Engenharia Biomédica

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1 Engenharia Biomédica EN2310 MODELAGEM, SIMULAÇÃO E CONTROLE APLICADOS A SISTEMAS BIOLÓGICOS Professores: Ronny Calixto Carbonari Maria Elizete Kunkel Janeiro de 2013

2 2 Introdução a Modelagem: Solução Analítica (Revisão: MecSol) x Ansys

3 Solução Analítica 3 Viga engastada: y 0,2 0,1 x

4 4 Equação da Linha Elástica

5 Modelagem Analítica 5 Análise linear dos deslocamentos, ou seja, os deslocamentos por flexão ocorrem sempre na direção perpendicular ao eixo da estrutura na configuração inicial (indeformado); 2 d v dx 2 M EI Para a solução da equação diferencial da flexão, em que M(x) é uma função constante ou polinomial integra-se nos trechos onde lineares da estrutura, ao longo dos quais a função M é integrável.

6 Modelagem Analítica Resolvendo a primeira integral, temos: d 2 v F L x 2 dx EI 2 dv F F x L x dx Lx C dx EI EI 2 1 Resolvendo a segunda integral, temos: v F Lx x dx C dx = F Lx x C x C EI 2 EI

7 Modelagem Analítica 7 Aplicando as condições de contorno para determinar as constantes de integração, obtemos: x 0 0 C 0 x 0 v 0 C Portanto: F EI Lx x 2 2 v F Lx x EI

8 Modelagem Analítica 8 Considerando que: E = 2,1x10 11 Pa ν = 0,3 L = 2m F = 10N y x 0,1 0,2 Portanto: 2 2 F L 10 2 * 0, EI 2 2,1 e * *0,1*0, F L 10 2 * 0, EI 3 2,1 e * *0,1*0, e rad 5 e m

9 9 Modelagem no Ansys: Viga

10 Modelagem Numérica: Viga Resultados obtidos pelo Ansys para as rotações na direção Z : 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 ROTZ (AVG) RSYS=0 DMX =.192E-05 SMN =-.143E-05 DEC :40:19 Y MX Z X MN -.143E E E E E E E E E

11 Modelagem Numérica: Viga Resultados obtidos pelo Ansys para os deslocamentos na direção Y : 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 UY (AVG) RSYS=0 DMX =.192E-05 SMN =-.192E-05 DEC :39:51 Y MX Z X MN -.192E E E E E E E E E

12 12 Viga de Timoshenko

13 Modelagem Analítica 13 Analisando a resposta dos deslocamentos na direção Y, vimos que há uma diferença entre o resultado analítico (Euler-Bernoulli) e numérico, que é devido ao numérico considerar o modelo de viga espessa (considera o efeito do cisalhamento - modelo de Timoshenko), ou seja: F L F hl 10 2 y * EI 3 GI 10 2,1 e * *0,1*0, * 2 x 0, ,1e * *0,1*0, E onde G 21 5 e m

14 14 Equação das Tensões e Deformações Mecânicas

15 Modelagem Analítica 15 Cálculo das tensões e deformações mecânicas: xx yy xy u x v y u v y x xx 1 xx 1 yy 1 yy E 1 zz zz xx u M x E EI xx z zz y

16 Modelagem Analítica 16 Cálculo das tensões e deformações mecânicas: xx M I zz z y 10*(2 x) 1 *0,1*0, * y xx M EI z zz y 10*(2 x) 2,1 e * 1 *0,1*0, * y

17 Modelagem Analítica Cálculo das tensões mecânicas: M z 10*(2 x) xx y * y 1 3 I zz *0,1*0, 2 12 máxima tensão y 0, 2 / 2 0,1m 2 10*(2 x) x 2 / 2 *0, xx Pa 1 3 *0,1*0, *(2 x) x / 2 *0,1 29, xx KPa 1 3 *0,1*0,

18 Modelagem Numérica: Viga Resultados obtidos pelo Ansys para as tensões na direção X : 1 ELEMENT SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SX1 (NOAVG) DMX =.192E-05 SMN = SMX =-150 DEC :21:53 Y ZMN X MX

19 Modelagem Analítica 19 Cálculo das deformações mecânicas: M z 10*(2 x) xx y * y EI zz 2,1 e * *0,1*0, 2 12 máxima deformação y 0, 2 / 2 0,1m 2 10*(2 x) x 2 / 2 *0,1 0, xx e 1 3 2,1e11* *0,1*0, *(2 x) x / 2 *0,1 0, xx e 1 3 2,1e11* *0,1*0,

20 Modelagem Numérica: Viga Resultados obtidos pelo Ansys para a energia de deformação na direção X : 1 ELEMENT SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 EXX (NOAVG) DMX =.192E-05 SMN =-.142E-06 SMX =-.714E-09 DEC :15:15 Y ZMN X MX -.142E E E E E E E E E E-09 20

21 21 Modelagem no Ansys: Bidimensional

22 Modelagem Numérica: Bidimensional Resultados obtidos pelo Ansys para os deslocamentos na direção Y : 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 UY (AVG) RSYS=0 DMX =.191E-05 SMN =-.191E-05 DEC :00:39 Y MN MX Z X -.191E E E E E E E E E

23 Modelagem Numérica: Bidimensional Resultados obtidos pelo Ansys para as tensões na direção X : 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SX (AVG) RSYS=0 DMX =.191E-05 SMN = SMX =34592 DEC :01:49 MX Y MN Z X

24 Modelagem Analítica 24 Resultado analítico para as tensões na direção X : M z 10*(2 x) xx y * y 1 3 I zz *0,1*0, 2 12 máxima tensão y 0, 2 / 2 0,1m 10*2 x 0, 0 m xx *0,1 30, 00KPa 1 3 *0,1*0, 2 12

25 Influência do engaste!? 25

26 Modelagem Numérica: Bidimensional Resultados obtidos pelo Ansys para os deslocamentos na direção Y : 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 UY (AVG) RSYS=0 DMX =.191E-05 SMN =-.191E-05 DEC :26:11 Y MX Z X MN -.191E E E E E E E E E

27 Modelagem Numérica: Bidimensional Resultados obtidos pelo Ansys para as tensões na direção X : 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SX (AVG) RSYS=0 DMX =.191E-05 SMN = SMX = DEC :25:52 MX Y ZMN X

28 28 Influência do engaste!? Modelo considerando elemento de contato na região do engaste.

29 Modelagem Numérica: Bidimensional e Contato Resultados obtidos pelo Ansys para os deslocamentos na direção Y : 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =2 TIME=1 UY (AVG) RSYS=0 DMX =.238E-05 SMN =-.237E-05 SMX =.332E-08 DEC :10:39 Y MX MN Z X -.237E E E E E E E E E E-08 29

30 Modelagem Numérica: Bidimensional e Contato Resultados obtidos pelo Ansys para as tensões na direção X : 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =2 TIME=1 SX (AVG) RSYS=0 DMX =.238E-05 SMN = SMX =29939 DEC :10:16 MX Y MN Z X

31 Referências 31 MOAVENI, Saeed. Finite element analysis: theory and application with ansys. 3 ed. Upper Saddle River, EUA: Pearson Prentice, c2008. xv, 861 p. ISBN MADENCI, Erdogan; GUVEN, Ibrahim. The finite element method and applications in engineering using ANSYS. New York: Springer, c2006. xv, 686 p. Includes CD- ROM. ISBN ALAWADHI, Esam M. Finite element simulations using ANSYS. Boca Raton, EUA: CRC Press, c2010. vii, 408 p. Includes bibliographical references and index. ISBN KIM, Nam-ho; SANKAR, Bhavani V. Introdução à análise e ao projeto em elementos finitos. [Introduction to finite element analysis and design]. Rio de Janeiro: LTC Ed, c2011. xii, 353 p. ISBN STOLARSKI, T; NAKASONE, Y; YOSHIMOTO, S. Engineering analysis using ANSYS software. Oxford: Elsevier; Butterworth-Heinemann, c2006. xv, 456 p. Includes bibliographical references and index. ISBN