Uma Avaliação do Erro Tipo II no Uso do Teste t-student

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1 Uma Avaliação do Erro Tipo II no Uso do Teste t-student Cleber Giugioli Carrasco Thiago Santana Lemes 1 Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade Estadual de Goiás, UnUCET/UEG, , Anápolis, GO 30 de maio de 2014 Resumo O objetivo deste trabalho foi utilizar o método de Monte Carlo para estimar a probabilidade de se cometer o erro tipo II ao realizar o teste t-student para uma amostra, o qual é uma ferramenta estatística muito importante na tomada de decisões, através de um estudo de simulação. Neste estudo, foi verificada a influência do tamanho amostral, da variabilidade, do nível de significância do teste e das médias alternativas sobre o erro tipo II. Todo esse procedimento foi implementado computacionalmente no software free R. Os resultados desse estudo convalidam os resultados teóricos apresentados na literatura estatística sobre o erro tipo II, ou seja, que esse erro diminui quando se aumenta o tamanho da amostra e/ou o nível de significância do teste e quando os valores atribuídos para as médias alternativas se distanciam do valor do parâmetro fixado na hipótese nula. E ainda, quando o desvio-padrão aumenta, a probabilidade de ocorrer o erro tipo II também aumenta. Dessa forma, pode-se controlar esse erro, em particular, através do nível de significância fixado no teste e pelo tamanho da amostra. Palavras Chave: Método de Monte Carlo, simulação, teste de hipóteses. cleber.carrasco@ueg.br. Docente da Universidade Estadual de Goiás UEG. 1 Graduado em Licenciatura em Matemática na Unidade de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual de Goiás e voluntário no programa de iniciação científica PVIC/UEG. 1

2 Introdução Quando se tem interesse em testar uma alegação a respeito do valor de um parâmetro populacional, pode-se utilizar um teste de hipóteses para auxiliar na tomada da decisão correta. Por exemplo, se afirmam que a altura média de uma população é 1,70 m, pode-se então aceitar ou rejeitar essa afirmação fazendo um teste de hipóteses para a média. Para isso é necessário em primeiro lugar, definir a hipótese nula (H 0 ) que será testada e a hipótese alternativa (H A ) que será dita aceita caso se rejeite H 0. Nesse caso a hipótese nula é de que a população tem média de altura igual a 1,70 m e a hipótese alternativa é de que a média de altura é diferente de 1,70 m, podendo também ser maior ou menor do que 1,70 m, dependendo das informações ou suspeitas a priori do pesquisador. Feito isso, deve-se estabelecer o nível de significância do teste (α) que indicará a probabilidade da estatística do teste pertencer a região crítica (RC) quando a hipótese nula for verdadeira. Ao definir as hipóteses nula e alternativa para realizar um teste de hipóteses são encontradas diferentes situações de acordo com o problema em estudo. A partir disso é possível expressar o teste de três diferentes maneiras: 1) Teste bilateral: Nesse caso o teste será chamado de bilateral, pois se na hipótese alternativa o parâmetro θ é diferente do valor θ 0 ele necessariamente é maior ou menor do que θ 0. H 0 :θ = θ 0 H A :θ θ 0 (1) 2) Teste unilateral à direita: Nesse caso o teste será chamado de unilateral à direita, pois θ tem que ser maior do que θ 0. H 0 :θ = θ 0 H A :θ > θ 0 (2) 3) Teste unilateral à esquerda: Nesse caso o teste será chamado de unilateral à esquerda, pois θ tem que ser menor do que θ 0. H 0 :θ = θ 0 H A :θ < θ 0 (3) 2

3 Assim, de acordo com o problema a ser estudado é que as hipóteses do teste poderão ser definidas, e a formulação da hipótese alternativa irá depender do grau de conhecimento que se tem do problema (BUSSAB e MORETTIN 2002). Portanto nem sempre será possível realizar um teste mais específico como os unilaterais devido à falta de informações. Quando um teste de hipóteses é realizado, ele está sujeito a erros que distorcem a compreensão da veracidade do resultado, e por isso é importante minimizar ao máximo a probabilidade de se cometer esses erros. Devido a este problema, as regras de decisão são construídas seguindo critérios que nos permitam reduzir erros na tomada de uma decisão. Em geral, podemos cometer dois tipos de erros: erro tipo I e tipo II, que podem ser escritos da seguinte maneira: Erro Tipo I: Rejeitar H 0 quando H 0 for verdadeira. Erro Tipo II: Não rejeitar H 0 quando H 0 for falsa. por: Portanto as probabilidades dos erros tipo I e II podem ser dadas respectivamente α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H 0 H 0 é verdadeira) β = P(erro tipo II) = P(não rejeitar H 0 H 0 é falsa) (4) Note que a probabilidade do erro tipo I é o nível de significância do teste. A Tabela 1 adaptada de Costa Neto (1977, p. 86) apresenta os resultados de um teste de hipóteses e suas respectivas probabilidades condicionadas a realidade. Tabela 1: Erros e decisões corretas resultantes de um teste de hipóteses. Decisão Realidade H 0 Verdadeira H 0 Falsa Aceitar H 0 Decisão correta (1 α) Erro Tipo II (β) Rejeitar H 0 Erro Tipo I (α) Decisão correta (1 β) 3

4 Infelizmente não se pode controlar o erro tipo I e o erro tipo II simultaneamente, ao menos que se aumenta o tamanho da amostra. O que vai ocorrer é que ao diminuir α estaremos aumentando β e vice versa, como mostra a Figura 1 a seguir, onde θ A é um valor pertencente a hipótese alternativa. Figura 1: Representação dos erros tipo I e II. A princípio, sempre é dada grande atenção ao erro tipo I, controlando esse erro através da escolha do nível de significância do teste e deixando o erro tipo II sem controle, pois o mesmo requer um procedimento mais complexo para sua avaliação. No entanto, segundo Bussab e Morettin (2002) fixado α, é possível calcular a probabilidade do erro tipo II, atribuindo valores arbitrários para o parâmetro θ, que podem ser tanto menores quanto maiores do que o valor θ 0 a ser testado. Dessa forma, diversos autores avaliaram a probabilidade de ocorrer o erro tipo II em um teste de hipóteses e mostraram que essa probabilidade pode ser afetada pelo tamanho amostral, nível de significância do teste, variabilidade e pela distância entre o valor real do parâmetro e o valor a ser testado. Alguns desses autores utilizaram a função poder (BUSSAB; MORETTIN, 2002) ou a curva característica de operação (COSTA NETO, 1977) para mostrar esse resultado. Neste trabalho propõem-se realizar um estudo de simulação utilizando o método de Monte Carlo, o qual consiste em repetir o mesmo procedimento várias vezes (MUN, 4

5 2006), para mostrar que a probabilidade de ocorrer o erro tipo II em um teste de hipóteses para a média com variância desconhecida é influenciada pelo tamanho da amostra, nível de significância do teste, variabilidade e pelos valores das médias alternativas, corroborando com os resultados teóricos amplamente discutidos na literatura estatística e, apresentar os resultados desse estudo para que se tenha uma percepção da dimensão desses erros em termos quantitativos. Para realizar esse estudo de simulação será utilizado o software free R (VENABLES AND SMITH, 2012). Segundo Peternelli & Mello (2007, p.81), uma das maiores vantagens do R é a facilidade na criação de novas funções, este é um dos motivos para a escolha deste software no desenvolvimento deste trabalho, além de ser um software gratuito. 1 Material e Métodos O teste de hipóteses para a média tem o intuito de verificar se determinado parâmetro referente à média populacional é ou não verdadeiro. Ao realizar um teste de hipóteses, primeiramente definem-se as hipóteses nula e alternativa e fixa-se o nível de significância do teste. Ao testar a média de uma determinada população, em geral não se conhece a sua variância, no entanto, é possível estimá-la através da variância amostral, a qual é dada por (MAGALHÃES; LIMA, 2008): S 2 = n i= 1 ( x x) i n 1 onde x i é o i-ésimo valor da amostra, x a média amostral e n o tamanho da amostra. Assim, utiliza-se a distribuição t-student com n 1 graus de liberdade para testar a média de interesse, por isso o teste é conhecido como t-student. A expressão a seguir calcula o valor denominado como t observado (t obs ) (MAGALHÃES; LIMA, 2008): x µ t obs = (6) S n onde µ é a média populacional e S é o desvio padrão amostral. Dessa forma é construída a região de rejeição do teste, conhecida como região crítica, que segundo Costa Neto (1977, p.86) é a faixa de valores da variável de teste 2 (5) 5

6 que leva à rejeição de H 0. A região crítica é construída com base nos valores denominado t crítico (t c ) da distribuição t-student. Se for constatado que o valor de t obs pertence à região crítica do teste, rejeita-se a hipótese nula (H 0 ) ao nível de α%, caso contrário não se rejeita H 0. Para realizar o estudo de simulação para o erro tipo II, serão fixados o nível de significância do teste e gerado uma amostra de tamanho n no software R a partir de um modelo normal com média e variância (ou desvio-padrão) pré-estabelecida. Em seguida, será aplicado o teste t-student para uma amostra (bilateral, unilateral à esquerda e unilateral à direita), onde será definido um contador δ, tal que δ = 0 se o teste rejeitar H 0 e δ = 1 se o teste não rejeitar H 0 (CARRASCO; SILVA, 2013). Através do método de Monte Carlo repetir-se-á o processo descrito acima r vezes e verificar-se á em quantas delas, o teste rejeitou ou não a hipótese nula. Dessa forma, a probabilidade do erro tipo II (β) será estimada através da seguinte expressão adaptada de Carrasco e Silva (2009): r δ i * i= 1 β = r, i = 1,2,3,..., r. (7) Serão feitas diferentes combinações entre tamanhos amostrais, médias alternativas, desvios padrão (variâncias) e níveis de significância. Este procedimento será aplicado para o teste bilateral, considerando todas as médias alternativas escolhidas, para o teste unilateral à esquerda considerando somente as médias alternativas menores que µ 0, e para o teste unilateral à direita considerando as médias alternativas maiores que µ 0. 2 Resultados e Discussão Para realizar o estudo de simulação através do método de Monte Carlo para o erro tipo II foram geradas amostras de tamanhos n = 5, 10, 20, 30, 40 e 50 a partir de uma distribuição normal com média µ = µ A (média alternativa) e desvio padrão σ = 5; 1 e 5. A escolha desses tamanhos amostrais se deve ao fato do teste t-student ser indicado para amostras pequenas. Os níveis de significância foram estabelecidos em α = 1; 5 e 0,10. A hipótese nula foi fixada em H 0 : µ = 5 e a alternativa em H 0 : µ 5 6

7 para o teste bilateral e para os testes unilaterais a esquerda e a direita respectivamente em H 0 : µ < 5 e H 0 : µ > 5. Foram escolhidos para o teste bilateral os seguintes valores para as médias alternativas: µ A = 4,0; 4,5; 4,9; 5,1; 5,5 e 6,0 e, para o teste unilateral à esquerda os valores menores do que 5,0 e para o teste unilateral à direita os valores das médias alternativas maiores do que 5,0. Utilizou-se r = 1000 e o nível de significância, o tamanho amostral e o desvio padrão variaram na medida em que foram feitos os testes para as três diferentes hipóteses alternativas, com o intuito de verificar a sua influência sobre o erro tipo II. Todo o estudo de simulação de Monte Carlo foi realizado no software R. Assim tem-se 6 x 3 x 3 x 6 x 1000 = simulações para avaliar o erro tipo II para os testes bilaterais e mais 6 x 3 x 3 x 3 x 1000 x 2 = simulações para avaliar o erro tipo II para os testes unilaterais à esquerda e à direita, totalizando simulações neste estudo. Os resultados desse estudo estão condensados nas Tabelas 2 e 3 a seguir. Tabela 2: Gráficos dos resultados do erro tipo II para o teste unilateral à esquerda. µ A α = 1 α = 5 α = 0,10 4,0 4,5 4,9 7

8 Tabela 3: Gráficos dos resultados do erro tipo II para o teste unilateral à direita. µ A α = 1 α = 5 α = 0,10 5,1 5,5 6,0 As Tabelas 2 e 3 apresentam os resultados do estudo de simulação para os testes unilaterais à esquerda e unilaterais à direita, respectivamente, onde o desvio padrão é representado pelos seguintes valores: σ = 5; σ = 1 e σ = 5. Como esperado, observou-se que a probabilidade de ocorrer o erro tipo II diminui quando o tamanho amostral e/ou o nível de significância do teste (α) aumentam, fato que também pode ser observado na Figura 1 e, quando a distância entre a média alternativa µ A e a média estabelecida em H 0 (µ = 5) forem maiores. Com relação ao desvio padrão, observou-se que maiores variabilidades aumentam a chance do erro tipo II. Esses comportamentos são observados para todos os testes bilaterais e unilaterais, corroborando com os resultados teóricos apresentados na literatura estatística. Os resultados dos testes bilaterais foram suprimidos deste trabalho, pois os mesmos são semelhantes aos resultados apresentados para os testes unilaterais, apenas ligeiramente diferentes pelo fato da região crítica ser constituída por duas partes. 8

9 3 Conclusão Com a realização deste estudo de simulação através do método de Monte Carlo, pode-se convalidar os resultados teóricos discutidos na literatura estatística sobre a probabilidade de se cometer o erro tipo II, ou seja, esse erro diminui na medida em que se aumenta o tamanho da amostra e/ou o nível de significância do teste, e quando os valores atribuídos para as médias alternativas se distanciam do valor do parâmetro fixado na hipótese nula. E ainda, quando o desvio padrão aumenta, a probabilidade de se cometer o erro tipo II também aumenta. Os resultados desse estudo também possibilitaram ter uma dimensão quantitativa desse erro através dos gráficos de colunas apresentados. Dessa forma é necessário cuidado ao aplicar um teste t-student para a média, uma vez que se está sujeito a cometer erros. Para o erro tipo II, é necessária a preocupação com alguns fatores, uma vez que o erro tipo II é sensível ao tamanho amostral, variabilidade, ao nível de significância do teste e aos valores alternativos da média, entretanto, pode-se controlar esse erro, em particular através do nível de significância do teste e do tamanho amostral, controlando assim também a probabilidade de se tomar uma decisão correta. Referências [1] BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 5ª edição. Saraiva, [2] CARRASCO, C. G.; SILVA, L. A. Avaliação do erro tipo I na aplicação de um teste de hipóteses para a média. Revista Mosaicum, Bahia, Nº. 9, p , [3] CARRASCO, C. G.; SILVA, L. A. Um estudo do erro tipo II em um teste de hipóteses para a média. Revista Nucleus, V. 10, Nº. 2, p. 7-12, [4] COSTA NETO, P. L. O. Estatística. 1ª edição. Edgard Blücher, [5] MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6ª edição. Edusp,

10 [6] MUN, J. Applying Monte Carlo Simulation, Real Options Analysis, Forecasting, and Optimization Techniques. 1ª edição. Wiley, [7] PETERNELLI, L. A.; MELLO, M. P. Conhecendo o R - Uma visão estatística. 1ª edição. UFV, [8] VENABLES, W. N.; SMITH, D. M. An Introducion to R: Notes on R: A Programing Environment for Data Analysis and Grafics, Version , Disponível em: 10