Probabilidades e Estatística

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Mikaela Tavares
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1 Deartamento de Matemática Probabilidades e Estatística LEMat, LMAC, MEAmbi, MEBiol, MEBiom, MEEC, MEFT, MEQ o semestre 0/0 o Teste //0 8:30 Duração: hora e 30 minutos Gruo I Exercício valores Quadro de eventos e robabilidades Evento Probabilidade A chi roduzido ela máquina A P(A) 0.5 B chi roduzido ela máquina B P(B) 0.35 C chi roduzido ela máquina C P(C) 0.40 D chi ser defeituoso P (D)? D A chi ser defeituoso dado que foi roduzido ela máquina A P(D A) 0.05 D B chi ser defeituoso dado que foi roduzido ela máquina B P(D B) 0.04 D C chi ser defeituoso dado que foi roduzido ela máquina C P(D C) 0.0 Alicando o teorema de Bayes, tem-se P (A D) P ( D A) P (A) P ( D) [ P (D A)] P (A) P (D) [ P (D A)] P (A) [P (D A)P (A)+P(D B)P(B)+P(D C)P(C)] ( 0.05) 0.5 ( ) ' Averiguação da indeendência entre os eventos A e D Para já, recorde-se que A? D, P (A \ D) P (A) P (D). Ora, P (A \ D) P (D A) P (A) P (A) P (D) Assim conclui-se que os eventos A e D são deendentes (i.e., A?? D). Página de 5

2 Resolução alternativa É sabido que A? D ) P (D A) P (D), ou seja, P (D A) P (D) ) A?? D. Ora, P (D A) 0.05 P (D) , concluindo-se que A e D são eventos deendentes (i.e., A?? D). Exercício X número de transformadores que falham nos rimeiros 0 anos de oeração, em 0 transformadores que oeram de modo indeendente Distribuição de X Ao lidarmos com número de sucessos em 0 rovas de Bernoulli i.i.d., segue-se X Binomial(n, ) Parâmetros n 0 P (transformador falha nos rimeiros 0 anos de oeração) 0.05 Valor eserado de X E(X) n Desvio-adrão de X DP(X) V (X) n( ) ( 0.05) 0.95 ' P ( ale X ale 4) P (0 <Xale 4) F Bin(0,0.05) (4) F Bin(0,0.05) (0) tabela ' Gruo II Exercício valores F.d.. de 8 >< 0, y < 0 ou y> f (y) y, 0 ale y ale >: y, <yale, Página de 5

3 P ( < <.5) Z.5 Z y f (y) dy ydy+ + Z.5 y + ( y) dy y.5 ale.5.5 e distribuição comum X i i.i.d. X, i, X Uniforme(0, ) Valor eserado e variância de X i E(X i )E(X) form 0+ V (X i )V(X) form Nova v.a. X + X ( 0) Valor eserado e variância de E( )E(X + X )E(X )+E(X ) Xi X E(X) V ( )V(X + X ) X? X V (X )+V(X ) Xi X V (X) Valor aroximado da robabilidade edida (usando a distribuição normal) " # E( ) P ( < <.5) P < E( ).5 E( ) < V ( ) V ( ) V ( ) Comentário ' q A q!!! "!#! ' (.) tabela Aesar de lidarmos com a soma de aenas duas v.a., o valor exacto da robabilidade e o resultado aroximado, que obtemos considerando a distribuição de róxima da distribuição normal (TLC!), diferem ouco. Com efeito, o (valor absoluto do) erro relativo é igual a % ' 3.8%. A Página 3 de 5

4 Exercício Par aleatório (X, ) X número de anos em que não ocorrem anomalias na cor número de anos em que não ocorrem anomalias na cor F.. conjunta e f.. marginais P (X x, y), P (X x) ep ( y) encontram-se na tabela seguinte: X P (X x) P ( y) X F.. de X P ( y X ) P (X, y) P (X ) >< 4 5, y 0. >: 4 5, y 0, restantes valores de y Valor eserado de X X E( X ) y P ( y X ) y o. momento de X X E( X ) y P ( y X ) y Variância de X 8 5 V ( X ) E( X ) E ( X ) Correlação entre X e Uma vez que se retende calcular corr(x, ) cov(x, ) V (X) V ( ) E(X ) E(X)E( ) V (X) V ( ) serão necessários alguns cálculos auxiliares que envolverão as f.. conjunta de (X, ) e marginais de X e obtidas na alínea anterior. Página 4 de 5

5 Valor eserado de X X E(X) x P (X x) x +.5 Valor eserado de X X E(X ) x P (X x) x +.5 Variância de X V (X) E(X ) E (X) Valor eserado e variância de Tendo em conta que X, E( ) E(X) V ( ) V ( ) Momento cruzado de X e de ordem (, ) E(X ) X X xy P (X x, y) x y Conclusão corr(x, ) E(X ) E(X)E( ) V (X) V ( ) Comentário Visto que corr(x, )0. 0 ode concluir-se que X e estão correlacionadas, logo v.a. deendentes. Para além disso, imorta notar que corr(x, ) > 0, elo que as v.a. estão ositivamente correlacionadas, elo que aresentam tendência ara variarem no mesmo sentido. Estando o valor de corr(x, ) não muito róximo de, ode adiantar-se que as v.a. estão moderadamente correlacionadas. Página 5 de 5

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