Teste de hipóteses para a média. Tiago Viana Flor de Santana

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1 ESTATÍSTICA BÁSICA Teste de hipóteses para a média Tiago Viana Flor de Santana tiagodesantana@uel.br sala 07 Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento de Estatística DSTA

2 Exemplo Uma indústria usa, como um dos componentes das máquinas que produz, um parafuso importado, que deve satisfazer a algumas exigências. Uma dessas é a resistência à tração. Esses parafusos são fabricados por alguns países, e as especificações técnicas variam de país para país. Por exemplo, o catálogo do país A afirma que a resistência média à tração de seus parafusos é de 145kg, com desvio padrão de 12kg. Já para o país B, a média é de 155kg e desvio padrão 20kg. Um lote desses parafusos, de origem desconhecida, será leiloado a um preço muito convidativo. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 2 / 16

3 Para que a indústria saiba se faz ou não uma oferta, ela necessita saber qual país produziu tais parafusos. O edital do leiloeiro afirma que, pouco antes do leilão será divulgada a resistência média x de uma amostra de 25 parafusos do lote. Suponha que interessa a indústria fazer uma proposta apenas no caso do parafuso ser de origem B. Qual a regra de decisão deve ser usada pela indústria para dizer se os parafusos são do país B ou de outros países? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 3 / 16

4 Suponha que no dia do leilão, fôssemos informados de que x = 148. Qual decisão tomar? Podemos estar errados na decisão? É possível que uma amostra de 25 parafusos de origem B apresente média de x = 148? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 4 / 16

5 Hipóteses H 0 : os parafusos são de origem B X segue uma distribuição com média µ = 155 H 1 : os parafusos não são de origem B X segue distribuição desconhecida média µ =? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 5 / 16

6 As hipóteses podem ser representadas de forma mais sucinta, por exemplo H 0 : µ = 155 H 1 : µ 155 (Hipótese bilateral) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 6 / 16

7 As hipóteses podem ser representadas de forma mais sucinta, por exemplo H 0 : µ = 155 H 1 : µ 155 (Hipótese bilateral) H 0 : µ = 155 H 1 : µ < 155 (Hipótese unilateral à esquerda) H 0 : µ = 155 H 1 : µ > 155 (Hipótese unilateral à direita) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 6 / 16

8 Região Crítica (RC) RC = { x : x x c1 ou x x c2 } Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 7 / 16

9 Região Crítica (RC) RC = { x : x x c1 ou x x c2 } RC = { x : x x c1 } RC = { x : x x c2 } Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 7 / 16

10 Erro Tipo I: dizer que os parafusos não são de B quando na realidade são. Erro Tipo II: dizer que os parafusos são de B quando na realidade não são. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 8 / 16

11 A probabilidade de cometer um erro tipo I ou tipo II pode ser representada por: P( Erro Tipo I ) = P( X RC H 0 é verdadeira ) = α P( Erro Tipo II ) = P( X RC H 0 é falsa ) = β RC: Região crítica. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 9 / 16

12 Fixando α = 5% tem-se 5% = P( Erro tipo I ) = P( X < x c1 ou X > x c2 X Normal(155; 16) ) = P (Z < 1, 96 ou Z > 1, 96) e onde obtém-se e com região crítica 1, 96 = x c , 96 = x c x c1 = 147, 16 x c1 = 162, 84 RC = { x : x < 147, 16 ou x > 162, 84} Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 10 / 16

13 Exemplo Uma máquina automática para encher pacotes de café enche-os segundo uma distribuição normal, com média µ e variância sempre igual a 400g 2. A máquina foi regula para µ = 500g. Periodicamente uma amostra de 16 pacotes é colhida para verificar se a produção está sob controle, isto é µ = 500g ou não. Se uma dessas amostras apresentar média x = 492g, deve-se parar a produção para regular a máquina ou não? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 11 / 16

14 1. Definindo a v.a. X como sendo o peso de cada pacote, tem-se que X Normal(500g, 400g 2 ) e as hipóteses a serem testadas serão: { H0 : µ = 500g H 1 : µ 500g 2. O peso médio amostral dos pacotes é dado pela estatística X Normal ( 500g, 25g 2) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 12 / 16

15 3. Fixando α = 1%. A região crítica será dada por e e portanto 2, 58 = x c , 58 = x c x c1 = 487, 1 x c2 = 512, 9 RC = { x : x < 487, 1g ou x > 512, 9g} 4. A média obtida da amostra é x = 492g. Como x RC H 0 não deve ser rejeita 5. Conclusão: O desvio da média da amostra pode ser considerado como devido apenas ao sorteio aleatório dos pacotes. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 13 / 16

16 Exercícios Exercícios Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal, com desvio padrão 2kg. A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média de consumo per capita fosse menor que 8kg. Caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizado uma pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra de 25 indivíduos, e verificou-se que 25 i=1 X i = 180Kg, em que X i representa consumo mensal do i-ésimo indivíduo da amostra. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 14 / 16

17 Exercícios 1 Construa um teste de hipótese adequado, utilizando α = 0, 05, e com base na amostra colhida determine a decisão a ser tomada pela diretoria. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 15 / 16

18 Exercícios 1 Construa um teste de hipótese adequado, utilizando α = 0, 05, e com base na amostra colhida determine a decisão a ser tomada pela diretoria. 2 Qual a probabilidade β de se tomar uma decisão errada se, na realidade, a média populacional for µ = 7, 8Kg? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 15 / 16

19 Exercícios 1 Construa um teste de hipótese adequado, utilizando α = 0, 05, e com base na amostra colhida determine a decisão a ser tomada pela diretoria. 2 Qual a probabilidade β de se tomar uma decisão errada se, na realidade, a média populacional for µ = 7, 8Kg? 3 Se a diretoria tivesse fixado α = 0, 01, a decisão seria a mesma? Justifique. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 15 / 16

20 Exercícios 1 Construa um teste de hipótese adequado, utilizando α = 0, 05, e com base na amostra colhida determine a decisão a ser tomada pela diretoria. 2 Qual a probabilidade β de se tomar uma decisão errada se, na realidade, a média populacional for µ = 7, 8Kg? 3 Se a diretoria tivesse fixado α = 0, 01, a decisão seria a mesma? Justifique. 4 Se o desvio da população fosse 4Kg, qual seria a decisão, com α = 0, 05? Justifique. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 15 / 16

21 Exercícios Para o lar Exercícios 7, 8 e 9 pág 347 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 16 / 16