actuem, como se indica na planta abaixo. armadura para resistir à força de desvio armadura para resistir à força de desvio eixo do cabo 56

62 Disposições Construtivas Nas zonas de aplicação de cargas localizadas deve adoptar-se uma disposição de armaduras em várias camadas, constituídas por varões de pequeno diâmetro. Estas armaduras devem ser bem amarradas fora da zona dos prismas em que se faz a dispersão dos efeitos localizados. A solução geralmente adoptada consiste em utilizar estribos fechados de dois ou mais ramos, como se exemplifica a seguir. PORMENOR TRANSVERSAL PORMENOR LONGITUDINAL No caso em que a carga actue fora do núcleo central, as armaduras dimensionadas para este efeito devem ser dispostas junto à face do betão ao longo de toda a sua dimensão e convenientemente amarradas. 57

63 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONTINUAÇÃO) ALÍNEA M) Extremidade do lado esquerdo Força de puxe: P 0 = = 1953 kn 1. Verificação da pressão local do betão (i) Determinação da resistência do betão necessária à data da aplicação do pré-esforço (considerando a geometria inicial da viga) F Rdu = 1.35 P 0 = = kn F Rdu = A c0 f cd A c1 A c0 f cd = F Rdu A c0 A c1 / A = c / = kpa f ck = = 52.7 MPa (ii) Determinação da resistência do betão necessária à data da aplicação do pré-esforço (considerando um espessamento da alma da viga junto às extremidades) f cd = F Rdu A c0 A c1 / A = c / = kpa f ck = = 41.6 MPa 58

64 2. Cálculo das armaduras de reforço na zona das ancoragens (i) Direcção horizontal F t1sd = 0.25 F sd 1 - a 0 a = (i) Direcção horizontal Tensionamento do primeiro cabo (cabo superior) = kn A s = = 8.24 cm2 F t1sd = = kn A s = = cm2 Ambos os cabos tensionados F t1sd = = kn A s = = 7.52 cm2 59

65 1.12. PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS COM SECÇÃO VARIÁVEL Consideração do efeito do pré-esforço Considere-se a viga pré-esforçada representada na figura seguinte, bem como os diagramas de momentos flectores e esforço transverso devido ao pré-esforço (diagramas de momentos flectores e esforço transverso isostáticos). e1 e2 DMF pe P e2 (-) P e1 DEV pe (+) P tg P tg (-) O facto da altura da secção transversal ser variável, originando diferentes excentricidades dos cabos de pré-esforço ao longo do seu desenvolvimento, mesmo para um traçado dos cabos recto, faz com que o diagrama de momentos isostáticos não seja constante. Apresentam-se em seguida dois modos de considerar o efeito do pré-esforço entrando em linha de conta com a variação da secção transversal. 1) Modelação da viga através da linha do centro de gravidade das secções transversais e consideração das cargas equivalentes de extremidade referentes ao traçado dos cabos P P P e1 P e1 2) Modelação da viga sem considerar a variação da linha do centro de gravidade e introdução de cargas equivalentes que traduzem a posição relativa entre o traçado dos cabos e a linha do centro de gravidade. P tg 2P tg P tg P P P e1 P e1 Outros exemplos: 1) Linha do centro de gravidade com variação parabólica 60

66 e1 e2 P P e2 ou P e1 P P P tg q = P / R P P e2 P e1 2) xg2 xg1 xg2 - xg1 P(xG2 - xg1) P(xG2 - xg1) 61

67 1.13. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Os esforços hiperestáticos em elementos pré-esforçados surgem devido ao facto da estrutura estar impedida de se deformar livremente. Exemplos 1) Considere-se a seguinte viga pré-esforçada. Caso não existisse o apoio central (sistema base), a deformada da viga seria a abaixo ilustrada. Devido ao facto do deslocamento vertical a meio da viga estar restringido surgem reacções verticais (reacções hiperestáticas), correspondendo a do apoio central à força que seria necessário aplicar nesse ponto para que o deslocamento fosse nulo. Apresentam-se em seguida o diagrama de esforço transverso e momentos flectores hiperstáticos, bem como o diagrama de momentos flectores isostáticos. DEV DEV hip hip (+) (+) (-) (-) DMF DMF hip hip (+) (+) DMF DMF isost isost (-) (-) Pe Pe 2) Para um traçado dos cabos de pré-esforço parabólico, o raciocínio é semelhante. 62

68 Deformada no sistema base Deformada real Reacções hiperestáticas Diagramas de esforços hiperestáticos DEV hip (+) (-) DMF hip (+) Diagramas de esforços isostáticos DEV isost Ptg (-) (+) (-) (+) DMF isost (-) (+) (-) Pe Os esforços hiperestáticos deverão ser considerados não só no cálculo de tensões normais devidas ao pré-esforço, mas também para a verificação da segurança aos estados limites últimos de flexão e esforço transverso. 63

69 EXERCÍCIO PE2 Considere a viga pré-esforçada representada na figura, bem como o diagrama de momentos flectores devido à acção do pré-esforço g, q e = m e = m e = 0.10 m Acções: g = 40 kn/m Materiais: Betão C30/37 q = 12 kn/m ( 1 = 0.4; 2 = 0.2) Aço A400NR ( g = 1.35; q = 1.5) A1670/1860 Características geométricas da secção transversal da viga: A = 0.44 m 2 ; I = 0.02 m P 0.293P (-) (-) 5.00 (+) 0.354P a) Calcule e represente as cargas equivalentes ao efeito do pré-esforço para o traçado de cabos indicado (constituído por troços parabólicos), considerando uma força de pré-esforço genérica P. b) Estime o valor da força de pré-esforço útil necessária para garantir a descompressão da viga, para a combinação quase-permanente de acções. Indique o número de cabos e cordões que adoptaria, justificando todos os pressupostos. c) Calcule as perdas por atrito ao longo da viga considerando que o tensionamento é efectuado em ambas as extremidades (adopte =0.20 e k = m -1 ). d) Verifique a segurança ao estado limite último de flexão da viga. 64

70 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE2 ALÍNEA A) Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3 e = 0.10 m e = m e = m Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas q = 8 f P L 2 Parábola f (m) L (m) q (kn/m) Determinação da coordenada do ponto de inflexão entre as parábolas 2 e = x 7 x = 0.42 m 2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo P tg = 2 f L P = P = P P e = P 0.10 P P P P P 0.10 P ALÍNEA B) 1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanente (i) Diagramas de esforços para uma carga p 65

71 p p A (-) (+) B (+) p (ii) Momentos flectores para a combinação de acções quase-permanente p cqp = cp + 2 sc = = 42.4 kn/m M cqp,a = = knm ; M cqp,b = = knm 2. Verificação da descompressão (i) Características geométricas da secção transversal A = 0.44 m 2 ; I = m 2 w inf = w sup = I v = inf I v = sup = m3 = m (ii) Secção A P / A Mpe (+) MA (-) MA (-) + + P (-) (+) inf = - P A - M pe w inf + M A w inf < 0 - P P < 0 P > kn 66

72 (iii) Secção B P / A Mpe MB P (-) (+) MB (-) + + (+) (-) sup = - P A - M pe w + M B w < 0 - P P < 0 P > kn P > kn 3. Cabos e cordões a adoptar Considerando 10% de perdas imediatas e 15% de perdas diferidas, P 0 ' = - A p = - P = = kn P 0 ' 0.75 f = pk = cm 2 nº de cordões = A p A = cordão 1.4 = 14 cordões Adoptam-se 2 cabos com 7 cordões de 0.6 ALÍNEA C) 1. Cálculo das perdas por atrito P 0 (x) = P 0 e - ( + kx) (Adopta-se = 0.20 e k = 0.004) Parábola 1 Parábola 2 Par. 3 Par. 3 Parábola 2 Parábola 1 e = 0.10 m 5.00 e = m 7.00 e = m Cálculo da força de tensionamento P 0 = = kn Cálculo dos ângulos de desvio 67

73 (i) Parábola 1 1 tan 1 = 2f L = (ii) Parábola 2 2 = 2f L = = = x Secção (m) (rad) P após atrito (kn) ALÍNEA D) 1. Determinação dos esforços de dimensionamento p sd = = 72 kn/m M sd = = knm 2. Determinação do momento hiperestático devido ao pré-esforço (i) Diagrama de momentos isostáticos (M isost = P e) 0.1P P (-) (+) 0.188P (-) (ii) Diagrama de momentos hiperestáticos (M hip = M pe M isost ) P (+) 0.166P 68

74 3. Cálculo das armaduras de flexão M sd = M sd + M hip = = knm b x LN 0.8x 0.85fcd Fc M'sd Ap As Fs Fp F p = A p f p0,1k 1.15 = = kn F s = A s f yd = A s F c = x = 13600x (i) Equilíbrio de momentos ( M As = M sd ) F c ( x) - F p 0.08 = M sd 13600x ( x) = x = m F c = = kn < F p não é necessária armadura ordinária para verificar o estado limite último de flexão. 4. Cálculo da armadura mínima de flexão A s,min = 0.26 f ctm f yk b t d = = 5.07 cm 2 69

75 2. Introdução ao Dimensionamento de Lajes de Betão Armado As lajes são elementos estruturais que constituem os pisos e coberturas dos edifícios e as plataformas de outro tipo de construções cuja função é formar superfícies planas horizontais ou inclinadas possibilitando a circulação e a colocação de equipamentos. As lajes são normalmente solicitadas por cargas perpendiculares ao seu plano médio. Tratando-se de elementos em que as dimensões em planta são muito superiores à espessura apresentam um comportamento bidimensional CLASSIFICAÇÃO DE LAJES Uma classificação de lajes não é, em si, necessária e, em situações concretas, é, por vezes, difícil classificar uma dada solução. No entanto, em termos de ensino e de compreensão inicial das características do seu comportamento é muito útil. É assim que se apresenta, seguidamente, as denominações usuais para as lajes consoante o tipo de apoio, constituição, modo de flexão dominante e forma de fabrico Tipo de Apoio Lajes vigadas (apoiadas em vigas) Lajes fungiformes (apoiadas directamente em pilares) Lajes em meio elástico (apoiadas numa superfície deformável ensoleiramentos, por exemplo) Nas figuras seguintes apresentam-se soluções tipo de lajes vigada e fungiforme (esta com capiteis). 70

76 Refira-se também que há muitas situações práticas em que as lajes nalgumas zonas se apoiam em vigas e, noutras, directamente em pilares Constituição Monolíticas (só em betão armado) Maciças (com espessura constante ou de variação contínua) Aligeiradas Nervuradas Mistas (constituídas por betão armado, em conjunto com outro material) Vigotas pré-esforçadas Perfis metálicos Modo de flexão dominante Lajes armadas numa direcção (comportamento predominantemente unidireccional) Lajes armadas em duas direcções (comportamento bidireccional) Saliente-se, como se verá adiante, que as lajes têm sempre armaduras nas duas direcções. Esta denominação usual tem a ver, como referido, com a forma principal de comportamento Modo de fabrico Betonadas in situ Pré-fabricadas Totalmente (exemplo: lajes alveoladas) Parcialmente (exemplo: pré-lajes) 71

77 2.2. PRÉ-DIMENSIONAMENTO A espessura das lajes é condicionada por: Resistência flexão e esforço transverso Características de utilização Deformabilidade, isolamento sonoro, vibrações, protecção contra incêndio, etc. A espessura das lajes varia em função do vão. No que se refere a lajes maciças, em geral, a sua espessura varia entre 0.12 m e 0.30 m. O valor inferior é, em geral desaconselhável, até porque com as exigências actuais de recobrimento a sua eficiência à flexão é muito reduzida, como se compreende. Por outro lado, para espessuras acima dos 0.30 m, o recurso a soluções aligeiradas é quase obrigatório, no sentido de aliviar o peso da solução. Excluem-se as zonas de capiteis onde o efeito do peso dessas zonas na flexão é reduzido VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA Estados Limites Últimos Flexão O funcionamento das lajes relativamente à flexão é idêntico ao das vigas. A diferença reside no facto das vigas, sendo elementos lineares, apresentarem um comportamento unidirecional, enquanto as lajes, sendo elementos bidimensionais, apresentam um comportamento bidirecional. Viga Laje Numa laje, as armaduras de flexão são calculadas por metro de largura, ou seja, considerando uma secção com 1 m de base, e altura igual à da laje. 72

78 Nas lajes a ordem de grandeza dos momentos é, claramente, inferior ao das vigas, pois como se compreende os esforços podem se distribuir por larguras maiores. O momento flector reduzido () nas secções mais esforçadas estará, em geral, contido no intervalo 0.10 < Nalguns casos poderá ser mesmo inferior a 0.10, sem inconveniente. Relativamente ao valor superior não deverá ser ultrapassado, excluindo-se, nalgumas situações, a zona de momentos negativos sobre os apoios directos em pilares (solução fungiforme). Verifica-se, assim, que a ductilidade das lajes é uma característica intrínseca da solução o que, como sabemos, representa uma mais valia importante do comportamento, com vantagens conhecidas na verificação da segurança à rotura Esforço Transverso Em lajes, a transmissão de cargas para os apoios faz-se por efeito de arco e de consola, conforme ilustrado nas figuras seguintes. (i) Efeito de arco e consola P T R Efeito de arco 1 T V D1 2 T+ T T V D2 Efeito de consola 73

79 A participação relativa dos dois mecanismos na resistência ao esforço transverso depende da esbelteza da laje. Para esbeltezas baixas, ou para cargas mais importantes próximas do apoio, o efeito de arco é mobilizável, mas para as situações correntes de esbeltezas mais elevadas e cargas distribuídas a participação do efeito de arco tende a ser pequena como se compreende pela figura acima indicada. A avaliação do comportamento das lajes através de ensaios experimentais indica que, para atender aos efeitos da alguma sobreposição destes mecanismos resistentes, é indicado que se adoptem na pormenorização das armaduras estas duas recomendações: Através de uma translação do diagrama de momentos flectores de a L = d; Atirantando o arco, prolongando até aos apoios, pelo menos, ½ da armadura a meio vão. Estas indicações são tidas em conta nas disposições de dispensa de armaduras. (ii) Verificação ao Estado Limite Último de Esforço Transverso De acordo com o EC2, para elementos que não necessitam de armadura de esforço transverso, adopta-se uma verificação com base numa expressão, validada experimentalmente, mas que não é deduzível directamente de um mecanismo resistente, como no caso das vigas, tal que: onde, V sd V Rd,c = [ C Rd,c k ( 100 L f ) 1/3 ck + k 1 cp ] b w d ( k 3/2 f 1/2 ck + k 1 cp ) b w d C Rd,c = 0.18 c k = d 2, com d em mm 1 = A sl b w d 0.02 (A sl representa a área de armadura de tracção, prolongando-se não menos do que d + l b,d para além da secção considerada) k 1 = 0.15 cp = N sd A c em MPa (N sd representa o esforço normal devido a cargas aplicadas ou ao pré-esforço, e deve ser considerado positivo quando for de compressão) 74

80 Estados Limites de Utilização Fendilhação A verificação ao estado limite de fendilhação pode ser efectuada de forma directa ou indirecta tal como no caso das vigas. A verificação directa consiste no cálculo da abertura característica de fendas e comparação com os valores admissíveis. Esta matéria foi abordada na disciplina de Estruturas de Betão I para o caso das vigas. Os procedimentos de cálculo para as lajes são idênticos, sendo, desde já, de referir que a fendilhação, por flexão, das lajes é pouco condicionante devido à pequena altura da zona traccionada. O controlo indirecto da fendilhação, de acordo com o EC2, consiste, como discutido na disciplina de Estruturas de Betão I, em : Adopção de armadura mínima Imposição de limites ao diâmetro máximo dos varões e/ou afastamento máximo dos mesmos (Quadros 7.2 e 7.3). Quadro 7.2N Diâmetros máximos dos varões * s para controlo da fendilhação 1 Tensão no aço 2 Diâmetros máximos dos varões [mm] [MPa] w k= 0,4 mm w k= 0,3 mm w k= 0,2 mm NOTAS: 1. Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses: c = 25 mm; f ct,eff = 2,9 MPa; h cr = 0,5 h; (h-d) = 0,1h; k 1 = 0,8; k 2 = 0,5; k c = 0,4; k = 1,0; k t = 0,4 2. Para as combinações de acções apropriadas 75

81 Quadro 7.3N Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação 1 Tensão no aço 2 Espaçamento máximo dos varões [mm] [MPa] w k=0,4 mm w k=0,3 mm w k=0,2 mm Para as Notas, ver o Quadro 7.2N. O diâmetro máximo dos varões deverá ser modificado como se indica a seguir: Flexão (com pelo menos parte da secção em compressão): s s (f ct,eff /2,9) k h c cr 2 ( h - d ) (7.6N) Tracção (tracção simples): s = s (f ct,eff/2,9)h cr/(8(h-d)) (7.7N) em que: s diâmetro modificado máximo dos varões; s h h cr d diâmetro máximo dos varões indicado no Quadro 7.2N; altura total da secção; altura da zona traccionada imediatamente antes da fendilhação, considerando os valores característicos do pré-esforço e os esforços normais para a combinação quase-permanente de acções; altura útil ao centro de gravidade da camada exterior das armaduras; Quando toda a secção está sob tracção, h - d é a distância mínima do centro de gravidade das armaduras à face do betão (no caso em que a disposição das armaduras não é simétrica, considerar-se as duas faces) Deformação A norma ISO 4356 apresenta, de uma forma exaustiva, valores limites para diferentes tipos de utilização dos pisos. Para os casos correntes de edifícios de escritórios, comerciais ou de habitação, o EC2 seguindo as recomendações da norma acima referida, define os seguintes objectivos máximos de deformação, em função do vão: L para a deformação total devida combinação de acções quase-permanentes

82 L 500 para o incremento de deformação após construídas as paredes de alvenaria das divisórias. Este limite será mais ou menos importante face à sensibilidade da solução construtiva. Refira-se que estes valores de deformação se referem ao diferencial entre os pontos e apoio e o ponto de flecha máxima, segundo um dado alinhamento. É importante salientar que, se para as esbeltezas correntes nas vigas (valores da ordem de l/h = 8 a 14) a deformabilidade é reduzida e, garante-se em geral, com folga, estes limites, para o caso das lajes, com esbeltezas num leque alargado entre 20 a 40, a limitação ou contolo do nível de deformação pode ser crítica no dimensionamento. Tal como acontece para o caso da fendilhação, a verificação ao estado limite de deformação pode ser efectuada de forma directa ou indirecta. A forma directa consiste no cálculo da flecha a longo prazo (pelo Método dos Coeficientes Globais, por exemplo) e comparação com os valores admissíveis. Conforme preconizado no EC2, o cálculo das flechas poderá ser omitido, desde que se respeitem os limites da relação vão / altura útil estabelecidos no Quadro 7.4N. Na interpretação deste quadro, deve ter-se em atenção que: Em geral, os valores indicados são conservativos, podendo os cálculos revelar frequentemente que é possível utilizar elementos menos espessos; Os elementos em que o betão é fracamente solicitado são aqueles em que 0.5%, podendo na maioria dos casos admitir-se que as lajes são fracamente solicitadas (o betão é fortemente solicitado se 1.5% e estas percentagens de armadura não são das lajes). Para lajes vigadas armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor vão. Para lajes fungiformes deverá considerarse o maior vão. Estas indicações serão melhor compreendidas com a melhor apreensão dos diferentes tipos de comportamento das lajes. 77

83 Quadro 7.4N Valores básicos da relação vão/altura útil (l/d) para elementos de betão armado sem esforço normal de compressão Betão fortemente solicitado Betão levemente solicitado Sistema estrutural K = 0,5 % Viga simplesmente apoiada, laje simplesmente apoiada armada numa ou 1, em duas direcções Vão extremo de uma viga contínua ou de uma laje contínua armada numa direcção 1, ou de uma laje armada em duas direcções contínua ao longo do lado maior Vão interior de uma viga ou de uma laje armada numa ou em duas direcções 1, Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje fungiforme) (em relação ao maior 1, vão) Consola 0,4 6 8 NOTA 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, e o cálculo poderá frequentemente revelar que é possível utilizar elementos mais esbeltos. NOTA 2: Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão. NOTA 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem, para a flecha a meio vão, a uma limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS Recobrimento das armaduras Em lajes, por se tratar de elementos laminares (de pequena espessura), podem adoptarse recobrimentos inferiores, em 5 mm, aos geralmente adoptados no caso das vigas, ou seja, 0.02 m a 0.04 m (caso de lajes em ambientes muito agressivos). É necessário ter em atenção que o recobrimento adoptado não deve ser inferior ao diâmetro das armaduras ordinárias (ou ao diâmetro equivalente dos seus agrupamentos). 78

84 Distâncias entre armaduras Espaçamento máximo da armadura A imposição do espaçamento máximo da armadura tem por objectivo o controlo da fendilhação e a garantia de uma resistência local mínima, nomeadamente se existirem cargas concentradas aplicadas. i) Armadura principal s min (1.5 h; 0.35 m) Em geral, não é aconselhável utilizar espaçamentos superiores a 0.25 m. ii) Armadura de distribuição s 0.35 m Distância livre mínima entre armaduras A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar a betonagem em boas condições, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo betão e as necessárias condições de aderência. No caso de armaduras ordinárias, S min = ( maior, eq maior, 2 cm ) Na prática, para situações correntes, não é recomendável adoptar espaçamentos inferiores a 10 cm de modo a criar as condições para uma adequada colocação e compactação do betão Quantidades mínima e máxima de armadura A quantidade mínima de armadura a adoptar numa laje na direcção principal pode ser calculada através da expressão seguinte: A s,min = 0.26 f ctm f yk b t d onde b t representa a largura média da zona traccionada. A quantidade máxima de armadura a adoptar, fora das secções de emenda, é dada por: A s,máx = 0.04 A c onde A c representa a área da secção de betão. 79

85 Posicionamento das armaduras O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, é assegurado pelos seguintes elementos: Espaçadores para posicionamento da armadura inferior c A distância a adoptar entre espaçadores varia em função do diâmetro da armadura a posicionar: armadura 12 mm, s = 0.50 m armadura > 12 mm, s = 0.70 m s Cavaletes para posicionamento da armadura superior da laje h O diâmetro do varão que constitui os cavaletes é função da sua altura h. Deste modo: Para h < 0.15 m, cavalete = 8 mm Para 0.15 m < h < 0.30 m, cavalete = 10 a 12 mm 2.5. MEDIÇÕES E ORÇAMENTOS Indicam-se as unidades de medição e o custo aproximado dos materiais e cofragens utilizados na execução das lajes que permitem realizar uma estimativa de custo destes elementos estruturais. 80

86 Unidade de medição Custo unitário Cofragem m 2 15 /m 2 Armadura kg 0.90 /kg Betão m /m 3 (i) Critérios de medição: a definir no Caderno de Encargos No que se refere à medição das armaduras, é importante estabelecer critérios para os seguintes aspectos: Desperdícios (5% a 7% da quantidade total) em geral não são considerados na medição, mas sim no preço unitário; Comprimentos de emenda ou sobreposição; Varões com comprimento superior a 12 m. (ii) Taxas de armadura As quantidades de armadura em lajes dependem do tipo de apoio, da esbelteza e do nível de carga actuante. Em geral, podem tomar-se como referência os seguintes valores de taxas de armaduras. Lajes vigadas 60 a 80 Kg/m 3 Lajes fungiformes 80 a 120 Kg/m LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA DIRECÇÃO Definição Considera-se que as lajes são armadas numa direcção (ou funcionam predominantemente numa direcção) se: As condições de apoio o exigirem A relação entre vãos respeitar a condição L maior L menor 2 81

87 y l y l x / l y 2 l x x Pré-dimensionamento Para sobrecargas correntes em edifícios (sc 5 kn/m 2 ), a espessura das lajes armadas numa direcção pode ser determinada a partir da seguinte relação: h L 25 a 30 Esta expressão tem por base o controlo indirecto da deformação e o nível de esforços na laje Pormenorização de armaduras Disposição de armaduras As armaduras principais devem ser colocadas por forma a funcionarem com o maior braço, tal como se encontra ilustrado nas figuras seguintes. - - As As,dist As + + As,dist Determinação da altura útil: d = h - c - long 2 h (0.025 a 0.03) m Exemplos da disposição das armaduras principais e de distribuição Ver Folhas da Cadeira, Volume I, págs. 17, 18, 19 e Armadura de bordo simplesmente apoiado Pelo facto das vigas de bordo impedirem a livre rotação da laje quando esta se deforma, surgem tracções na face superior, nas zonas de ligação entre os dois elementos. Em 82

88 geral, estas tracções não são contabilizadas no cálculo já que se despreza a rigidez de torção das vigas no cálculo dos esforços em lajes. Caso não seja adoptada armadura específica para este efeito podem surgir fendilhações, conforme se ilustra na figura seguinte. Deste modo, é necessário dispor de armadura na face superior da laje junto às vigas de bordo, na direcção perpendicular às mesmas, cuja disposição se apresenta. L/4 - - As,apoio 0.2As,apoio A quantidade de armadura a adoptar deverá respeitar a seguinte condição: A s,apoio Armadura de bordo livre + = máx { A s,min, 0.25 A s,vão } Num bordo livre de uma laje deve ser adoptada armadura longitudinal e transversal, conforme ilustrado na figura seguinte. 2h h 12 Para o reforço longitudinal do bordo livre pode ser utilizada a armadura longitudinal superior ou inferior da laje. 83

89 EXERCÍCIO L1 Verifique a segurança aos estados limite últimos da escada representada na figura. A 0.30 A' Corte A-A' Considere as seguintes acções: - peso próprio; - revestimento: 1.50 kn/m 2 ; - sobrecarga de utilização: 3.00 kn/m 2 ; Adopte para materiais o betão C20/25 e a armadura A400NR. Desenhe a distribuição de armaduras em corte longitudinal e transversal à escala 1:25 na folha anexa. 84

90 Resolução do Exercício L1 Laje armada numa direcção 1. Modelo de cálculo pdegraus sc rev pplaje pdegraus pp /cos pp sc rev = arctg = Cálculo das Acções 2.1. Cargas permanentes Peso próprio pp Laje = betão h = = 5.0 kn/m 2 p degraus = betão h degrau 2 = = 2.13 kn/m 2 Zona do patim: pp = 5.0 kn/m 2 Zona dos degraus: pp = pp Laje cos + p degraus = 5.0 cos = 7.9 kn/m2 Revestimento = 1.5 kn/m Sobrecarga Sobrecarga de utilização = 3.0 kn/m 2 85

91 3. Acções solicitantes de dimensionamento psd2 psd p sd1 = 1.5 cp sc = 1.5 ( ) = 14.3 kn/m 2 p sd2 = 1.5 cp sc = 1.5 ( ) = 18.6 kn/m 2 4. Determinação dos esforços DEV [kn/m] 45.1 (+) (-) 45.1 DMF [knm/m] 49.1 (+) Cálculo das armaduras (verificação da segurança ao E.L.U. de flexão) Armadura principal M sd = 66.0 knm/m = M sd b d 2 f = 66.0 cd = ; = A s = b d 2 f cd f yd = = cm 2 /m Adoptam-se 16//0.15 (13.4 cm 2 /m). Armadura de distribuição A s,d = 0.20 A s,princ. = = 2.53 cm 2 /m Adoptam-se 8//0.20 Armadura mínima A s,min = 0.26 f ctm f yk b t d = = 2.43 cm 2 /m Armadura de bordo simplesmente apoiado 86

92 A s,apoio + = máx { A s,min, 0.25 A s,vão } A s,vão = = 3.17 cm 2 /m = 3.17 cm 2 /m Adoptam-se 8// Verificação da segurança ao E.L.U. de esforço transverso V sd V Rd,c = [ C Rd,c k ( 100 L f ) 1/3 ck + k 1 cp ] b w d ( k 3/2 f 1/2 ck ) b w d Como não existe esforço normal de compressão, V Rd,c = C Rd,c k (100 1 f ck ) 1/3 b w d = ( ) 1/ = = kn K = d = = k = = A sl b w d = = V Rd,c k 3/2 f ck 1/2 b w d = /2 20 1/ = 75.3 kn Dado que V sd,máx = 45 kn/m, está verificada a segurança ao E.L.U. de esforço transverso. 87

93 2.7. LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES Métodos de Análise e Dimensionamento A análise e dimensionamento das lajes vigadas pode ser efectuada recorrendo a modelos elásticos ou a modelos plásticos Análise elástica (Teoria da Elasticidade) A análise elástica das lajes baseia-se na teoria da elasticidade e resume-se à integração da equação diferencial de Lagrange que relaciona o campo de deslocamentos w(x,y) com a carga actuante q. Este tipo de análise foi abordado na disciplina de Análise de Estruturas I. Indicam-se aqui as principais equações da análise elástica de lajes finas. Equação de Lagrange 4 w(x,y) x w(x,y) x 2 y w(x,y) y 4 = q D q Equações de equilíbrio (V e M) v x = m x(q) x + m xy(q) y ; v y = m y(q) y + m xy(q) y (V e q) v x (q) x + v y(q) y = q (M e q) 2 m x (q) x m y (q) y m xy (q) x y = q Foram desenvolvidas soluções da equação de Lagrange para painéis de laje com geometria simples que resultaram na publicação de tabelas de cálculo de lajes com diferentes condições de apoio. 88

94 Uma avaliação dos esforços elásticos nas lajes pode ser efectuada recorrendo a estas tabelas de esforços ou a métodos numéricos como, por exemplo, o método dos elementos finitos. Nas figuras seguintes ilustram-se o tipo de tabelas que fornecem os valores dos momentos flectores máximos no vão e nos apoios para lajes com diferentes condições de apoio e diferentes relações de vãos, admitindo apoios indeformáveis. Refira-se que esta é uma hipótese razoável, no caso do apoio das lajes em vigas mas tem as suas limitações pois as vigas são necessariamente deformáveis. 89

95 Ilustra-se na figura seguinte a distribuição de esforços elásticos em painéis de laje com diferentes condições de apoio. 90

96 Painel apoiado no contorno Painel interior Painel de bordo Painel de canto 91

97 Na figura seguinte ilustra-se a distribuição de esforços elásticos num painel de 4 lajes vigadas recorrendo a um programa de análise estrutural baseado no método dos elementos finitos, considerando a deformabilidade das vigas, indicando-se a distribuição de momentos nas direcções x e y e dos momentos torsores

98 No dimensionamento pode efectuar-se uma redistribuição dos esforços elásticos, não devendo esta ultrapassar mais ou menos 25% do valor dos momentos elásticos nos apoios de modo a assegurar que o comportamento em serviço não seja afectado. Refirase que o tomar uma distribuição de esforços não muito afastada da elástica não afecta as deformações e tem uma influência limitada na abertura máxima de fendas, que como se referiu anteriormente, não é condicionante no comportamento à flexão de lajes. Importa salientar que na análise elástica a carga actuante é equilibrada com momentos flectores e momentos torsores, conforme a equação de equilíbrio (M e q) atrás apresentada. No dimensionamento das armaduras das lajes este aspecto deve ser tido em conta, e pode sê-lo de uma forma simplificada realizando o cálculo das armaduras para os seguintes momentos flectores corrigidos: m' sd, x = m sd, x + m sd, xy 0 A + sx m' sd, y = m sd, y + m sd, xy 0 A + sy m' sd,x = m sd, x - m sd, xy 0 A - sx m' sd, y = m sd, y - m sd, xy 0 A - sy Verifica-se que os momentos torsores são nulos nas secções onde o momento flector é máximo o que significa que as armaduras máximas são, em geral, calculadas apenas para os momentos flectores, mas nas outras secções é necessário ter em conta a presença dos momentos torsores. Importa, ainda, referir que as tabelas de esforços elásticos fornecem soluções elásticas considerando os apoios indeformáveis, como atrás mencionado. Todavia, estas condições de apoio são pouco frequentes na prática e os esforços elásticos em lajes com apoios deformáveis podem diferir significativamente dos esforços fornecidos pelas tabelas. No entanto, esta situação não se traduz num problema no dimensionamento das lajes pois as soluções fornecidas satisfazem o equilíbrio e é sempre possível considerar a redistribuição de esforços desde que a ductilidade seja assegurada, o que nas lajes é, em geral, o caso. 93

99 Análise plástica (Teoria da Plasticidade) A análise plástica pode ser aplicada quando a ductilidade do comportamento à flexão é garantida, ou seja, quando o dimensionamento das armaduras de flexão é efectuado por forma a que a posição da L.N. correspondente a este E.L.U. seja tal que: x d O dimensionamento, recorrendo à Teoria da Plasticidade, pode ser efectuado por dois métodos distintos: Método cinemático: o valor da carga associado a um mecanismo cinematicamente admissível é um valor superior da carga última exemplo: método das linhas de rotura. A aplicação deste método deve ser realizada com cuidado pois é necessário determinar o mecanismo de colapso que conduz à carga de rotura mínima. Método estático: o valor da carga que satisfaz as equações de equilíbrio, de forma a que em nenhum ponto seja excedida a capacidade resistente, é um valor inferior da carga última (método conservativo) exemplo: método das bandas. A figura seguinte ilustra a relação das soluções estática e cinematicamente admissíveis face à carga de rotura de uma laje. Refira-se que ambas as soluções convergem para a carga de rotura real da laje q u,r. Enquanto o método estático está do lado da segurança o método cinemático está do lado contrário. q Campo das soluções cinematicamente admissíveis q u,r Campo das soluções estaticamente admissíveis Campo dos momentos O método estático apresenta grande utilidade na avaliação e no dimensionamento de lajes de betão como se ilustra e discute no exemplo seguinte. Considere-se a laje, sujeita a uma carga uniformemente distribuída q, indicada na figura seguinte com armaduras nas direcções x e y a que correspondem momentos resistentes m Rx e m Ry. 94

100 l x l y x m y0 y m x0 Assumindo que a distribuição dos momentos segundo x e y apresenta uma forma parabólica tem-se: m x = m x0 (1 - ax 2 ); m y = m y0 (1 - by 2 ) nos apoios: m x = 0 ; m y = 0 x = l x /2 m x = 0 2 a = 4 / l x y = l y /2 m y = 0 2 b = 4 / l y donde m x = m x0 (1-4x 2 /l 2 x ); m y = m y0 (1-4y 2 /l 2 y ) Recorrendo à equação de equilíbrio das lajes (M e q) 2 m x (q) x m y (q) y m xy (q) x y = q obtém-se q = (8 / l 2 x ) m x0 + (8 / l 2 y ) m y0 Considerando a condição de base do teorema estático m(q) m R, a capacidade resistente da laje é atingida quando m x0 = m Rx e m y0 = m Ry pelo que a máxima capacidade de carga da laje é q max = (8 / l x 2 ) m Rx + (8 / l y 2 ) m Ry isto é, a carga máxima é obtida pelo somatório da parcela da carga equilibrada segundo x e y pelos momentos m Rx e m Ry, respectivamente: q max = q Rx + q Ry 95

101 com: q Rx = (8 / l x 2 ) m Rx ; q Ry = (8 / l y 2 ) m Ry Recorrendo agora às equações de equilíbrio (V e M) v x = m x(q) x + m xy(q) y ; v y = m y(q) y + m xy(q) y obtém-se o esforço transverso v x = - 8 m Rx x/l x 2 ; v y = - 8 m Ry x/l y 2 nos apoios tem-se x = l x /2 v ap, x = 4 m Rx / l x y = l y /2 v ap, y = 4 m Ry / l y ou v ap, x = q Rx l x /2 v ap, y = q Ry l y /2 Este método pode ser aplicado quer à avaliação da capacidade de carga de lajes existentes quer ao dimensionamento das armaduras de lajes novas. No entanto, é necessário ter presente que a sua aplicação pressupõe que existe ductilidade suficiente das secções e que não ocorrem problemas de deficiente comportamento em serviço nomeadamente no que se refere à fendilhação Método das bandas O método das bandas é uma aplicação simples do método estático ao dimensionamento de lajes. A sua fundamentação foi apresentada atrás mas pode, também, ser explicada da seguinte forma. Considere-se a equação de equilíbrio das lajes (M e q): 2 m x (q) x m y (q) y m xy (q) x y = q e uma distribuição de armaduras tal que em nenhum ponto a distribuição de esforços equilibrada excede a capacidade resistente da laje, m(q) m R, onde, m(q) - momento da distribuição equilibrada de esforços devido à carga q; m R - momento resistente da laje Se não se quiser considerar os momentos torsores para equilibrar a carga actuante q (m xy = 0), a equação de equilíbrio toma a forma 96

102 2 m x x m y y 2 = q Pode então admitir-se que a carga é suportada em bandas nas direcções x e y, ou seja, 2 m x x 2 = q 2 m y y 2 = (1 ) q 0 1 l x (1- ) q l y q q Momentos flectores de dimensionamento a meio vão: m x = q l 2 x /8; m y = (1-q l 2 y /8 Esforço transverso nos apoios: v x = q l x /2; v y = (1-q l y /2 Efectuando a comparação com o exemplo anteriormente apresentado tem-se a seguinte correspondência: q = q Rx ; (1-q = q Ry É de notar que, se a distribuição equilibrada de esforços adoptada no dimensionamento diferir significativamente dos esforços em serviço (estes próximos de uma distribuição elástica), podem acontecer situações deficientes em termos do comportamento em serviço, da laje. De qualquer modo, a segurança em relação ao estado limite último está assegurada. Em geral, um bom comportamento em serviço pode ser garantido através da conveniente: escolha do modelo de cálculo e dos caminhos de carga a adoptar por forma a não se afastar significativamente do comportamento elástico da laje; 97

103 escolha dos coeficientes de repartição de carga () de acordo com o mesmo critério; pormenorização adequada de armaduras. Indicações qualitativas quanto à escolha dos coeficientes de repartição () Para L maior /L menor 2 e visto tratar-se de flexão cilíndrica, = 1; Para iguais condições de fronteira nas duas direcções, o valor de a considerar para a menor direcção (L x ) deve variar entre 0.5 e 1, para relações de vãos entre 1 e 2. Sendo os momentos m x dados por k L 2 x. Deve verificar-se que L 2 x > (1 - ) L 2 y ; As direcções com condições de fronteira mais rígidas absorvem mais carga maior. Nas figuras seguintes apresentam-se exemplos de aplicação do método das bandas ao dimensionamento de lajes Aplicação do método das bandas a uma laje rectangular com l x > 2 l y 98

104 Aplicação do método das bandas a uma laje com bordo livre Como se percebe a aplicação do método estático ao dimensionamento das lajes dá grande liberdade ao engenheiro na forma como define o encaminhamento das cargas e como dispõe as armaduras. É, todavia, necessário assegurar a ductilidade necessária a estes elementos. Um aspecto que importa analisar é relativo a situações em que possam ocorrer roturas prematuras por esforço transverso sem que se atinja primeiro a capacidade resistente à flexão. Trata-se de situações raras relativas a lajes sujeitas a cargas muito elevadas mas que importa ter em atenção. Como as lajes não são, em geral, armadas transversalmente para o esforço transverso, as roturas associadas a este tipo de esforço são frágeis. Se para uma determinada situação se atinge primeiro a capacidade resistente ao esforço transverso a possibilidade de redistribuição de esforços é praticamente nula e a aplicação do teorema estático deixa de ser válida. Considerando as formulações para determinar a resistência ao esforço transverso e a resistência à flexão é possível para diferentes casos de lajes avaliar as situações em que é previsível ocorrer primeiro a rotura por esforço transverso. 99

105 Nas figuras seguintes ilustram-se estas situações para lajes com percentagens de armadura entre 0.5% e 1.2% para um betão corrente C30/37 e aço A500 considerando os três sistemas estáticos básicos. Nos gráficos apresenta-se a relação M V /M F em função do relação l/d, em que: M V momento correspondente à rotura por esforço transverso; M F momento correspondente à rotura por flexão; l vão da laje; d altura útil. Como de pode verificar se a relação l/d é baixa ocorre primeiro a rotura por esforço transverso (razão M V /M F inferior a um). Verifica-se que à medida que aumenta a quantidade de armadura maior será o valor de l/d abaixo do qual ocorrem roturas por esforço transverso. Interessa, assim, na concepção destes elementos evitar, na medida do possível, as relações l/d que configurem roturas prematuras por esforço transverso. Caso não seja viável esta opção então será prudente proceder-se ao dimensionamento com base nos esforços elásticos. Importa, no entanto, ter presente que no caso de se recorrer a tabelas de esforços elásticos para o dimensionamento das lajes, a situação acima indicada também se coloca pois, como referido anteriormente, a este tipo de dimensionamento está também associada a redistribuição de esforços. 100

106 Relação M V /M F em função de l/d para diferentes níveis de armadura 2.8. PRÉ-DIMENSIONAMENTO Para sobrecargas correntes em edifícios (sc 5 kn/m 2 ), a espessura das lajes armadas em duas direcções pode ser determinada a partir da seguinte relação: h L 25 a 35 Esta expressão tem por base o controlo indirecto da deformação e o nível de esforços na laje. Indicações mais detalhadas em relação ao valor de L/h podem ser vistas no Quadro 7.4N do EC2. 101

107 2.9. PORMENORIZAÇÃO DE ARMADURAS Disposição de armaduras Armadura colocada segundo a direcção do maior momento Exemplos da disposição das armaduras principais e de distribuição Ver Folhas da Cadeira, Volume I Capítulo II, páginas 37 a DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS EM LAJES Ver Folhas da Cadeira, Volume I Capítulo II, página

108 EXERCÍCIO L2 O painel de lajes vigadas, representado na figura, apresenta uma espessura igual a 0.15 m e encontra-se submetido às seguintes acções: - peso próprio; - revestimento: 1.5 kn/m 2 ; - sobrecarga de utilização: 4.0 kn/m 2 ; Dimensione e pormenorize as armaduras das lajes do piso recorrendo ao método das bandas. Adopte para materiais betão C25/30 e aço A400NR. 103

109 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L2 1. Cálculo das acções Peso próprio pp = betão h = = 3.8 kn/m 2 Revestimentos rev = 1.5 kn/m 2 Sobrecarga sc = 4.0 kn/m 2 p sd = 1.5 cp sc = 1.5 ( ) = 13.9 kn/m 2 2. Modelo de cálculo L maior L = 6 menor 5 = Laje armada nas duas direcções y q 0.3q ( = = 17.5) x Cálculo dos esforços (i) Direcção x 0.3 x 13.9 = 4.2 kn/m pL /8 5pL /8 DEV [kn/m] 9.5 (+) (-) DMF [knm/m] (-) (+)

110 (ii) Direcção y 0.7 x 13.9 = 9.7 kn/m pL /8 5pL /8 DEV [kn/m] 18.2 (+) DMF [knm/m] (-) 30.3 (-) 30.3 (+) Cálculo das armaduras Armaduras principais (d = 0.12 m) Direcção x y M sd [knm/m] A s [cm 2 /m] Armadura adoptada Armadura mínima A s,min = 0.26 f ctm f yk b t d = = 2.03 cm 2 /m Esta armadura deve ser colocada em todas as zonas (e direcções) onde a laje possa estar traccionada. Armaduras de distribuição Armadura inferior: não é necessária Armadura superior: A s,d - = = 1.59 cm 2 /m (direcção y) A s,d - = = 0.9 cm 2 /m (direcção x) 105

111 Armadura de bordo simplesmente apoiado A s,apoio (i) Direcção x A s,vão + = máx { A s,min, 0.25 A s,vão } (ii) Direcção y A s,vão = = 0.66 cm 2 /m = = 1.08 cm 2 /m = 2.03 cm 2 /m 5. Verificação da segurança ao E.L.U. de esforço transverso V Rd,c = C Rd,c k (100 1 f ck ) 1/3 b w d = ( ) 1/ = = 74.8 kn K = d = = k = = A sl b w d = = V Rd,c k 3/2 f ck 1/2 b w d = /2 25 1/ = 59.4 kn Dado que V sd,máx = 30.3 kn/m, está verificada a segurança ao E.L.U. de esforço transverso. 106

112 2.11. ARMADURAS DE CANTO Considere-se um painel de laje apoiado no contorno. Se não estiver impedido o levantamento da laje, e o referido painel for solicitado por uma carga no seu interior, conforme indicado, os cantos terão tendência a levantar. R0 R0 P R0 R0 Como, nas situações usuais, o deslocamento dos cantos está impedido (por vigas ou paredes), surgem forças de reacção (R 0 ), associadas a momentos torsores nas direcções dos bordos. A acção deste esforço produz uma superfície torsa tipo sela de cavalo, com curvatura nas duas direcções, de sinais contrários. Na figura seguinte apresenta-se a deformação de um canto de uma laje apoiada no contorno (com deslocamentos verticais impedidos em dois dos bordos e rotação livre). A acção da reacção de canto produz uma curvatura negativa segundo a direcção AA, enquanto o carregamento distribuído vertical provoca uma curvatura positiva segundo a direcção BB. A B' B A' 107

113 Este efeito é equivalente à aplicação de momentos flectores segundo as direcções principais de inércia do elemento (as quais fazem um ângulo de 45 com a direcção do momento torsor), um positivo e outro negativo, de igual valor. Mxy' Mij My Mx Mxy' Mxy' Mxy' My Mx Mii x Mx My y Mxy' Mxy' x, y - direcções principais Mxy' = Mx = My Este comportamento provoca fendilhação nas faces superior e inferior das lajes, junto aos cantos, conforme se ilustra na figura seguinte. M- M+ a) Face inferior da laje b) Face superior da laje Para absorver as tracções e controlar a fendilhação, é necessário adoptar armadura específica para este efeito, junto às duas faces da laje (armadura de canto), segundo a direcção das tensões de tracção ou, simplesmente, uma malha ortogonal. Importa referir que no caso do dimensionamento das lajes com base em métodos plásticos, como o método das bandas, os momentos flectores atrás referidos não são necessários ao equilíbrio das cargas pelo que podem ser desprezados na verificação da segurança aos estados limites últimos. Todavia, é conveniente dispor-se de uma armadura nestas zonas para efeito do controlo da fendilhação em serviço SISTEMAS DE PAINÉIS CONTÍNUOS DE LAJES COMPATIBILIZAÇÃO DE ESFORÇOS NOS APOIOS DE CONTINUIDADE Considerem-se dois painéis de laje adjacentes com vãos diferentes, L A e L B, na direcção x. 108

114 L A L B A B M AB Se o método utilizado para a análise de sistemas de lajes contínuas consistir na análise isolada de cada painel, obtêm-se momentos diferentes M A e M B, no bordo de continuidade, conforme ilustrado na figura abaixo. A B M A M B DMF M A M B Dado que a rigidez de torção da viga não é significativa, o momento M AB terá que ser o mesmo, à esquerda e à direita. O momento M AB será intermédio entre M A e M B e dependente da rigidez dos painéis adjacentes: com, M AB = B M A + A M B A = K A K A + K B 1/L A 1/L A + 1/L B e B = K B K B + K A 1/L B 1/L B + 1/L A Simplificadamente, poderá considerar-se M A + M B M AB = máx máx (M A, M B ) 109

115 Refere-se que não é necessária grande precisão no cálculo do momento M AB pois é sempre possível explorar a redistribuição de esforços nas lajes. No entanto, a satisfação do equilíbrio é essencial. Obtém-se então o seguinte diagrama de momentos flectores final DMF M A M AB M M B M/2 É de referir que no tramo onde se diminui o momento negativo é necessário, por equilíbrio, aumentar o momento positivo ALTERNÂNCIA DE SOBRECARGAS Conforme se referiu anteriormente, para o cálculo dos esforços em sistemas contínuos de lajes, pode proceder-se à análise isolada de cada painel. Todavia, é necessário considerar no dimensionamento a possibilidade da sobrecarga poder actuar em zonas distintas da laje dado que estes casos conduzem a distribuições de esforços diferentes dos actuantes na situação em que todos os painéis são solicitados pela sobrecarga. Trata-se de um problema semelhante ao que ocorre nas vigas e que foi abordado na disciplina de Estruturas de Betão I. Nos casos correntes não é necessário proceder-se à determinação da envolvente de esforços associada às várias hipóteses de actuação da sobrecarga e dimensionar a laje para os esforços máximos dessa envolvente. Refere-se que este tipo de dimensionamento não é económico pois não tira partido da capacidade de redistribuição de esforços das lajes, a qual está normalmente assegurada. Em geral, é suficiente ter-se em atenção os efeitos que a alternância de sobrecargas tem no andamento dos diagramas de esforços os quais se vão repercutir essencialmente em alguns cuidados adicionais na definição da secção de dispensa das armaduras. Recorrendo a uma análise plástica facilmente se percebe que o momento global máximo a equilibrar em cada painel de laje é igual qualquer que seja o carregamento dos painéis adjacentes. As únicas questões que se podem colocar, e que devem ser analisadas caso a caso, são relativas ao comportamento em serviço e à definição das secções de dispensa de armaduras anteriormente referidas. Quanto maior for a amplitude de variação do diagrama de momentos actuante maior será o cuidado a ter na análise dos aspectos acima definidos. Essa amplitude de variação é 110

116 traduzida pelo valor da relação entre a sobrecarga e a carga permanente. Quanto maior for este valor maior será a variação do diagrama de momentos e, por conseguinte, maiores serão os cuidados necessários na pormenorização das armaduras. Importa, no entanto, referir que para os casos correntes de edifícios de habitação e de serviços em que as sobrecargas actuantes são moderadas, os efeitos da alternância de sobrecargas no dimensionamento não são relevantes. Para ilustrar estes aspectos considere-se o exemplo de uma laje constituída por dois painéis armados em uma direcção. Analisa-se uma faixa de laje com 1m de largura. e = Acções: pp = 5 kn/m 2 ; rcp = 2 kn/m 2 ; sc = 5 kn/m 2 Os possíveis casos de carga actuantes na laje são os seguintes: 1 sc cp 2 sc cp 3 sc cp 111

117 Representam-se os diagramas de momentos relativos aos vários casos de carga Diagrama envolvente dos momentos Explorando a redistribuição de esforços é possível evitar o dimensionamento para o diagrama envolvente. É suficiente realizar o dimensionamento para um diagrama de momentos equilibrado considerando a totalidade das cargas actuando nos dois tramos e ter em atenção a definição das secções de dispensa de armaduras conforme se explica a seguir. Considerando para efeito do dimensionamento um diagrama de momentos intermédio adoptando, por exemplo, o momento no apoio igual a pl 2 /10 tem-se: Este diagrama corresponde a uma redistribuição de momentos do apoio para o vão de 20%, valor que é aceitável. 112

118 Haverá que ter em atenção a dispensa das armaduras superiores de modo a contemplar os casos de carga 2 e 3. O diagrama envolvente contemplando os vários casos de carga é o seguinte Por exemplo, para o caso de carga 2 ter-se-ia: Verifica-se que o problema da dispensa das armaduras superiores surge no vão adjacente ao da actuação da sobrecarga. Esta situação de carga leva a que, em geral, a dispensa de armaduras não possa ser realizada a ¼ do vão, como nos casos correntes, e a armadura tenha de ser prolongada mais um pouco. No entanto, caso se adopte uma malha de armadura mínima superior, como é conveniente, poderá em geral realizar-se a dispensa de armadura também a ¼ de vão. No exemplo em causa o momento resistente conferido pela armadura mínima é cerca de 19 knm/m o que permite efectivamente fazer a dispensa das armaduras superiores a ¼ de vão. 113

119 EXERCÍCIO L3 O painel de lajes vigadas, representado na figura, apresenta uma espessura igual a 0.15 m e encontra-se submetido às seguintes acções: - peso próprio; - revestimento: 1.5 kn/m 2 ; - sobrecarga de utilização: 4.0 kn/m 2 ; Dimensione as armaduras das lajes do piso, adoptando para materiais o betão C25/30 e a armadura A400NR, das seguintes formas: a) recorrendo a tabelas, para o cálculo dos esforços elásticos. b) pelo método das bandas. c) Pormenorize de acordo com os resultados obtidos na alínea a). 114

120 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L3 Alínea a) 1. Cálculo das acções Peso próprio pp = betão h = = 3.8 kn/m 2 Revestimentos rev = 1.5 kn/m 2 Sobrecarga sc = 4.0 kn/m 2 p sd = 1.5 cp sc = 1.5 ( ) = 13.9 kn/m 2 2. Painéis a calcular Painel L maior L = 6 menor 4 = Laje armada nas duas direcções Painel L maior = 6 L menor 6 = Laje armada nas duas direcções 115

121 3. Cálculo dos esforços de dimensionamento 3.1.Esforços elásticos Painel 1 y b = 4.0 Mys Mxs min Mxv = a b = 6 4 = 1.5 min Myv a = 6.0 x p a 2 = = kn p b 2 = = kn M xs = = 5.0 knm/m M min xv = = knm/m M ys = = 10.5 knm/m M min yv = = knm/m Painel 2 y min Myv b = 6.0 Mys Mxs min Mxv = a b = 6 6 = 1.0 p a 2 = p b 2 = kn x a = 6.0 M xs = M ys = = 13.5 knm/m M xv min = M yv min = = knm/m 116

122 3.2. Compatibilização de esforços no bordo de continuidade M - y, painel 1 + M - y, painel 2 2 = = 29.1 knm/m M - y 0.8 máx { M - y, painel 1, M - y, painel 2 } = = 28.0 knm/m M y - = 29.1 knm/m DMF M M/2 Painel 1 diagrama sobe (pode optar-se por não alterar M + ) Painel 2 diagrama desce (é necessário calcular M + ) M 2 = = 3.0 knm/m 3.3. Esforços finais Cálculo das armaduras Painel 1 Direcção x y M sd [knm/m] A s [cm 2 /m] Armadura adoptada 117

123 Armadura mínima A s,min = 0.26 f ctm f yk b t d = = 2.03 cm 2 /m Armaduras de distribuição Armadura inferior: não é necessária Armadura superior: A d,x - = = 0.91 cm 2 /m A d,y - = = 1.52 cm 2 /m Armadura de bordo simplesmente apoiado A s,apoio + = máx { A s,min, 0.25 A s,vão } = 2.03 cm 2 /m Armadura de canto A s,canto = A s, máx + = 2.63 cm 2 /m Painel 2 Direcção x y M sd [knm/m] A s [cm 2 /m] Armadura adoptada Armaduras de distribuição Armadura inferior: não é necessária Armadura superior: A d,x - = = 1.86 cm 2 /m A d,y - = = 1.52 cm 2 /m Armadura de bordo simplesmente apoiado A s,apoio (i) Direcção x A s,vão + = máx { A s,min, 0.25 A s,vão } (ii) Direcção y = = 0.85 cm 2 /m = 2.03 cm 2 /m A s,vão = = 1.04 cm 2 /m 118

124 Armadura de canto A s,canto = A s, máx + = 4.17 cm 2 /m Alínea b) 1. Modelo de cálculo Painel 1 Painel 2 y y 0.8q 0.2q 0.5q 0.5q x x 2. Cálculo dos esforços de dimensionamento Painel 1 (i) Direcção x 0.2 x 13.9 = 2.8 kn/m pL /8 5pL /8 DEV [kn/m] 6.3 (+) DMF [knm/m] (-) 10.4 (-) 12.5 (+)

125 (ii) Direcção y x 13.9 = 11.1 kn/m pL /8 3pL /8 DEV [kn/m] 27.8 (+) DMF [knm/m] 22.2 (-) (+) 12.5 (-) 16.7 Painel 2 (i) Direcções x e y 0.5 x 13.9 = 7.0 kn/m pL /8 5pL /8 DEV [kn/m] 15.8 (+) DMF [knm/m] (-) 26.3 (-) 31.5 (+) Compatibilização de esforços no bordo de continuidade M - y, painel 1 + M - y, painel 2 2 = = 26.8 knm/m M - y 0.8 máx { M - y, painel 1, M - y, painel 2 } = = 25.2 knm/m M - y = 26.8 knm/m 120

126 DMF M M/2 Painel 1 diagrama sobe (pode optar-se por não alterar M + ) Painel 2 diagrama desce (é necessário calcular M + ) M 2 = = 2.4 knm/m 2.2. Esforços finais

127 2.14. COMPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DOS MODELOS ELÁSTICO E PLÁSTICO 1º Caso: LAJE QUADRADA, SIMPLESMENTE APOIADA NO CONTORNO Modelo elástico Modelo plástico M + = pL 2 ( = 0) M + = pL 2 ( = 0.15) = P L2 16 = PL ( = 0) M plástico M = elástico 1.5 ( = 0.15) 2º Caso: LAJE QUADRADA, ENCASTRADA NO CONTORNO Modelo elástico M - = pL 2 M + = pL pL 2 Modelo plástico P L 2 24 = PL2 M + = p L2 48 = pL2 (pl 2 / 16) pL 2 M elástico M = plástico = 1.11 Conclusões: Conforme se pode observar no 1º caso, o momento positivo obtido através do modelo plástico é significativamente superior ao obtido pelo modelo elástico, devido ao facto de, no primeiro, o equilíbrio da laje ser feito apenas por momentos flectores nas duas direcções ortogonais, enquanto no segundo também existe momento torsor; Relativamente ao 2º caso, embora os momentos positivos sejam maiores no modelo plástico, pela razão anteriormente referida, os momentos negativos obtidos através do modelo elástico são maiores. Esta situação deve-se ao facto do momento elástico negativo não ser constante ao longo do bordo da laje e as tabelas fornecerem o valor de pico, enquanto o modelo plástico considera que este é constante ao longo do bordo. Este facto também se pode observar através da soma dos momentos positivo e negativo que, no modelo elástico não corresponde a pl 2 /

128 EXERCÍCIO L4 O painel de lajes vigadas, representado na figura, apresenta uma espessura igual a 0.20 m e encontra-se submetido às seguintes acções: - peso próprio; - revestimento: 1.5 kn/m 2 ; - sobrecarga de utilização: 4.0 kn/m 2 ; Dimensione e pormenorize as armaduras das lajes do piso recorrendo ao método das bandas. Adopte para materiais betão C25/30 e aço A400NR. 123

129 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L4 1. Cálculo das acções Peso próprio pp = betão h = = 5.0 kn/m 2 Revestimentos rev = 1.5 kn/m 2 Sobrecarga sc = 4.0 kn/m 2 p sd = 1.5 cp sc = 1.5 ( ) = 15.8 kn/m 2 2. Modelo de cálculo p 0.7p A p C B 6.00 Banda A Banda B 0.3 p 0.7 p R Banda C p + R/ Determinação dos esforços Banda p sd [kn/m 2 ] M + sd [knm/m] M - sd [knm/m] R [kn/m] A = B = C / 1.5 =

130 4. Cálculo das armaduras (d = m) Banda M sd [knm/m] A s [cm 2 /m] Armadura adoptada A B C Armadura mínima A s,min = 0.26 f ctm f yk b t d = = 2.79 cm 2 /m Armaduras de distribuição Armadura inferior: não é necessária Armadura superior: A d,a - = = 0.59 cm 2 /m A d,b - = = 1.28 cm 2 /m A d,c - = = 2.67 cm 2 /m Armadura de bordo simplesmente apoiado A s,apoio + = máx { A s,min, 0.25 A s,vão } = 2.79 cm 2 /m Armadura de canto A s,canto = A s,min = 2.79 cm 2 /m 125

131 EXERCÍCIO L5 O painel de lajes vigadas, representado na figura, apresenta uma espessura igual a 0.13 m e encontra-se submetido às seguintes acções: - peso próprio; - revestimento: 1.5 kn/m 2 ; - paredes divisórias: 1.5 kn/m 2 - sobrecarga de utilização: 2.0 kn/m 2 ; Dimensione e pormenorize as armaduras das lajes do piso recorrendo ao método das bandas. Adopte para materiais betão C20/25 e aço A400NR. 126

132 4,00 10// //0.15 4,00 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Ano lectivo 2013/2014 EXERCÍCIO L6 Considere a laje representada na figura, bem como as armaduras que se encontram indicadas e que constituem a sua armadura principal. Planta inferior 6//0.20 6//0.20 6//0.20 7,00 0,8 0,8 4,00 Planta superior 8//0.10 1,00 1,00 7,00 4,00 Considerando que a laje tem uma espessura de 0.13 m e que é constituída por um betão C20/25 e que as armaduras são em A400, determine a máxima sobrecarga que pode actuar na laje, por forma a que esteja verificada a segurança ao estado limite último de flexão. Considere que a restante carga permanente é de 2.0 kn/m

133 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L6 1. Cálculo dos momentos resistentes (d = 0.10 m) Painel Direcção face Armadura existente As [cm 2 /m] M Rd [knm/m] 1 2 superior 8// x inferior 6// y inferior 10// superior 8// x inferior 6// y inferior 8// Determinação da carga solicitante máxima Painel 1 (i) Direcção x DMF 2 pl /8 MRd - MRd + M Rd M Rd + = p 1,x L = p 1,x p 1,x = 2.8 kn/m 2 (ii) Direcção y M Rd + = p 1,y L = p 1,y p 1,y = 9.9 kn/m 2 p sd,1 = p 1,x + p 1,y = 12.7 kn/m 2 Painel 2 (i) Direcção x M Rd M Rd + = p 2,x L = p 2,x p 2,x = 12.7 kn/m 2 (ii) Direcção y M Rd + = p 1,y L = p 2,y p 2,y = 5.5 kn/m 2 128

134 p sd,2 = p 2,x + p 2,y = 18.2 kn/m 2 p sd = min (p sd,1 ; p sd,2 ) = 12.7 kn/m 2 3. Determinação da máxima sobrecarga que pode actuar na laje p sd = 1.5 (cp + sc) = 12.7 kn/m 2 Peso próprio pp = betão h = = 3.3 kn/m 2 Revestimentos rev = 2.0 kn/m 2 p sd = 1.5 ( sc) = 12.7 kn/m 2 sc máx = 3.2 kn/m 2 129

135 2.15. ABERTURAS EM LAJES Quando as dimensões das aberturas não excederem determinados limites, podem adoptar-se regras simplificadas para a pormenorização das zonas próximas das aberturas. (i) Laje armada numa direcção L2 Limites máximos: b < L 1 5 b L1 b < L 2 4 (para uma abertura isolada) (ii) Laje armada em duas direcções L1 Limite máximo: b1 b2 L2 máx (b 1, b 2 ) min (L 1, L 2 ) 5 Se estes limites não forem excedidos, o dimensionamento das lajes pode ser efectuado admitindo que não existem aberturas. As armaduras que forem interrompidas na zona da abertura deverão ser colocadas como se indica em seguida. 130

136 (i) Lajes armadas numa direcção As As/2 armadura principal de reforço prolongada até aos apoios; reforçar armadura de distribuição junto ao bordo. (ii) Lajes armadas em duas direcções Asx Asx/2 ax by bx Asy Asy/2 a y = b x 2 + l b,d a x = b y 2 + l b,d ay Em aberturas de dimensões relativamente grandes (superiores a 0.5m), é conveniente dispor uma armadura suplementar junto aos cantos, segundo a diagonal, para controlar uma eventual fendilhação. 131

137 Quando os limites atrás referidos são excedidos, as zonas adjacentes às aberturas poderão ser analisadas pelo método das bandas. R R ou R1 R1 R2 R2 R1 p R2 R2 132

138 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Ano lectivo 2013/ DISCUSSÃO DO MODELO DE CÁLCULO DE LAJES COM GEOMETRIAS DIVERSAS 1) ) )

139 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Ano lectivo 2013/2014 4) ) )

140 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Ano lectivo 2013/2014 7) 8)

141 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Ano lectivo 2013/2014 9) 10) ) 136

142 2.17. PORMENORIZAÇÃO COM MALHAS ELECTROSSOLDADAS Representação gráfica das malhas Empalme das armaduras ls ls Sobreposição tipo Exemplo de aplicação de malhas electrossoldadas Armaduras superiores 137