Inferência Estatística. Tiago Viana Flor de Santana

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1 ESTATÍSTICA BÁSICA Inferência Estatística Tiago Viana Flor de Santana sala 07 Curso: MATEMÁTICA Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento de Estatística DSTA

2 Inferência Estatística 1 População e Amostra 2 Problemas de Inferência Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 2 / 32

3 População e Amostra Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 3 / 32

4 População e Amostra INFERÊNCIA ESTATÍSTICA É um conjunto de técnicas que objetiva estudar uma população através de evidências fornecidas por uma amostra. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 4 / 32

5 População e Amostra POPULAÇÃO É o conjunto de todos os elementos ou resultados sob investigação. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 5 / 32

6 População e Amostra AMOSTRA É qualquer subconjunto da população. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 6 / 32

7 População e Amostra Exemplo 10.1 Considere uma pesquisa para estudar os salários dos 500 funcionários da empresa MB. Seleciona-se 36 indivíduos, e anotam-se os seus salários. População: Os 500 funcionários da empresa; Amostra: Os 36 indivíduos selecionados. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 7 / 32

8 População e Amostra Como o interesse está no salários dos empregados. Pode-se considerar a população como sendo os 500 salários pagos. Dessa forma: População: Os 500 salários correspondente aos 500 funcionários da empresa; Amostra: Os 36 salários dos indivíduos selecionados. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 8 / 32

9 População e Amostra Exemplo 10.2 No estudo da proporção de indivíduos na cidade A que são favoráveis a certo projeto governamental. Duzentas pessoas são sorteadas, e a opinião de cada uma registrada como sendo a favor ou contra o projeto. População: Todos os moradores da cidade; Amostra: As 200 pessoas selecionadas. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 9 / 32

10 População e Amostra Ou ainda, População: A opinião de todos os moradores da cidade; Amostra: A opinião das 200 pessoas selecionadas. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 10 / 32

11 População e Amostra Pode-se definir a variável 1, se a resposta do morador for favorável; X = 0, se a reposta for contrária ao projeto. Assim a população pode ser reduzida a distribuição de X. E a amostra será constituída de uma sequência de 200 zeros e uns. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 11 / 32

12 População e Amostra Exemplo 10.3 Um empresário está estudando o tempo de vida de um novo tipo de lâmpada. Pois acredita que ela tenha duração maior do que as fabricadas atualmente. Para isso, 100 lâmpadas do novo tipo são deixadas acesas até queimarem. A duração em horas de cada lâmpada é registrada. Popução: Todas as lâmpadas fabricadas ou que venham a ser fabricadas por essa empresa; Amostra: As 100 lâmpadas selecionadas. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 12 / 32

13 População e Amostra Ou ainda, População: O tempo de vida de todas as lâmpadas fabricadas ou que venham a ser fabricadas por essa empresa; Amostra: O tempo de vida das 100 lâmpadas selecionadas. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 13 / 32

14 População e Amostra Note que: Não é possível observar a população inteira; Isso implicaria em queimar todas as lâmpadas; Uma solução é atribuir um modelo teórico ao tempo de vida das lâmpadas fabricadas. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 14 / 32

15 População e Amostra Exemplo 10.4 Suponha que o peso real de pacotes de café enchidos automaticamente por uma máquina pode ser representado por uma variável aleatória X com distribuição representada por uma Normal, com parâmetros µ e σ 2 desconhecidos. Selecionando 100 pacotes e medindo seus pesos. Tem-se que População: Será o peso de todos os pacotes de café enchidos (ou que virão a ser enchidos) pela máquina e que pode ser suposta como Normal. Amostra: Será o peso dos 100 pacotes selecionados e que pode ser pensado como 100 observações de uma distribuição Normal. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 15 / 32

16 População e Amostra Exemplo 10.5 Para investigar a honestidade de um certo tipo de moeda. Uma moeda é lançada 50 vezes e o número de caras observado em cada lançamento anotado. A população pode ser considerada como tendo a distribuição da variável 1, se ocorrer cara, com probabilidade p; X = 0, se ocorrer coroa, com probabilidade 1 p. ou seja, uma distribuição de Bernoulli com parâmetro p. A amostra será uma sequência de 50 números zeros ou uns. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 16 / 32

17 População e Amostra Exemplo 10.6 Há razões para supor que o tempo Y de reação a certo estímulo visual dependa da idade do indivíduo. Supõe-se ainda que essa dependência seja linear. Para verificar a suposição de linearidade, uma amostra de 20 dados foi obtida e constituída de 10 homens e 10 mulheres e dentro de cada grupo de homens e mulheres foram selecionadas duas pessoas com idades: 20, 25, 30, 35 e 40 anos. Cada pessoa foi submetida ao teste e seu tempo de reação y foi medido. A população são todas as pessoas que podem ser submetidas ao teste, segundo o sexo e a idade. E a amostra é formada pelas 20 medidas de tempo de reação obtidas. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 17 / 32

18 População e Amostra Observações 1 População, será definida como sendo a função probabilidade (caso discreto) ou a função densidade de probabilidade (caso contínuo) de uma v.a. X, modelando a característica de interesse; 2 Esse artifício simplifica substancialmente o problema estatístico; 3 Exigindo no entanto uma proposta de modelo para a variável X ; 4 A linguagem adotada será: seja a população f (x). Por exemplo: Considere a população das alturas X Normal(µ, σ 2 ). Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 18 / 32

19 Problemas de Inferência Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 19 / 32

20 Problemas de Inferência Exemplo 10.5 (Cont.) Continuando com o problema da moeda, em que a população é indicada por X Bernoulli(p). Indicando por Z o número de caras obtidas depois de lançar a moeda 50 vezes, tem-se que: Z Binomial(50, p). Esse modelo é valido admitindo-se ou não a honestidade da moeda (p = 1/2). Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 20 / 32

21 Problemas de Inferência Exemplo 10.5 (Cont.) Supondo que nos 50 lançamentos tenham ocorrido 36 caras. Esse resultado traz evidência de que a moeda seja honesta? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 21 / 32

22 Problemas de Inferência Exemplo 10.5 (Cont.) Para tomar uma decisão, pode-se admitir, por hipótese, que a moeda é honesta, ou seja H 0 : p = 1/2 ; A partir dessa hipótese e com base no modelo Binomial Z Binominal(50, p) ; Pode-se calcular a probabilidade de ocorrer 36 caras em 50 lançamentos admitindo por hipótese que a moeda é honesta. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 22 / 32

23 Problemas de Inferência Exemplo 10.5 (Cont.) Esse resultado dará condição de rejeitar ou aceitar a hipótese formulada de que a moeda é honesta (H 0 : p = 1/2). Se a decisão tomada for rejeitar a hipótese H 0 ; Qual seria a melhor estimativa para p baseado no resultado observado? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 23 / 32

24 Problemas de Inferência O exemplo 10.5 ilustra os dois problemas básicos da Inferência Estatística: 1 Teste de hipótese; 2 Estimação de parâmetros. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 24 / 32

25 Problemas de Inferência Exemplo 10.4 (Cont.) Máquina de encher pacotes de café automaticamente. A máquina está regulada para encher os pacotes segundo uma distribuição Normal(500, 10 2 ); Porém, ela se desregula-se com o passar do tempo; E quando isso acontece, o único parâmetro que se altera é a média, permanecendo a mesma variância. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 25 / 32

26 Problemas de Inferência Exemplo 10.4 (Cont.) Máquina de encher pacotes de café automaticamente. Para manter a produção sob controle, periodicamente retira-se uma amostra de 100 pacotes onde cada pacote é pesado; Para extrair informação da amostra sobre a regulagem da máquina, a média X da amostra é usada; Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 26 / 32

27 Problemas de Inferência Exemplo 10.4 (Cont.) Máquina de encher pacotes de café automaticamente. Ainda que a máquina esteja regulada, dificilmente X será igual a 500 gramas; Pois, os pacotes apresentam certa variabilidade no peso; Porém, se X não se afastar muito de 500 gramas, não existirá razões para suspeitar da regulagem da máquina; Apenas no caso de X 500 ser muito grande é que haverá razões para suspeitar da máquina. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 27 / 32

28 Problemas de Inferência Exemplo 10.4 (Cont.) Máquina de encher pacotes de café automaticamente. Mas o que é próximo ou distante de 500 para que se possar tomar uma decisão? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 28 / 32

29 Problemas de Inferência Exemplo 10.4 (Cont.) Máquina de encher pacotes de café automaticamente. Repetindo o procedimento de escolher uma amostra de 100 pacotes de café um número muito grande de vezes, sob a condição da máquina está regulada; O comportamento (distribuição) de X pode ser conhecido; Assim, um valor observado de X poder ser classificado: evento raro ou não. como um Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 29 / 32

30 Problemas de Inferência Esse exemplo ilustra a importância de conhecer as propriedade da distribuição da variável X. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 30 / 32

31 Problemas de Inferência Exemplo 10.6 (Cont.) Tempo de reação a certo estímulo visual Pode-se supor que o tempo, para uma dada idade x, seja uma v.a. com distribuição Normal e com média dependendo da idade x, tal que: Y Normal(µ(x), σ 2 ) e µ(x) = α + βx ou ainda Y x Normal(α + βx, σ 2 ) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 31 / 32

32 Problemas de Inferência Exemplo 10.6 (Cont.) Tempo de reação a certo estímulo visual 1 Estimar os parâmetros α e β, baseados na amostra de 20 dados; 2 Testar a hipótese de dependência entre o tempo de reação a um estimulo visual e a idade do indivíduo; 3 Ou seja investigar a possibilidade de β = 0; 4 Fazer previsão; 5 Por exemplo, considerando um grupo de pessoas de 40 anos pode-se prever com o modelo formulado qual será o respectivo tempo de reação. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 32 / 32