Outro aspecto fundamental é a modelagem da fundação elástica, que vai depender das propriedades físicas e mecânicas desta. Geralmente é adotada uma

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1 1 Introdução A dinâmica das estruturas é um tópico fundamental no campo da análise estrutural, já que, na realidade, tanto as propriedades mecânicas dos sistemas estruturais quanto os sistemas de carga que neles agem variam com o tempo e levam a resultados que, na maioria das vezes, diferem bastante da análise estática, que fica restrita a casos especiais nos quais a hipótese estática pode fornecer resultados aceitáveis. Dentro deste amplo campo que é a análise dinâmica de estruturas pode-se citar a análise de estruturas que se encontram em contato com meios contínuos, que, muitas vezes, e por facilidade prática, são consideradas como estruturas em contato com meios elásticos. Dentro deste contexto, a modelagem de vigas e/ou vigas-coluna que descansam sobre uma fundação elástica é usada numa grande quantidade de problemas práticos na engenharia, como vigas e lajes de fundação, trilhos de ferrovias, estruturas de pavimentos rígidos, estacas e tubulações enterradas, entre outros. Um caso particular dentro do estudo dinâmico de vigas que repousam sobre fundação elástica, é o caso de vigas submetidas á ação de cargas móveis. O efeito do movimento da carga sobre a estrutura tem suma importância na resposta do sistema, sendo que os deslocamentos máximos na estrutura e a configuração do campo de deslocamentos mudam continuamente com a velocidade, mudando conseqüentemente as tensões e deformações na estrutura. Estas grandezas podem ser consideravelmente subestimadas se o efeito da velocidade não for levado em conta na formulação do problema. O estudo de cargas móveis torna-se ainda mais importante se for considerado que nos últimos anos o desenvolvimento de novas tecnologias tem permitido um aumento na velocidade dos veículos, como, por exemplo, os trens de alta velocidade. Se for considerada ainda uma variação na intensidade do carregamento, o problema se faz ainda mais complexo, acentuando o caráter dinâmico deste tipo de carregamento. 23

2 24 Outro aspecto fundamental é a modelagem da fundação elástica, que vai depender das propriedades físicas e mecânicas desta. Geralmente é adotada uma relação linear entre o campo de deslocamentos da viga e a reação que opõe a fundação, mas, em geral, as fundações apresentam um ganho ou perda de rigidez quando há incremento de carga, levando a um comportamento não-linear. No entanto, a introdução da não-linearidade da fundação representa uma complicação na obtenção da solução deste tipo de sistema, sendo que, na maioria dos casos, não existem soluções analíticas exatas para problemas que envolvam nãolinearidade. Portanto, para se chegar a uma solução, é necessário usar metodologias aproximadas que permitam conhecer, de maneira também aproximada, os efeitos que traz a consideração de tal não-linearidade. O espírito da presente dissertação é precisamente o estudo do efeito da nãolinearidade da fundação elástica no comportamento de vigas de comprimento infinito submetidas a cargas móveis. O modelo de viga de comprimento infinito vale para vários problemas práticos na engenharia onde a relação entre comprimento da estrutura e região carregada (zona de aplicação da carga) é tão grande que os efeitos da carga se anulam antes de se chegar aos extremos da estrutura, não importando as condições de contorno desta. É considerada na presente dissertação a ação de cargas concentradas e uniformemente distribuídas num trecho determinado, com amplitude constante ou com variação harmônica. A análise é feita sob a hipótese de vigas de Euler-Bernoulli, onde se consideram somente os efeitos da flexão para a contribuição na deformação da viga. Também, é levado em conta o efeito da inércia rotacional da seção da viga, também conhecida como hipótese de Rayleigh. Para a fundação elástica é considerado o modelo de Winkler, que é um dos modelos mais usados devido à sua simplicidade e à boa qualidade dos resultados apresentados, bem como porque a determinação experimental dos parâmetros envolvidos neste modelo é de certa forma simples de se obter. A não-linearidade da fundação é considerada acrescentando um termo cúbico na equação de movimento.

3 25 Propõe-se nesta dissertação uma metodologia de análise aproximada dos efeitos da fundação não-linear, baseada no método de Galerkin. Para isto, primeiramente se obtém uma solução analítica exata para a análise linear, baseada na técnica das transformadas de Fourier e se valida a formulação aproximada por Galerkin para o caso linear mediante a realização de uma análise paramétrica. Validada a formulação aproximada para o caso linear, inclui-se na análise a nãolinearidade da fundação e estuda-se o efeito da não-linearidade da fundação simultaneamente com a variação de parâmetros importantes como a velocidade de deslocamento da carga, freqüência do carregamento, inércia rotacional da seção e força axial compressiva. Todos os cálculos e as rotinas necessárias para a obtenção dos resultados apresentados na presente dissertação foram obtidos com a ajuda do software de modelagem e simulação matemática MAPLE na sua versão Revisão Bibliográfica Na análise de estruturas, vigas apoiadas sobre base elástica têm sido estudadas por diversos pesquisadores. Hetenyi (1946) realizou um estudo amplo de vigas apoiadas em fundação elástica de comprimento infinito e finito com diversas condições de contorno, submetidas a cargas estáticas. Timoshenko e Young (1965) fizeram uma análise estática de vigas de comprimento infinito apoiadas em fundação elástica de Winkler submetidas a cargas concentradas. Vlasov (1960) estudou o comportamento estático de vigas apoiadas em fundação elástica considerando a fundação suscetível a deformações cisalhantes numa certa altura, podendo ser considerada mais de uma camada com propriedades distintas. Diversos modelos de fundação elástica podem ser encontrados na literatura. Selvadurai (1979) e Aristizábal-Ochoa (2003) descreveram os modelos de fundação elástica mais usados na literatura, os quais são também apresentados na presente dissertação. O estudo de cargas móveis agindo sobre vigas apoiadas em fundação elástica representa um problema dinâmico importante a analisar. Frýba (1972) realizou um extenso estudo de estruturas submetidas a cargas móveis, dentre as

4 26 quais vigas infinitas apoiadas em fundação elástica de tipo Winkler submetidas a cargas concentradas móveis. Ele resolve analiticamente o problema por meio da técnica da transformada de Fourier e realiza uma análise paramétrica para estudar os efeitos da velocidade de deslocamento da carga e amortecimento do sistema, entre outros, no comportamento da viga. Graff (1975) em seu estudo de vibrações em sólidos elásticos incluiu o estudo de barras finas em contato com fundação elástica submetidas a cargas móveis, resolvendo o problema por meio da transformada de Fourier em conjunto com a transformada de Laplace, estudando também os efeitos da inércia rotacional da seção e das deformações por cisalhamento. Os trabalhos acima citados têm servido como base para o desenvolvimento de muitos estudos referentes ao problema de vigas sobre fundação elástica. Maheshswari et al. (2004) estudaram os deslocamentos lineares de uma viga infinita submetida a carga concentrada móvel apoiada sobre uma fundação composta por três distintas camadas de solos e reforçada com uma membrana de material geosintético, mostrando a metodologia para a modelagem da fundação e utilizando o método das diferenças finitas para resolver o sistema de equações que governa o problema. Kim (2005) analisou linearmente uma viga infinita apoiada em fundação elástica de tipo Winkler, submetida à ação de carga móvel de amplitude constante e com variação harmônica, considerando inércia rotacional e incluindo também o efeito de uma força axial compressiva. Ele resolveu analiticamente o problema utilizando a dupla transformada de Fourier, a qual também é adotada na presente dissertação. Kim (2005) mostra a influência da velocidade do carregamento, da inércia rotacional, da força axial compressiva e da freqüência do carregamento, estendendo a metodologia para o caso de várias de cargas separadas a distâncias arbitrárias, mas todas com a mesma velocidade. Mallik et al (2006) realiza uma análise paramétrica de uma viga infinita submetida a carga concentrada móvel, apoiada em uma fundação com dois parâmetros baseada nos modelos de Vlazov e Leotiev, mostrando a influência da consideração do segundo parâmetro da fundação na resposta do sistema.

5 27 Chen e Li (2006) analisam a estabilidade de um arco apoiado em fundação elástica submetido a uma carga concentrada móvel, aproximando o campo de deslocamentos do arco por meio de séries de Fourier. Um tópico de muito interesse nos últimos anos é a consideração do comportamento não-linear da fundação elástica. Esta consideração torna mais complexa a formulação e, sobretudo, a resolução do problema, tendo-se que recorrer a métodos aproximados na maioria dos casos. Um dos trabalhos que envolvem não-linearidade na fundação é a dissertação de mestrado apresentada por Andrade (1993), que estuda a estabilidade de colunas esbeltas sobre base elástica não-linear. A não-linearidade da fundação é incluída nas equações de movimento adicionando um termo proporcional ao cubo do deslocamento transversal. Serebrenick (2004) na sua dissertação de mestrado, continuando o trabalho de Andrade (1993), estudou o comportamento de colunas parcialmente enterradas em fundação elástica não-linear, usando também uma formulação com não-linearidade cúbica para a fundação. A consideração da não-linearidade da fundação através da adição de um termo cúbico ao modelo de Winkler tem sido muito utilizada em diversos trabalhos e publicações que abordam uma grande variedade de problemas onde se inclui a não-linearidade de fundação, tanto em problemas unidimensionais como é o caso de Demeio e Lenci (2008) que estudaram a solução de segunda ordem da resposta dinâmica de cabos em contato unilateral com fundação não-linear; quanto em problemas bidimensionais, como nos trabalhos de Chien e Chen (2005) e de Chen et al. (2009) quem estudam as vibrações não-lineares em lajes laminadas e ortotrópicas apoiadas em fundação elástica não-linear. Nos últimos anos, a não-linearidade da fundação tem sido incluída em problemas de vigas submetidas a cargas móveis usando diversas metodologias de análise. Kargarnovin et al. (2005) estudam a resposta de vigas infinitas sobre base não-linear submetidas a cargas concentradas móveis, usando a teoria de vigas de Timoshenko. Eles resolvem o problema não-linear através do método de Lindestedt-Poincaré. Şimşek e Kocatürk (2008) estudam a resposta dinâmica de uma viga simplesmente apoiada sobre uma fundação elástica não-linear submetida a uma carga concentrada móvel com variação harmônica e a uma força axial compressiva excêntrica, resolvendo o sistema de equações diferencias nãolineares por meio da integração implícita de Newmark-β conjuntamente com o

6 28 método iterativo de Newton-Raphson. Nguyen e Duhamel (2008) apresentam uma metodologia para a utilização do método dos elementos finitos (MEF) na análise de vigas infinitas sobre fundação elástica não-linear submetida a uma carga concentrada móvel de amplitude harmônica. Eles formularam o problema em coordenadas móveis no espaço, fazendo uma validação da metodologia através da comparação de resultados calculados pelo MEF com os obtidos mediante uma solução analítica para o caso linear. Posteriormente, eles mostraram a influência da não-linearidade da fundação na configuração do campo de deslocamentos nas fases transiente e permanente da resposta da viga. Outro problema que também tem atraído a atenção dos pesquisadores é o problema de contato unilateral da fundação, que restringe a deformação da fundação somente no caso de haver deslocamento da viga que comprima a fundação, não existindo deformação para o caso oposto, criando assim zonas de contacto e não contacto entre a viga e a fundação. Este tópico não é estudado na presente dissertação. No entanto, como este tópico é uma extensão natural a se estudar em trabalhos futuros. Vale a pena mencionar alguns trabalhos nesta área como é o caso de Ma et al. (2008) que estuda vigas infinitas sobre fundação elástica submetidas a carregamento vertical estático arbitrário considerando contato unilateral da fundação, ou o trabalho apresentado por Zhang (2008) que estuda o contacto unilateral de vigas finitas apoiadas em fundação de tipo Reissner submetidas a cargas concentradas, ou também o trabalho de vibrações forçadas de uma placa circular apoiada de forma livre sobre uma fundação elástica unilateral realizado por Celep e Güler (2007) Objetivos Inicialmente, tem-se por objetivo obter um método aproximado, baseado no método dos resíduos ponderados de Galerkin, que permita representar de maneira confiável a resposta linear de vigas apoiadas sobre fundação elástica e submetidas a cargas móveis e estendê-lo à análise considerando não-linearidade da fundação. A seguir, com base nesta formulação, estudar a influência da não-linearidade da fundação elástica, da mobilidade da carga e da geometria da estrutura na resposta do sistema analisado.

7 Organização e Descrição do Trabalho No Capítulo 2 é apresentada a dedução das equações de movimento que governam o problema dinâmico de vigas prismáticas apoiadas sobre fundação elástica linear e não-linear e submetidas a um carregamento transversal arbitrário. É apresentada também a mudança de coordenadas no espaço para a consideração de cargas móveis. No Capítulo 3 é desenvolvida uma solução analítica exata do caso linear de uma viga infinita sob carga móvel por meio de transformadas duplas de Fourier. No Capítulo 4 é proposto um método aproximado baseado no método de Galerkin para o caso da fundação linear. No Capítulo 5 faz-se uma validação do método aproximado por meio de uma análise paramétrica do caso linear, comparando os resultados obtidos pela solução exata com a solução aproximada. No Capítulo 6 mostram-se as modificações das equações de movimento para a consideração da não-linearidade da fundação. As equações de movimento são adimensionalizadas para se ter uma melhor visão da relação entre as grandezas envolvidas na análise. Mostra-se também a adaptação do método aproximado para a consideração da dita não-linearidade e a resolução das equações de movimento por integração numérica usando o método de Runge- Kutta de quarta ou quinta ordem. No Capítulo 7 é realizada uma análise paramétrica, mostrando a influência da não-linearidade da fundação juntamente com a variação dos parâmetros do carregamento no comportamento da viga. No Capítulo 8 são descritas as conclusões do trabalho realizado e as sugestões para trabalhos futuros. dissertação. Finalmente, apresenta-se a bibliografia usada na elaboração da presente