Métodos simplificados para o cálculo dos momentos de segunda ordem em pilares de betão armado de acordo com o Eurocódigo 2

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1 BE008 Encontro Nacional Betão Estrutural 008 Guimarães 5, 6, 7 de Novembro de 008 Métodos simpliicados para o cálculo dos momentos de segunda ordem em pilares de betão armado de acordo com o Eurocódigo Helena Barros 1 Vitor D. Silva Carla Ferreira 3 RESUMO Neste trabalho descrevem-se os modelos para análise dos eeitos de segunda ordem indicados no Eurocódigo [1]. Um dos modelos, designado por método geral, baseia-se em análises não lineares que incluem a não linearidade geométrica e a não linearidade material. Para a descrição do comportamento do betão deve ser usada uma lei constitutiva não linear apropriada. Um dos métodos simpliicados é designado por método da curvatura nominal, com ormulação idêntica ao descrito no REBAP[5]. O terceiro método é designado por método da rigidez nominal e baseia-se numa estimativa da rigidez de lexão do pilar com a participação do aço e tendo em conta a parcela respeitante ao betão comprimido. Apresentam-se resultados de aplicação dos métodos ao cálculo de colunas encastradas com dierentes esbeltezas e dierentes excentricidades da carga axial. O método da curvatura nominal mostra em alguns casos conduzir a resultados em que o coeiciente de segurança é ligeiramente inerior ao valor esperado. Com o método da rigidez nominal quando se encontram soluções estas correspondem sempre a áreas de armadura superiores às encontradas pelo método da curvatura nominal. No entanto na maioria das situações não é possível obter solução. PAAVRAS-CHAVE Betão armado. Pilares. Momentos de segunda ordem. Curvatura nominal. Rigidez nominal. 1 3 ABEST - Universidade de Coimbra, Departamento de Eng. Civil, Coimbra, Portugal. hbarros@dec.uc.pt Universidade de Coimbra, Departamento de Eng. Civil, Coimbra, Portugal.. vdsilva@dec.uc.pt Universidade de Coimbra, Departamento de Eng. Civil, Coimbra, Portugal.. carla@dec.uc.pt

2 Métodos simpliicados para o cálculo dos momentos de segunda ordem em pilares de betão armado de acordo com o Eurocódigo 1. INTRODUÇÃO Este trabalho incide sobre o dimensionamento de estruturas de betão armado nas quais os esorços devidos a eeitos de segunda ordem não devem ser desprezados. Estão nesta situação, por exemplo, os pilares que, submetidos a esorço axial de compressão, têm um agravamento do momento lector resultante da sua deormação. Seguindo o procedimento dos códigos de dimensionamento, nomeadamente o REBAP[5] e mais recentemente o Eurocódigo [1], podem eectuar-se estes dimensionamentos de orma em geral expedita. Nos casos em que isso é possível, os códigos deinem modelos simpliicados que permitem dimensionar de orma conservativa, ou seja garantindo sempre com uma certa margem a veriicação da segurança. Neste trabalho mostra-se como os métodos simpliicados aplicados à coluna modelo nem sempre são satisatórios observando-se em alguns casos que a carga máxima que este suporta é inerior ao valor estabelecido pelos criterios de veriicação da segurança.. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PIARES Os eeitos de segunda ordem têm de ser considerados nos elementos estruturais em que a deormação aumente de orma signiicativa os esorços obtidos com base na estrutura indeormada. No caso do betão armado a deormação estrutural é sensível ao acto do betão não ter grande resistência à tracção e suportar tensões muito baixas. Estas tensões de tracção são até desprezadas quando se eectua o cálculo à rotura e se considera que a secção se encontra endilhada. Numa secção endilhada a parte activa é apenas o aço e as ibras comprimidas do betão, o que pode reduzir signiicativamente a rigidez de lexão. Como a secção endilhada tem menor rigidez, onde houver endas a peça tem maior deormação. O comportamento não linear do betão em compressão e as deormações de luência também devem ser considerados nestes modelos, porque também aectam a deormação inal da peça. O Eurocódigo [1] indica três possíveis métodos para o cálculo dos eeitos de segunda ordem em estruturas de betão armado. Um deles é designado por método geral (MG) e baseia-se na análise geométrica e materialmente não linear com leis constitutivas adequadas ao comportamento do aço e do betão à compressão. Os outros dois são métodos simpliicados designados por método da curvatura nominal e método da rigidez nominal, mais adequados aos cálculos expeditos. Estes métodos oram desenvolvidos num trabalho de apoio às regras do Eurocódigo de Westerberg []. O método da curvatura nominal tem a mesma designação e é semelhante ao indicado no REBAP[5] para o cálculo dos eeitos de segunda ordem, apenas variando a deinição de alguns parâmetros..1 Método Geral O método geral (MG), embora seja o mais correcto, é o menos utilizado por obrigar ao uso de modelos computacionais mais complexos. Neste método é necessário desenvolver um modelo que considere a não linearidade geométrica pois tem de ser considerado o eeito da deormação da estrutura no cálculo dos esorços. Este pode ser eectuado pelo método dos elementos initos usando uma ormulação que considere deormações ininitésimais ou initas. No presente caso oi usado um algoritmo que considera rotações initas [4]. Para além disso, como o betão tem um comportamento não linear que se maniesta em compressão por uma lei constitutiva que se aasta de orma signiicativa da lei linear traduzida pela ei de Hooke, para uso deste método a lei constitutiva para o betão comprimido indicada no Eurocódigo [1] é ε c ε c ε ( ) σ c = k + / 1 k (1) ε c1 ε c 1 ε c1 com o parametro k = 1,05E ε c1 /, E = E cm /1.. As constantes para os betões são o valor médio do módulo de elasticidade E cm, a extensão para a tensão máxima ε c1 e o valor médio da tensão de rotura cm, que estão deinidas no quadro 3.1 do Eurocódigo [1].

3 Encontro Nacional Betão Estrutural 008 H. Barros, V.D. Silva e C. Ferreira. A luência contribui de orma importante para as deormações inais das estruturas de betão e por isso deve ser considerada. Esta pode ser introduzida no modelo dividindo o módulo de elasticidade por um actor ( 1+ ϕe ) em que ϕ e é o coeiciente de luência indicado no Eurocódigo [1]. O comportamento do betão em tracção traduz-se por uma resistência à tracção muito baixa e pela ormação de endas em determinadas secções. A retenção de tensões de tracção entre endas traduz o acto de o betão traccionado, que se encontra entre duas endas consecutivas, poder suportar algumas tensões de tracção. Nos cálculos é corrente não entrar com este eeito e desprezar esta contribuição para o aumento da rigidez. O cálculo assim eectuado é avorável em termos de segurança uma vez que a deormada inal obtida é superior à real dado que nesta simpliicação a estrutura considerada é menos rígida do que a estrutura real.. Método baseado numa curvatura nominal O método baseado na curvatura nominal, descrito no Eurocódigo [1], está particularmente indicado para colunas isoladas submetidas a esorço axial constante. Estas colunas têm comprimento de encurvadura l o e uma deormada de segunda ordem e dependente do seu comprimento e da curvatura máxima 1 / r, dada pela equação seguinte 1 lo e = () r c O parametro c = 10 π pode ser usado em colunas de secção constante, é indicado no Eurocódigo [1] no ponto (4). Reere-se ainda neste ponto que se pode usar um valor inerior no caso do momento de primeira ordem ser constante, sabendo-se que no limite, para momento total (primeira mais segunda ordem) constante, o valor é c = 8. A curvatura nominal 1 / r é calculada pela seguinte expressão aproximada 1 1 = kr kϕ (3) r r onde os parametros são kr = ( ν u ν )/( ν u ν bal ) 1 e kϕ = 1+ ϕe 1, de acordo com as indicações do Eurocódigo [1]. O primeiro parâmetro k r tem em conta a redução da curvatura para esorço axial crescente e o segundo k ϕ tem em conta o eeito das deormações de luência..3 Método baseado numa rigidez nominal No método baseado numa rigidez nominal o Eurocódigo [1] sugere o uso da rigidez nominal EI deinida por EI = kc E I c + ks Es I s (4) k1k onde os parâmetros são kc =, sendo ck λ k 1 = e k = υ 0,. No segundo termo da 1 + ϕ 0 e 170 equação toma-se o parâmetro k s = 1 desde que ρ = A s / Ac 0, 00, onde ρ é a taxa geométrica de armadura. O método está indicado para o cálculo de eeitos de segunda ordem em estruturas estaticamente indeterminadas, como seja o caso de estrutura porticadas..3.1 Coeiciente de majoração do momento lector 3

4 Métodos simpliicados para o cálculo dos momentos de segunda ordem em pilares de betão armado de acordo com o Eurocódigo Com base numa rigidez previamente calculada determina-se um coeiciente de majoração do momento de primeira ordem. Neste método obtem-se o momento de dimensionamento incluindo eeitos de segunda ordem M ED a partir do momento de primeira ordem M oed da seguinte orma β M ED = M oed 1+ (5) N B 1 N ED sendo N ED o esorço axial de cálculo, N B a carga crítica e o actor β = π / 8. Note-se que a carga crítica N ED o N B é dada por π EI = (6) l onde EI é a rigidez nominal deinida na Eq. (4). O método pode desta orma ser aplicado a colunas isoladas, tal como se az no mátodo da curvatura nominal. 3. RESUTADOS NUMÉRICOS O exemplo numérico estudado consiste mum pilar encastrado de altura variável e armadura simétrica. A secção do pilar é de 0.40x0.80m com o eixo de maior inércia posicionado de orma a suportar o maior momento. O recobrimento das armaduras é deinido por a/h=0.10, como se mostra na representação geométrica da secção transversal da Fig. 1a). O betão considerado na análise é da classe C5/30 e o aço S500. a) b) Figura 1. a) Geometria da secção transversal do pilar. b) Alçado do pilar e posicionamento da carga. Foram analisadas várias colunas com alturas de =3m; 6m; 9m; 1m e 15m. A coluna considera-se submetida a um esorço axial reduzido calculado por υ = N / b / h /(5000*1.5). A carga axial é aplicada com excentricidade e produzindo um momento lector de primeira ordem dado por M = Ne 1. Os valores usados das excentricidades da carga são e = 0.03m; 0.09m; 0.18m; 0.9m; 0. 54m. Para se poder avaliar o eeito do esorço axial consideram-se três níveis de esorço axial: baixo, médio e alto ( υ = N / b / h /(5000*1.5) = 0.4; 0.6; 0. 8 ) representados na Fig., que mostra um ábaco de dimensionamento Barros et al [3]. 3.1 Carga axial baixa Considerando a carga axial igual a N=133.33KN, o esorço axial reduzido é ν = N / b / h / 5000 *1.5 = 0.4 a que corresponde uma rotura equilibrada. A área mínima de aço é de 4

5 Encontro Nacional Betão Estrutural 008 H. Barros, V.D. Silva e C. Ferreira. Amin=010N/yd=0.10*133.33/500000*1.15=4.9cm, devendo também A>0.00Ac=6.4 cm, ou seja A=6.4 cm. A área máxima é de A=A =0.04Ac/=18/ cm )=64 cm. Seguindo as indicações do Eurocódigo [1], a excentricidade de ª ordem é e = 1 r k k 1 = r ϕ. A curvatura de base é r0 ε 1 0 com l r 1 3 yd,174x10 3 = = = 6,71x10 e desprezando a r0 0,45d 0,45x0,7 luência vem k ϕ = 1. Considera-se c=10 e k r = 1, sendo ν= 0,8, ν bal = 0,4, υ u = 1+ ϖ υu υbal e ϖ = A / A /. s c yd FEXÃO COMPOSTA Secções rectangulares A / A = 1 C1-C50 S500 [3] υ υ u υ 1 c ϖ = 1.0 ϖ = 0.5 ϖ = 0.0 μ a x = 0.10; As = A + A'; α = h h M Rd N Rd As μ = ; ν = ; ϖ = bh bh bh yd = yk /1.15; = ck /1.5 yd Figura. Diagrama de interacção esorço axial reduzido- momento reduzido para o betão da classe C1 a C50 e aço S500, Barros et al [3] O Quadro 1 mostra as áreas obtidas com o método da curvatura nominal e o Quadro mostra a carga de rotura N (KN) obtida pelo método geral (MG) considerando as áreas indicadas no Quadro 1. GM 5

6 Métodos simpliicados para o cálculo dos momentos de segunda ordem em pilares de betão armado de acordo com o Eurocódigo Quadro 1. Áreas de armadura (cm ) obtidas no método da curvatura nominal para ν = N <min <min <min 13,800 30,544 50, N <min <min <min 18,77 35,144 55, N <min <min 1,51 5,331 4,075 6, N 6,011 11,531 0,915 33,733 50,539 >max 0.54N 5,147 30,78 40,11 5,99 >max >max Quadro. Carga de rotura N GM (KN) obtida com o método geral para ν = N , , , N ,39 500, , N ,80 1,50 119, , N - 04, ,74 044, , N 09, ,44 016, , O Quadro 3 mostra o actor de segurança tomado como N γ = 1.0 (7) N GM Sendo N = KN neste caso. Os resultados ineriores à unidade mostram os valores em que a carga de projecto N = KN não é alcançada e portanto o coeiciente de segurança é inerior ao valor esperado. Para as cargas média e alta obtêm-se resultados idênticos. Quadro 3. Factor de segurança γ para ν = N ,574 1,487 1, N ,40 1,17 1, N - - 1,008 0,995 0,994 0, N - 0,949 0,956 0,958 0, N 0,981 0,959 0,945 0, Carga axial média Considerando a carga axial igual a N=300.0KN obtem-se o esorço axial reduzido de ν = N / b / h / 5000 *1.5 = 0.6. O Quadro 4 mostra as areas de aço resultantes do dimensionamento pelo método da curvatura nominal. O Quadro 5 contem o esorço axial de rotura N GM obtido no método geral (MG) considerando as áreas indicadas no Quadro 4. 6

7 Encontro Nacional Betão Estrutural 008 H. Barros, V.D. Silva e C. Ferreira. Quadro 4. Áreas de armadura (cm ) obtidas no método da curvatura nominal para ν = ,03N <min <min <min 5,69 50,907 >max 0,09N <min <min 1,9 33,856 58,819 >max 0,18N 6,379 14,045 7,416 46,13 70,533 >max 0,9N 1,344 8,765 41,706 60,91 >max >max 0,54N 5,317 59,800 7,680 >max >max >max Quadro 5. Carga de rotura N GM (KN) obtida com o método geral paraν = ,03N , ,17-0,09N , , ,15-0,18N 3104, , , , ,098-0,9N 310, , , , ,54N 3156, , , O Quadro 6 mostra o actor de segurança γ obtido pela Eq. (7) azendo N=300,0KN. Quadro 6. Factor de segurança γ para ν = 0, 6. 0,03N ,10 1,06-0,09N - - 0,999 1,034 1,01-0,18N 0,970 0,957 0,958 0,958 0,961-0,9N 0,975 0,953 0,939 0, ,54N 0,986 0,964 0, Carga axial alta Considerando a carga axial igual a N=466,67KN, obtem-se o esorço axial reduzido de ν = N / b / h / 5000*1,5 = 0,8. O Quadro 7 mostra as áreas de aço obtidas pelo método da curvatura nominal. O Quadro 8 contém o esorço axial de rotura N GM obtido no método geral (MG) considerando as áreas indicadas no Quadro 7. Quadro 7. Áreas de armadura (cm ) obtidas no método da curvatura nominal para ν = 0, 8. 0,03N <min <min 1,083 4,565 74,75 >max 0,09N 5,091 1,083 7,73 5,747 86,051 >max 0,18N,387 30,91 46,613 70,533 >max >max 0,9N 4,59 51,13 67,099 >max >max >max 0,54N >max >max >max >max >max >max 7

8 Métodos simpliicados para o cálculo dos momentos de segunda ordem em pilares de betão armado de acordo com o Eurocódigo Quadro 8. Carga de rotura N GM (KN) obtida com o método geral paraν = 0, 8. 0,03N , , ,794-0,09N 4130, ,1 4136, , ,778-0,18N 4167, , , , ,9N 4184, , , ,54N O Quadro 9 mostra o actor de segurança γ obtido pela Eq. (7) azendo N=300,0KN. Quadro 9. Factor de segurança γ paraν = 0, 8. 0,03N - - 0,974 1,104 1,100-0,09N 0,968 0,954 0,970 0,984 0,989-0,18N 0,977 0,959 0,951 0, ,9N 0,981 0,961 0, ,54N Método da rigidez nominal Eectuando o dimensionamento pelo método da rigidez nominal obtêm-se os resultados que se resumem nos quadros 10 a 1 nos casos do esorço axial baixo, médio e elevado respectivamente. Conclui-se que este método é mais gravoso obtendo-se sempre valores superiores aos obtidos no método da curvatura nominal. Em grande número dos casos a área de armadura é superior à área de armadura máxima ou então não é possível obter solução, pelo que não é indicada. Quadro 10. Áreas de armadura (cm ) obtidas no método da rigidez nominal paraν = 0, 4. 0,09N ,18N 0,86 5,77 >max >max >max >max 0,9N 8,03 14,17 >max >max >max >max 0,54N 6,56 39,13 >max >max >max >max Quadro 11. Áreas de armadura (cm ) obtidas no método da rigidez nominal paraν = 0, 6. 0,03N ,09N - - 8,77 >max >max >max 0,18N 7,48 1,8 36,37 >max >max >max 0,9N 1,65 3,75 67,90 >max >max >max 0,54N 54,65 74,15 >max >max >max >max 8

9 Encontro Nacional Betão Estrutural 008 H. Barros, V.D. Silva e C. Ferreira. Quadro 1. Áreas de armadura (cm ) obtidas no método da rigidez nominal paraν = 0, 8. 0,03N ,09N 7,48 1,41 >max >max >max >max 0,18N 5,1 54,11 >max >max >max >max 0,9N 47,47 >max >max >max >max >max 4. CONCUSÕES Neste trabalho descrevem-se os métodos que se utilizam no cálculo dos eeitos de segunda ordem indicados no Eurocódigo. Estes são o método geral e os métodos simpliicados da curvatura e da rigidez nominal. Os dois métodos simpliicados são aplicados ao dimensionamento de uma coluna de betão armado com dierentes esbeltezas e para dierentes excentricidades da carga aplicada. Utilizando o dimensionamento obtido pelo método da curvatura nominal e um algoritmo de análise geometrica e material não lineares determina-se a carga de rotura para cada coluna. Observa-se que a carga de rotura real é inerior ao valor previamente utilizado no seu dimensionamento, sendo por isso nessas situações um dimensionamento insuiciente. O método da rigidez nominal mostra ser bastante conservativo não sendo possível obter solução em alguns casos. Naqueles em que se encontra uma solução esta é sempre superior à obtida pelo método da curvatura nominal. AGRADECIMENTOS Agradece-se o inanciamento concedido pela FCT através do aboratório da Tecnologia do Betão e do Comportamento Estrutural - ABEST. REFERÊNCIAS [1] En ; Eurocode Design o concrete structures Part 1-1: General rules and rules or buildings, December 003. [] WESTERBERG, Bo. Second order eects in slender concrete structures Background to the rules in EC. KTH Civil and Architectural Engineering. Stockholm 004. Internal report. [3] BARROS,H.; FIGUEIRAS, J. -. Estruturas de Betão -Tabelas e Ábacos de Dimensionamento Segundo o Eurocódigo de Secções Solicitadas à Flexão e a Esorços Axiais: Relatório interno ABEST. Setembro 007. [4] SIVA, V. D. ; BARROS,H.; and FERREIRA., C. Computation o second order eects in reinorced concrete rame- Comparision with the Eurocode design rules APCOM 07, EPMESC XI, pp547; (Ed. CD-ROM: 10 pag.); December 3-6, 007, Kyoto, JAPAN (007). [5] REBAP. Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esorçado, Imprensa Nacional (1985). [6] M.H.F. Melão Barros, C.C. Ferreira and A.F.M. Barros. Closed Form Interaction Suraces or Nonlinear Design Codes o Reinorced Concrete Columns with Model Code 90. Computers & Concrete Vol., No. 1, (005). 9