Determinação da Carga Crítica de Flambagem em Colunas do Tipo Engastada-Articulada segundo os Métodos de Newton

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1 Universidade Federal de São João Del-Rei MG 26 a 28 de maio de 2010 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia Determinação da Carga Crítica de Flambagem em Colunas do Tipo Engastada-Articulada segundo os Métodos de Newton A. L. Christoforo 1 ; C. G. Persch 2 ; T. H. Panzera 3 ; M. E. Assumpção 4 ; F. A. R. Lahr 5 1 Departamento de Engenharia Mecânica - UFSJ - São João Del-Rei, MG alchristoforo@ufsj.edu.br 2 Departamento de Engenharia Civil UFSM Santa Maria, RS CEP: Departamento de Engenharia Mecânica - UFSJ - São João Del-Rei, MG 4 Departamento de Engenharia Mecânica - UFSJ - São João Del-Rei, MG 5 Departamento de Engenharia de Estruturas EESC/USP São Carlos, SP CEP: cristianog.persch@bol.com.br, meassumpcao@yahoo.com.br, tuliopanzera@hotmail.com, frocco@sc.usp.br Resumo. Na engenharia de estruturas, a concepção dos elementos estruturais é contemplada de forma a evitar o fenômeno de instabilidade, ocorrendo para valores de forças de compressão superiores à crítica de flambagem. Dessa forma, o conhecimento da carga crítica de flambagem mostra-se de fundamental importância em projetos mecânicos envolvendo membros estruturais axialmente carregados. O estudo de problemas desta natureza requer, em geral, a montagem e resolução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, sendo que, a determinação da carga crítica, para vinculações do tipo engaste e rótula deve ser realizada por intermédio de métodos aproximados. Porém, a solução encontrada na literatura não é abordada com detalhes e, indicando, na maior parte, a metodologia de tentativas para o cálculo de carga limite. Sendo assim, o presente texto tem a finalidade de apresentar a solução da problemática, fazendo usufruto de métodos determinísticos, em especial, dos métodos de Newton, evidenciando resultados e possíveis restrições nesta aplicação. Palavras chaves: FLAMBAGEM, CARGA CRÍTICA, MÉTODOS DE NEWTON.

2 1 INTRODUÇÃO Em meados do século XVIII, o matemático Leonhard Euler, determinou analíticamente uma expressão para o cálculo da força crítica P cr (ou limite) de compressão em colunas bi-articuladas, mediante a resolução da equação diferencial que contempla o modelo de Vigas de Bernoulli 1. Este resultado é, ainda hoje, muito utilizado por engenheiros em projetos envolvendo o dimensionamento de elementos estruturais submetidos a forças de compressão. Figura 1: Coluna bi-articulada Na engenharia de estruturas, sub-área da engenharia civil, em geral, os elementos estruturais são projetados de maneira a se evitar o fenômeno de instabilidade, que surge para valores de forças de compressão acima do valor crítico. A força crítica de colunas depende fortemente da geometria da seção transversal do elemento estrutural (momento de inércia), do módulo de elasticidade do material e da forma como o mesmo é vinculado (forma de fixação). Para colunas vinculadas por apoios (não impedem o giro da peça), como é o caso do problema proposto e resolvido por Euler, a 1 a carga crítica é obtida por intermédio de métodos analíticos de cálculo. Em se tratando de colunas engastadas-articuladas (figura 2), a determinação da força crítica requer o emprego de métodos aproximados de cálculo. Na maioria dos problemas da engenharia civil, em particular, da engenharia de estruturas, o estudo do equilíbrio dos elementos estruturais é efetuado na configuração não-deformada (teoria de 1ª ordem). Em especial, nos problemas de flambagem de colunas, o equilíbrio é determinado em sua posição deformada (teoria de 2ª ordem), assim como ilustra a figura 2, onde enfatiza-se o momento fletor. Figura 2: Coluna articulada-engastada. Para o equilíbrio de ambas as partes do elemento de barra sujeito à ação da força P (mediante um corte hipotético), ver figura 2, surge além das forças de reação horizontal (H A e H B ) e vertical (V B ) nos vínculos, um esforço interno de flexão, o momento fletor (M), que varia ao longo do eixo x da barra, expresso pela equação: M x = Pv x + H A x (1) 1 Vigas onde as seções transversais permanecem planas e ortogonais ao eixo da barra antes e após a sua deformação.

3 em que, v(x) denota o deslocamento na ordenada x e P a força aplicada no centro de gravidade da seção transversal da peça. Levando-se o valor do momento fletor M(x), dado pelas equação (1), na equação diferencial da linha elástica, tem-se: d²v(x) = M(x) = (Pv x +H A x) d²v(x) + Pv(x) = H A x (2) dx² dx² em que E representa o módulo de deformação longitudinal e I o momento de inércia. Na equação (2), fazendo α² = P, obtêm-se: d²v(x) + α 2 v x = H A x (3) dx² A equação (3) é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes, cuja solução é dada por: V x = C 1 cosαx + C 2 senαx H A x (4) P As constantes C 1, C 2 e o valor de H A da equação (4) são obtidos mediante a imposição de três condições de contorno, sendo: V(0) = 0, V(l) = 0 e x = l = 0. A aplicação dx das condições de contorno juntamente com algumas simplificações, dá origem à equação: tg(α. L) = α. L (5) Realizando-se uma substituição de variáveis na equação (5) e reescrevendo-a na forma de função (f: R R), tem-se: f x = tg x x, com x >0 (6) O valor da força crítica de compressão para colunas articuladas-engastadas é: P cr = (E I x 2 )/L 2, sendo x solução da equação (6). 2 MATERIAIS E MÉTODOS Em geral, na literatura atual referente à Mecânica dos Materiais, a solução da equação diferencial (função campo de deslocamentos) não é abordada em detalhes, apresentando pequenos trechos do seu desenvolvimento e, indicando, na maior parte, a metodologia de tentativas para o cálculo de P cr. Neste contexto, o presente trabalho objetiva a aplicação de métodos determinísticos, em particular os Métodos de Newton (Newton com aproximação linear (MNL), Newton fixo (MNLF) com aproximação linear e Newton com aproximação quadrática (MNQ)) na resolução da equação não-linear para o cálculo da força crítica de colunas, com o intuito de se verificar a eficiência de ambos e evidenciar suas restrições. Algumas versões dos Métodos de Newton aplicados na resolução de problemas de otimização podem ser encontradas nos trabalho de Christoforo (2008) e Vobornik et al. (2008). Estes métodos são fundamentados no desenvolvimento em Séries de Taylor da função f nas vizinhanças de um ponto, tendo suas versões no truncamento dos termos da mesma. As equações de recorrência dos métodos de Newton aqui utilizados MNL, MNLF e MNQ são expressas respectivamente por: x k+1 = x k (f (x k )) 1 f(x k ) (7) x k+1 = x k (f (x 0 )) 1 f(x k ) (8) x k+1 = x k (f (x k )) 1 f (x k ) (9) As duas primeiras equações são criadas mediante o truncamento da série no segundo termo e a terceira, no terceiro termo. É importante observar que no MNLF, a derivada é avaliada apenas sobre a estimativa inicial aferida, mantendo-se constante ao longo do processo iterativo. dv x

4 Para a avaliação da eficiência destes métodos no cálculo da raiz da equação (6), foram desenvolvidos três programas na plataforma do software Mathcad RESULTADOS As Figuras 3 e 4 ilustram respectivamente os gráficos das seqüências de valores geradas pelos métodos confrontando número de iteração com raiz aproximada e número de iteração com o erro associado (ε), partindo-se de uma estimativa inicial x 0 =4,71 e tolerância igual a ε= ,72 4,69 4,66 4,63 4,6 4,57 4,54 4,51 4,48 X M.N.L. M.N.L.F ,70 4,50 4,30 4,10 3,90 3,70 3,50 3,30 3,10 X M.N.Q Figura 3: Iteração x Raiz Aproximada 0,002-0,007-0,016-0,025-0,034-0,043-0,052-0,061-0,07 MNL MNLF MNQ Figura 4: Interação x Erro 4 DISCUSSÃO Várias tentativas foram realizadas na busca da solução do problema e, para estimativas iniciais muito próximas e inferiores a 4,71, os Métodos de Newton Linear (MNL) e Fixo (MNLF) apresentaram convergência, porém, o MNL necessitou de doze iterações para a determinação da raiz aproximada, já, o MNLF, de 693, assim como esperado segundo a ordem de convergência de ambos os métodos. O emprego direto do MNQ (com ordem de convergência cúbica) para determinação da raiz do problema não apresentou ser eficiente devido à quantidade de estimativas iniciais utilizadas para a determinação de uma seqüência de valores convergentes. Uma forma alternativa de resolver este problema seria a utilização de métodos híbridos, como a utilização do MNF como estratégia de cálculo para a determinação de uma estimativa inicial mais próxima do problema e a partir desta nova estimativa, empregar o MNQ. 5 CONCLUSÕES Portanto, o MNL segundo a abordagem aqui utilizada mostrou ser o mais eficiente dentre os demais e a solução encontrada para o problema, segundo a tolerância prédefinida, é igual a 4,4934. Dessa forma, a expressão para o cálculo da carga crítica é P cr = (E I 4, )/L 2.

5 6 BIBLIOGRAFIA Christoforo. A. L., Análise do comportamento não-linear em estruturas planas do tipo treliça. I Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional. I ERMAC. Bauru, São Paulo. [CD-ROM]. J.M. Gere, Mecânica dos Materiais, Tradução de Luiz Fernando de Castro Paiva. Ed. Pioneira Thomson Learning, São Paulo, W. Anderson Renato Vobornik, M. Anelize Borges, C. André Luís, Aplicação do método das tangentes e do método das tangentes fixas na determinação de pontos críticos de funções reais a variáveis reais. IV Encontro Estadual de Ensino de Matemática. IV EEEM. [CD-ROM]. 7 DIRTOS AUTORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no seu trabalho.