Dimensionamento de Pilares de Canto Segundo a NBR 6118/2003

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1 Dimensionamento de Pilares de Canto Segundo a NBR 6118/03 Luttgardes de Oliveira Neto (1), Paulo Sérgio dos Santos Bastos (2) (1) Proessor Doutor, Departamento de Engenaria Civil, UNESP - Bauru/SP lutt@e.unesp.r (2) Proessor Doutor, Departamento de Engenaria Civil, UNESP - Bauru/SP pastos@e.unesp.r Endereço para correspondência: UNESP Departamento de Engenaria Civil, Av. Luiz Edmundo Coue, s/n, Bauru/SP Palavras-cave: pilares de ediícios, pilar de canto, dimensionamento, projeto, normalização. Resumo A nova norma rasileira NBR 6118/03 introduziu modiicações na metodologia de dimensionamento de alguns elementos estruturais, entre eles os pilares de concreto armado. Com o propósito de apresentar as modiicações introduzidas pela nova norma relativas aos pilares, este traalo mostra o dimensionamento dos pilares de canto. Apresentam-se um roteiro de cálculo e três eemplos numéricos de aplicação das novas prescrições para o dimensionamento dos pilares de canto. Os resultados são analisados e comparados com aqueles otidos segundo a metodologia contida na NBR 6118/78. A comparação dos resultados numéricos, calculados segundo as duas normas, em alguns casos mostra grande semelança nas armaduras, mas em outro mostra dierença que cega a até 50 %. 1. Introdução A nova NBR 6118/03 ez modiicações em algumas das metodologias de cálculo das estruturas de concreto armado, como tamém em alguns parâmetros aplicados no dimensionamento e veriicação das estruturas. Especial atenção é dada à questão da durailidade das peças de concreto. Particularmente no caso dos pilares, a nova norma introduziu várias modiicações, como nos valores das ecentricidades acidental e de 2 a ordem, um maior corimento de concreto, uma nova metodologia para o cálculo da eseltez limite à consideração dos esorços de 2 a ordem e principalmente coma a consideração de um momento letor mínimo, que pode sustituir o momento devido à ecentricidade acidental. Como as modiicações introduzidas são consideráveis e o teto não se encontra suicientemente detalado, surgem algumas dúvidas, que podem originar erros no cálculo de dimensionamento. Por prolema de espaço, os métodos e os parâmetros de projeto propostos pela NBR 6118/03 para o dimensionamento de pilares não se encontram descritos neste artigo. Porém, podem ser vistos num outro artigo dos autores neste Congresso, intitulado Dimensionamento de pilares intermediários segundo a NBR 6118/03. Preeriu-se dar ênase na apresentação e análise de eemplos numéricos de aplicação. Um terceiro artigo trata dos pilares de etremidade conorme a nova NBR 6118/03.

2 2. Pilares de Canto Para eeito de projeto, os pilares dos ediícios podem ser classiicados nos seguintes tipos: pilares intermediários, pilares de etremidade e pilares de canto (FUSCO, 1981). A cada um desses tipos ásicos de pilar corresponde uma situação de projeto ou de solicitação dierente. De modo geral, os pilares de canto encontram-se posicionados nos cantos dos ediícios, vindo daí o termo pilar de canto, como mostrado na igura 1. Na situação de projeto os pilares de canto estão sumetidos à leão composta olíqua, que decorre da interrupção das vigas perpendiculares às ordas do pilar. Eistem, portanto, os momentos letores M A e M B (item 15.8 da NBR 6118/03) de 1 a ordem nas etremidades do pilar, nas suas duas direções. Nas seções do topo e da ase dos pilares de etremidade ocorrem ecentricidades e 1 de 1 a ordem nas duas direções do pilar. PLANTA SITUAÇÃO DE PROJETO e 1, e 1, 3. Roteiro de Cálculo Figura 1 - Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares de canto. Apresenta-se a seguir um roteiro de cálculo dos camados pilares de canto, com a aplicação do Método do pilar-padrão com curvatura aproimada. Outros métodos de cálculo constantes da nova norma não são apresentados neste traalo. a) Esorços Solicitantes A orça normal de cálculo pode ser determinada como γ n. γ. N k onde: N k orça normal característica no pilar;

3 γ n coeiciente de majoração da orça normal (ver Taela 13.1 da NBR 6118/03); γ coeiciente de majoração da orça normal, como deinido na Taela 11.1 da NBR 6118/03. ) Índice de Eseltez l e λ ; i I i, para seção retangular: A 3,46 l λ e c) Momento Fletor Mínimo M 1d,mín (1,5 + 0,03 ) com dimensão do pilar, em cm, na direção considerada. d) Eseltez Limite e1 λ 1 com λ1 90 e 1 0 na direção da viga não contínua sore o pilar de etremidade; dimensão do pilar na mesma direção de e 1 ; λ λ 1 - não se considera o eeito de 2ª ordem para a direção considerada; λ > λ 1 - se considera o eeito de 2ª ordem para a direção considerada. e) Momento de 2 a Ordem Determina-se M d,tot pela equação: M d,tot. M 1d,A + N d 2 l e 1 M 10 r M 1d,A 1d,mín M 1d,A M 1d,mín Determinam-se os coeicientes adimensionais: N d ν e Ac. µ M A d,tot c Num áaco de leão composta normal determina-se a taa mecânica ω e calculase a armadura longitudinal do pilar com a equação: A s ω A c d 4. Eemplos de Cálculo Os eemplos numéricos a seguir são de pilares de canto, iapoiados, de nós ios e sem orças transversais atuantes. Os seguintes dados são comuns em todos os eemplos: - concreto C-; aço CA-50 A - d 4,0 cm ; γ c γ

4 4.1 Eemplo Numérico 1 Este eemplo é semelante aquele encontrado em FUSCO (1981, p. 313), com a dierença das alterações do concreto de C-15 para C- e da largura do pilar, de 25 cm para cm (igura 2). São conecidos: 50 cm 1, N ed e 1, N k 8 kn M d, 41 kn.cm (e 1, 1,78 cm) M d, 1726 kn.cm (e 1, 1,50 cm) seção 50 (A c 1000 cm 2 ) l e l e 280 cm cm Figura 2 Arranjo estrutural do pilar na planta de ôrma e dimensões da seção. RESOLUÇÃO a) Esorços solicitantes A orça normal de cálculo é: γ n. γ. N k 1, kn. Além da orça normal de compressão ocorrem tamém momentos letores nos etremos do pilar, M 1d,A, - M 1d,B, 41 kn.cm na direção, e M 1d,A, - M 1d,B, 1726 kn.cm na direção (igura 3), em unção de eistirem duas vigas não contínuas sore o pilar nas direções e. ) Índice de eseltez λ λ 3,46 l 3, e 3,46 l 3, e 48,4 19,4 c) Momento letor mínimo M 1d, mín (1,5 + 0,03 ), com em cm. O momento letor mínimo, em cada direção é: Dir. : M 1d, mín, 1148 (1,5 + 0,03. ) 2410,8 kn.cm Dir. : M 1d, mín, 1148 (1,5 + 0,03. 50) 3444,0 kn.cm

5 Figura 3 Momentos letores de 1 a ordem de cálculo (kn.cm) nas direções e. d) Eseltez limite e1 λ 1 com λ 1 90 Dir. : A ecentricidade de 1 a ordem e 1 na direção é 1,78 cm. Os momentos letores de 1 a ordem nesta direção são M 1d,A, - M 1d,B, 41 kn.cm, menores que o momento letor mínimo, o que leva a 1,0. Assim: λ 1,78 1,0 1, 26,1 λ 1, Dir. : A ecentricidade de 1 a ordem e 1 na direção é 1,50 cm. Os momentos letores de 1 a ordem nesta direção são M 1d,A, - M 1d,B, 1726 kn.cm, menores que o momento letor mínimo, o que leva tamém a 1,0. Assim: 1,50 50 λ1, 25,4 λ 1, 1,0 Desse modo: λ 48,4 > λ 1, são considerados os eeitos de 2ª ordem na direção ; λ 19,4 < λ 1, não são considerados os eeitos de 2ª ordem na direção. e) Momento de 2 a ordem pelo método do pilar-padrão com curvatura aproimada

6 M d,tot. M 1d,A + N d 2 e l 10 1 r M M 1d,A 1d,mín Nd 1148 Força normal adimensional: ν 0, 80 A c Curvatura segundo a direção sujeita a esorços de 2 a ordem: 1 0,005 0, r ( ν + 0,50) ( 0,80 + 0,5 ) 1, cm 0,005 2,5. 10 cm -1 Fazendo M 1d,A M 1d,mín em cada direção, tem-se o momento total máimo: Dir. : M d,tot, 1, , , M d,tot, 4141,6 kn.cm 4141,6 kn.cm M 1d,mín, 2410,8 Dir. : M d,tot, 1726,0 kn.cm M 1d,mín, 3444,0 kn.cm M d,tot, 3444,0 kn.cm Para acilitar a comparação entre as normas, a igura 4 mostra as situações de cálculo com as ecentricidades, numa seção intermediária ao longo da altura do pilar, que resultaram nas armaduras para o pilar. ei ea e2 0,71 1,67 e 4,38 e 3,0 1mín, e e 1mín, 2 2,10 1,51 e 3,61 a) NBR 6118/78 ) NBR 6118/03 Figura 4 Situação de cálculo com as ecentricidades segundo as duas normas. Coeicientes adimensionais da leão: µ M d,tot,. Ac. 4141,6 0, d' 4, 0 0,

7 M µ. A d,tot, c. 3444,0 0, d' 4, ,08 0,10 Com ν 0,80 e utilizando o áaco A-50 de PINHEIRO (1994) para leão composta olíqua, a taa de armadura resulta ω 0,50. A armadura é: A s ω A c d 0, , 43 cm , Eemplo Numérico 2 Este eemplo é semelante aquele encontrado em FUSCO (1981, p. 321), com a dierença das alterações do concreto de C-15 para C- e da largura do pilar, de 25 cm para cm (igura 5). São conecidos: 50 cm 1, N ed e 1, N k 8 kn M d, 1423 kn.cm (e 1, 1,24 cm) M d, 1509 kn.cm (e 1, 1,31 cm) seção 50 (A c 1000 cm 2 ) l e l e 460 cm cm Figura 5 Arranjo estrutural do pilar na planta de ôrma e dimensões da seção. RESOLUÇÃO a) Esorços solicitantes A orça normal de cálculo é: γ n. γ. N k 1, kn. Além da orça normal de compressão ocorrem tamém momentos letores nos etremos do pilar, M 1d,A, - M 1d,B, 1423 kn.cm na direção, e M 1d,A, - M 1d,B, 1509 kn.cm na direção (igura 6), em unção de eistirem duas vigas não contínuas sore o pilar nas direções e :

8 Figura 6 Momentos letores de 1 a ordem de cálculo (kn.cm) nas direções e. ) Índice de eseltez λ 3,46 l 3, e 79,6 3,46 l e 3, λ 31,8 50 c) Momento letor mínimo M 1d, mín (1,5 + 0,03 ), com em cm. O momento letor mínimo, em cada direção é: Dir. : M 1d, mín, 1148 (1,5 + 0,03. ) 2410,8 kn.cm Dir. : M 1d, mín, 1148 (1,5 + 0,03. 50) 3444,0 kn.cm d) Eseltez limite e1 λ 1 com λ 1 90 Dir. : A ecentricidade de 1 a ordem e 1 na direção é 1,24 cm. Os momentos letores de 1 a ordem nesta direção são M 1d,A, - M 1d,B, 1423 kn.cm, menores que o momento letor mínimo, o que leva a 1,0. Assim: 1,24 λ1, 25,8 λ 1, 1,0

9 Dir. : A ecentricidade de 1 a ordem e 1 na direção é 1,31 cm. Os momentos letores de 1 a ordem nesta direção são M 1d,A, - M 1d,B, 1509 kn.cm, menores que o momento letor mínimo, o que leva tamém a 1,0. Assim: 1,31 50 λ1, 25,4 λ 1, 1,0 Desse modo: λ 79,6 > λ 1, são considerados os eeitos de 2ª ordem na direção ; λ 31,8 < λ 1, não são considerados os eeitos de 2ª ordem na direção. e) Momento de 2 a ordem pelo método do pilar-padrão com curvatura aproimada 2 l e 1 M1d,A Md,tot. M1d,A + Nd 10 r M1d,mín Nd 1148 Força normal adimensional: ν 0, 80 A c Curvatura segundo a direção sujeita a esorços de 2 a ordem: 1 0,005 0, , , cm 2,5. 10 cm r ( ν + 0,50) ( 0,80 + 0,5 ) Fazendo M 1d,A M 1d,mín em cada direção, tem-se o momento total máimo: Dir. : M d,tot, 1, , , ,1 M 1d,mín, 2410,8 10 M d,tot, 7082,1 kn.cm Dir. : M d,tot, 1509,0 kn.cm M 1d,mín, 3444,0 kn.cm M d,tot, 3444,0 kn.cm Para acilitar a comparação entre as normas, a igura 7 mostra as situações de cálculo com as ecentricidades, numa seção intermediária ao longo da altura do pilar, que resultaram nas armaduras para o pilar. -1 ei e a e2 0,50 0 4,53 e 3,0 e e e 7,03 e 6,07 a) NBR 6118/78 ) NBR 6118/03 1mín, 1mín, 2 2,10 4,07 Figura 7 Situação de cálculo com as ecentricidades segundo as duas normas. Coeicientes adimensionais da leão:

10 M µ. A µ M d,tot, c. d,tot,. Ac. 7082,1 0, ,0 0, d' d' 4, 0 4, , 0,08 0,10 Com ν 0,80 e utilizando o áaco A-50 de PINHEIRO (1994) para leão composta olíqua, a taa de armadura resulta ω 0,91. A armadura é: 0, ω Ac A s 29, 90 cm 2 d 50 1, Eemplo Numérico 3 Este eemplo tem momentos letores de 1 a ordem superiores aos momentos letores mínimos (igura 8). São conecidos: cm e 1, e 1, N k 360 kn M d, 2683 kn.cm (e 1, 5,32 cm) M d, 1105 kn.cm (e 1, 2,19 cm) seção 30 (A c 600 cm 2 ) l e l e 280 cm 30 cm Figura 8 Arranjo estrutural do pilar na planta de ôrma e dimensões da seção. RESOLUÇÃO a) Esorços solicitantes A orça normal de cálculo é: γ n. γ. N k 1, kn. Além da orça normal de compressão ocorrem tamém momentos letores nos etremos do pilar, M 1d,A, - M 1d,B, 2683 kn.cm na direção, e M 1d,A, - M 1d,B, 1105 kn.cm na direção (igura 9), em unção de eistirem duas vigas não contínuas sore o pilar nas direções e.

11 ) Índice de eseltez λ λ Figura 9 Momentos letores de 1 a ordem de cálculo (kn.cm) nas direções e. 3,46 l 3, e 3,46 l 3, e 32,3 48,4 c) Momento letor mínimo M 1d, mín (1,5 + 0,03 ), com em cm. O momento letor mínimo, em cada direção é: Dir. : M 1d, mín, 504 (1,5 + 0,03. 30) 19,6 kn.cm Dir. : M 1d, mín, 504 (1,5 + 0,03. ) 1058,4 kn.cm d) Eseltez limite e1 λ 1 com λ 1 90 Dir. : A ecentricidade de 1 a ordem e 1 na direção é 5,32 cm. Os momentos letores de 1 a ordem nesta direção são M 1d,A, - M 1d,B, 2683 kn.cm, maiores que o momento letor mínimo, o que leva ao cálculo de. Assim: MB 0,60 + 0,40 0,40 com 1,0 0,4 M A ( 2683) 0,60 + 0,40 0,2 0,4 2683

12 λ 0,4 5, , 68, 0 87,5 λ 1, 87,5 A consideração do limite inerior de / eleva consideravelmente o valor de λ 1, o que parece ser eagerado, como já oservado por SILVA & PINHEIRO (00). Dir. : A ecentricidade de 1 a ordem e 1 na direção é 2,19 cm. Os momentos letores de 1 a ordem nesta direção são M 1d,A, - M 1d,B, 1105 kn.cm, maiores que o momento letor mínimo, o que leva ao cálculo de, que resulta tamém igual a 0,4. Assim: 2,19 λ1, 65,9 0,4 87,5 λ 1, 87,5 Desse modo: λ 32,3 < λ 1, não são considerados os eeitos de 2ª ordem na direção ; λ 48,4 < λ 1, não são considerados os eeitos de 2ª ordem na direção. e) Momentos totais nas duas direções Como não ocorrem momentos de 2 a ordem, os momentos máimos ocorrem nas etremidades do pilar. Ainda, como os momentos letores de 1 a ordem são superiores ao momento mínimo, surge a questão de que se deve ou não acrescentar um momento devido à ecentricidade acidental. Na redação do momento letor mínimo no item da NBR 6118/03 esta questão não está clara. O ACI 318 (1995), item , diz que o momento de 1 a ordem não deve ser menor que o momento mínimo, sore cada eio separadamente. Conorme o ACI, MACGREGOR (1997) considera o próprio momento de 1 a ordem, sem qualquer acréscimo, quando este é maior que o mínimo. Desse modo, como os momentos de 1 a ordem superam o momento mínimo, temse: Dir. : M d,tot, 2683,0 kn.cm M 1d,mín, 19,6 kn.cm Dir. : M d,tot, 1105,0 kn.cm M 1d,mín, 1058,4 kn.cm Para acilitar a comparação entre as normas, a igura 10 mostra as situações de cálculo com as ecentricidades, numa seção intermediária ao longo da altura do pilar, que resultaram nas armaduras para o pilar. e i 5,32 e a 0 e i 2,19 e 4,19 e 1, 5,32 e 2,19 1, a) NBR 6118/78 ) NBR 6118/03 Figura 10 Situação de cálculo com as ecentricidades segundo as duas normas.

13 Nd 504 Força normal adimensional: ν 0, 59 A. c 600 Coeicientes adimensionais da leão: µ µ M d,tot,. Ac. M d,tot,. Ac. 2683,0 0, ,0 0, d' 4, 0 30 d ' 4, 0 0,13 0,15 0, Com ν 0,59 e utilizando o áaco A-66 de PINHEIRO (1994) para leão composta olíqua, a taa de armadura resulta ω 0,. A armadura é: A s ω A c d 0, , 94 cm ,15 5. Análise dos Resultados A Taela 1 apresenta um resumo dos resultados otidos, calculados segundo as normas NBR 6118/78 e NBR 6118/03. As armaduras oram calculadas com d de 3,0 cm e 4,0 cm para a NBR 6118/78 e d de 4,0 cm para a NBR 6118/03. Ao especiicar um maior corimento nominal, o valor de d, que para a NBR 6118/78 era comumente considerado igual a 3,0 cm, passou a ser de 4,0 cm para a nova norma. Taela 1 - Áreas de armadura (cm²) otidas segundo a NBR 6118/78 e a NBR 6118/03. Método de Eemplo 1 Eemplo 2 Eemplo 3 dimensionamento A s A s A s NBR 6118/78 - d 3 cm 16,10 27,27 7,10 - d 4 cm 17,74 30,89 7,89 NBR 6118/03 (Curvatura Aproimada) 16,43 29,90 3,94 Dier. (%) p/ d 3 cm + + 9,6-44,5 Dier. (%) p/ d 4 cm - 7,4-3,2-50,0 No primeiro eemplo, para d igual a 4,0 cm, a dierença de armaduras oi de apenas 7,4 %, isto é, os cálculos conorme as normas NBR 6118/78 e NBR 6118/03 estão muito próimos. As situações de cálculo mostradas na igura 4 mostram que a armadura segundo a NBR 6118/03 é um pouco menor devido à proimidade das ecentricidades e. A mesma oservação vale tamém para o segundo eemplo. No segundo eemplo, a mudança do comprimento de lamagem, de 280 cm para 460 cm, elevou a armadura signiicativamente, de 17,74 cm 2 para 30,89 cm 2. No terceiro eemplo ocorre uma grande dierença entre as armaduras, de 50,0 % para d igual a 4,0 cm. A eplicação para tal dierença está nas situações de cálculo

14 mostradas na igura 10. Como os momentos letores de 1 a ordem são maiores que os momentos mínimos, o entendimento dos autores em unção do teto contido na NBR 6118/03, é que não á a necessidade de se considerar o momento devido à ecentricidade acidental. No caso do pilar em análise, a dierença de armadura oi muito epressiva. Outro ato tamém é que, ao aumentar a eseltez limite para consideração ou não dos momentos letores de 2 a ordem, não ouve a necessidade de sua consideração. 6. Considerações Finais O traalo mostra o entendimento dos autores quanto ao dimensionamento dos pilares de acordo com a nova norma. A interpretação do teto da norma, epressa nos eemplos numéricos apresentados, necessita ainda de conirmação, pois o teto da norma dá margem a algumas dúvidas. Emora outros eemplos devam ser eitos e analisados, é possível oservar que, quando os momentos letores de 1 a ordem são menores que os momentos mínimos, as armaduras calculadas segundo as duas normas resultam muito próimas entre si. Quando ocorre o contrário, á uma dierença signiicativa entre as armaduras calculadas. O limite inerior de / para λ 1 deia dúvida quanto à sua correção, como já comentado em SILVA & PINHEIRO (00). O valor correto parece ser ao invés de /. No eemplo 4, para cumprir o estaelecido pela norma, o valor de λ 1, é elevado de 70,3 para 87,5, o que parece ser eagerado. De um modo geral, as mudanças introduzidas pela NBR 6118/03 tornaram o cálculo dos pilares menos conservador se comparado à versão anterior da norma. Reerências Biliográicas AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements or structural concrete, ACI 318 R-95. Farmington Hills, 1995, 369p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e eecução de estruturas de concreto armado, NBR Rio de Janeiro, ABNT, 1978, 76p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto Procedimento, NBR Rio de Janeiro, ABNT, 03, 170p. BASTOS, P.S.S. ; OLIVEIRA NETO, L. Dimensionamento de pilares intermediários segundo a NBR 6118/03. In: 46 o Congresso Brasileiro do Concreto, IBRACON, Florianópolis, 04, CD-ROM, 16p. FUSCO, P.B. Estruturas de concreto - Solicitações normais. Guanaara Dois, 1981, 464p. Rio de Janeiro, ed. PINHEIRO, L.M. ; BARALDI, L.T. ; POREM, M.E. Concreto Armado: Áacos para leão olíqua. São Carlos, Departamento de Engenaria de Estruturas, Escola de Engenaria de São Carlos USP, SILVA, R.C., PINHEIRO, L.M. Ecentricidades em pilares segundo o projeto de revisão da NBR 6118 (00). IN: IV Simpósio EPUSP Sore Estruturas de Concreto, São Paulo, 00, CD-ROM, p.