O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.1. Capítulo 4

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1 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. Caítuo O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Rectanguares Finas. Conceitos Básicos A unção contínua (, ) (, ) tem vaores conhecidos num conunto discreto de ontos (i,,,, etc.) como se reresenta no quadro.. A determinação das derivadas da unção (, ) nos ontos (i,,,...) ode azer-se recorrendo ao chamado método das dierenças initas. onto coord. coord. (, ) i- i- i- i i i i i Quadro.: Função (, ) tabeada.

2 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. Considere-se que os ontos (i,,,...) no ano O, ara os quais se conhece o vaor (, ), de acordo com a igura., têm coordenadas tais que: i i... e i.... A consideração de intervaos e constante, segundo os eios dos e dos, aciita a sistematização e aicação do método das dierenças initas, não é orém condição necessária ara eeitos de utiização do reerido método. A consideração de tornar-se necessária. ode O i - i - i i i i - m i - m - i - i - i - m m m Figura.: Maha no ano O. A derivada da unção (, ) em ordem a, de acordo com a deinição de derivada arcia, num onto, é: im 0. Se se considerar um intervao suicientemente equeno, ode considerar-se que:

3 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.. Considerando váida esta aroimação., ara a unção tabeada no quadro e a distribuição dos ontos no ano O reresentada na igura., a derivada da unção (,) em ordem a no onto, ode determinar-se, ea dierença à rente: (a) ea dierença atrás: (b). ou ea dierença centra: (c) estas três hióteses ossíveis ara a determinação do vaor aroimado da ª derivada em ordem a da unção (, ) no onto, a chamada dierença centra.c, conduz, em gera, a uma mehor aroimação. A determinação das derivadas arciais de ª ordem, ode ser eita de modo anáogo, isto é: im E 0 im E 0. Admita-se que os ontos, E,, E, são os ontos reresentados na igura., isto é, os ontos corresondentes a metade dos intervaos, ; -, ;, e, e considerando o intervao como sendo / e /, as derivadas que aarecem no

4 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. numerador odem ser cacuadas considerando uma das três hióteses.a,.b e.c. Para as diversas hióteses, obtêm-se eressões que corresondem a aroimações, or dierenças initas, distintas. / / - E E' ' / / / / / Figura.: Maha de dierenças initas centrais. Considerando que o cácuo das derivadas de ª ordem nos ontos,e,,e é eito recorrendo à órmua.c, dierenças centrais, obtém-se: E E. Substituindo estas aroimações ara as derivadas arciais de ª ordem nas órmuas., obtém-se: i.7

5 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. As derivadas e determinam-se de modo anáogo, ou sea: im i 0 im 0.8 Recorrendo à eressão..c, ara a dierença ao centro, ara eeitos de determinação de um vaor aroimado das derivadas:,,, obtêm-se ara as derivadas.8, a eressão seguinte:.9 A derivada, no onto, é determinada de modo anáogo, sendo: im 0 (a).0 ou sea: ( ) (b)

6 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. As derivadas de ordem suerior determinam-se de modo anáogo. Assim a metodoogia seguida ara a determinação das derivadas de ordem ímar é a utiizada na determinação das derivadas / e / e ara a determinação das derivadas de ordem ar, segue-se a metodoogia utiizada ara a determinação da derivada /. As eressões obtidas ara as derivadas arciais necessárias à anáise de acas rectanguares or dierenças initas são as reresentadas no quadro. e a notação está de acordo com a igura.. Podem utiizar-se outras aroimações or dierenças initas ara eeitos de cacuo das derivadas da unção, a aroimação aqui considerada é adequada ao cácuo e os resutados obtidos são mais satisatórios do que os resutados que se obteriam usando a dierença atrás ou á rente na deinição das várias derivadas. m i m i Quadro.: Fórmuas das ierenças Centrais

7 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.7.. Reresentação da Equação de Lagrange eo Método das ierenças Finitas A equação de Lagrange, obtida or consideração de equiíbrio na teoria gera das acas, é: ) (,. onde: reresenta o desocamento transversa de um onto do ano médio da aca (,) é a intensidade da carga aicada; é a rigidez à eão ara acas inas. Considere-se no ano médio da aca um conunto discreto de ontos, como o que se reresenta na igura., as derivadas do desocamento transversa odem ser determinadas no onto, a artir dos vaores da unção w nos ontos vizinhos de, ou sea: ( ) ( ) m i ( ) ( ). Tendo em conta as eressões das derivadas de ª ordem (.) intervenientes na equação de Lagrange, esta toma a orma or dierenças initas seguinte:

8 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.8 ( ) ( ) ( ) m. (a) à qua se ode dar a orma seguinte: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (b)

9 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.9 sendo o quadrado médio considerado ocaizado no onto e os restantes coeicientes considerados nos ontos ocaizados ara cima e ara baio ara direita e ara esquerda do onto. A determinação da carga az-se considerando a área de inuência da carga no onto como se reere osteriormente. A equação de Lagrange reresentada eas (.) a e (.b) ode ser considerada em quaquer onto da maha de dierenças initas no domínio da aca, uma vez que em quaquer onto da aca se deve veriicar a equação de equiíbrio em articuar nos ontos da maha considerada or dierenças initas. A aicação da equação (.) a ontos no interior da aca não oerece em gera diicudades, deve notar-se que os ontos oram considerados iguamente esaçados segundo o eio dos e segundo o eio dos. Nos ontos da ronteira da aca a veriicação da equação de equiíbrio imica em gera a consideração de ontos ictícios ora do domínio da aca. A equação de equiíbrio deve ser escrita tantas vezes quantas as que corresondem ao número de ontos da maha or dierenças initas or orma a obter-se um sistema de equações com n equações a n incógnitas que são os desocamentos transversais nos ontos da maha considerada. A consideração das equações de equiíbrio or si sós não chega ara se obter a resosta da aca, sendo necessário considerar as condições de ronteira. Veamos ara a aca reresentada na igura., as diicudades que odem surgir na aicação da equação de Lagrange em termos de dierenças initas. Para aciitar vamos admitir que a aca está simesmente aoiada ao ongo de arte do contorno, sea, or eemo o ado B- e que está encastrada ao ongo de outro dos ados, sea or eemo o ado C-. Os outros ados consideram-se ivres. A escrita da equação de Lagrange, não oerece diicudade, nos ontos,,,,. Todos os ontos necessários à escrita da reerida equação aarecem no interior da aca ou no seu contorno. Para os ontos 8, 7,,, 8, 9, 0,,,,,, surge a necessidade de se considerarem ontos no eterior da aca como se constata da igura.. Esses ontos terão de ser considerados como ontos ictícios no eterior da aca, sendo os desocamentos nesses ontos reacionáveis com os desocamentos nos ontos do interior da aca or consideração das condições de ronteira.

10 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.0 C A B Figura.: Maha de dierenças ara a aca ABC C A B Figura.: Pontos ictícios. Isto é equivaente a dizer que são necessárias equações comementares que são as equações corresondentes às condições de ronteira. O número de equações de ronteira a serem consideradas é equivaente ao número de ontos ictícios que têm de ser considerados ara que se considere veriicada a equação de Lagrange em todos os ontos do domínio da aca.

11 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.. Reresentação or ierenças Finitas dos Esorços Unitários e das Reacções de Aoio Os esorços unitários M, M, M odem determinar-se a artir do desocamento transversa W como oi deinido anteriormente, recorrendo às ormuas seguintes: M ν M ν ( ) M ν. onde,, reresentam as curvaturas, ou deormações generaizadas. Considere-se o onto da maha reresentada na igura. e admita-se que são conhecidos os desocamentos transversais nos ontos da reerida maha, azendo uso das órmuas de dierenças initas reresentadas no quadro., cacuam-se as curvaturas no onto azendo uso das ormuas seguintes: ( ) ( ). ( )

12 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. Tendo em conta as eressões (.) ara as curvaturas os esorços (.) odem ser escritos or dierenças initas do seguinte modo: ( M ) ν ( ) ( ) ou ( M ) ν ( ) ν ( ) ( ) ( ) ν ( ) ( ) ( ). A eressão corresondente ao momento M, no onto, é: ( M ) ν ( ) ( ) ou sea: ( ) ( M ) ν ( ) ν ( ) ( ) ν ( ) ( ) ( ).7

13 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. O momento torsor M, em unção dos desocamentos nos ontos vizinhos do onto, é: ( ) ( ) M ν c ou ( ) ν M ( ).9 Os esorços transversos e reacções T e T e as reacções R, R e R v também odem ser cacuados a artir do vaor da deormada num conunto discreto de ontos. Os esorços transversos erimem-se em unção da deormada (, ), do seguinte modo: T T. Por dierenças initas as eressões dos esorços transversos são: ( ) ( ) T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) e

14 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () As reacções de aoio R, R e R v são de acordo com a "Teoria Gera das Pacas Finas", as seguintes: R ( ν) ( ν) R R v ( ) ν. As eressões acabadas de determinar odem ser utiizadas ara eeitos de obtenção dos esorços unitários reevantes ara eeitos da anáise de acas, desde que seam conhecidos os desocamentos num conunto discreto de ontos. Estas reacções erimemse or dierenças initas do seguinte modo:

15 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. ν ν R ( ) ν ( ) ( ) ν ( ) ( ) ( ) () ν ν.7 ν ( ) ( ) ν ( ) ( ) ν ( ) R () ν ( ) ν ( ) ( ) ( ) ν ( ).8 e ν ν Rv () ν ν.9 Como oi reerido anteriormente, a consideração da equação de Lagrange não é suiciente ara eeitos de cácuo do camo de desocamentos, eo que se deve considerar também as condições de contorno... Condições de Contorno

16 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas... Bordo Simesmente Aoiado No caso do aoio da aca ocorrer segundo uma inha araea ao eio dos e a uma distância a daquee eio, ara a é: 0 e 0 ou ν 0 e 0 M Mas / 0 ao ongo da direcção a e ortanto as condições anteriores resumem-se a: 0 e 0.0 No caso do aoio da aca ocorrer segundo uma inha araea ao eio dos e a uma distância b daquee eio, ara b é: M 0 e 0 ou 0 e 0. Mas ara b é / 0 e ortanto estas condições resumem-se a: 0 e 0 o momento Se eistirem momentos aicados ao ongo do contorno o momento M ara b, são iguais aos momentos aicados. M ara a e

17 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.7 esigne-se or,, os ontos eistentes, ao ongo do bordo simesmente aoiado, quando se considera uma maha, ara eeitos de integração da equação de Lagrange, eo método das dierenças initas como se reresenta na igura i - Bordo Simesmente Aoiado Figura.: Bordos Simesmente Aoiados No nó deve ser, de acordo com as equações (.0): 0 ou sea 0 e ou sea 0. donde se concui que deve de ser: 0 e. No nó i- deve de ser: i 0 e h Os ontos h - e são ontos ictícios necessários ara eeitos do estabeecimento da equação de Lagrange nos ontos - e - da aca. O uso das equações (.) e (.) conuntamente com a equação de Lagrange nos ontos reeridos ornece as duas equações suementares que ermitem o reacionamento dos desocamentos nos nós ictícios com os desocamentos de ontos no interior da aca.

18 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.8.. Bordo Encastrado No caso de se tratar de uma aca com bordos encastrados como se reresenta na igura.8 e no caso do sistema de eios ter origem num dos cantos da aca, se a aca estiver encastrada em todo o contorno, as condições de ronteira são: O Bordo Encastrado O i - i - i - i - i Figura.8: Bordos Encastrados. 0 e 0 e 0 ara a e ara 0 0 ara b e ara 0. Na igura.8, os ontos i,, e estão sobre um bordo encastrado. Aicando as ormuas or dierenças initas às eressões. obtém-se, ara o nó as condições seguintes:

19 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.9 0 e. Esta aroimação ara a rimeira derivada de utiizada ara eeitos de cácuo do desocamento no nó ictício, é bastante grosseira. Os resutados obtidos considerando este tio de aroimação são bastante aastados dos resutados eactos a não ser que se considerem mahas de dierenças initas muito reinadas. Para eeitos de estabeecimento das condições de ronteira de um bordo encastrado é conveniente considerar-se um oinómio interoador de ordem suerior à rimeira ara eeitos de cácuo de / desenvovimento em série de Taor do seguinte modo:. Consideremos que ( h, ) é deinido considerando um h h h ( h, ) ( ) h.... Admitindo que / 0 no onto, e considerando que h, obtém-se: ( ) ( ) ( ) ( ) Retendo os três rimeiros termos da série de Taor, obtém-se:.7 (a) No caso de se reterem os quatro rimeiros termos da série de Taor, obtêm-se: ( ) 8.7 (b)

20 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.0 No caso do bordo ser encastrado odem utiizar-se as equações.7 a) e.7 b) ara eeitos de cácuo do desocamento no nó ictício que combinadas com a equação de Lagrange odem conduzir às equações necessárias à resoução do robema. Os resutados obtidos considerando estas aroimações ara a rimeira derivada do desocamento transversa são mais róimas das souções eactas mesmo quando se consideram mahas esarsas.... Bordo Livre No caso do bordo ivre e de acordo com a igura.9 têm de considerar-se as condições de ronteira seguinte: Para 0 e ara a é: M 0 er 0 ou M M Aicado er R Aicado Para 0 e ara a é: M 0 er 0 ou M M Aicado er R Aicado.8 O Bordo Livre Figura.9: Bordo Livre. Recorrendo às equações (.7),(.7),(.8) e (.9) odem determinar-se os desocamentos dos nós ictícios, e e em unção dos desocamentos

21 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. transversais dos nós no interior da aca tendo em conta as condições (.8) ou combinar estas equações com as equações de Lagrange or orma a obter um sistema de equações que ermita a determinação do camo de desocamentos... einição da Carga Eementar No segundo da equação de Lagrange or dierenças initas aarece a arcea corresondente a carga que deve ser considerada na área de inuência do nó, a qua ara o nó é designada or. No caso da carga aicada à aca ser uniormemente distribuída e de intensidade o vaor a atribuir a é quaquer que sea o nó que se estea a considerar. No caso de se tratar de uma carga distribuída de intensidade variáve è necessário determinar a área de inuência do nó ara se oder determinar o vaor médio da carga distribuída no nó. Na igura.0 reresentam-se áreas de inuência no interior e no contorno de uma maha de dierenças initas. Essas áreas eementares são: A A A A.9 No caso de se tratar de uma distribuição de cargas quaquer (, ) a carga deve ser cacuada a artir da resutante de (, ) na resectiva área de inuência a qua se ode designar or R ou sea: R, A R A R R,. A A

22 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. ' ''' bordo '' ânguo Figura.0: Áreas de Inuência. No caso de se tratar de uma carga concentrada P num dos ontos, ', '' ou ''' determinase o vaor de corresondente substituindo R eo vaor onderado da carga concentrada no onto,,,, nas eressões atrás consideradas... Aicações...Método das ierenças Finitas na Anáise de uma Paca Quadrada Simesmente Aoiada Considere-se uma aca quadrada de ado e esessura t, sueita a uma carga uniormemente distribuída de intensidade, constituída or um materia isotróico com móduo de Young E e coeiciente de Poisson ν.a aca é considerada simesmente aoiada ao ongo do contorno. Para eeitos de anáise da aca considere-se um sistema de eios Oz, sendo o ano O coincidente com o ano médio da aca e o eio dos zz norma ao ano médio da aca. A origem do sistema de eios é considerada coincidente com o centro da aca. Note-se que ara eeitos de utiização das eressões desenvovidas no caítuo se considera, e z. Na Figura. reresenta-se a aca eo resectivo ano médio e considera-se uma maha or dierenças initas que corresonde a /. Note-se que a numeração

23 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. dos nós na maha de dierenças initas tem em conta a simetria eistente em reação aos eios e às diagonais da aca. z C A B c b a Bordo Simesmente Aoiado Figura.: Paca Quadrada. As condições de contorno que corresondem ao bordo simesmente aoiado, são: 0 e [ ] [ ] [ ] n n n M M M 0. A equação de Lagrange deve ser veriicada em todos os ontos da aca, em articuar nos ontos da maha or dierenças initas. Note-se que nos ontos,, não é necessário considerar a equação de Lagrange uma vez que se conhecem os desocamentos. As equações que resutam da aicação da equação de Lagrange aos ontos, e, são: a 0 b.

24 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. onde reresenta o moduo de rigidez à eão Et / ( - ν ). As equações anteriores odem ser simiicadas azendo uso das condições de ronteira que aós imor a condição de momento nuo, são: 0 e a e b. Substituindo estas condições nas equações (.), obtém-se: Resovendo este sistema de equações obtém-se: ; ; 0.00 O cácuo dos momentos ectores unitários é eito azendo uso das eressões.7, tendo em conta que /, ou sea. [ M ] [ M ] ( ν)( ) [ ] Para n0., o momento no centro da aca é: [ ] [ M ] 0.07 M

25 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. Os resutados obtidos or dierenças initas odem ser comarados com os resutados tabeados do Timosheno ara o onto médio da aca que são: / e M M no caso de ser ν0. constatando-se que o erro cometido no cácuo dos esorços,.%, é mais eevado que o erro cometido no cácuo dos desocamentos,.0.7%. Os outros esorços são acimente cacuados uma vez conhecidos os desocamentos e as tensões também são acimente cacuadas....método das ierenças Finitas na Anáise de uma Paca Quadrada Encastrada Considere-se uma aca quadrada de ado e esessura t, sueita a uma carga uniormemente distribuída de intensidade, constituída or um materia isotróico com móduo de Young E e coeiciente de Poisson ν. A aca é considerada encastrada ao ongo do contorno eterior. A origem do sistema de eios é considerada coincidente com o centro da aca. Note-se que ara eeitos de utiização das eressões desenvovidas no caítuo se considera, e z. Na Figura. reresenta-se a aca eo resectivo ano médio e considera-se uma maha or dierenças initas que corresonde a /. À semehança do caso anterior ode considerar-se simetria e ortanto é suiciente considerar no interior da aca três ontos com desocamentos distintos, os ontos, e da igura. Nos ontos do contorno é conhecido o desocamento e a incinação, ou sea: 0 e 0 Stehen P. Timosheno and S. Woinows-Krieger, Theor o Pates and Shes, McGRAW-HILL Boo Coman.

26 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas. z C A B c b a Bordo Encastrado Figura.: Paca Encastrada sueita a uma Carga Uniormemente istribuida As equações que resutam da consideração da equação de Lagrange nos ontos, e são: a 0 b. Tendo em conta que as condições de ronteira imicam que sea: 0 e ( ) ( ) b a 9 e 9 tendo em conta as equações (.7b), o sistema de equações (.) toma a orma: 8 0.() 0.() 0 cua soução é: ; ; 0.00

27 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.7 Pode comarar-se o vaor obtido ara w com o vaor tabeado do Timosheno que é: 0.00 O erro cometido é de.7%, como se vê ara uma maha anáoga à maha utiizada no caso da aca simesmente aoiada o erro é mais eevado no caso de aca encastrada. Podem cacuar-se também os momentos no onto médio da aca, que são: M [ ] [ M ] ( ν )( ) [ ] O vaor tabeado no Timosheno ara o momento é 0.0, o erro cometido no cácuo do momento or dierenças initas é 7.%, bastante mais eevado que o erro cometido no cácuo do desocamento. Probemas. Considere uma aca quadrada de ado a encastrada ao ongo do contorno eterior e 0 0 submetida à acção de uma carga hidrostática ta que. esigne or E o a móduo de Young e or ν o coeiciente de Poisson. Fazendo uso do método das dierenças initas, determine: a) O desocamento nos ontos, e da maha reresentada na igura. C a c b a z a A B b) Os momentos ectores nos ontos e. c) O momento ector máimo.

28 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.8 d) As tensões σ, σ e σ nos ontos e. e) Comare os resutados obtidos ara o desocamento e momentos no onto com os resutados tabeados do Timosheno. Comente os resutados obtidos or dierenças initas.. Considere uma aca quadrada de ado a, encastrada em três ados e simesmente aoiada no outro, como se reresenta na igura, sueita a uma carga uniormemente distribuída de intensidade. A aca é isotróica sendo E o moduo de Young e ν o coeiciente de Poisson. Fazendo uso do método das dierenças initas, determine: C a c b a z a A B a) etermine os desocamentos nos ontos, e. b) etermine os momentos unitários nos ontos,,. c) etermine o momento ector máimo na ronteira da aca. d) etermine as tensões σ, σ e σ no onto. Trace os diagramas de tensões segundo a direcção do eio dos que assa no onto.. Considere uma aca quadrada de ado a simesmente aoiada ao ongo do contorno e sueita a uma distribuição trianguar de carga como se reresenta na igura. Considere que o materia da aca é isotróico sendo E o moduo de Young e ν o coeiciente de Poisson. Fazendo uso do método das dierenças initas determine:

29 O Método das ierenças Finitas na Anáise de Pacas Finas.9 W W C z a W W W W W a W W W W W W W W W z A B a) Os desocamentos nos ontos indicados na igura. b) Os momentos unitários no onto. O iagrama de momentos segundo a direcção do eio dos que assa no onto. c) As reacções de aoio.