Resistência dos Materiais, MA, IST,

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1 Conceito de Tensão 3ª Aula Admita-se uma estrutura reticulada articulada (barras sujeitas apenas a esforços normais), coloca-se questão de saber se as barras correm ou não o risco de rotura (por tracção ou compressão). Para tal deve comparar-se a tensão aplicada (tensão normal,, ou simplesmente ) com a tensão resistente, que depende do material (determinada por ensaios, por exemplo). Essa tensão corresponde a um valor médio (admite-se uma distribuição uniforme na secção). Vejam-se os exemplos seguintes (secção circular e rectangular). Distribuição uniforme de tensões normais: secção circular (esqª) e prismática (dirª). BEER, 4ª Edição. Em rigor a tensão (pontual) é definida pelo seguinte limite: podendo o seu valor variar ao longo da secção. Habitualmente adopta-se a mesma convenção de sinais do esforço normal, ou seja, a tensão (normal) é positiva quando de tracção. 1

2 Distribuição não uniforme de tensões normais. BEER, 4ª Edição. Pode, pelo processo inverso, relacionar-se o esforço normal com a tensão: Ou seja, o esforço normal é a resultante das tensões normais na secção. A tensão constitui assim uma medida alternativa dos esforços, correspondente à força por unidade de superfície. A unidade de tensão no Sistema Internacional é o Pascal, ou seja, N/m 2, sendo comuns os seguintes múltiplos: P: Considere-se uma barra tubular ( ext =60mm, int =50mm) de aço com uma tensão admissível de 235 MPa, sujeita a um esforço normal de 150 kn (tracção). Verifique se esta sofre rotura. Determine o esforço axial máximo a que essa barra pode estar sujeita. R: Não, o esforço normal máximo é de 203 kn. Valores típicos de tensão resistente: Aço A MPa Aço A MPa Betão C12/15 8 MPa (c)/0.73 MPa(t) Betão C45/55 30 MPa (c) / 1.84 MPa(t) 2

3 De forma igual à estabelecida anteriormente (tensão normal versus esforço normal) pode introduzir-se o conceito de tensão tangencial média,. Por vezes esta componente do tensor das tensões 1 (desenvolver) é referida por ou. Também aqui se poderia fazer uma distinção entre o valor da tensão tangencial pontual. A distribuição de tensões tangenciais na secção é relevante para barras sujeitas a esforços transversos ou momentos torsores. Também é relevante para a verificação de segurança de ligações de corte. Tensões tangenciais (corte simples). BEER, 4ª Edição. Tensões tangenciais (corte duplo) []. Conceito de Extensão Considerando uma barra com uma secção A e comprimento (inicial) L 0 constituída por um determinado material, sujeita a um esforço normal de tracção N, esta barra sofre um alongamento. Pode observar-se que se, porventura, a barra tivesse o dobro da secção (2A), o 1 O termos genérico desse tensor tem o significado de componente segundo a direcção n na faceta elementar cuja normal é segundo m 3

4 mesmo comprimento inicial (L 0 ) e estivesse sujeita ao dobro do esforço normal (2N), o alongamento seria igual. Introduz-se então o conceito de deformação média, ou extensão média, como sendo a seguinte grandeza adimensional: Para um corpo de prova (amostra ou provete) sujeito a um ensaio de tracção o diagrama é uma característica do material que o constitui, não sendo dependente das dimensões (comprimento, secção) do corpo de prova. Também se poderia definir a extensão pontual através do seguinte limite: ou, inversamente, calcular o alongamento total de uma barra. Como referido a deformação média é uma grandeza adimensional, não dependente do sistema de unidades. Por vezes utiliza-se uma unidade convencional chamada mícron ( ) que corresponde a 10-6 (m/m, mm/mm, pol/pol, etc). À semelhança do verificado com as tensões, pode também definir-se um tensor de deformações, em que os termos diagonais indicam a extensão segundo as 3 direcções e os termos não diagonais indicam a distorção (variação de ângulo) entre os vários pares de eixos principais. P: Considere a mesma barra tubular da pergunta anterior com um comprimento de 3m. Admita que essa barra sofre um alongamento de 6 mm. Determine a extensão média. R: (ou 2000 ). 4

5 Diagramas tensão-deformação 4ª Aula Como referido o diagrama tensão-deformação constitui uma característica única do material, não sendo afectado pelas dimensões do corpo de prova (com algumas reservas). Estes ensaios são realizados sujeitando o corpo de prova (amostra ou provete) a uma história incremental de tensões, até se observar a rotura. Corpo de prova e instalação de ensaio de tracção. BEER, 4ª Edição. Diagrama tensão-deformação típico de provete de aço macio[]. 5

6 Características específicas do aço macio (baixo teor de carbono): Regime elástico; Cedência; Patamar de cedência (escoamento); Endurecimento (encruamento); Resistência convencional máxima; Rotura Há materiais (não isotrópicos, anisotrópicos) que apresentam características diferentes dependentemente da direcção de carregamento. Por vezes apresentam duas direcções ortogonais completamente distintas (ortotrópicos). Dê-se o exemplo da madeira (paralelo ao fio ou perpendicular ao fio). Há um conjunto de propriedades que podem decorrer da observação dos diagramas tensãodeformação, como sejam: Fragilidade há materiais com características frágeis, ou seja que sofrem rotura sem aviso prévio (ex: ferro fundido, vidro e pedra). Geralmente a deformação na rotura não é muito elevada (1% ou inferior). Ductilidade propriedade oposta à anterior. O material sofre grandes deformações antes de romper e dá avisos. Um material dúctil caracteriza-se por uma deformação na rotura elevada (10% ou superior). Elasticidade certos materiais apresentam um domínio elástico no qual as descargas permitem recuperar totalmente as deformações (deformação residual nula). As variações de tensão são proporcionais às variações de deformação. Plasticidade característica apresentada por certos materiais em certas gamas de tensões/deformações, nas quais as tensões permanecem aproximadamente constantes enquanto as deformações aumentam. Está geralmente associada a descargas com deformação residual (deformação não recuperada). Fadiga ocorrência de rotura após muitos ciclos (tipicamente milhões) para valores de tensão inferiores àqueles que caracterizam a resistência para um só ciclo (monotónica). Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Em alguns materiais existe uma gama de deformações para a qual as tensões são proporcionais (regime elástico). O declive do diagrama tensão-deformação é constante e o seu valor é designado de módulo de elasticidade (ou de Young) do material, sendo representado por E. Valores típicos do módulo de elasticidade: betão 30 GPa (dependente da resistência à compressão), aço 200 GPa (mais ou menos invariável). 6

7 No regime elástico É curioso notar-se que embora os tratamentos térmicos, inclusão de ligas tenham e processo de fabrico influenciem significativamente as características de resistência e ductilidade dos aços, o seu módulo de elasticidade permanece praticamente inalterado (200 GPa). Nota-se também que em alguns materiais (por exemplo o aço) as descargas e recargas se realizam de forma elástica (lineares, com um declive - idêntico ao declive da fase elástica da carga). Ainda no caso dos aços, refere-se que os aços com elevado teor de carbono tendem a não apresentar uma cedência nítida, razão pela qual se define o conceito (equivalente) de tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,2%. P: Para uma barra prismática de secção A, comprimento L, apoiada superiormente e livre inferiormente, constituída pelo material com um módulo de elasticidade de E, determine a expressão para o seu alongamento quando sujeito a uma força descendente (tracção) de valor P. Explorando a analogia com uma mola, determine a expressão para a constante de rigidez da mesma (K). R: Nota sobre as unidades: na expressão anterior que permite calcular o alongamento d sugerese a seguinte regra: [ ] 7

8 5ª Aula Voltando ao ensaio de tracção de um provete, para além da deformação longitudinal (alongamento do provete) existe um conjunto de deformações transversais que conduzem a um estreitamento da secção (não confundir com a estricção, fenómeno que só surge muito depois do regime elástico). As deformações transversais, 11 e 22 relacionam-se com a deformação longitudinal mediante o coeficiente de Poisson ( ), que é, à semelhança do módulo de elasticidade E uma característica do material. As dimensões da secção transversal são afectadas fazendo com que, para um dado valor do esforço normal N, a área possa ser expressa por: ( ) ( ) no caso de uma barra prismática cujas dimensões iniciais da secção transversal eram b 10 Xb 20. P: Para uma barra prismática de secção A, comprimento L, apoiada superiormente e livre inferiormente, constituída pelo material com peso específico determine os seguintes efeitos do peso próprio: diagrama de esforço normal N(x), distribuição de tensões normais (x), alongamento (x) (em particular indicar o alongamento da barra, (x=l)). R: ( ) Considere-se agora uma barra heterogénea (constituída por vários materiais) composta pela associação em série de N segmentos homogéneos, cada um dos quais com um comprimento L n, secção A n e módulo de elasticidade E n. O alongamento total ( L) pode ser obtido somando o alongamento de todos os seus segmentos, ou seja: No caso particular da barra estar sujeita a um esforço normal constante ( equação anterior toma a seguinte forma: ) a Em que, por analogia com o estudo de uma barra homogénea, se pode falar da rigidez total da barra como sendo: 8

9 ( ) Exemplo 2.1, BEER 4ª Edição 9

10 Problema resolvido 2.1, BEER 4ª edição 6ª Aula 10

11 P: Considere agora uma pirâmide quadrada com as dimensões de 200X200m 2 (base) e altura de 150m. Admita que a pirâmide é constituída por betão (E=29GPa, =25kN/m 3 ). Determine o assentamento do vértice superior. R: vértice =-3.23mm. 11

12 Considere-se agora uma barra heterogénea (constituída por vários materiais) composta pela associação em paralelo de 2 materiais (material 1 e 2), Exemplo 2.2 Beer 4ª Edição. 12

13 7ª Aula Da análise do problema anterior, generalizado para a associação em paralelo de (N) materiais (esforço normal constante e todos os materiais com o mesmo comprimento) extraem-se as seguintes conclusões: A determinação da parcela do esforço normal imputado a cada material P n é um problema estaticamente indeterminado (hiperestático), ou seja dispõe-se de apenas 1 equação de equilíbrio a N variáveis: A indeterminação da equação anterior pode ser eliminada considerando (N-1) equações de compatibilidade do tipo: ou, equivalentemente (considerando que n = n L) que, conjugadas com as relações constitutivas (comportamento elástico), do tipo permitem reescrever as (N-1) equações adicionais anteriores sob a forma Resumindo, conjugando a equação de equilíbrio com as (N-1) equações adicionais que resultam da conjugação das equações de compatibilidade e relações constitutivas obtém-se um conjunto de N equações a N variáveis, cujo resultado final é (exemplificado para um dos materiais, m): Ou seja, o esforço normal reparte-se pelos vários materiais na proporção directa da rigidez axial da (sub) barra constituída por cada um dos materiais, comparativamente com a rigidez axial da barra composta. De facto pode constatar-se que a rigidez da barra composta pode ser determinada 13

14 Barras estaticamente indeterminadas. Princípio da sobreposição dos efeitos (elásticos). Beer, 4ª edição 14

15 Variação de temperatura Considere-se agora uma barra homogénea de dilatação livre de comprimento L que é sujeita a uma variação de temperatura T. A observação permite concluir que a barra dilata linearmente com a temperatura, sofrendo um alongamento térmico : Em que é mais uma característica do material que constitui a barra e é designado de coeficiente de dilatação térmica (linear), vindo expresso (no SI) em ºC -1. Apresentam-se de seguida os valores típicos dos coeficientes de dilatação térmica dos materiais mais comuns: aço (13X10-6 /ºC), alumínio (23X10-6 /ºC), betão (10X10-6 /ºC), vidro(8x10-6 /ºC) e cobre (16X10-6 /ºC). Pode ainda definir-se a extensão (ou deformação térmica) T da seguinte forma: Dado se tratar de uma barra de dilatação livre não surgem tensões. Quando uma barra é sujeita a uma variação de temperatura não surgem tensões apenas quando a barra tem dilatação livre e é constituída por um só material (barra homogénea). Quando a barra tem a dilatação impedida (ou limitada) e/ou quando a barra é constituída por uma associação de materiais em paralelo vão surgir tensões. Considere-se a título de exemplo o que acontece quando uma barra homogénea é sujeita a uma variação de temperatura (positiva, aquecimento) T. 15

16 8ª Aula Pelo princípio da sobreposição dos efeitos pode afirmar-se que vai surgir um esforço normal P de compressão que conduz a um encurtamento igual e oposto ao alongamento que a barra apresentaria caso tivesse dilatação livre, ou seja: Ou seja: Ou, equivalentemente: 16

17 Caso a variação de temperatura seja imposta a uma barra de dilatação livre mas constituída por uma associação de materiais em paralelo também vão surgir tensões. P: 1º Problema, Exame 17 Janeiro 2009 R: B =2,2mm; 1 =-0,8 MPa, 2 =1,6 MPa Conceito de pré-esforço O pré-esforço é uma técnica utilizada no betão armado, tendo por objectivo contrariar a fraca resistência do betão à tracção (protelando a abertura de fendas) ou controlando as deformações (introduzindo um estado de deformação contrário àquele que resulta das restantes cargas). Pode distinguir-se o betão pré-esforçado pré-tensionado (caso em que as armaduras de préesforço são tensionadas previamente e é feita a transferência de cargas quando o betão endurece, situação comum na pré-fabricação) e o betão pós-tensionado (aderente ou não aderente), caso em que o pré-esforço é aplicado após o endurecimento do betão e depois é feita a transferência de cargas para a peça (amarrações de pré-esforço). 17

18 P: Considere a viga de betão pré-esforçado representada na figura. A viga é sujeita a um préesforço inicial de F p =10 kn. Calcule a máxima força F que pode ser aplicada. Dados: A a =1cm 2 ; A b =10cm 2 ; E a =210 GPa; E b =30 GPa; adm,a =200 MPa; adm,bt =3 MPa; adm,bc =-30 MPa R: F max =22,1 kn 18