Teste para a variância de uma normal. Tiago Viana Flor de Santana

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1 ESTATÍSTICA BÁSICA Tiago Viana Flor de Santana sala 07 Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento de Estatística DSTA

2 Sumário 1 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 2 / 11

3 Hipóteses do teste X Normal(µ, σ 2 ) Estatística do teste { H0 : σ 2 = σ 2 0, H 1 : σ 2 σ 2 0. χ 2 (n 1)S 2 = σ 2 0 Região crítica para o teste bilateral χ 2 (n 1) RC = (0, χ 2 1] [χ 2 2, ) Nível de significância P(χ 2 RC H 0 ) = P(0 < χ 2 < χ 2 1 ou χ 2 > χ 2 2) = α Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 3 / 11

4 Exemplo Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto é controlar sua variabilidade. Uma máquina de encher pacotes de café está regulada para enchê-los com média 500g e desvio padrão de 10g. O peso de cada pacote X segue uma distribuição Normal(µ, σ 2 ). Colheu-se uma amostra de 16 pacotes e observou-se uma variância de S 2 = 169g 2. Com esse resultado, você diria que a máquina está desregulada com relação a variância? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 4 / 11

5 Hipóteses do teste A estatística do teste é X Normal(500, 100) χ 2 cal { H0 : σ 2 = 100, H 1 : σ = = 25, 35 Fixando α = 5% e com n = 16 a região crítica pode ser obtida diretamente da tabela χ 2. RC = ( 0 ; 6, 262 ] [ 27, 488 ; ) Como χ 2 0 RC, aceita-se H 0, isto é, a máquina está sob controle quanto à variância. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 5 / 11

6 Distribuição χ 2 χ t 2 p χ 2 99% 98% 97.5% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 4% 2.5% 2% 1% 0.2% 0.1% Essaéalinhaque apresenta o nível Essaéacoluna de significância que apresenta o grau de liberdade Tabela 3: Quantis da Distribuição χ 2. Graus de liberdade na margem esquerda da tabela e probabilidades p dadas no topo da tabela tal que p = P [χ 2 χ 2 t ]. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 6 / 11

7 P-valor p-valor = 2 P(χ 2 > χ 2 cal σ2 = σ0 2 ) Teste bilateral > 2*(1-pchisq(q=25.35,df=15)) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 7 / 11

8 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 8 / 11

9 A construção do intervalo de confiança para σ 2 dado o nível de confiança γ é feita a partir da expressão ) P (χ 21 (n 1)S 2 σ 2 χ 2 2 = γ que permite obter a seguinte desigualdade: Portanto (n 1)S 2 χ 2 2 σ 2 (n 1)S 2 χ 2 2 χ 2 1 [ ] (n 1)S IC(σ 2 2 (n 1)S 2 ; γ) = ; χ 2 1 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 9 / 11

10 Exemplo Os dados abaixo referem-se às vendas diárias, em reais, durante uma semana, de carros de uma revendedora. Construa um IC(σ 2 ; 90%). Vendas: 253, 187, 96, 450, 320, 105. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 10 / 11

11 Exemplo Os dados abaixo referem-se às vendas diárias, em reais, durante uma semana, de carros de uma revendedora. Construa um IC(σ 2 ; 90%). Vendas: 253, 187, 96, 450, 320, 105. Resp.: IC(σ 2 ; 90%) = ( , ) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 10 / 11

12 Para o Lar Exercícios 19 e 20 da pág 360. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 11 / 11