Distribuição F: testando a variância

Transcrição

1 Estatística plicada II Comparação das variâncias de Duas populações Normais UL 6/09/6 Prof a Lilian M. Lima Cunha Distribuição F: testando a variância -Testar igualdade de variâncias entre populações - amostras independentes, retiradas de populações normais com a mesma variância (suposição) -Nesse caso, o teste tem que ser modificado (utiliza-se comparação de variâncias); - Esse teste usa uma estatística que possui distribuição chamada F de nedecor

2 ejam U e V duas variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição de qui-quadrado, com v e v graus de liberdade, respectivamente. Então: W U v V v W F ( v, v ) Dizemos que W tem distribuição F com v e v graus de liberdade Comparação das variâncias de Duas populações Normais upor que temos amostras independentes, de tamanhos n e n, retiradas de populações normais com a mesma variância. Os estimadores de das amostras são e ( n ) χ ( n ) abemos que U V ( n ) χ ( n )

3 Portanto, define-se como W, a variável aleatória dada por: U n W V F( n, n ) n v n erá a estatística do teste de hipóteses quando se compara variâncias de populações consideradas iguais v n Gráfico típico de uma variável aleatória com distribuição F: f(x) P { F ( v, v ) > f } α o α α região crítica f 0 W P f o 4, 07 Exemplo: { F(3,8) > f o } 0, 05 3

4 EXEMPLO UO TEL F: Considere: W F(5,7) e α 5% P { F ( v, v ) > f } α o P{ F(5,7) > 3,97} 4

5 P{ F(5,7) > 3,97} E se eu desejasse encontrar: P{ F(5,7) f } < o Para encontrarmos valores inferiores, usamos: F( v, v ) F( v, v ) 5

6 P{ F(5,7) f } < o F (5,7) Que corresponde a F(7,5) P{ < f } F(7,5) o e cauda superior tem: F( 5,7) 3,97 Desejo encontrar o valor da cauda inferior para o mesmo nivel de significancia (5%), então, procuro por: F( 7,5) 4,88 E faço F(7,5) 4,88 6

7 EXEMPLO (Morettin, 359, item 3..) Queremos verificar se máquinas produzem peças com a mesma homogeneidade quanto à resistência. Para isso, sorteamos amostras de seis peças de cada máquina e obtivemos as seguintes resistências: Máquina Máquina Podemos dizer que as máquinas produzem peças com a mesma homogeneidade em relação à resistência? Considere nível de significância de 0% endo as hipóteses: H 0 : H : Das amostras encontramos 40 e 37 Utilizando-se a formulação Logo: n i ( X i n X ) W,08 Estatística do teste 7

8 endo a Região crítica dada por: RC ]0,(5,05) [ U ]5,05, + [. Como W não pertence a região crítica, então NÃO rejeitamos a hipótese nula. Ou seja, as máquinas produzem com a mesma homogeneidade quanto à resistência e tivéssemos rejeitado a hipótese nula (de igualdade das variâncias), seria conveniente obter um intervalo de confiança para o quociente das variâncias. Isso seria útil para nos indicar uma variação possível, no nível fixado, da razão entre duas variâncias. 8

9 9 n V n U W ssim teríamos: ), ( n n F 0,0 α então 90 0, γ se Podemos encontrar valores f e f, tais que: γ < < ) ), ( ( f n n F f P f f < < f f < < Intervalo de confiança ) ; ( γ IC

10 ssim, supondo que para outras 6 medidas para as máquinas e do exemplo anterior, obtivéssemos 85 e 8. Nesse caso obteríamos W 85/8 0,6 Onde rejeitaríamos a hipótese nula H 0 : f < < f 5, < < 5, , < < 5, ,09 < < 0,475 OU,0 < < 5,6 Que é a variação possível entre as variâncias, ao nível fixado de 90% de confiança. 0

11 ENTREGR Uma das maneiras de medir o grau de satisfação dos empregados de uma mesma categoria quanto à política salarial é por meio do desvio padrão de seus salários. Uma pesquisa de mercado apontou que a fábrica seria mais coerente na política salarial do que a fábrica. Para verificar esse resultado, sorteou-se uma amostra de 0 funcionários não especializados de e 5 funcionários de, obtendo-se os desvios padrões: 000 e 600 Qual seria sua conclusão? Considere nivel de significância de 5% W (000) (600) Lado inferior (esquerda): P{ F(9,4) f } P{ f } F(4,9) o o P{ 0,33} 0, 05 F(4,9) 0,3906 : < H 0 : H RC ]0;0,33[ NÃO Rejeito Ho

12 REFERENCI ILIOGRFIC ussab, W.º; Morettin, P.. (00). Estatistica ásica, Editora araiva, ão Paulo rasil Cap 3 pgs e cap 7 pgs 90-9.