A partir da árvore correta (a da direita), deduz-se o espaço de estados

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1 .. SOLUÇÕES PARA EXERCÍCIOS DA SEÇÃO. 77. Soluções ara exercícios da Seção. Solução do Exc. 1. O certo é começar a solução com a construção do modelo roailístico do exerimento aleatório enunciado. E a construção assa elo diagrama de árvore, já que o exerimento, no caso, é sequencial. O diagrama correta está à direita no desenho aaixo. Quanto ao diagrama à esquerda, este foi construido or um de meus alunos e está aresentado aqui como um exemlo da escolha infeliz na codificação dos nós da árvore. Esecificamente falando, o aluno usou, na segunda etaa da árvore, o código que carrega a informação sore o resultado da etaa anterior. Isto é totalmente disnecessário; recorde que a regra de construção canonisada manda considerar cada ifurcação como um exerimento aleatório simles, o que ressuôs que a marcação de seus resultados esteja desvinculada da marcação de outros nos da árvore. A desoediência do aluno não é um crime, mas levou-o, a artir de sua árvore confusa, ara uma codificação confusa dos resutlados, e, em sequencia, ofuscou o caminho de solução. 1 Ω {,,,,, } 3 A artir da árvore correta (a da direita), deduz-se o esaço de estados e as roailidades: Ω {( ), ( ), ( ), ( )} IP [( )] 1, IP [( )], IP [( )], IP [( )] 3. O evento retirar ola ranca na segunda etaa exressa-se or {( ), ( )}, chamaremos este de A; e o evento retirar ola ranca na rimeira etaa exressa-se or {( ), ( )}, denotamos este or B. A exressão matemática da ergunta do exercício é calcular IP [B A]. Usando a fórmula ara a roailidade condicional e as maniulações óvias com eventos A e B e suas roailidades, temos: 1 3 IP [B A] IP [B A] IP [A] IP [( )] IP [( )] + IP [( )] A coincidência do resultado com o valor que você vé no galho da árvore que liga com não é or acaso, mas a discussão dela será omitida or estar fora do escoo de fatos a erícias que meu leitor deve arender no momento.

2 78 Solução do Exc. 19. Usando o modelo roailístico que construimos na solução do Exc. ara a resença de carne no açougue nos três rimeiros dias de sua existência, temos que os eventos T {(s s s), (s s n), (n s s), (n s n)} N 3 {(s s n), (s n n), (n s n), (n n n)} corresondem aquilo que chamamo or, resectivamente, ter carne no -o dia e não ter carne no 3-o dia. Analisando a ergunta do exercício, conclui-se que esta é sore IP [T N3 ]. Usando a fórmula ara a roailidade condicional e as maniulações óvias com eventos T e N 3 e suas roailidades (a roailidade a ser usada é exatamente aquela que construimos na solução do Exc. ), temos a seguinte conta que nos leva à resosta: IP [T N3 ] IP [T N 3 ] IP [N 3 ] 0, 0, 0,+0, 0,3 0, 3 0, 0, 0,+0, 0, 0,7+0, 0,3 0,+0, 0,7 0,7 113 IP [(s s n)]+ip [(n s n)] IP [(s s n)]+ip [(s n n)]+ip [(n s n)]+ip [(n n n)] Solução do Exc. 0. Nesta solução, aroveitamos do modelo roailístico já feito ara o Exercício 7. Recorde esse: Ω {(1 3), (1 3 ), ( 1 3) ( 3 1), (3 1 ), (3 1)} com IP [ω] 1/ ara cada ω Ω (.37) sendo que 3 é o número carregado ela ola reta. Usando a codificação emregada na construção do modelo roailístico, temos: A Paolo retirar ola ranca {(1 3); ( 1 3), (3 1), (3 1 )} B Chico retirar ola reta {(3 1), (3 1 )} Para as contas futuras, recisamos dos valores das roailidades de A e de B A; amos seguem-se diretamente da atriuição de IP aresentada na segunda linha de (.37): IP [A], IP [B A] IP [{(3 1), (3 1 )}] Agora, vem a arte conceitual da solução: você recisa conceer que IP [B A] é a esressão formal da ergunta colocada no enunciado do exercício em forma veral. Isto e a fórmula ara a roailidade condicional dão a resosta final: IP [B A] IP [B A] IP [A] / / 1 esta é a assim que se calcula este é o notação seu valor resultado Solução do Exc. 1. O rimeiro rolema gerado or este exercício em nossas caeças é: onde está o exerimento aleatório do rolema?. Na verdade, o texto

3 .. SOLUÇÕES PARA EXERCÍCIOS DA SEÇÃO. 79 ressuõe imlicitamente que ocorre o seguinte: há um imenso lote da rodução da fárica, sendo que todas as eças do lote têm a mesma aarência. Porém, 0% das eças são carimadas, como se tivessem uma mensagem que imressa fui roduzida ela máquina A ; da mesma forma, 3% das eças são carimadas fui roduzida ela máquina B, e os restantes % são carimadas fui roduzida ela máquina C. Ainda, % das eças da máquina A ossuem defeito, 1% das eças da máquina B ossuem defeito e 3% das eças da máquina C ossuem defeito. Claro que todas as eças do lote são em misturadas de maneira que, ao se retirar uma eça do lote, a roailidade de qualquer uma delas ser escolhida é a mesma. Então, alguém retriou uma eça ao caso e viu que ela é defeituosa, mas este alguém não sae interretar os carimos resentes nas eças e, ortanto, não sae daqual das máquinas a eça veio. Na ersectiva deste alguém existe a ergunta: Qual é a roailidade da eça ter sido roduzida ela máquina B? Esero que agora ficou claro que este rolema fica arecido com aquele no qual lançamos um dado cujas faces foram coloridas or duas cores,e ao oservar só a cor, erguntamos da roailidade de façe conter um número ar. Você deve sentir ortanto que a solução do rolema resente deve seguir o caminho da solução daquele rolema com o dado. Ao tentar realizar esta idéia, você reare-se com a diferença: no caso do dado saiamos que a quantidade total de resultados era, mas no caso resente, não há informação arecida. Fazer então o que? Existe uma maneira não canónica de contornar o rolema indicado acima. Uma oa arte de meus alunos chegam a sugerí-la. A idéia é colocar no lote o número de eças grande o suficiente da sorte tal que todos os gruos estejam com número inteiro de eças. No caso, esse número ode ser 000. Se você acomanhar a solução até o fim, você vai entender o or que, e oderá sugerir outros números. Imagina então que no lote há 000 eças idênticas, sendo que 800 são carimadas roduzida ela máquina A 700 são carimadas roduzida ela máquina B 00 são carimadas roduzida ela máquina C e que das eças roduzidas ela máquina A, 1 têm carimo defeituosa, daquelas roduzidas ela máquina B, 7 têm este carimo, e daquelas roduzidas ela máquina C, 1 têm este carimo. Retiramos ao acaso uma eça (a roailidade de qualquer uma eça esecífica ser retirada é igual ara todas e seu valor é 1/000). Vimos que ela carrega o carimo defeituosa, mas não restamos atenção ao carimo que identifica a origem de sua rodução. Perguntamos: Qual é a roailidade da eça ter vindo da rodução da máquina B? Como saemos que a eça retirada é defeituosa, nosso esaço amostral reduz-se ao universo de eças defeituosas. Ao total são A roailidade da eça ter vindo da rodução da máquina B é a roorção relativa das eças de B nesse universo. Logo, a roailidade rocurada é 7 0, 18 (.38)

4 80 Vamos agora à solução formal do resente exercícios que atenda aos adrões ensinados. Como em cada eça retirada oserva-se a origem e o fato de ser ou não defeituosa, então o esaço de estados aroriado é Ω {aoa, adef, oa, def, coa, cdef} (.39) Como todas as eças são idênticas, então, seguindo as roorções reresentadas no lote todo, tem-se que IP [aoa] 0, 0, 98 IP [oa] 0, 3 0, 99 IP [coa] 0, 0, 97 IP [adef] 0, 0, 0 IP [def] 0, 3 0, 01 IP [cdef] 0, 0, 03 (.0) A taela aaixo aresenta a introdução de eventos A, B, C e D em termos verais e suas exressões or suconjuntos de Ω: A a eça retirada foi roduzida ela máquina A {aoa, adef} B a eça retirada foi roduzida ela máquina B {oa, def} C a eça retirada foi roduzida ela máquina C {coa, cdef} D a eça retirada é defeituosa {adef, def, cdef} O roelma do exercício tem a seguinte exressão formal: achar IP [B D]. As contruções e definições acima aresentadas, junto com a definição da roailidade condicional, dão a resosta: IP [B D] IP [def] IP [adef] + IP [def] + IP [cdef] 0, 3 0, 01 0, 0 0, 0 + 0, 3 0, , 0, 03 0, 18. Solução do Exc.. Recorde que IP [B D] IP [(def)] IP [(adef)] + IP [(def)] + IP [(cdef)] 0, 18. (.1) Da maneira idêntica tem-se que IP [B D] IP [(adef)] + IP [(cdef)] IP [(adef)] + IP [(def)] + IP [(cdef)] 0, 818. (.) É óvio que a soma dos valores numéricos das duas exressões acima dá 1. Não é difícil ver o orquê: a soma das duas razões é IP [(adef)] + IP [(def)] + IP [(cdef)] IP [(adef)] + IP [(def)] + IP [(cdef)] 1 Solução do Exc. 3. IP [B D] 18, %

5 .. SOLUÇÕES PARA EXERCÍCIOS DA SEÇÃO. 81 Se 0, 019, então 0, 981 ; calculando IP [B D], temos IP [B D] 0,3 0, 33 0,981 e, desta forma, 0,33 + 0,18 é diferente de 1 Oservação ao Exc. 3. Que IP [B D] + IP [B D] não é 1 é difícil de ser exlicado, sem mesmo recisar de fazer contas. O que é muito difícil é exlicar, sem fazer as contas, o orque IP [B D] + IP [B D] não é IP [B]. Todas as vezes que recisei dar esta exliação era necessário lutar contra a intuição corrumida que assegura erradamente que IP [B D] + IP [B D] deve ser igual a IP [B]. Esta intuição diz: egaremos todas as eças defeituosas e recolheremos dentre elas somentes as que foram roduzidas ela máquina B. Deois egaremos todas as eças oas e tamém seararemos delas as que foram roduzidas or B. Juntando os dois montes das eças searadas, recueraremos todas as eças da rodução de B. Portanto, IP [B D] + IP [B D] deve ser igual IP [B]. É claro que não! Esse raciocínio fez as contas em valores asolutos! Isso é diferente das roailidades IP [B D], IP [B D] e IP [B], que são valores relativos. Uma maneira alternativa de se convenser que IP [B D] + IP [B D] não ode sar IP [B] é escrever as roailidades envolvidas em forma de razões: IP [B D] ; IP [B D] ; IP [B] número de ecas roduzidas or B número total de eças roduzidas e orservar que estas razões têm denominadores diferentes, o que elimina qualquer eserança de oder reverter os cálculos aresentadas acima em valores asolutas, ara uma relação em termos destas roailidades. Solução do Exc. (a): A {(h t h), (h t t)} e B {(h h t), (h t h), (t h t)(t t h)} e, ortanto, A B {(h t h). Usando o fato que as moedas são honestas, caclulamos que IP [A] (1/).(1/).(1/)+ (1/).(1/).(1/) /8, IP [B] (1/).(1/).(1/)+(1/).(1/).(1/)+(1/).(1/).(1/)+ (1/).(1/).(1/) /8 IP [A B] (1/).(1/).(1/) 1/8 e, dessa forma, temos que IP [A B] 1/8 (/8).(/8) IP [A].IP [B], o que mostra que A e B são indeendentes. Solução do Exc. (): Diferentemente do item anterior, neste caso, oter cara ou coroa têm roailidades distintas. Isso se reflete nas contas a seguir: IP [A] (/3).(1/3).(/3)+(/3).(1/3).(1/3) /7, IP [B] (/3).(/3).(1/3)+(1/3).(/3).(1/3)+ (/3).(1/3).(/3) + (1/3).(1/3).(/3) 1/7, IP [A B] (/3).(1/3).(/3) /7 e, dessa forma, temos que IP [A B] /7, que é diferente de (/7).(1/7) IP [A].IP [B], o que mostra que A e B são deendentes.